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1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第一课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
预习课本P34～37，思考并完成以下问题
(1)周期函数的定义是什么？
(2)如何利用周期的定义求正、余弦函数的周期？
(3)正、余弦函数的奇偶性分别是什么？
1．周期函数
(1)周期函数的概念
条件
①对于函数ƒ(x)，存在一个非零常数T
②当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)
结论
函数ƒ(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期
(2)最小正周期
条件
周期函数ƒ(x)的所有周期中存在一个最小的正数
结论
这个最小正数叫做ƒ(x)的最小正周期
[点睛] 对周期函数的两点说明
(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．
(2)如果T是函数ƒ(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是ƒ(x)的周期．
2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数
y＝sin x
y＝cos x
周期
2kπ(k∈Z且k≠0)
2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期
2π
2π
奇偶性
奇函数
偶函数
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)因sin＝sin，则是正弦函数y＝sin x的一个周期．( )
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(2)若T是函数ƒ(x)的周期，则kT，k∈N*也是函数f(x)的周期．( )
(3)函数y＝3sin 2x是奇函数．( )
(4)函数y＝－cos x是偶函数．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．函数ƒ(x)＝2sin是( )
A．T＝2π的奇函数
B．T＝2π的偶函数
C．T＝π的奇函数
D．T＝π的偶函数
答案：B
3．下列函数中，周期为的是( )
A．y＝sin x B．y＝sin 2x
C．y＝cos D．y＝cos 4x
答案：D
4．函数ƒ(x)＝sin xcos x是______(填“奇”或“偶”)函数．
答案：奇
三角函数的周期
[典例]
求下列函数的周期．
(1)ƒ(x)＝cos；(2)ƒ(x)＝|sin x|.
[解] (1)[法一 定义法]
∵ƒ(x)＝cos＝cos
＝cos＝ƒ(x＋π)，
即ƒ(x＋π)＝ƒ(x)，
∴函数ƒ(x)＝cos的周期T＝π.
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[法二公式法]
∵y＝cos，∴ω＝2.
又T＝＝＝π.
∴函数ƒ(x)＝cos的周期T＝π.
(2)[法一 定义法]
∵ƒ(x)＝|sin x|,
∴ƒ(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin x|＝ƒ(x)，
∴ƒ(x)的周期为π.
[法二 图象法]
∵函数y＝|sin x|的图象如图所示．
由图象可知T＝π.
求函数最小正周期的常用方法
除了定义法外，求三角函数的周期，一般还有两种方法：(1)公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝Acos(ωx＋φ)＋B的形式，再利用T＝求得；(2)图象法，利用变换的方法或作出函数的图象，通过观察得到最小正周期．
[活学活用]
求下列函数的周期．
(1)y＝3sin；
(2)y＝|cos x|.
解：(1)T＝＝4，
∴y＝3sin的周期为4.
(2)函数y＝|cos x|的图象如图所示，
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由图象知T＝π.
三角函数的奇偶性
[典例] (1)函数f(x)＝sin 2x的奇偶性为( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
(2)判断函数f(x)＝sin的奇偶性．
(1)[解析] ∵f(x)的定义域是R.
且f(－x)＝sin 2(－x)＝－sin 2x＝－f(x)，
∴函数为奇函数．
[答案] A
(2)[解] ∵f(x)＝sin＝－cosx，
∴f(－x)＝－cos＝－cosx，
∴函数f(x)＝sin为偶函数．
判断函数奇偶性的方法
[活学活用]
判断下列函数的奇偶性：
(1)ƒ(x)＝xcos(π＋x)；
(2)ƒ(x)＝sin(cos x)．
解：(1)函数ƒ(x)的定义域为R，
∵ƒ(x)＝xcos(π＋x)＝－xcos x，
∴ƒ(－x)＝－(－x)·cos(－x)＝xcos x＝－ƒ(x)，
∴ƒ(x)为奇函数．
(2)函数ƒ(x)的定义域为R，
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∴ƒ(－x)＝sin＝sin(cos x)＝ƒ(x)，
∴ƒ(x)为偶函数.
三角函数的奇偶性与周期性的应用
[典例] 定义在R上的函数ƒ(x)既是偶函数又是周期函数，若ƒ(x)的最小正周期是π，且当x∈时，ƒ(x)＝sin x，求ƒ 的值．
[解] ∵ƒ(x)的最小正周期是π，
∴ƒ ＝ƒ ＝ƒ
∵ƒ(x)是R上的偶函数，
∴ƒ ＝ƒ ＝sin＝.
∴ƒ ＝.
[一题多变]
1．[变条件]若本例中“偶”变“奇”其他条件不变，求ƒ 的值．
解：ƒ ＝ƒ ＝－ƒ
＝－sin＝－.
2．[变设问]若本例条件不变，求ƒ 的值．
解：ƒ ＝ƒ ＝ƒ
＝ƒ ＝sin ＝.
3．[变条件]若本例条件为：函数ƒ(x)为偶函数且ƒ ＝－ƒ(x)，ƒ ＝1，求ƒ 的值．
解：∵ƒ ＝－ƒ(x)，
∴ƒ(x＋π)＝ƒ(x)，即T＝π，
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ƒ ＝ƒ ＝ƒ ＝ƒ ＝1.
解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法
利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值．利用奇偶性，可以找到－x与x的函数值的关系，从而可解决求值问题．
层级一 学业水平达标
1．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
解析：选A 由于x∈R，
且f(－x)＝sin x＝－sin(－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
2．函数y＝－xcos x的部分图象是下图中的( )
解析：选D 因为函数y＝－xcos x是奇函数，图象关于原点对称，所以排除A，C；当x∈时，y＝－xcos x＜0，故排除B.
3．已知函数f(x)＝sin－1，则下列命题正确的是( )
A．f(x)是周期为1的奇函数
B．f(x)是周期为2的偶函数
C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数
D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数
解析：选B f(x)＝sin－1＝－cos πx－1，从而函数为偶函数，且T＝＝2.
4．函数y＝4sin(2x＋π)的图象关于( )
A．x轴对称 B．原点对称
C．y轴对称 D．直线x＝对称
解析：选B y＝4sin(2x＋π)＝－4sin 2x，奇函数图象关于原点对称．
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5．函数y＝cos的奇偶性是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．即是奇函数也是偶函数
解析：选A cos＝cos＝sin，故为奇函数．
6．函数y＝cos的周期为________．
解析：T＝＝4π.
答案：4π
7．函数ƒ(x)是以2为周期的函数，且ƒ(2)＝3，则ƒ(6)＝________.
解析：∵函数ƒ(x)是以2为周期的函数，且ƒ(2)＝3，
∴ƒ(6)＝ƒ(2×2＋2)＝ƒ(2)＝3.
答案：3
8．函数ƒ(x)＝3cos(ω＞0)的最小正周期为，则ƒ(π)＝________.
解析：由已知＝得ω＝3，
∴ƒ(x)＝3cos，∴ƒ(π)＝3cos
＝3cos＝－3cos＝－.
答案：－
9．判断下列函数的奇偶性．
(1)ƒ(x)＝coscos(π＋x)；
(2)ƒ(x)＝ ＋.
解：(1)x∈R，
ƒ(x)＝coscos(π＋x)
＝－sin 2x·(－cos x)＝sin 2xcos x.
∴ƒ(－x)＝sin(－2x)cos(－x)
＝－sin 2xcos x＝－ƒ(x)．
∴该函数ƒ(x)是奇函数．
(2)对任意x∈R，－1≤sin x≤1，
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∴1＋sin x≥0,1－sin x≥0.
∴ƒ(x)＝ ＋的定义
域为R.
∵ƒ(－x)＝＋
＝ ＋＝ƒ(x)，
∴该函数是偶函数．
10．已知函数y＝sin x＋|sin x|，
(1)画出函数的简图；
(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．
解：(1)y＝sin x＋|sin x|＝
图象如图所示：
(2)由图象知该函数是周期函数，且周期是2π.
层级二 应试能力达标
1．下列函数中最小正周期为π且为偶函数的是( )
A．y＝cos B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝cos
解析：选B 对于A，y＝cos＝cos＝sin 2x是奇函数；对于B，y＝sin＝cos 2x是偶函数，且最小正周期T＝＝π；对于C，y＝sin＝cos x是偶函数，但最小正周期T＝2π；对于D，y＝cos＝sin x是奇函数，故选B.
2．函数ƒ(x)＝3sin是( )
A．周期为3π的偶函数 B．周期为2π的偶函数
C．周期为3π的奇函数 D．周期为的偶函数
解析：选A ∵ƒ(x)＝3sin
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＝－3cosx，∴ƒ(x)为偶函数，
且T＝＝3π，故选A.
3．函数y＝cos(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是( )
A．10 B．11
C．12 D．13
解析：选D ∵T＝＝≤2，∴k≥4π，
又k∈Z，∴正整数k的最小值为13.
4．函数ƒ(x)＝sin(2x＋φ)为R上的奇函数，则φ的值可以是( )
A． B．
C．π D．
解析：选C 要使函数ƒ(x)＝sin(2x＋φ)为R上的奇函数，需φ＝kπ，k∈Z.故选C.
5．若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为，且满足f(x)＝则f＝________.
解析：∵T＝，∴f ＝f
＝f ＝sin＝.
答案：
6．函数y＝的最小正周期是________．
解析：∵y＝sin 的最小正周期为T＝4π，而y＝的图象是把y＝sin 的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，
∴y＝的最小正周期为T＝2π.
答案：2π
7．已知ƒ(x)是以π为周期的偶函数，且x∈时，ƒ(x)＝1－sin x，当x∈时，
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求ƒ(x)的解析式．
解：x∈时，3π－x∈，因为x∈时，ƒ(x)＝1－sin x，所以ƒ(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sin x．又ƒ(x)是以π为周期的偶函数，
所以ƒ(3π－x)＝ƒ(－x)＝ƒ(x)，所以ƒ(x)的解析式为ƒ(x)＝1－sin x，x∈.
8．已知函数ƒ(x)对于任意实数x满足条件ƒ(x＋2)
＝－(ƒ(x)≠0)．
(1)求证：函数ƒ(x)是周期函数．
(2)若ƒ(1)＝－5，求ƒ(ƒ(5))的值．
解：(1)证明：∵ƒ(x＋2)＝－，
∴ƒ(x＋4)＝－＝－＝ƒ(x)，
∴ƒ(x)是周期函数，4就是它的一个周期．
(2)∵4是ƒ(x)的一个周期．
∴ƒ(5)＝ƒ(1)＝－5，
∴ƒ(ƒ(5))＝ƒ(－5)＝ƒ(－1)＝＝＝.
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