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第一课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
预习课本P49～54，思考并完成以下问题
(1)将y＝sin(x＋φ)(其中φ≠0)的图象怎样变换，能得到y＝sin x的图象？
(2)函数y＝Asin x，x∈R(A＞0且A≠1)的图象，可由正弦曲线y＝sin x，x∈R怎样变换得到？
(3)函数y＝sin ωx，x∈R(ω＞0且ω≠1)的图象，可由正弦曲线y＝sin x，x∈R怎样变换得到？
1．φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
2．ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
3．A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
[点睛] (1)A越大，函数图象的最大值越大，最大值与A是正比例关系．
(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系．
(3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“加左减右”.
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
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(1)由函数y＝sin的图象得到y＝sin x的图象，必须向左平移．( )
(2)把函数y＝sin x的图象上点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y＝sin 3x的图象．( )
(3)将函数y＝sin x图象上各点的纵坐标变为原来的A(A＞0)倍，便得到函数y＝Asin x的图象．( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．将函数y＝sin x的图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍，横坐标不变，则所得图象对应的函数为( )
A．y＝3sin x B．y＝sin x
C．y＝sin 3x D．y＝sin x
答案：A
3．为了得到函数y＝sin(x＋1)的图象，只需把函数y＝sin x的图象上所有的点( )
A．向左平行移动1个单位长度
B．向右平行移动1个单位长度
C．向左平行移动π个单位长度
D．向右平行移动π个单位长度
答案：A
4．将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)得________的图象．
答案：y＝sin 4x
“五点法”作图
[典例] 用“五点法”作出函数y＝sinx－的简图．
[解] 函数y＝sin的周期T＝＝6π，先用“五点法”作它在长度为一个周期上的图象．列表如下：
x
π
4π
7π
x－
0
π
2π
sin
0
0
－
0
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描点、连线，如图所示，
利用该函数的周期性，把它在一个周期上的图象分别向左、右扩展，从而得到函数y＝sin的简图(图略)．
(1)“五点法”作图的实质
利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象．
(2)用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤
第一步：列表.
ωx＋φ
0
π
2π
x
－
－
－
－
－
f(x)
0
A
0
－A
0
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．
[活学活用]
用“五点法”作出函数y＝sin在[0，π]上的图象．
解：列出x，y的对应值表：
x
－
2x＋
0
π
2π
y
0
0
－
0
描点，连线，如图所示．
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函数图象的平移变换
[典例] (山东高考)要得到函数y＝sin 的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象( )
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
[解析] 由y＝sin＝sin 4得，只需将y＝sin 4x的图象向右平移个单位即可，故选B.
[答案] B
平移变换的策略
(1)先确定平移方向和平移的量．
(2)当x的系数是1时，若φ＞0，则左移φ个单位；若φ＜0，则右移|φ|个单位．
当x的系数是ω(ω＞0)时，若φ＞0，则左移个单位；若φ＜0，则右移个单位．
[活学活用]
1．将函数y＝sin向左平移个单位，可得到函数图象是( )
A．y＝sin 2x B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析：选C y＝sin 的图象y＝sin＝sin
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的图象．
2．将函数y＝sin x的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位长度后，得到函数y＝sin的图象，则φ＝________.
解析：因为φ∈[0,2π)，所以把y＝sin x的图象向左平移φ个单位长度得到y＝sin (x＋φ)的图象，而sin＝sin＝sin ，即φ＝.
答案：
函数图象的伸缩变换
[典例] 说明y＝－2sin＋1的图象是由y＝sin x的图象经过怎样变换得到的．
[解] [法一 先伸缩后平移]
y＝sin x的图象y＝－2sin x的图象y＝－2sin 2x的图象y＝－2sin的图象y＝－2sin＋1的图象．
[法二 先平移后伸缩]
y＝sin x的图象y＝－2sin x的图象y＝－2sin的图象y＝－2sin的图象y＝－2sin＋1的图象．
由函数y＝sin x的图象通过变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤
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[活学活用]
为了得到函数y＝2sin，x∈R的图象，只需把函数y＝2sin x，x∈R的图象上所有的点( )
A．先向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)
B．先向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)
C．先向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
D．先向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
解析：选C 先将y＝2sin x，x∈R的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin，x∈R的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到函数y＝2sin，x∈R的图象．
层级一 学业水平达标
1．为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin x的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向上平移个单位长度
D．向下平移个单位长度
解析：选B 将函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y＝sin.
2．将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是( )
A．奇函数
B．偶函数
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C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
解析：选A y＝sin 2xy＝sin＝sin＝－sin(π－2x)＝－sin 2x.
由于－sin(－2x)＝sin 2x，所以是奇函数．
3．把函数y＝cos x的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，然后将图象沿x轴负方向平移个单位长度，得到的图象对应的解析式为( )
A．y＝sin 2x B．y＝cos
C．y＝cos D．y＝cos
解析：选B y＝cos x的图象上每一点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)得到y＝cos 2x的图象；
再把y＝cos 2x的图象沿x轴负方向平移个单位长度，就得到y＝cos 2＝cos的图象．
4．函数y＝sin在区间上的简图是( )
解析：选A 当x＝0时，y＝sin＝－
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