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平面向量应用举例
预习课本 P109~112,思考并完成以下问题.
(1)利用向量可以解决哪些常见的几何问题?
(2)如何用向量方法解决物理问题?
(3)如何判断多边形的形状?
[新知初探]
1.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题
转化为向量问题;
(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
2.向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等.
(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中.
(3)动量 mv 是向量的数乘运算.
(4)功是力 F 与位移 s 的数量积.
[小试身手]
1.若向量
1OF =(2,2),
2OF =(-2,3)分别表示两个力 F1,F2,则|F1+F2|为( )
A.(0,5) B.(4,-1)
C.2 2 D.5
答案:D
2.在四边形 ABCD 中,
AB ·
BC =0,
BC =
AD ,则四边形 ABCD 是( )
A.直角梯形 B.菱形
C.矩形 D.正方形天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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答案:C
3.力 F=(-1,-2)作用于质点 P,使 P 产生的位移为 s=(3,4),则力 F 对质点 P 做的
功是________.
答案:-11
向量在几何中的应用
题点一:平面几何中的垂直问题
1.如图所示,在正方形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,BC 的中点,求证:AF⊥DE.
证明:法一:设
AD =a,
AB =b,
则|a|=|b|,a·b=0,
又
DE =
DA +
AE =-a+1
2b,
AF =
AB +
BF =b+1
2a,
所以
AF ·
DE = b+1
2a ·
-a+1
2b =-1
2a2-3
4a·b+1
2b2=-1
2|a|2+1
2|b|2=0.故
AF ⊥
DE ,即 AF⊥DE.
法二:如图,建立平面直角坐标系,设正方形的边长为 2,则 A(0,0),D(0,2),E(1,0),
F(2,1),
AF =(2,1),
DE =(1,-2).
因为
AF ·
DE =(2,1)·(1,-2)=2-2=0,
所以
AF ⊥
DE ,即 AF⊥DE.
题点二:平面几何中的平行(或共线)问题
2. 如图,点 O 是平行四边形 ABCD 的中心,E,F 分别在边 CD,AB 上,且CE
ED
=AF
FB
=
1
2.
求证:点 E,O,F 在同一直线上.
证明:设
AB =m,
AD =n,
由CE
ED
=AF
FB
=1
2
,知 E,F 分别是 CD,AB 的三等分点,
∴
FO =
FA +
AO =1
3
BA +1
2
AC天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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=-1
3m+1
2(m+n)=1
6m+1
2n,
OE =
OC +
CE =1
2
AC +1
3
CD
=1
2(m+n)-1
3m=1
6m+1
2n.
∴
FO =
OE .
又 O 为
FO 和
OE 的公共点,故点 E,O,F 在同一直线上.
题点三:平面几何中的长度问题
3.如图,平行四边形 ABCD 中,已知 AD=1,AB=2,对角线 BD=2,求对角线 AC
的长.
解:设
AD =a,
AB =b,则
BD =a-b,
AC =a+b,
而|
BD |=|a-b|= a2-2a·b+b2= 1+4-2a·b= 5-2a·b=2,
∴5-2a·b=4,∴a·b=1
2
,又|
AC |2=|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+4+2a·b=6,∴|
AC |
= 6,即 AC= 6.
用向量方法解决平面几何问题的步骤
向量在物理中的应用
[典例] (1)在长江南岸某渡口处,江水以 12.5 km/h 的速度向东流,渡船的速度为 25
km/h.渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定?
(2)已知两恒力 F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一质点,使之由点 A(20,15)移动到点
B(7,0),求 F1,F2 分别对质点所做的功.
[解] (1) 如图,设
AB 表示水流的速度,
AD 表示渡船的速度,
AC 表示渡船实际垂
直过江的速度.
因为
AB +
AD =
AC ,所以四边形 ABCD 为平行四边形.
在 Rt△ACD 中,∠ACD=90°,|
DC |=|
AB |=12.5,|
AD |=25,天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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所以∠CAD=30°,即渡船要垂直地渡过长江,其航向应为北偏西 30°.
(2)设物体在力 F 作用下的位移为 s,则所做的功为 W=F·s.
∵
AB =(7,0)-(20,15)=(-13,-15).
∴W1=F1·
AB =(3,4)·(-13,-15)
=3×(-13)+4×(-15)=-99(焦),
W2=F2·
AB =(6,-5)·(-13,-15)
=6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(焦).
[一题多变]
1.[变设问]本例(2)条件不变,求 F1,F2 的合力 F 为质点所做的功.
解:W=F·
AB =(F1+F2)·
AB =[(3,4)+(6,-5)]·(-13,-15)=(9,-1)·(-13,-
15)=9×(-13)+(-1)×(-15)=-117+15=-102(焦).
2.[变条件]本例(2)条件变为:两个力 F1=i+j,F2=4i-5j 作用于同一质点,使该质点
从点 A(20,15)移动到点 B(7,0)(其中 i,j 分别是与 x 轴、y 轴同方向的单位向量).求:F1,
F2 分别对该质点做的功.
解:
AB =(7,0)-(20,15)=(-13,-15),
F1 做的功 W1=F1·s=F1·
AB =(1,1)·(-13,-15)=-28(焦).
F2 做的功 W2=F2·s=F2·
AB =(4,-5)·(-13,-15)=23(焦).
用向量方法解决物理问题的“三步曲”
层级一 学业水平达标
1.已知三个力 f1=(-2,-1),f2=(-3,2),f3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,
为使物体保持平衡,再加上一个力 f4,则 f4=( )
A.(-1,-2) B.(1,-2)
C.(-1,2) D.(1,2)
解析:选 D 由物理知识知 f1+f2+f3+f4=0,故 f4=-(f1+f2+f3)=(1,2).
2.人骑自行车的速度是 v1,风速为 v2,则逆风行驶的速度为( )天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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A.v1-v2 B.v1+v2
C.|v1|-|v2| D.|v1
v2|
解析:选 B 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为 v1+v2.注意速度是有方向和大
小的,是一个向量.
3.已知四边形 ABCD 各顶点坐标是 A
-1,-7
3 ,B 1,1
3 ,C
-1
2
,2 ,D
-7
2
,-2 ,
则四边形 ABCD 是( )
A.梯形 B.平行四边形
C.矩形 D.菱形
解析:选 A ∵
AB = 2,8
3 ,
DC =(3,4),
∴
AB =2
3
DC ,∴
AB ∥
DC ,即 AB∥DC.
又|
AB |= 4+64
9
=10
3
,|
DC |= 9+16=5,
∴|
AB |≠|
DC |,∴四边形 ABCD 是梯形.
4.在△ABC 中,AB=3,AC 边上的中线 BD= 5,
AC ·
AB =5,则
AC 的长为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:选 B ∵
BD =
AD -
AB =1
2
AC -
AB ,
∴BD2―→=
1
2
AC -
AB 2=1
4
2AC -
AC ·
AB +
2AB ,
即1
4
2AC =1.∴|
AC |=2,即 AC=2.
5.已知△ABC 满足
2AB =
AB ·
AC +
BA ·
BC +
CA·
CB ,则△ABC 是( )
A.等边三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形
解析:选 C 由题意得,
AB 2=
AB ·
AC +
AB ·
CB +
CA·
CB =
AB ·(
AC +
CB )
+
CA·
CB =
AB 2+
CA ·
CB ,
∴
CA·
CB =0,∴
CA⊥
CB ,
∴△ABC 是直角三角形.天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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6.已知力 F=(2,3)作用于一物体,使物体从 A(2,0)移动到 B(-2,3),则力 F 对物体所
做的功是________.
解析:∵
AB =(-4,3),
∴W=F·s=F·
AB =(2,3)·(-4,3)=-8+9=1.
答案:1
7.用两条成 120°角的等长绳子悬挂一个灯具,已知灯具重量为 10 N,则每根绳子的
拉力大小为________ N.
解析: 如图,由题意,得∠AOC=∠COB=60°,|
OC |=10,
则|
OA |=|
OB |=10,即每根绳子的拉力大小为 10 N.
答案:10
8.已知 A,B 是圆心为 C,半径为 5的圆上的两点,且|AB|= 5,则
AC ·
CB =________.
解析:由弦长|AB|= 5,可知∠ACB=60°,
AC ·
CB =-
CA·
CB =-|
CA||
CB |cos∠ACB=-5
2.
答案:-5
2
9.已知△ABC 是直角三角形,CA=CB,D 是 CB 的中点,E 是 AB 上的一点,且 AE
=2EB.求证:AD⊥CE.
证明:如图,以 C 为原点,CA 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系.
设 AC=a,则 A(a,0),B(0,a),
D 0,a
2 ,C(0,0),E
1
3a,2
3a .
所以
AD = -a,a
2 ,
CE =
1
3a,2
3a .
所以
AD ·
CE =-a·1
3a+a
2·2
3a=0,
所以
AD ⊥
CE ,即 AD⊥CE.
10.已知点 A(2,-1).求过点 A 与向量 a=(5,1)平行的直线方程.
解:设所求直线上任意一点 P(x,y),
则
AP =(x-2,y+1).天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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由题意知
AP ∥a,故 5(y+1)-(x-2)=0,
即 x-5y-7=0.
故过点 A 与向量 a=(5,1)平行的直线方程为
x-5y-7=0.
层级二 应试能力达标
1.已知一条两岸平行的河流河水的流速为 2 m/s,一艘小船以垂直于河岸方向 10 m/s
的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为( )
A.10 m/s B.2 26 m/s
C.4 6 m/s D.12 m/s
解析:选 B 设河水的流速为 v1,小船在静水中的速度为 v2,船的实际速度为 v,则|v1|
=2,|v|=10,v⊥v1,∴v2=v-v1,v·v1=0,
∴|v2|= v2-2v·v1+v21=2 26(m/s).
2.在△ABC 中,AB=3,AC=2,
BD =1
2
BC ,则
AD ·
BD 的值为( )
A.-5
2 B.5
2
C.-5
4 D.5
4
解析:选 C 因为
BD =1
2
BC ,所以点 D 是 BC 的中点,则
AD =1
2(
AB +
AC ),
BD
=1
2
BC =1
2(
AC -
AB ),所以
AD ·
BD =1
2(
AB +
AC )·1
2(
AC -
AB )=1
4(
2AC -
2AB )=1
4(22-32)=-5
4
,选 C.
3.如图,在矩形 ABCD 中,AB= 2,BC=2,点 E 为 BC 的中点,点 F
在边 CD 上,若
AB ·
AF = 2,则
AE ·
BF 的值是( )
A. 2 B.2
C.0 D.1
解析:选 A ∵
AF =
AD +
DF ,
AB ·
AF =
AB ·(
AD +
DF )=
AB ·
AD +
AB ·
DF =
AB ·
DF = 2|
DF |= 2,∴|
DF |=1,|
CF |= 2-1,∴
AE ·
BF =(
AB
+
BE )·(
BC +
CF )=
AB ·
CF +
BE ·
BC =- 2( 2-1)+1×2=-2+ 2+2= 2,故
选 A.天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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4.如图,设 P 为△ABC 内一点,且 2
PA+2
PB +
PC =0,则 S△ABP∶S△ABC=( )
A.1
5 B.2
5
C.1
4 D.1
3
解析:选 A 设 AB 的中点是 D.
∵
PA+
PB =2
PD =-1
2
PC ,
∴
PD =-1
4
PC ,
∴P 为 CD 的五等分点,
∴△ABP 的面积为△ABC 的面积的1
5.
5.若 O 为△ABC 所在平面内一点,且满足(
OB -
OC )·(
OB +
OC -2
OA )=0,则
△ABC 的形状为________.
解析:(
OB -
OC )·(
OB +
OC -2
OA )
=(
AB -
AC )·(
OB -
OA +
OC -
OA )
=(
AB -
AC )·(
AB +
AC )
=|
AB |2-|
AC |2=0,
∴|
AB |=|
AC |.
答案:等腰三角形
6.如图所示,在倾斜角为 37°(sin 37°=0.6),高为 2 m 的斜面上,质量为 5 kg 的物体
m 沿斜面下滑,物体 m 受到的摩擦力是它对斜面压力的 0.5 倍,则 斜
面对物体 m 的支持力所做的功为________J,重力所做的功为
________J(g=9.8 m/s2).
解析:物体 m 的位移大小为|s|= 2
sin 37°
=10
3 (m),
则支持力对物体 m 所做的功为
W1=F·s=|F||s|cos 90°=0(J);
重力对物体 m 所做的功为
W2=G·s=|G||s|cos 53°=5×9.8×10
3
×0.6=98(J).
答案:0 98
7.如图所示,一个物体受到同一平面内三个力 F1,F2,F3 的作用,沿北偏东 45°的方
向移动了 8 m,其中|F1|=2 N,方向为北偏东 30°;|F2|=4 N,方向为北偏东 60°;|F3|
=6 N,方向为北偏西 30°,求合力 F 所做的功.天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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解:以 O 为原点,正东方向为 x 轴的正方向建立平面直角坐标系,如图所示,则 F1=
(1, 3),F2=(2 3,2),F3=(-3,3 3),所以 F=F1+F2+F3 =
(2 3-2,2+4 3).又位移 s=(4 2,4 2),故合力 F 所做的功 为
W=F·s
=(2 3-2)×4 2+(2+4 3)×4 2
=4 2×6 3
=24 6(J).
即合力 F 所做的功为 24 6 J.
8.如图,平行四边形 ABCD 中,E,F 分别是 AD,AB 的中点,G
为 BE 与 DF 的交点.若
AB =a,
AD =b.
(1)试以 a,b 为基底表示
BE ,
DF ;
(2)求证:A,G,C 三点共线.
解:(1)
BE =
AE -
AB =1
2b-a,
DF =
AF -
AD =1
2a-b.
(2)证明:因为 D,G,F 三点共线,则 DG―→=λ
DF ,
即
AG =
AD +λ
DF =1
2λa+(1-λ)b.
因为 B,G,E 三点共线,则 BG―→=μ
BE ,
即
AG =
AB +μ
BE =(1-μ)a+1
2μb,
由平面向量基本定理知
1
2λ=1-μ,
1-λ=1
2μ,
解得λ=μ=2
3
,
∴
AG =1
3(a+b)=1
3
AC ,
所以 A,G,C 三点共线.
(时间 120 分钟 满分 150 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的)天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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1.在五边形 ABCDE 中(如图),
AB +
BC -
DC =( )
A.
AC B.
AD
C.
BD D.
BE
解析:选 B ∵
AB +
BC -
DC =
AC +
CD =
AD .
2.已知平面向量 a=(2,-1),b=(1,3),那么|a+b|等于( )
A.5 B. 13
C. 17 D.13
解析:选 B 因为 a+b=(3,2),所以|a+b|= 32+22= 13,故选 B.
3.设向量 a,b 均为单位向量,且|a+b|=1,则 a 与 b 的夹角为( )
A.π
3 B.π
2
C.2π
3 D.3π
4
解析:选 C ∵|a+b|=1,∴|a|2+2a·b+|b|2=1,
∴cos〈a,b〉=-1
2.又〈a,b〉∈[0,π],∴〈a,b〉=2π
3 .
4.已知向量 m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则λ=( )
A.-4 B.-3
C.-2 D.-1
解析:选 B 因为 m+n=(2λ+3,3),m-n=(-1,-1),由(m+n)⊥(m-n),可得(m
+n)·(m-n)=(2λ+3,3)·(-1,-1)=-2λ-6=0,解得λ=-3.
5.如图,M,N 分别是 AB,AC 的一个三等分点,且
MN =λ(
AC -
AB )成立,则λ
=( )
A.1
2 B.1
3
C.2
3 D.±1
3
解析:选 B 由
MN =1
3
BC ,且
BC =
AC -
AB ,得λ=1
3.
6.设点 A(-1,2),B(2,3),C(3,-1),且
AD =2
AB -3
BC ,则点 D 的坐标为( )
A.(2,16) B.(-2,-16)天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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C.(4,16) D.(2,0)
解析:选 A 设 D(x,y),由题意可知
AD =(x+1,y-2),
AB =(3,1),
BC =
(1,-4),
∴2
AB -3
BC =2(3,1)-3(1,-4)=(3,14).
∴ x+1=3,
y-2=14,
∴ x=2,
y=16.
故选 A.
7.某人在静水中游泳,速度为 4 3 km/h,水流的速度为 4 km/h.他沿着垂直于对岸的
方向前进,那么他实际前进的方向与河岸的夹角为( )
A.90 ° B.30°
C.45° D.60°
解析: 选 D 如图,用
OA 表示水速,
OB 表示某人垂直游向对岸的速度,
则实际前进方向与河岸的夹角为∠AOC.
于是 tan∠AOC= |
AC |
|
OA
|
= |
OB |
|
OA
|
=|v 静|
|v 水|
= 3,
∴∠AOC=60°,故选 D.
8.设 D、E、F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点,且
DC =2
BD ,
CE =
2
EA,
AF =2
FB ,则
AD +
BE +
CF 与
BC ( )
A.反向平行
B.同向平行
C.互相垂直
D.既不平行也不垂直
解析:选 A ∵
AD +
BE +
CF =(
AB +
BD )+(
BA +
AE )+(
CB +
BF )
=1
3
BC +1
3
AC +
CB +1
3
BA
=1
3
BA +1
3
BC +1
3
AC +
CB =-1
3
BC ,
∴(
AD +
BE +
CF )与
BC 平行且方向相反.
9.设 a,b 是两个非零向量( )
A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b
B.若 a⊥b,则 a+b=|a|-|b|
C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得 b=λa
D.若存在实数λ,使得 b=λa,则|a+b|=|a|-|b|
解析:选 C 若|a+b|=|a|-|b|,则 a,b 共线,即存在实数λ,使得 a=λb,故 C 正确;天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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选项 A:当|a+b|=|a|-|b|时,a,b 可为异向的共线向量;选项 B:若 a⊥b,由矩形得|a+
b|=|a|-|b|不成立;选项 D:若存在实数λ,使得 b=λa,a,b 可为同向的共线向量,此时
显然 |a+b|=|a|-|b|不成立.
10.已知点 O,N,P 在△ABC 所在的平面内,且|
OA |=|
OB |=|
OC |,
NA +
NB +
NC =0,
PA·
PB =
PB ·
PC =
PC ·
PA,则点 O,N,P 依次是△ABC 的( )
A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心
C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心
解析:选 C 因为|
OA |=|
OB |=|
OC |,所以点 O 到三角形的三个顶点的距离相等,
所以 O 为△ABC 的外心;由
NA +
NB +
NC =0,得
NA +
NB =-
NC =
CN ,由中
线的性质可知点 N 在 AB 边的中线上,同理可得点 N 在其他边的中线上,所以点 N 为△ABC
的重心;由
PA·
PB =
PB ·
PC =
PC ·
PA得
PA·
PB -
PB ·
PC =
PB ·
CA =0,则点
P 在 AC 边的垂线上,同理可得点 P 在其他边的垂线上,所以点 P 为△ABC 的垂心.
11.已知平面上直线 l 与 e 所在直线平行且 e= -4
5
,3
5 ,点 O(0,0)和 A(1,-2)在 l 上
的射影分别是 O′和 A′,则
O A =λe,其中λ等于( )
A.11
5 B.-11
5
C.2 D.-2
解析:选 D 由题意可知|
O A |=|
OA |cos(π-θ)(θ为
OA 与 e 的夹角).
∵O(0,0),A(1,-2),∴
OA =(1,-2).
∵e= -4
5
,3
5 ,∴
OA ·e=1× -4
5 +(-2)×3
5
=-2=|
OA |·|e|·cos θ,∴|
OA |·cos
θ=-2.
又∵|
O A |=|λ|·|e|,∴λ=±2.
又由已知可得λ0,则△ABC 为锐角三角形.
其中正确的命题有( )
A.①② B.①④
C.②③ D.②③④天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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解析:选 C ∵
AB -
AC =
CB =-
BC ≠
BC ,∴①错误.
AB +
BC +
CA=
AC
+
CA =
AC -
AC =0,∴②正确.由(
AB +
AC )·(
AB -
AC )=
2AB -
2AC =0,
得|
AB |=|
AC |,∴△ABC 为等腰三角形,③正确.
AC ·
AB >0⇒cos〈
AC ,
AB 〉>0,
即 cos A>0,∴A 为锐角,但不能确定 B,C 的大小,∴不能判定△ABC 是否为锐角三角形,
∴④错误,故选 C.
二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上)
13.平面向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,且(a+b)·(a-2b)=-7,则向量 a,b 的夹角为
________.
解析:(a+b)(a-2b)=|a2|-a·b-2|b|2=1-a·b-8=-7,∴a·b=0,∴a⊥b.故 a,b 的
夹角为π
2.
答案:π
2
14.已知向量 a,b 的夹角为 120°,|a|=1,|b|=3,则|5a-b|=________.
解析:|5a-b|= |5a-b|2= 5a-b2
= 25a2+b2-10a·b
= 25+9-10×1×3× -1
2
=7.
答案:7
15.已知向量
AB 与
AC 的夹角为 120 °,且|
AB |=3,|
AC |=2.若
AP =λ
AB +
AC ,且
AP ⊥
BC ,则实数λ的值为________.
解析:
BC =
AC -
AB ,由于
AP ⊥
BC ,所以
AP ·
BC =0,即(λ
AB +
AC )·(
AC
-
AB )=-λ
AB 2+
AC 2+(λ-1)·
AB ·
AC =-9λ+4+(λ-1)×3×2× -1
2 =0,解得λ
= 7
12.
答案: 7
12
16.如图,在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=2,AD=DC=1,
P 是线段 BC 上一动点,Q 是线段 DC 上一动点,
DQ =λ
DC ,
CP
=(1-λ)
CB ,则
AP ·
AQ 的取值范围是________.
解析:建立如图所示的平面直角坐标系,则 D(0,1),C(1,1).设 Q(m,
n),由
DQ =λ
DC 得,(m,n-1)=λ(1,0),即 m=λ,n=1.又 B(2,0),天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
设 P(s,t),由
CP =(1-λ)
CB 得,(s-1,t-1)=(1-λ)(1,-1),即 s=2-λ,t=λ,所以
AP ·
AQ =λ(2-λ)+λ=-λ2+3λ,λ∈[0,1].故
AP ·
AQ ∈[0,2].
答案:[0,2]
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤)
17.(本小题满分 10 分)不共线向量 a,b 的夹角为小于 120°的角,且|a|=1,|b|=2,
已知向量 c=a+2b,求|c|的取值范围.
解:|c|2=|a+2b|2=|a|2+4a·b+4|b|2=17+8cos θ(其中θ为 a 与 b 的夹角).
∵0°