人教A版高中数学必修4讲义：复习课（三）平面向量.doc

天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 复习课(三)　平面向量 平面向量的概念及线性运算 ‎1．题型为选择题和填空题．主要考查向量的线性运算及对向量有关概念的理解，常与向量共线和平面向量基本定理及数量积运算交汇命题．‎ ‎2．向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则，减法可以转化为加法进行运算，向量的加减法满足交换律、结合律，数乘运算满足结合律、分配律．实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形方向在向量的线性运算中都可以使用．‎ ‎[典例]　(北京高考)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________.‎ ‎[解析]　∵＝2，∴＝.‎ ‎∵＝，∴＝(＋)，‎ ‎∴＝－＝(＋)－ ‎＝－.‎ 又＝x＋y，‎ ‎∴x＝，y＝－.‎ ‎[答案]　　－ ‎[类题通法]‎ 向量线性运算的基本原则 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．‎ ‎1．若A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)三点共线，则y＝(　　)‎ A．13　　　　　　　　　 B．－13‎ C．9 D．－9‎ 解析：选D　＝(－8,8)，＝(3，y＋6)．‎ ‎∵∥，‎ ‎∴－8(y＋6)－24＝0.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎∴y＝－9.‎ ‎2．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外， ||2＝16，|＋|＝|－|，则||＝(　　)‎ A．8 B．4‎ C．2 D．1‎ 解析：选C　由||2＝16，得||＝4.‎ ‎∵|＋|＝|－|＝||＝4，‎ ‎|＋|＝2||，‎ ‎∴||＝2.‎ ‎3．已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且＝，则(　　)‎ A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的反向延长线上 C．点P在线段AB的延长线上 D．点P不在直线AB上 解析：选B　由于2＝3－，‎ ‎∴2－2＝－，即2＝，‎ ‎∴＝，则点P在线段AB的反向延长线上．‎ 平面向量的数量积 ‎1．题型既有选择题、填空题，又有解答题，主要考查数量积运算、向量的垂直等问题，常与平面几何、三角函数、解析几何等知识交汇命题．‎ ‎2．解决此类问题要掌握平面向量数量积的两种求法：一是根据数量积的定义，即a·b＝|a||b|cos θ，二是利用坐标运算，即a·b＝x1x2＋y1y2；同时还要掌握利用数量积求向量的夹角、求向量的长度和判断两个向量垂直的方法．‎ ‎[典例]　(1)(福建高考)设a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎(2)(四川高考)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4.若点M，N满足＝3，＝2，则·＝(　　)‎ A．20 B．15‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ C．9 D．6‎ ‎[解析]　(1)c＝a＋kb＝(1＋k,2＋k), 又b⊥c，所以1×(1＋k)＋1×(2＋k)＝0，解得 k＝－.‎ ‎(2)如图所示，由题设知： ‎ ‎＝＋＝＋，‎ ‎＝－＝－，‎ ‎∴·＝· ‎＝||2－||2＋·－·‎ ‎＝×36－×16＝9.‎ ‎[答案]　(1)A　(2)C ‎[类题通法]‎ ‎(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；‎ ‎(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中已知向量的模和夹角进行 计算．‎ ‎1．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝，则向量a与b的夹角为(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．以上都不对 解析：选C　∵a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)，‎ ‎∴c2＝(a＋b)2，即|c|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos〈a，b〉，‎ ‎∴19＝4＋9＋12cos〈a，b〉，‎ ‎∴cos〈a，b〉＝.‎ 又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝60°.‎ ‎2．在△ABC中，AB＝4，∠ABC＝30°，D是边BC上的一点，且·＝·，则·的值为(　　)‎ A．0 B．－4‎ C．8 D．4‎ 解析：选D　由·＝·，得·(－)＝0，即·＝0，所以⊥，即AD⊥CB.又AB＝4，∠ABC＝30°，所以AD＝ABsin 30°＝2，∠BAD 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎＝60°，所以·＝AD·AB·cos ∠BAD＝2×4×＝4.‎ ‎3．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a方向上的投影是________．‎ 解析：∵|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为60°，∴b在a方向上的投影是|b|cos 60°＝1.‎ 答案：1‎ ‎4．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．‎ 解析：设||＝x，x＞0，则·＝x.又·＝(＋)·＝1－x2＋x＝1，解得x＝，即AB的长为.‎ 答案： 平面向量与三角函数的综合问题 ‎1．题目以解答题为主．主要包括向量与三角函数化简、求值与证明的结合，向量与三角函数的图象与性质的结合等几个方面．此类题目所涉及向量的知识往往是数量积的运算，所研究的问题主要是讨论三角函数的图象与性质．‎ ‎2．解决此类问题，首先要根据向量的运算性质将向量问题转化为三角函数问题，然后利用三角公式进行恒等变换，转化为题目中所要求的问题．‎ ‎[典例]　(广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.‎ ‎(1)若m⊥n，求tan x的值；‎ ‎(2)若m与n的夹角为，求x的值．‎ ‎[解]　(1)若m⊥n，则m·n＝0.‎ 由向量数量积的坐标公式得sin x－cos x＝0，‎ ‎∴tan x＝1.‎ ‎(2)∵m与n的夹角为，‎ ‎∴m·n＝|m|·|n|cos ，‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 即sin x－cos x＝，‎ ‎∴sin＝.‎ 又∵x∈，‎ ‎∴x－∈，‎ ‎∴x－＝，即x＝.‎ ‎[类题通法]‎ 在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．‎ ‎1．设a＝(sin x,1)，b＝，且a∥b，则锐角x为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B　因为a∥b，所以sin xcos x－＝0，‎ 所以sin 2x＝1，又x为锐角，所以0