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预习课本P97～100，思考并完成以下问题
(1)基本不等式的形式是什么？需具备哪些条件？
(2)在利用基本不等式求最值时，应注意哪些方面？
(3)一般按照怎样的思路来求解实际问题中的最值问题？
1．重要不等式
当a，b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
2．基本不等式
(1)有关概念：当a，b均为正数时，把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数．
(2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
(3)变形：ab≤2≤，a＋b≥2(其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时等号成立)．
[点睛] 基本不等式成立的条件：a＞0且b＞0；其中等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号，即若a≠b时，则≠，即只能有＜.
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1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立( )
(2)若a≠0，则a＋≥2＝4( )
(3)若a>0，b>0，则ab≤2( )
解析：(1)错误．任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，当a，b都为正数时，不等式a＋b≥2成立．
(2)错误．只有当a>0时，根据基本不等式，才有不等式a＋≥2＝4成立．
(3)正确．因为≤，所以ab≤2.
答案：(1)× (2)× (3)√
2．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是( )
A．a＞b＞＞
B．a＞＞＞b
C．a＞＞b＞
D．a＞＞＞b
解析：选B a＝＞＞＞＝b，因此B项正确．
3．若x>0，则x＋＋2有( )
A．最小值6 B．最小值8
C．最大值8 D．最大值3
解析：选B 由x＋＋2≥2＋2＝8(当且仅当x＝，即x＝3时，取等号)，故选B.
4．利用基本不等式求最值，下列运用正确的是( )
A．y＝|x|2＋≥2＝4≥0
B．y＝sin x＋≥2＝4(x为锐角)
C．已知ab≠0，＋≥2＝2
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D．y＝3x＋≥2＝4
解析：选D 在A中，4不是常数，故A选项错误；在B中，sin x＝时无解，y取不到最小值4，故B选项错误；在C中，，未必为正，故C选项错误；在D中，3x，均为正，且3x＝时，y取最小值4，故D选项正确．
利用基本不等式比较大小
[典例] (1)已知m＝a＋(a>2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是( )
A．m>n B．mb>1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg ，则P，Q，R的大小关系是________．
[解析] (1)因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2，所以m≥2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2b>1，所以lg a>lg b>0，
所以Q＝(lg a＋lg b)>＝P；
Q＝(lg a＋lg b)＝lg ＋lg ＝lg b>0，则a2＋＋的最小值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D 因为a>b>0，所以a－b>0，
所以a2＋＋
＝a(a－b)＋＋ab＋
≥2＋2＝4，
当且仅当a(a－b)＝且ab＝，
即a＝，b＝时等号成立.
利用基本不等式解应用题
[典例] 某单位决定投资3
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200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：
(1)仓库面积S的最大允许值是多少？
(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
[解] (1)设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，而顶部面积为S＝xy，依题意得，40x＋2×45y＋20xy＝3 200，
由基本不等式得
3 200≥2＋20xy
＝120＋20xy，
＝120＋20S.
所以S＋6－160≤0，即(－10)(＋16)≤0，
故≤10，从而S≤100，
所以S的最大允许值是100平方米，
(2)取得最大值的条件是40x＝90y且xy＝100，
求得x＝15，即铁栅的长是15米．
求实际问题中最值的解题4步骤
(1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式．
(2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题．
(3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑基本不等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性．
(4)正确写出答案．
[活学活用]
某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，求当每台机器运转多少年时，年平均利润最大，最大值是多少．
解：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，而x>0，故≤18－2＝8，
当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．
故当每台机器运转5年时，年平均利润最大，最大值为8万元．
层级一 学业水平达标
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1．下列结论正确的是( )
A．当x>0且x≠1时，lg x＋≥2
B．当x>0时，＋≥2
C．当x≥2时，x＋的最小值为2
D．当00，b>0，且＋＝，则a3＋b3的最小值为________．
解析：∵a>0，b>0，∴＝＋≥2，即ab≥2，当且仅当a＝b＝时取等号，∴a3＋b3≥2≥2＝4，当且仅当a＝b＝时取等号，则a3＋b3的最小值为4.
答案：4
7．已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是________．
解析：由题意得，y＝，
∴2x＋y＝2x＋＝＝≥3，
当且仅当x＝y＝1时，等号成立．
答案：3
8．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
解析：因为x>0，所以x＋≥2.当且仅当x＝1时取等号，
所以有＝≤＝，
即的最大值为，故a≥.
答案：
9．(1)已知x0，
所以＋≥2，＋≥2，＋≥2，
所以＋＋≥6，
当且仅当＝，＝，＝，
即a＝b＝c时，等号成立．
所以＋＋≥6.
层级二 应试能力达标
1．a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是( )
A．a2＋b2≥2|ab| B．a2＋b2＝2|ab|
C．a2＋b2≤2|ab| D．a2＋b2>2|ab|
解析：选A ∵a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，∴a2＋b2≥2|ab|(当且仅当|a|＝|b|时，等号成立)．
2．已知实数a，b，c满足条件a>b>c且a＋b＋c＝0，abc>0，则＋＋的值( )
A．一定是正数 B．一定是负数
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C．可能是0 D．正负不确定
解析：选B 因为a>b>c且a＋b＋c＝0，abc>0，所以a>0，b0，解得m4.
答案：(－∞，－1)∪(4，＋∞)
6．若正数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为________．
解析：由a＋b＝1，知＋＝＝，又ab≤2＝(当且仅当a＝b＝时等号成立)，∴9ab＋10≤，∴≥.
答案：
7．某厂家拟在2016年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2016年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．
(1)将2016年该产品的利润y(单位：万元)表示为年促销费用m的函数；
(2)该厂家2016年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？
解：(1)由题意，可知当m＝0时，x＝1，∴1＝3－k，解得k＝2，∴x＝3－，
又每件产品的销售价格为1.5×元，
∴y＝x－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m
＝4＋8－m
＝－＋29(m≥0)．
(2)∵m≥0，＋(m＋1)≥2＝8，当且仅当＝m＋1，即m＝3时等号成立，
∴y≤－8＋29＝21，∴ymax＝21.
故该厂家2016年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．
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8．已知k>，若对任意正数x，y，不等式x＋ky≥ 恒成立，求实数k的最小值．
解：∵x>0，y>0，
∴不等式x＋ky≥恒成立等价于＋k≥恒成立．
又k>，
∴＋k≥2，
∴2≥，解得k≤－(舍去)或k≥，
∴kmin＝.
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