人教A版高中数学必修4讲义：第一章1.3第一课时诱导公式（一）.doc

天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎　 第一课时　诱导公式(一)‎ 预习课本P23～25，思考并完成以下问题 ‎ ‎(1)π±α，－α的终边与α的终边有怎样的对称关系？‎ ‎ 　 ‎ ‎ 　 ‎ ‎(2)诱导公式的内容是什么？‎ ‎ 　 ‎ ‎(3)诱导公式1～4有哪些结构特征？‎ ‎ 　 ‎ ‎ 　 ‎ ‎1．诱导公式二 ‎(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．‎ 如图所示．‎ ‎(2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α，‎ cos(π＋α)＝－cos_α，‎ tan(π＋α)＝tan_α.‎ ‎2．诱导公式三 ‎(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．‎ 如图所示．‎ ‎(2)公式：sin(－α)＝－sin_α.‎ cos(－α)＝cos_α.‎ tan(－α)＝－tan_α.‎ ‎3．诱导公式四 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎(1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．‎ 如图所示．‎ ‎(2)公式：sin(π－α)＝sin_α.‎ cos(π－α)＝－cos_α.‎ tan(π－α)＝－tan_α.‎ ‎4．α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．‎ ‎1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)诱导公式中角α是任意角．(　　)‎ ‎(2)公式sin(－α)＝－sin α，α是锐角才成立．(　　)‎ ‎(3)公式tan(π＋α)＝tan α中，α＝不成立．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)√‎ ‎2．已知cos(π＋θ)＝，则cos θ＝(　　)‎ A．　　　　　　　　 B．－ C． D．－ 答案：B ‎3．若sin(π＋α)＝，则sin α等于(　　)‎ A． B．－ C．3 D．－3‎ 答案：B ‎4．已知tan α＝4，则tan(π－α)＝________.‎ 答案：－4‎ 给角求值问题 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎[典例]　求下列三角函数值：‎ ‎(1)sin(－1 200°)；(2)tan 945°；(3)cos.‎ ‎[解]　(1)sin(－1 200°)＝－sin 1 200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin 120°＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－.‎ ‎(2)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225°＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1.‎ ‎(3)cos＝cos＝cos＝cos＝.‎ 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤 ‎[活学活用]‎ 求下列各式的值：‎ ‎(1)cos(－120°)sin(－150°)＋tan 855°；‎ ‎(2)sin ·cos ·tan .‎ 解：(1)原式＝cos 120°(－sin 150°)＋tan 855°‎ ‎＝－cos(180°－60°)sin(180°－30°)＋tan(135°＋2×360°)‎ ‎＝cos 60°sin 30°＋tan 135°‎ ‎＝cos 60°sin 30°＋tan(180°－45°)‎ ‎＝cos 60°sin 30°－tan 45°＝×－1＝－.‎ ‎(2)原式＝sin ·cos·tan ‎＝sin ·cos ·tan ‎＝sin·cos·tan 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎＝··tan ‎＝××1＝.‎ 化简求值问题 ‎[典例]　化简：(1)；‎ ‎(2).‎ ‎[解]　(1)＝＝＝＝1.‎ ‎(2)原式＝＝＝＝－1.‎ 利用诱导公式一～四化简应注意的问题 ‎(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；‎ ‎(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；‎ ‎(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．‎ ‎[活学活用]‎ 化简下列各式：‎ ‎(1)；‎ ‎(2)(k∈Z)．‎ 解：(1)原式＝＝＝tan α .‎ ‎(2)当k＝2n(n∈Z)时，‎ 原式＝ ‎＝＝＝－1；‎ 当k＝2n＋1(n∈Z)时，‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 原式＝ ‎＝＝＝－1.‎ 综上，原式＝－1.‎ 给值(或式)求值问题 ‎[典例]　已知cos＝，求cos的值．‎ ‎[解]　因为cos＝cos ‎＝－cos＝－.‎ ‎[一题多变]‎ ‎1．[变设问]在本例条件下，求：‎ ‎(1)cos的值；‎ ‎(2)sin2的值．‎ 解：(1)cos＝cos＝cos＝.‎ ‎(2)sin2＝sin2＝sin2 ‎＝1－cos2＝1－＝.‎ ‎2．[变条件]若将本例中条件“cos＝”改为“sin＝，α∈”，则结论如何？‎ 解：因为α∈，则α－∈.‎ cos＝－cos＝－cos ‎＝ ＝ ＝.‎ ‎3．[变条件，变设问]tan＝，求tan.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 解：tan＝－tan ‎＝－tan＝－.‎ 解决条件求值问题的策略 ‎(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．‎ ‎(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．‎ ‎　　　　‎ 层级一　学业水平达标 ‎1．sin 600°的值是(　　)‎ A．　　　　　　　　　 B．－ C． D．－ 解析：选D　sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°‎ ‎＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.‎ ‎2．若sin(π＋α)＝－，则sin(4π－α)的值是(　　)‎ A．　　　　　　　　　 B．－ C．－ D． 解析：选B　由题知，sin α＝，所以sin(4π－α)＝－sin α＝－.‎ ‎3．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P，则cos(π－θ)的值为(　　)‎ A．－　　　　　　 B．－ C． D． 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 解析：选C　∵r＝1，∴cos θ＝－，‎ ‎∴cos(π－θ)＝－cos θ＝.‎ ‎4．已知tan＝，则tan＝(　　)‎ A． B．－ C． D．－ 解析：选B　∵tan＝tan ‎＝－tan，‎ ‎∴tan＝－.‎ ‎5．设tan(5π＋α)＝m，则的值等于(　　)‎ A． B． C．－1 D．1‎ 解析：选A　∵tan(5π＋α)＝tan[4π＋(π＋α)]‎ ‎＝tan(π＋α)＝tan α，∴tan α＝m，‎ ‎∴原式＝＝＝ ‎＝，故选A.‎ ‎6．求值：(1)cos ＝______；(2)tan(－855°)＝______.‎ 解析：(1)cos ＝cos＝cos ‎＝cos＝－cos ＝－.‎ ‎(2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.‎ 答案：(1)－　(2)1‎ ‎7．已知sin(π－α)＝log8，且α∈，则tan(2π－α)的值为________．‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 解析：sin(π－α)＝sin α＝log8＝－，‎ 又α∈，‎ 所以cos α＝＝，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－＝.‎ 答案： ‎8．已知cos(508°－α)＝，则cos(212°＋α)＝________.‎ 解析：由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)＝cos(148°－α)＝，‎ 所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝.‎ 答案： ‎9．求下列各三角函数值：‎ ‎(1)sin；(2)cos；(3)tan.‎ 解：(1)sin＝sin＝sin ‎＝sin＝－sin＝－.‎ ‎(2)cos＝cos＝cos＝cos＝.‎ ‎(3)tan＝tan＝tan＝.‎ ‎10．若cos α＝，α是第四象限角，‎ 求的值．‎ 解：由已知cos α＝，α是第四象限角得sin α＝－，‎ 故 ‎＝＝.‎ 层级二　应试能力达标 ‎1．已知cos(π－α)＝－，且α是第一象限角，则sin(－2π－α)的值是(　　)‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ A．　　　　　　　 B．－ C．± D． 解析：选B　∵cos(π－α)＝－cos α，∴cos α＝.‎ ‎∵α是第一象限角，∴sin α>0，‎ ‎∴sin α＝＝ ＝.‎ ‎∴sin(－2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝－.‎ ‎2．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β∈R，若f(2 015)＝5，则f(2 016)等于(　　)‎ A．4 B．3‎ C．－5 D．5‎ 解析：选C　∵f(2 015)＝asin(2 015π＋α)＋bcos(2 015π＋β)＝－asin α－bcos β＝5，∴f(2 016)＝asin(2 016π＋α)＋bcos(2 016π＋β)＝asin α＋bcos β＝－5.‎ ‎3．若α，β的终边关于y轴对称，则下列等式成立的是(　　)‎ A．sin α＝sin β B．cos α＝cos β C．tan α＝tan β D．sin α＝－sin β 解析：选A　法一：∵α，β的终边关于y轴对称，‎ ‎∴α＋β＝π＋2kπ或α＋β＝－π＋2kπ，k∈Z，‎ ‎∴α＝2kπ＋π－β或α＝2kπ－π－β，k∈Z，‎ ‎∴sin α＝sin β.‎ 法二：设角α终边上一点P(x，y)，则点P关于y轴对称的点为P′(－x，y)，且点P与点P′到原点的距离相等，设为r，则sin α＝sin β＝.‎ ‎4．下列三角函数式：①sin；②cos；③sin；‎ ‎④cos ；⑤sin.‎ 其中n∈Z，则函数值与sin的值相同的是(　　)‎ A．①② B．①③④‎ C．②③⑤ D．①③⑤‎ 解析：选C　①中sin＝sin≠sin；②中，cos＝cos＝sin；③中，sin 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎＝sin；④中，cos＝cos＝－cos≠sin；⑤中，sin＝sin＝－sin＝sin.‎ ‎5．化简：的值是________．‎ 解析：原式＝ ‎＝＝ ‎＝＝＝－2.‎ 答案：－2‎ ‎6．已知f(x)＝则f ＋f 的值为________．‎ 解析：因为f ＝sin ‎＝sin＝sin＝；‎ f ＝f －1＝f －2‎ ‎＝sin－2＝－－2＝－.‎ 所以f ＋f ＝－2.‎ 答案：－2‎ ‎7．计算与化简 ‎(1)；‎ ‎(2)sin 420°cos 330°＋sin(－690°)cos(－660°)．‎ 解：(1)原式＝＝＝tan θ.‎ ‎(2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)cos(－2×360°＋60°)‎ ‎＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝×＋×＝1.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎8．已知＝3＋2，求：[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·的值．‎ 解：由＝3＋2，‎ 得(4＋2)tan θ＝2＋2，‎ 所以tan θ＝＝，‎ 故[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]· ‎＝(cos2θ＋sin θcos θ＋2sin2θ)· ‎＝1＋tan θ＋2tan2θ ‎＝1＋＋2×2＝2＋.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎