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第二课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质
预习课本P54～55，思考并完成以下问题
(1)在简谐运动中，y＝Asin(ωx＋φ)的初相、振幅、周期分别为多少？
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)有哪些性质？
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义
[点睛] 当A＜0或φ＜0时，应先用诱导公式将x的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确定初相φ.如函数y＝－sin的初相不是φ＝－.
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的有关性质
名称
性质
定义域
R
值域
[－A，A]
周期性
T＝
对称性中心
(k∈Z)
对称轴
x＝＋(k∈Z)
奇偶性
当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数
当φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函数
单调性
由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得
单调递增区间
由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递减区间
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1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝sin(ωx＋φ)(ω≠0)的值域为[－， ]．( )
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的最大值为A.( )
(3)函数y＝3sin(2x－5)的初相为5.( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．函数y＝sin的周期、振幅、初相分别是( )
A．3π，， B．6π，，
C．3π，3，－ D．6π，3，
答案：B
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋1(A＞0，ω＞0)的最大值为5，则A＝( )
A．5 B．－5
C．4 D．－4
答案：C
4．函数f(x)＝sin的图象的对称轴方程是________________________．
答案：x＝kπ＋，k∈Z
函数y＝Asin(ωx＋φ)中参数的物理意义
[典例] 指出下列函数的振幅A、周期T、初相φ.
(1)y＝2sin，x∈R；
(2)y＝－6sin，x∈R.
[解] (1)A＝2，T＝＝4π，φ＝.
(2)将原解析式变形，得y＝－6sin＝6sin，则有A＝6，T＝＝π，φ＝π.
首先把函数解析式化为y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的形式，再求振幅、周期、初相．应注意A＞0，ω＞0.
[活学活用]
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已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )
A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝
解析：选A T＝＝＝6，
∵图象过(0,1)点，∴sin φ＝.
∵－＜φ＜，∴φ＝.
由图象确定函数的解析式
[典例] 如图是函数y＝Asin(ωx＋φ) 的图象的一部分，求此函数的解析式．
[解] [法一 逐一定参法]
由图象知A＝3，
T＝－＝π，
∴ω＝＝2，
∴y＝3sin(2x＋φ)．
∵点在函数图象上，
∴0＝3sin.
∴－×2＋φ＝kπ，得φ＝＋kπ(k∈Z)．
∵|φ|0，ω>0)
的图象的一部分，试求该函数的解析式．
解：由图可得：A＝，T＝
2|MN|＝π.从而ω＝＝2，
故y＝sin(2x＋φ)，
将M代入得sin＝0，
取φ＝－，得y＝sin.
三角函数图象的对称性
[典例] 在函数y＝2sin的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________．
[解析] 设4x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)
∴函数y＝2sin图象的对称中心坐标为(k∈Z)．
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取k＝1得满足条件．
[答案]
[一题多变]
1．[变条件，变设问]将本例中对称中心改为对称轴，其他条件不变，求离y轴最近的一条对称轴方程．
解：由4x＋＝kπ＋，得x＝－，
取k＝0时，x＝－满足题意．
2．[变条件]将本例中“sin”改为“cos”，其他条件不变，结果如何？
解：由4x＋＝kπ＋，得x＝kπ－，
取k＝0时，x＝－.
则所求对称中心为.
三角函数对称轴、对称中心的求法
对称轴
对称中心
y＝Asin(ωx＋φ)
令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)
令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求对称中心横坐标
y＝Acos(ωx＋φ)
令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)
令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求对称中心横坐标
y＝Atan(ωx＋φ)
无
令ωx＋φ＝(k∈Z)求对称中心横坐标
层级一 学业水平达标
1．简谐运动y＝4sin的相位与初相是( )
A．5x－， B．5x－，4
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C．5x－，－ D．4，
解析：选C 相位是5x－，当x＝0时的相位为初相即－.
2．最大值为，最小正周期为，初相为的函数表达式是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析：选D 由最小正周期为，排除A、B；由初相为，排除C.
3．函数y＝sin的图象的一条对称轴是( )
A．x＝－ B．x＝
C．x＝－ D．x＝
解析：选C 由x－＝kπ＋，k∈Z，解得x＝kπ＋，k∈Z，令k＝－1，得x＝－.
4．下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝cos
D．y＝cos
解析：选D 设y＝Asin(ωx＋φ)，显然A＝1，又图象过点，，所以解得ω＝2，φ＝.所以函数解析式为y＝sin＝cos.
5．已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )
A．关于直线x＝对称 B．关于点对称
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C．关于直线x＝对称 D．关于点对称
解析：选A 依题意得T＝＝π，ω＝2，故f(x)＝sin，所以f＝sin＝sin＝1，f ＝sin＝sin＝，因此该函数的图象关于直线x＝对称，不关于点和点对称，也不关于直线x＝对称．故选A.
6．y＝－2sin的振幅为________，周期为________，初相φ＝________.
解析：∵y＝－2sin
＝2sin＝2sin，
∴A＝2，ω＝3，φ＝，
∴T＝＝.
答案：2
7.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________.
解析：由题意设函数周期为T，
则＝－＝，∴T＝.
∴ω＝＝.
答案：
8．函数f(x)＝Asin(A>0，ω>0)在一个周期内，当x＝时，函数f(x)取得最大值2，当x＝时，函数f(x)取得最小值－2，则函数解析式为______________________．
解析：由题意可知A＝2.＝－＝，
∴T＝π，∴＝π，即ω＝2.
∴f(x)＝2sin.
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答案：f(x)＝2sin
9．求函数y＝sin图象的对称轴、对称中心．
解：令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)．
令2x＋＝kπ，得x＝－(k∈Z)．
即对称轴为直线x＝＋(k∈Z)，对称中心为(k∈Z)．
10．如图为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一个周期内的图象．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的最小正周期、频率、振幅、初相．
解：(1)由图，知A＝2，T＝7－(－1)＝8，
∴ω＝＝＝，∴f(x)＝2sin.
将点(－1,0)代入，得0＝2sin.
∵|φ|＜，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin.
(2)由(1)，知f(x)的最小正周期为＝8，
频率为，振幅为2，初相为.
层级二 应试能力达标
1．设f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的定义域为R，周期为，初相为，值域为[－1,3]，则函数f(x)的解析式为( )
A．y＝2sin＋1
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B．y＝2sin－1
C．y＝－2sin－1
D．y＝2sin＋1
解析：选A ∵－A＋B＝－1，A＋B＝3，
∴A＝2，B＝1，
∵T＝＝，
∴ω＝3，又φ＝，
故f(x)＝2sin＋1.
2．函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω＞0，φ∈[0,2π))的部分图象如图，则f(2 017)＝( )
A．－1 B．1
C． D．－
解析：选B 由题图可知，＝2，所以T＝8，所以ω＝.由点(1,1)在函数图象上可得f(1)＝cos＝1，所以＋φ＝2kπ(k∈Z)，所以φ＝2kπ－(k∈Z)，又φ∈[0,2π)，所以φ＝.故f(x)＝cos，f(2 017)＝cos＝cos 506π＝cos(253×2π)＝1.
3．已知函数f(x)＝2sin，x∈R，若f(x)≥1，则x的取值范围为( )
A．
B．
C．
D．
解析：选B ∵f(x)≥1，即2sin≥1，
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∴sin≥，
∴＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z.
解得＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z.
4．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，它的周期是π，则( )
A．f(x)的图象过点
B．f(x)在上是减函数
C．f(x)的一个对称中心是
D．f(x)的最大值是A
解析：选C ∵周期T＝π，∴＝π，∴ω＝2.
又∵f(x)的图象关于直线x＝对称，
∴2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，又|φ|＜，∴φ＝.
∴f(x)＝Asin.
∴f(x)图象过点.
又当x＝时，2x＋＝π，即f ＝0，
∴是f(x)的一个对称中心．
5．在函数y＝－2sin的图象与x轴的交点中，离原点最近的交点坐标是________．
解析：当y＝0时，sin＝0，
∴4x＋＝kπ，k∈Z，
∴x＝π－，k∈Z，
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取k＝0，则x＝－，取k＝1，则x＝，
∴离原点最近的交点坐标.
答案：
6．若函数y＝sin(ω＞0)图象的对称轴中与y轴距离最小的对称轴方程为x＝，则实数ω的值为________．
解析：令ωx＋＝＋kπ，k∈Z，得函数图象的对称轴方程为x＝π＋，k∈Z.
根据题意得k＝0，所以＝，解得ω＝.
答案：
7．已知函数f(x)＝2sin＋1(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求f 的值；
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间．
解：(1)∵f(x)为偶函数，
∴φ－＝kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝kπ＋(k∈Z)．
又0＜φ＜π，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin＋1＝2cos ωx＋1.
又函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为，
∴T＝＝2×，
∴ω＝2，∴f(x)＝2cos 2x＋1，
∴f ＝2cos＋1＝＋1.
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(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到函数f 的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到f 的图象，
所以g(x)＝f ＝2cos 2＋1
＝2cos＋1.
当2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)，
即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减．
∴函数g(x)的单调递减区间是
(k∈Z)．
8．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一段图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？
解：(1)A＝3，＝＝5π，ω＝.
由f(x)＝3sin过，
得sin＝0，又|φ|0)，
知－＝kπ＋，即m＝kπ＋，k∈Z.
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∵m>0，∴mmin＝.
故把f(x)的图象向左至少平移个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数．
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