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第一课时 等比数列的前n项和
预习课本P55～58，思考并完成以下问题
(1)公比是1的等比数列的前n项和如何计算？
(2)能否根据首项、末项与项数求出等比数列的前n项和？
(3)能否根据首项、公比与项数求出等比数列的前n项和？
(4)等比数列前n项和的性质有哪些？
1．等比数列的前n项和公式
已知量
首项a1与公比q
首项a1，末项an与公比q
公式
Sn＝
Sn＝
[点睛] 在应用公式求和时，应注意到Sn＝的使用条件为q≠1，而当q＝1时应按常数列求和，即Sn＝na1.
2．等比数列前n项和的性质
(1)等比数列{an}中，若项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q.
(2)若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…成等比数列(其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…均不为0)．
(3)若一个非常数列{an}的前n项和Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，n∈N*)，则数列{an}为等比数列，即Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔数列{an}为等比数列．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
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(1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝来求( )
(2)首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na( )
(3)若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列( )
解析：(1)错误．在求等比数列前n项和时，首先应看公比q是否为1，若q≠1，可直接套用，否则应讨论求和．
(2)正确．若数列既是等差数列，又是等比数列，则是非零常数列，所以前n项和为Sn＝na.
(3)正确．根据等比数列前n项和公式Sn＝(q≠0且q≠1)变形为：
Sn＝－qn(q≠0且q≠1)，若令a＝，
则和式可变形为Sn＝a－aqn.
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，a2＝4，那么S10等于( )
A．210＋2 B．29－2
C．210－2 D．211－2
解析：选D 等比数列的公比q＝＝＝2，所以前10项和S10＝＝＝211－2，选D.
3．等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为( )
A．4 B．－4
C．2 D．－2
解析：选A 由S5＝＝44，
得a1＝4.
4．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则等于( )
A．2 B．4
C. D.
解析：选C ＝×＝＝.
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等比数列的前n项和公式的基本运算
[典例] 在等比数列{an}中，公比为q，前n项和为Sn.
(1)a1＝8，an＝，Sn＝，求n；
(2)S3＝，S6＝，求an及Sn.
[解] (1)显然q≠1，由Sn＝，即＝，
∴q＝.又an＝a1qn－1，即8×n－1＝，∴n＝6.
(2)法一：由S6≠2S3知q≠1，由题意得
②÷①，得1＋q3＝9，∴q3＝8，即q＝2.
代入①得a1＝，∴an＝a1qn－1＝×2n－1＝2n－2，
Sn＝＝2n－1－.
法二：由S3＝a1＋a2＋a3，S6＝S3＋a4＋a5＋a6＝S3＋q3(a1＋a2＋a3)＝S3＋q3S3＝(1＋q3)S3.
∴1＋q3＝＝9，∴q3＝8，即q＝2.
代入①得a1＝，∴an＝a1qn－1＝×2n－1＝2n－2，
Sn＝＝2n－1－.
在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．
[活学活用]
已知a6－a4＝24，a3·a5＝64，求S8.
解：法一：由题意，得
化简得
①÷②，得q2－1＝±3，负值舍去，
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∴q2＝4，∴q＝2或q＝－2.
当q＝2时，代入①得a1＝1.
∴S8＝＝255.
当q＝－2时，代入①得a1＝－1.
∴S8＝＝.
综上知S8＝255或.
法二：由等比数列的性质得a3·a5＝a＝64，∴a4＝±8.
当a4＝8时，∵a6－a4＝24，∴a6＝32，∴q2＝＝4，
∴q＝±2.
当a4＝－8时，a6－a4＝24，∴a6＝16.
∴q2＝＝－2，无解．故q＝±2.
当q＝2时，a1＝＝1，S8＝＝255.
当q＝－2时，a1＝＝－1，S8＝＝.
综上知，S8＝255或.
等比数列的前n项和的性质
[典例] 等比数列{an}的前n项和Sn＝48，前2n项和S2n＝60，则前3n项和S3n＝________.
[解析] 法一：设公比为q，由已知易知q≠1，由⇒所以S3n＝＝·[1－(qn)3]＝64×＝63.
法二：由Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，得(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)，即(60－48)2＝48(S3n－60)⇒S3n＝63.
[答案] 63
运用等比数列求和性质解题时，一定要注意性质成立的条件．否则会出现失误．如Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…成等比数列的前提是Sn，S2n－Sn，S3n－S2n均不为0.
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[活学活用]
1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝( )
A．2 B.
C. D．3
解析：选B 由等比数列的性质：S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，于是，由S6＝3S3，可推出S9－S6＝4S3，S9＝7S3，∴＝.故选B.
2．一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求数列的通项公式．
解：设数列{an}的首项为a1，公比为q，所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，
S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．
因为数列{an}的项数为偶数，所以有q＝＝.
又因为a1·a1q·a1q2＝64，所以a·q3＝64，即a1＝12，故所求通项公式为an＝12×n－1.
等比数列及其前n项和的综合应用
[典例] (1)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝( )
A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)
C.(1－4－n) D.(1－2－n)
(2)设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan－，n∈N*，则
①a3＝________；
②S1＋S2＋…＋S100＝________.
[解析] (1)由a5＝a2q3，得q3＝，
所以q＝，而数列{anan＋1}也为等比数列，
首项a1·a2＝8，公比q2＝，
所以a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1
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＝＝(1－4－n)．
(2)①∵an＝Sn－Sn－1
＝(－1)nan－－(－1)n－1an－1＋(n≥2)，
∴an＝(－1)nan－(－1)n－1an－1＋.
当n为偶数时，an－1＝－，
当n为奇数时，2an＋an－1＝，
∴当n＝4时，a3＝－＝－.
②根据以上{an}的关系式及递推式可求得．
a1＝－，a3＝－，a5＝－，
a7＝－，
a2＝，a4＝，a6＝，a8＝.
∴a2－a1＝，a4－a3＝，
a6－a5＝，…，
∴S1＋S2＋…＋S100＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a100－a99)－
＝－
＝.
[答案] (1)C (2)①－ ②
求解数列综合问题的步骤
(1)分析题设条件．
(2)分清是an与an＋1的关系，还是an与Sn的关系．
(3)转化为等差数列或等比数列，特别注意an＝Sn－Sn－1(n≥2，n为正整数)在an与Sn的关系中的应用．
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(4)整理求解．
[活学活用]
1．公差不为0的等差数列{an}的部分项ak1，ak2，ak3，…构成等比数列，且k1＝1，k2＝2，k3＝6，则k4＝________.
解析：设等差数列{an}的公差为d，
因为a1，a2，a6成等比数列，所以a＝a1·a6，
即(a1＋d)2＝a1·(a1＋5d)，
所以d＝3a1，所以a2＝4a1，所以等比数列ak1，ak2，ak3，…的公比q＝4，
所以ak4＝a1·q3＝a1·43＝64a1.
又ak4＝a1＋(k4－1)·d＝a1＋(k4－1)·(3a1)，
所以a1＋(k4－1)·(3a1)＝64a1，a1≠0，
所以3k4－2＝64，所以k4＝22.
答案：22
2．(浙江高考)设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.
(1)求通项公式an；
(2)求数列{|an－n－2|}的前n项和．
解：(1)由题意得则
又当n≥2时，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an，
所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*.
(2)设bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，则b1＝2，b2＝1.
当n≥3时，由于3n－1＞n＋2，故bn＝3n－1－n－2，n≥3.
设数列{bn}的前n项和为Tn，则T1＝2，T2＝3，
当n≥3时，Tn＝3＋－＝，因为当n＝2时，也符合Tn＝.
所以Tn＝
层级一 学业水平达标
1．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q等于( )
A．1 B．0
C．1或0 D．－1
解析：选A 因为Sn－Sn－1＝an，又{Sn}是等差数列，所以an为定值，即数列{an
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}为常数列，所以q＝＝1.
2．已知数列{an}是公比为3的等比数列，其前n项和Sn＝3n＋k(n∈N*)，则实数k为( )
A．0 B．1
C．－1 D．2
解析：选C 由数列{an}的前n项和Sn＝3n＋k(n∈N*)，
当n＝1时，a1＝S1＝3＋k；
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝3n＋k－(3n－1＋k)
＝2×3n－1.
因为数列{an}是公比为3的等比数列，所以a1＝2×31－1＝3＋k，解得k＝－1.
3．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于( )
A．31 B．33
C．35 D．37
解析：选B 根据等比数列性质得＝q5，
∴＝25，∴S10＝33.
4．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a3＝，且a2＋a4＝，则＝( )
A．4n－1 B．4n－1
C．2n－1 D．2n－1
解析：选D 设等比数列{an}的公比为q，
则解得
∴＝＝＝2n－1.故选D.
5．等比数列{an}的前n项和为Sn，S5＝2，S10＝6，则a16＋a17＋a18＋a19＋a20等于( )
A．8 B．12
C．16 D．24
解析：选C 设等比数列{an}的公比为q，因为S2n－Sn＝qnSn，所以S10－S5＝q5S5，所以6－2＝2q5，所以q5＝2，所以a16＋a17＋a18＋a19＋a20＝a1q15＋a2q15＋a3q15＋a4q15＋a5q15＝q15(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q15S5＝23×2＝16.
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6．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________.
解析：设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，
偶数项之和与奇数项之和分别为S偶，S奇，
由题意S偶＋S奇＝3S奇，
即S偶＝2S奇，
因为数列{an}的项数为偶数，
所以q＝＝2.
答案：2
7．等比数列{an}中，若a1＋a3＋…＋a99＝150，且公比q＝2，则数列{an}的前100项和为________．
解析：由＝q，q＝2，得＝2⇒a2＋a4＋…＋a100＝300，则数列{an}的前100项的和S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝150＋300＝450.
答案：450
8．在等比数列{an}中，a1＋a2＋…＋a6＝10，＋＋…＋＝5，则a1·a2·…·a6＝________.
解析：由等比数列的前n项和公式，a1＋a2＋…＋a6＝＝10，＋＋…＋＝＝＝5，把a1－a6q＝10(1－q)代入，得a1a6＝2，又a1·a2·…·a6＝(a1·a6)3＝23＝8.
答案：8
9．设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn.
解：设{an}的公比为q，由题设得
解得或
当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n－1，Sn＝3(2n－1)；
当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n－1，Sn＝3n－1.
10．已知{an}为递减的等比数列，且{a1，a2，a3}{－4，－3，－2,0,1,2,3,4}．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)当bn＝an时，求证：b1＋b2＋b3＋…＋b2n－18 000，
∴n>6，∴lgn>lg 6，
∴n>≈8.029 6.
∴大约第9年后，旅游业总收入超过8 000万元．
8．在数列{an}中，若an＝求数列{an}的前n项和．
解：当n＝1时，S1＝a1＝1.
当n≥2时，
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若a＝0，有an＝
则Sn＝1＋(n－1)＝.
若a＝1，有an＝
则Sn＝1＋(n－1)＝.
若a≠0且a≠1，
则Sn＝1＋＋＋…＋
＝1＋(n－1)＋(a＋a2＋…＋an－1)
＝＋.
综上所述，Sn＝
第二课时 数列求和(习题课)
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝( )
(2)当n≥2时，＝( )
(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得( )
(4)数列的前n项和为n2＋( )
(5)若数列a1，a2－a1，…，an－an－1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{an}的通项公式是an＝( )
解析：(1)正确．公比不等于1的等比数列的前n项和Sn＝＝.
(2)正确．化简即得．
(3)错误．a的值不能确定．
(4)错误．设数列的通项公式为an＝＋2n－1，
则用分组转化法求和，
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Sn＝＋－n
＝＋－n
＝1－＋n＋n2－n＝1－＋n2.
(5)正确．由题意an＝a1＋a2－a1＋…＋an－1－an－2＋an－an－1＝＝.
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√
2．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1＝，S2＝a3，则S40＝( )
A．290 B．390
C．410 D．430
解析：选C 设数列{an}的公差为d.∵S2＝a3，∴2a1＋d＝a1＋2d，∴d＝，∴S40＝40×＋×＝410.
3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，且an＋2an＋1＋an＋2＝0(n∈N*)，则S2 016＝________.
解析：设等比数列{an}的公比为q，则an＋2an＋1＋an＋2＝an(1＋2q＋q2)＝0，∵an≠0，∴q2＋2q＋1＝0.
解得q＝－1，∴S2 016＝0.
答案：0
4．已知数列{an}的通项公式an＝，其前n项和Sn＝，则项数n等于________．
解析：an＝＝1－，
∴Sn＝n－＝n－1＋＝＝5＋，
∴n＝6.
答案：6
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分组转化法求和
[典例] 已知数列{cn}：1，2，3，…，试求{cn}的前n项和．
[解] 令{cn}的前n项和为Sn，
则Sn＝1＋2＋3＋…＋
＝(1＋2＋3＋…＋n)＋
＝＋
＝＋1－n.
即数列{cn}的前n项和为Sn＝＋1－n.
若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减．
[活学活用]
1．数列{(－1)nn}的前n项和为Sn，则S2 016等于( )
A．1 008 B．－1 008
C．2 016 D．－2 016
解析：选A S2 016＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－2 015＋2 016)＝1 008.
2．数列{an}的通项an＝n2，其前n项和为Sn，则S30为________．
解析：∵an＝n2＝n2cos ，
∴S30＝12·cos ＋22·cos ＋32·cos 2π＋…＋302·cos 20π
＝－×12－×22＋32－×42－×52＋62＋…－×282－×292＋302
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＝－[(12＋22－2×32)＋(42＋52－2×62)＋…＋(282＋292－2×302)]
＝－[(12－32)＋(42－62)＋…＋(282－302)＋(22－32)＋(52－62)＋…＋(292－302)]
＝－[－2(4＋10＋16＋…＋58)－(5＋11＋17＋…＋59)]
＝－＝470.
答案：470
裂项相消法求和
[典例] 已知等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝－logan，求数列的前n项和Tn.
[解] (1)设数列{an}的公比为q，由a＝9a2a6得a＝9a，∴q2＝.
由条件可知q>0，故q＝.
由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，∴a1＝.
故数列{an}的通项公式为an＝.
(2)∵an＝，∴bn＝－log＝2n，
∴＝＝，
∴Tn＝
＝＝.
(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
(2)裂项求和的几种常见类型：
①＝；
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②＝；
③＝；
④若{an}是公差为d的等差数列，则＝.
[活学活用]
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝15，a5＋a9＝30.
(1)求an及Sn；
(2)若数列{bn}满足bn(Sn－n)＝2(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn0，dS4>0 B．a1d>0，dS4
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