人教A版高中数学必修4讲义:第二章 2.5 平面向量应用举例
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资料简介
天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 平面向量应用举例 预习课本 P109~112,思考并完成以下问题. (1)利用向量可以解决哪些常见的几何问题? (2)如何用向量方法解决物理问题? (3)如何判断多边形的形状? [新知初探] 1.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题 转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 2.向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等. (2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中. (3)动量 mv 是向量的数乘运算. (4)功是力 F 与位移 s 的数量积. [小试身手] 1.若向量  1OF =(2,2),  2OF =(-2,3)分别表示两个力 F1,F2,则|F1+F2|为( ) A.(0,5) B.(4,-1) C.2 2 D.5 答案:D 2.在四边形 ABCD 中,  AB ·  BC =0,  BC =  AD ,则四边形 ABCD 是( ) A.直角梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 答案:C 3.力 F=(-1,-2)作用于质点 P,使 P 产生的位移为 s=(3,4),则力 F 对质点 P 做的 功是________. 答案:-11 向量在几何中的应用 题点一:平面几何中的垂直问题 1.如图所示,在正方形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,BC 的中点,求证:AF⊥DE. 证明:法一:设  AD =a,  AB =b, 则|a|=|b|,a·b=0, 又  DE =  DA +  AE =-a+1 2b,  AF =  AB +  BF =b+1 2a, 所以  AF ·  DE = b+1 2a · -a+1 2b =-1 2a2-3 4a·b+1 2b2=-1 2|a|2+1 2|b|2=0.故  AF ⊥  DE ,即 AF⊥DE. 法二:如图,建立平面直角坐标系,设正方形的边长为 2,则 A(0,0),D(0,2),E(1,0), F(2,1),  AF =(2,1),  DE =(1,-2). 因为  AF ·  DE =(2,1)·(1,-2)=2-2=0, 所以  AF ⊥  DE ,即 AF⊥DE. 题点二:平面几何中的平行(或共线)问题 2. 如图,点 O 是平行四边形 ABCD 的中心,E,F 分别在边 CD,AB 上,且CE ED =AF FB = 1 2. 求证:点 E,O,F 在同一直线上. 证明:设  AB =m,  AD =n, 由CE ED =AF FB =1 2 ,知 E,F 分别是 CD,AB 的三等分点, ∴  FO =  FA +  AO =1 3  BA +1 2  AC天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ =-1 3m+1 2(m+n)=1 6m+1 2n,  OE =  OC +  CE =1 2  AC +1 3  CD =1 2(m+n)-1 3m=1 6m+1 2n. ∴  FO =  OE . 又 O 为  FO 和  OE 的公共点,故点 E,O,F 在同一直线上. 题点三:平面几何中的长度问题 3.如图,平行四边形 ABCD 中,已知 AD=1,AB=2,对角线 BD=2,求对角线 AC 的长. 解:设  AD =a,  AB =b,则  BD =a-b,  AC =a+b, 而|  BD |=|a-b|= a2-2a·b+b2= 1+4-2a·b= 5-2a·b=2, ∴5-2a·b=4,∴a·b=1 2 ,又|  AC |2=|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+4+2a·b=6,∴|  AC | = 6,即 AC= 6. 用向量方法解决平面几何问题的步骤 向量在物理中的应用 [典例] (1)在长江南岸某渡口处,江水以 12.5 km/h 的速度向东流,渡船的速度为 25 km/h.渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定? (2)已知两恒力 F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一质点,使之由点 A(20,15)移动到点 B(7,0),求 F1,F2 分别对质点所做的功. [解] (1) 如图,设  AB 表示水流的速度,  AD 表示渡船的速度,  AC 表示渡船实际垂 直过江的速度. 因为  AB +  AD =  AC ,所以四边形 ABCD 为平行四边形. 在 Rt△ACD 中,∠ACD=90°,|  DC |=|  AB |=12.5,|  AD |=25,天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 所以∠CAD=30°,即渡船要垂直地渡过长江,其航向应为北偏西 30°. (2)设物体在力 F 作用下的位移为 s,则所做的功为 W=F·s. ∵  AB =(7,0)-(20,15)=(-13,-15). ∴W1=F1·  AB =(3,4)·(-13,-15) =3×(-13)+4×(-15)=-99(焦), W2=F2·  AB =(6,-5)·(-13,-15) =6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(焦). [一题多变] 1.[变设问]本例(2)条件不变,求 F1,F2 的合力 F 为质点所做的功. 解:W=F·  AB =(F1+F2)·  AB =[(3,4)+(6,-5)]·(-13,-15)=(9,-1)·(-13,- 15)=9×(-13)+(-1)×(-15)=-117+15=-102(焦). 2.[变条件]本例(2)条件变为:两个力 F1=i+j,F2=4i-5j 作用于同一质点,使该质点 从点 A(20,15)移动到点 B(7,0)(其中 i,j 分别是与 x 轴、y 轴同方向的单位向量).求:F1, F2 分别对该质点做的功. 解:  AB =(7,0)-(20,15)=(-13,-15), F1 做的功 W1=F1·s=F1·  AB =(1,1)·(-13,-15)=-28(焦). F2 做的功 W2=F2·s=F2·  AB =(4,-5)·(-13,-15)=23(焦). 用向量方法解决物理问题的“三步曲” 层级一 学业水平达标 1.已知三个力 f1=(-2,-1),f2=(-3,2),f3=(4,-3)同时作用于某物体上一点, 为使物体保持平衡,再加上一个力 f4,则 f4=( ) A.(-1,-2) B.(1,-2) C.(-1,2) D.(1,2) 解析:选 D 由物理知识知 f1+f2+f3+f4=0,故 f4=-(f1+f2+f3)=(1,2). 2.人骑自行车的速度是 v1,风速为 v2,则逆风行驶的速度为( )天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ A.v1-v2 B.v1+v2 C.|v1|-|v2| D.|v1 v2| 解析:选 B 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为 v1+v2.注意速度是有方向和大 小的,是一个向量. 3.已知四边形 ABCD 各顶点坐标是 A -1,-7 3 ,B 1,1 3 ,C -1 2 ,2 ,D -7 2 ,-2 , 则四边形 ABCD 是( ) A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.菱形 解析:选 A ∵  AB = 2,8 3 ,  DC =(3,4), ∴  AB =2 3  DC ,∴  AB ∥  DC ,即 AB∥DC. 又|  AB |= 4+64 9 =10 3 ,|  DC |= 9+16=5, ∴|  AB |≠|  DC |,∴四边形 ABCD 是梯形. 4.在△ABC 中,AB=3,AC 边上的中线 BD= 5, AC ·  AB =5,则  AC 的长为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选 B ∵  BD =  AD -  AB =1 2  AC -  AB , ∴BD2―→= 1 2  AC -  AB 2=1 4 2AC -  AC ·  AB + 2AB , 即1 4 2AC =1.∴|  AC |=2,即 AC=2. 5.已知△ABC 满足 2AB =  AB ·  AC +  BA ·  BC +  CA·  CB ,则△ABC 是( ) A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 解析:选 C 由题意得,  AB 2=  AB ·  AC +  AB ·  CB +  CA·  CB =  AB ·(  AC +  CB ) +  CA·  CB =  AB 2+  CA ·  CB , ∴  CA·  CB =0,∴  CA⊥  CB , ∴△ABC 是直角三角形.天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 6.已知力 F=(2,3)作用于一物体,使物体从 A(2,0)移动到 B(-2,3),则力 F 对物体所 做的功是________. 解析:∵  AB =(-4,3), ∴W=F·s=F·  AB =(2,3)·(-4,3)=-8+9=1. 答案:1 7.用两条成 120°角的等长绳子悬挂一个灯具,已知灯具重量为 10 N,则每根绳子的 拉力大小为________ N. 解析: 如图,由题意,得∠AOC=∠COB=60°,|  OC |=10, 则|  OA |=|  OB |=10,即每根绳子的拉力大小为 10 N. 答案:10 8.已知 A,B 是圆心为 C,半径为 5的圆上的两点,且|AB|= 5,则  AC ·  CB =________. 解析:由弦长|AB|= 5,可知∠ACB=60°,  AC ·  CB =-  CA·  CB =-|  CA||  CB |cos∠ACB=-5 2. 答案:-5 2 9.已知△ABC 是直角三角形,CA=CB,D 是 CB 的中点,E 是 AB 上的一点,且 AE =2EB.求证:AD⊥CE. 证明:如图,以 C 为原点,CA 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系. 设 AC=a,则 A(a,0),B(0,a), D 0,a 2 ,C(0,0),E 1 3a,2 3a . 所以  AD = -a,a 2 ,  CE = 1 3a,2 3a . 所以  AD ·  CE =-a·1 3a+a 2·2 3a=0, 所以  AD ⊥  CE ,即 AD⊥CE. 10.已知点 A(2,-1).求过点 A 与向量 a=(5,1)平行的直线方程. 解:设所求直线上任意一点 P(x,y), 则  AP =(x-2,y+1).天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 由题意知  AP ∥a,故 5(y+1)-(x-2)=0, 即 x-5y-7=0. 故过点 A 与向量 a=(5,1)平行的直线方程为 x-5y-7=0. 层级二 应试能力达标 1.已知一条两岸平行的河流河水的流速为 2 m/s,一艘小船以垂直于河岸方向 10 m/s 的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为( ) A.10 m/s B.2 26 m/s C.4 6 m/s D.12 m/s 解析:选 B 设河水的流速为 v1,小船在静水中的速度为 v2,船的实际速度为 v,则|v1| =2,|v|=10,v⊥v1,∴v2=v-v1,v·v1=0, ∴|v2|= v2-2v·v1+v21=2 26(m/s). 2.在△ABC 中,AB=3,AC=2,  BD =1 2  BC ,则  AD ·  BD 的值为( ) A.-5 2 B.5 2 C.-5 4 D.5 4 解析:选 C 因为  BD =1 2  BC ,所以点 D 是 BC 的中点,则  AD =1 2(  AB +  AC ),  BD =1 2  BC =1 2(  AC -  AB ),所以  AD ·  BD =1 2(  AB +  AC )·1 2(  AC -  AB )=1 4( 2AC - 2AB )=1 4(22-32)=-5 4 ,选 C. 3.如图,在矩形 ABCD 中,AB= 2,BC=2,点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 CD 上,若  AB ·  AF = 2,则  AE ·  BF 的值是( ) A. 2 B.2 C.0 D.1 解析:选 A ∵  AF =  AD +  DF ,  AB ·  AF =  AB ·(  AD +  DF )=  AB ·  AD +  AB ·  DF =  AB ·  DF = 2|  DF |= 2,∴|  DF |=1,|  CF |= 2-1,∴  AE ·  BF =(  AB +  BE )·(  BC +  CF )=  AB ·  CF +  BE ·  BC =- 2( 2-1)+1×2=-2+ 2+2= 2,故 选 A.天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 4.如图,设 P 为△ABC 内一点,且 2  PA+2  PB +  PC =0,则 S△ABP∶S△ABC=( ) A.1 5 B.2 5 C.1 4 D.1 3 解析:选 A 设 AB 的中点是 D. ∵  PA+  PB =2  PD =-1 2  PC , ∴  PD =-1 4  PC , ∴P 为 CD 的五等分点, ∴△ABP 的面积为△ABC 的面积的1 5. 5.若 O 为△ABC 所在平面内一点,且满足(  OB -  OC )·(  OB +  OC -2  OA )=0,则 △ABC 的形状为________. 解析:(  OB -  OC )·(  OB +  OC -2  OA ) =(  AB -  AC )·(  OB -  OA +  OC -  OA ) =(  AB -  AC )·(  AB +  AC ) =|  AB |2-|  AC |2=0, ∴|  AB |=|  AC |. 答案:等腰三角形 6.如图所示,在倾斜角为 37°(sin 37°=0.6),高为 2 m 的斜面上,质量为 5 kg 的物体 m 沿斜面下滑,物体 m 受到的摩擦力是它对斜面压力的 0.5 倍,则 斜 面对物体 m 的支持力所做的功为________J,重力所做的功为 ________J(g=9.8 m/s2). 解析:物体 m 的位移大小为|s|= 2 sin 37° =10 3 (m), 则支持力对物体 m 所做的功为 W1=F·s=|F||s|cos 90°=0(J); 重力对物体 m 所做的功为 W2=G·s=|G||s|cos 53°=5×9.8×10 3 ×0.6=98(J). 答案:0 98 7.如图所示,一个物体受到同一平面内三个力 F1,F2,F3 的作用,沿北偏东 45°的方 向移动了 8 m,其中|F1|=2 N,方向为北偏东 30°;|F2|=4 N,方向为北偏东 60°;|F3| =6 N,方向为北偏西 30°,求合力 F 所做的功.天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 解:以 O 为原点,正东方向为 x 轴的正方向建立平面直角坐标系,如图所示,则 F1= (1, 3),F2=(2 3,2),F3=(-3,3 3),所以 F=F1+F2+F3 = (2 3-2,2+4 3).又位移 s=(4 2,4 2),故合力 F 所做的功 为 W=F·s =(2 3-2)×4 2+(2+4 3)×4 2 =4 2×6 3 =24 6(J). 即合力 F 所做的功为 24 6 J. 8.如图,平行四边形 ABCD 中,E,F 分别是 AD,AB 的中点,G 为 BE 与 DF 的交点.若  AB =a,  AD =b. (1)试以 a,b 为基底表示  BE ,  DF ; (2)求证:A,G,C 三点共线. 解:(1)  BE =  AE -  AB =1 2b-a,  DF =  AF -  AD =1 2a-b. (2)证明:因为 D,G,F 三点共线,则 DG―→=λ  DF , 即  AG =  AD +λ  DF =1 2λa+(1-λ)b. 因为 B,G,E 三点共线,则 BG―→=μ  BE , 即  AG =  AB +μ  BE =(1-μ)a+1 2μb, 由平面向量基本定理知 1 2λ=1-μ, 1-λ=1 2μ, 解得λ=μ=2 3 , ∴  AG =1 3(a+b)=1 3  AC , 所以 A,G,C 三点共线. (时间 120 分钟 满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 1.在五边形 ABCDE 中(如图),  AB +  BC -  DC =( ) A.  AC B.  AD C.  BD D.  BE 解析:选 B ∵  AB +  BC -  DC =  AC +  CD =  AD . 2.已知平面向量 a=(2,-1),b=(1,3),那么|a+b|等于( ) A.5 B. 13 C. 17 D.13 解析:选 B 因为 a+b=(3,2),所以|a+b|= 32+22= 13,故选 B. 3.设向量 a,b 均为单位向量,且|a+b|=1,则 a 与 b 的夹角为( ) A.π 3 B.π 2 C.2π 3 D.3π 4 解析:选 C ∵|a+b|=1,∴|a|2+2a·b+|b|2=1, ∴cos〈a,b〉=-1 2.又〈a,b〉∈[0,π],∴〈a,b〉=2π 3 . 4.已知向量 m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则λ=( ) A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 解析:选 B 因为 m+n=(2λ+3,3),m-n=(-1,-1),由(m+n)⊥(m-n),可得(m +n)·(m-n)=(2λ+3,3)·(-1,-1)=-2λ-6=0,解得λ=-3. 5.如图,M,N 分别是 AB,AC 的一个三等分点,且  MN =λ(  AC -  AB )成立,则λ =( ) A.1 2 B.1 3 C.2 3 D.±1 3 解析:选 B 由  MN =1 3  BC ,且  BC =  AC -  AB ,得λ=1 3. 6.设点 A(-1,2),B(2,3),C(3,-1),且  AD =2  AB -3  BC ,则点 D 的坐标为( ) A.(2,16) B.(-2,-16)天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ C.(4,16) D.(2,0) 解析:选 A 设 D(x,y),由题意可知  AD =(x+1,y-2),  AB =(3,1),  BC = (1,-4), ∴2  AB -3  BC =2(3,1)-3(1,-4)=(3,14). ∴ x+1=3, y-2=14, ∴ x=2, y=16. 故选 A. 7.某人在静水中游泳,速度为 4 3 km/h,水流的速度为 4 km/h.他沿着垂直于对岸的 方向前进,那么他实际前进的方向与河岸的夹角为( ) A.90 ° B.30° C.45° D.60° 解析: 选 D 如图,用  OA 表示水速,  OB 表示某人垂直游向对岸的速度, 则实际前进方向与河岸的夹角为∠AOC. 于是 tan∠AOC= |  AC | |  OA | = |  OB | |  OA | =|v 静| |v 水| = 3, ∴∠AOC=60°,故选 D. 8.设 D、E、F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点,且  DC =2  BD ,  CE = 2  EA,  AF =2  FB ,则  AD +  BE +  CF 与  BC ( ) A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 解析:选 A ∵  AD +  BE +  CF =(  AB +  BD )+(  BA +  AE )+(  CB +  BF ) =1 3  BC +1 3  AC +  CB +1 3  BA =1 3  BA +1 3  BC +1 3  AC +  CB =-1 3  BC , ∴(  AD +  BE +  CF )与  BC 平行且方向相反. 9.设 a,b 是两个非零向量( ) A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则 a+b=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得 b=λa D.若存在实数λ,使得 b=λa,则|a+b|=|a|-|b| 解析:选 C 若|a+b|=|a|-|b|,则 a,b 共线,即存在实数λ,使得 a=λb,故 C 正确;天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 选项 A:当|a+b|=|a|-|b|时,a,b 可为异向的共线向量;选项 B:若 a⊥b,由矩形得|a+ b|=|a|-|b|不成立;选项 D:若存在实数λ,使得 b=λa,a,b 可为同向的共线向量,此时 显然 |a+b|=|a|-|b|不成立. 10.已知点 O,N,P 在△ABC 所在的平面内,且|  OA |=|  OB |=|  OC |, NA +  NB +  NC =0,  PA·  PB =  PB ·  PC =  PC ·  PA,则点 O,N,P 依次是△ABC 的( ) A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心 C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心 解析:选 C 因为|  OA |=|  OB |=|  OC |,所以点 O 到三角形的三个顶点的距离相等, 所以 O 为△ABC 的外心;由  NA +  NB +  NC =0,得  NA +  NB =-  NC =  CN ,由中 线的性质可知点 N 在 AB 边的中线上,同理可得点 N 在其他边的中线上,所以点 N 为△ABC 的重心;由  PA·  PB =  PB ·  PC =  PC ·  PA得  PA·  PB -  PB ·  PC =  PB ·  CA =0,则点 P 在 AC 边的垂线上,同理可得点 P 在其他边的垂线上,所以点 P 为△ABC 的垂心. 11.已知平面上直线 l 与 e 所在直线平行且 e= -4 5 ,3 5 ,点 O(0,0)和 A(1,-2)在 l 上 的射影分别是 O′和 A′,则   O A =λe,其中λ等于( ) A.11 5 B.-11 5 C.2 D.-2 解析:选 D 由题意可知|   O A |=|  OA |cos(π-θ)(θ为  OA 与 e 的夹角). ∵O(0,0),A(1,-2),∴  OA =(1,-2). ∵e= -4 5 ,3 5 ,∴  OA ·e=1× -4 5 +(-2)×3 5 =-2=|  OA |·|e|·cos θ,∴|  OA |·cos θ=-2. 又∵|   O A |=|λ|·|e|,∴λ=±2. 又由已知可得λ0,则△ABC 为锐角三角形. 其中正确的命题有( ) A.①② B.①④ C.②③ D.②③④天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 解析:选 C ∵  AB -  AC =  CB =-  BC ≠  BC ,∴①错误.  AB +  BC +  CA=  AC +  CA =  AC -  AC =0,∴②正确.由(  AB +  AC )·(  AB -  AC )= 2AB - 2AC =0, 得|  AB |=|  AC |,∴△ABC 为等腰三角形,③正确.  AC ·  AB >0⇒cos〈  AC ,  AB 〉>0, 即 cos A>0,∴A 为锐角,但不能确定 B,C 的大小,∴不能判定△ABC 是否为锐角三角形, ∴④错误,故选 C. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上) 13.平面向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,且(a+b)·(a-2b)=-7,则向量 a,b 的夹角为 ________. 解析:(a+b)(a-2b)=|a2|-a·b-2|b|2=1-a·b-8=-7,∴a·b=0,∴a⊥b.故 a,b 的 夹角为π 2. 答案:π 2 14.已知向量 a,b 的夹角为 120°,|a|=1,|b|=3,则|5a-b|=________. 解析:|5a-b|= |5a-b|2= 5a-b2 = 25a2+b2-10a·b = 25+9-10×1×3× -1 2 =7. 答案:7 15.已知向量  AB 与  AC 的夹角为 120 °,且|  AB |=3,|  AC |=2.若  AP =λ  AB +  AC ,且  AP ⊥  BC ,则实数λ的值为________. 解析: BC =  AC -  AB ,由于  AP ⊥  BC ,所以  AP ·  BC =0,即(λ  AB +  AC )·(  AC -  AB )=-λ  AB 2+  AC 2+(λ-1)·  AB ·  AC =-9λ+4+(λ-1)×3×2× -1 2 =0,解得λ = 7 12. 答案: 7 12 16.如图,在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=2,AD=DC=1, P 是线段 BC 上一动点,Q 是线段 DC 上一动点, DQ =λ  DC , CP =(1-λ)  CB ,则  AP ·  AQ 的取值范围是________. 解析:建立如图所示的平面直角坐标系,则 D(0,1),C(1,1).设 Q(m, n),由  DQ =λ  DC 得,(m,n-1)=λ(1,0),即 m=λ,n=1.又 B(2,0),天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 设 P(s,t),由  CP =(1-λ)  CB 得,(s-1,t-1)=(1-λ)(1,-1),即 s=2-λ,t=λ,所以  AP ·  AQ =λ(2-λ)+λ=-λ2+3λ,λ∈[0,1].故  AP ·  AQ ∈[0,2]. 答案:[0,2] 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 17.(本小题满分 10 分)不共线向量 a,b 的夹角为小于 120°的角,且|a|=1,|b|=2, 已知向量 c=a+2b,求|c|的取值范围. 解:|c|2=|a+2b|2=|a|2+4a·b+4|b|2=17+8cos θ(其中θ为 a 与 b 的夹角). ∵0°

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