第二十九章 投影与视图.doc

第二十九章　投影与视图 本章的主要内容包括： 1．投影的基础知识，包括投影、平行投影、中心投影、正投影等概念以及正投影的成像 规律． 2．视图、三视图等概念，三视图的位置和度量规定，一些基本几何体的三视图，简单立 体图形(包括相应的表面展开图)与它的三视图的相互转化． 全章共包括三节：29.1 投影；29.2 三视图；29.3 课题学习 制作立体模型． 第一节首先从物体在日光或灯光下的影子说起，引出投影、平行投影、中心投影、正投 影等概念；然后讨论当直线和平面多边形与投影面成三种不同的位置关系时的正投影，归纳 出其中蕴涵的正投影的一般规律；最后以正方体为例，讨论立体图形与投影面成不同的位置 关系时的正投影．可以发现，整个讨论过程是按照一维、二维和三维的顺序发展的． 第二节讨论的重点是三视图，其中包括三视图的成像原理、三视图的位置和度量规定、 一些基本几何体的三视图等，最后通过例题讨论简单立体图形(包括相应的表面展开图)与它 的三视图的相互转化．这一节是全章的重点内容，它不仅包括了有关三视图的基本概念和规 律，而且包括了反映立体图形和平面图形的联系与转化的内容，与培养空间想象能力有直接 的关系． 第三节安排了观察、想象、制作相结合的实践活动——“课题学习 制作立体模型”，这 是结合实际，动脑与动手并重的学习内容，进行这个课题学习既可以采用独立完成的形式， 也可以采用合作学习的方式．应该把这个课题学习看作是对前面学习的内容是否切实理解并 掌握以及能否灵活运用的一次联系实际的检验． 本章内容与其他章有较为明显的区别，它与直观图形的关系密切，需要在图形形状方面 进行想象和判断，要完成的题目多是识图、画图、制作模型等类型的问题，而很少涉及定量 的计算． 1．以分析实际例子为背景，认识投影和视图的基本概念和基本性质． 2．通过讨论简单立体图形(包括相应的表面展开图)与它的三视图的相互转化使学生经历 画图、识图等过程，分析立体图形和平面图形之间的联系，提高空间想象能力． 3．通过制作立体模型的课题学习，在实际动手的过程中进一步加深对投影和视图知识的 认识，加强在实践活动中手脑结合的能力． 本章教学约需 5 课时，具体分配如下： 29．1　投影 2 课时 29．2　三视图 2 课时 29．3　课题学习　制作立体模型 1 课时29．1　投影 第 1 课时　投影(1) 知识与技能 1．经历实践探索，了解投影、投影面、平行投影和中心投影的概念． 2．了解平行投影和中心投影的区别． 过程与方法 使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识． 情感、态度与价值观 理解现实生活中影子的现象，学会用数学知识解答． 重点 理解平行投影和中心投影的特征． 难点 在投影面上画出平面图形的平行投影或中心投影． 一、问题引入 你看过皮影戏吗？皮影戏是用兽皮或纸板做成的人物剪影来表演故事的戏曲，表演时， 用灯光把剪影照射在银幕上，艺人在幕后一边操纵剪影，一边演唱，并配以音乐．你知道皮 影戏所用的原理吗？ 二、新课教授 问题 1.如图所示的图片是物体在生活中的几个图片，请同学们考虑它们是怎样得到的． 教师出示图片，引导学生观察图片的形成，让学生感受在日常生活中的一些投影现象． 师生共同总结，一起感受．物体在日光或灯光的照射下，会在地面、墙壁等处形成影子， 它既与物体的形状有关，也与光线的照射方式有关． 问题 2.通过观察和自己的认识，你是怎样理解图片的含义的？ 师生共同总结：一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫 做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面． 问题 3.请同学们观察下图的投影过程，它们的投影过程有什么不同？ 师生活动： 教师引导学生从两个方面考虑，第一，观察光线的特点；第二，观察照射的方式． 结论：图(1)中的投影线集中于一点，由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心 投影．例如，物体在灯泡发出的光照射下形成的影子就是中心投影．图(2)、(3)中，投影线是互相平行的射线，由平行光线形成的投影是平行投影．例如，物 体在太阳光的照射下形成的影子(简称日影)就是平行投影． 问题 4.请观察问题 3 中的图，说说平行投影和中心投影有什么相同点与不同点？ 教师出示表格，要求学生完成． 平行投影与中心投影的区别与联系： 区别 光线 物体与投影面 平行时的投影 联系 平行 投影 平行的 投影线 全等 中心 投影 从一点发出 的投影线 放大 都是物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影 子．(即都是投影) 　　三、例题讲解 例　(1)地面上直立一根标杆 AB，如图，杆长为 2 cm. ①当阳光垂直照射地面时，标杆在地面上的投影是什么图形？ ②当阳光与地面的倾斜角为 60°时，标杆在地面上的投影是什么图形？画出投影示意图． (2)一个正方形纸板 ABCD 和投影面平行(如图)，投影线和投影面垂直，点 C 在投影面的 对应点为 C′，请画出正方形纸板的投影示意图． (3)下面两幅图表示两根标杆在同一时刻的投影，请在图中画出形成投影的光线．它们是 平行投影还是中心投影？说明理由． 解：(1)①一点　②线段(图略) (2)图略 (3)分别连接标杆的顶端与投影上的对应点，很明显，图(1)的投影线互相平行，是平行投 影．图(2)的投影线相交于一点，是中心投影． 四、巩固练习 1．圆形的物体在太阳光的投影下是(　　) A．圆形 B．椭圆形 C．线段D．以上都有可能 答案　D 2．在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下(　　) A．小明的影子比小强的影子长 B．小明的影子比小强的影子短 C．小明的影子和小强的影子一样长 D．无法判断谁的影子长 答案　D 五、课堂小结 1．物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影． 2．由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影． 3．太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影． 4．物体在太阳光下形成的影子随着物体与投影面的位置关系的改变而改变． 本节课我让学生通过实践、观察、探索了解平行投影、中心投影的含义，学会辨别光源 是太阳光线还是灯光光线，学会进行中心投影条件下的物体与其投影之间的相互转化，感悟 灯光与影子在现实生活中的应用价值． 第 2 课时　投影(2) 知识与技能 了解正投影的概念；能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影． 过程与方法 培养动手实践能力及空间想象能力． 情感、态度与价值观 学会观察，理解原理，增强自信心． 重点 理解正投影的含义并能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影． 难点 归纳出正投影的性质，正确画出简单平面图形的正投影． 一、复习引入 1．回忆复习平行投影、中心投影的概念． 由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影；太阳光线可以看成平行光线， 像这样的光线所形成的投影称为平行投影． 2．下图表示一块三角尺在光线照射下形成的投影，其中哪个是平行投影，哪个是中心投 影？ 图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)、(3)中，投影线互相平行，形成平行投影． 二、新课教授 问题 1.图(2)、(3)的投影线与投影面的位置关系有什么区别？ 教师出示图片，引导学生观察图片的特征． 结论：图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对 着投影面)． 指出：在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影就称为正投影；如果投 射线不垂直于投影面，那么这种投影就称为斜投影． 问题 2.通过学习，我们对投影应如何分类？ 物体 ― ― →光照 投影{ ― ― →点光源 中心投影 ― ― →平行光线 平行投影{正投影 斜投影 探究 1. 如图，把一根直的细铁丝(记为线段 AB)放在三个不同的位置： (1)铁丝平行于投影面； (2)铁丝倾斜于投影面； (3)铁丝垂直于投影面(铁丝不一定要与投影面有公共点)． 三种情形下，铁丝的正投影各是什么形状？ 通过观察，我们可以发现： (1)当线段 AB 平行于投影面 P 时，它的正投影是线段 A1B1，线段与它的投影的大小关系 为 AB＝A1B1； (2)当线段 AB 倾斜于投影面 P 时，它的正投影是线段 A2B2，线段与它的投影的大小关系 为 AB>A2B2； (3)当线段 AB 垂直于投影面 P 时，它的正投影是一个点 A3. 探究 2. 如图，把一块正方形硬纸板 P(例如正方形 ABCD)放在三个不同位置： (1)纸板平行于投影面； (2)纸板倾斜于投影面； (3)纸板垂直于投影面． 结论： (1)当纸板 P 平行于投影面 Q 时，P 的正投影与 P 的形状、大小一样； (2)当纸板 P 倾斜于投影面 Q 时，P 的正投影与 P 的形状、大小发生变化； (3)当纸板 P 垂直于投影面 Q 时，P 的正投影成为一条线段．归纳：当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相 同． 三、例题讲解 例　画出如图摆放的正方体在投影面 P 上的正投影． (1)正方体的一个面 ABCD 平行于投影面 P，如图(1)； (2)正方体的一个面 ABCD 倾斜于投影面 P，上底面 ADEF 垂直于投影面 P，并且上底面 的对角线 AE 垂直于投影面 P，如图(2)． 解：(1)如图，正方体的正投影为正方形 A′B′C′D′，它与正方体的一个面是全等关 系； (2)如图，正方体的正投影为矩形 F′G′C′D′，这个矩形的长等于正方体的底面对角 线的长，矩形的宽等于正方体的棱长．矩形上、下两边中点的连线 A′B′是正方体侧棱即 它所对的另一条侧棱 AB 的投影． 四、巩固练习 1．(1)在一天中，从早晨到傍晚物体的影子由正西向________、________、________和 正东方向移动； (2)如图是小明在学校时上午、下午看到的学校操场上的旗杆的影子的俯视图，将它们按 时间顺序进行排列为________． 答案　(1)西北　正北　东北　(2)C，D，B，A 2．如图所示，右面水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影图 是(　　) 答案　D 五、课堂小结 1．在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影就称为正投影；如果投射线 不垂直于投影面，那么这种投影就称为斜投影． 2．当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相 同． 3．投影的分类：物体 ― ― →光照 投影{ ― ― →点光源 中心投影 ― ― →平行光线 平行投影{正投影 斜投影 本节课首先探究正投影的概念，然后以铁丝和正方形纸板的影子为例，讨论当直线和平 面多边形与投影面成三种不同的位置关系时的正投影，归纳出其中蕴涵的正投影的一般规 律．最后以正方体为例，讨论立体图形与投影面成不同位置关系时的正投影．可以发现，整 个讨论过程是按照一维、二维和三维的顺序发展的.29.2　三视图 第 1 课时　三视图(1) 知识与技能 会从投影的角度理解视图的概念，进一步明确正投影与三视图的关系． 过程与方法 培养动手实践能力及空间想象能力． 情感、态度与价值观 经历探索简单立体图形的三视图的画法的过程，能识别物体的三视图． 重点 简单立体图形的三视图的画法． 难点 三视图中三个位置关系的理解． 一、问题引入 如图所示，直三棱柱的侧棱与水平投影面垂直，请与同伴一起探讨下面的问题： 1．以水平投影面为投影面，在正投影下这个直三棱柱的三条侧棱的投影是什么图形？ 2．画出直三棱柱在水平投影面上的正投影，得到的投影是什么图形？它与直三棱柱的底 面有什么关系？ 这个水平投影能完全反映这个物体的形状和大小吗？如果不能，那么还需哪些投影面？ (物体的正投影从一个方向反映了物体的形状和大小，为了全面地反映一个物体的形状和 大小，我们常常再选择正面和侧面两个投影面，画出物体的正投影．) 二、新课教授 如图(1)，我们用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对着我们的面叫做正面，正面 下方的面叫做水平面，右边的面叫做侧面．一个物体(例如一个长方体)在三个投影面内同时 进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由 上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视 图．如图(2)，将三个投影面展开在一个平面内，得到这一物体的一张三视图(由主视图、俯视 图和左视图组成)．三视图中的各视图，分别从不同方向表示物体，三者结合起来就能够较全 面地反映物体的形状．三视图中，主视图与俯视图表示同一物体的长，主视图与左视图表示 同一物体的高，左视图与俯视图表示同一物体的宽，因此三个视图的大小是互相联系的．画 三视图时，三个视图要放在正确的位置，并且使主视图与俯视图的长对正、主视图与左视图 的高平齐、左视图与俯视图的宽相等． 师：通过以上的学习，你有什么发现？ 物体的三视图实际上是物体在三个不同方向的正投影．正投影面上的正投影就是主视图， 水平投影面上的正投影就是俯视图，侧投影面上的正投影就是左视图． 三、例题讲解 例 1　画出下图所示的一些基本几何体的三视图． 分析：画这些基本几何体的三视图时，要注意从三个方面观察它们．具体画法为： 1．确定主视图的位置，画出主视图． 2．在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”． 3．在主视图正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”、与俯视图“宽相等”． 解： 例 2　画出如图所示的支架(一种小零件)的三视图．解：如图是支架的三视图： 四、巩固练习 一个正六棱柱高 2 cm，底面是边长为 1.5 cm 的正六边形，先说说它在正面、水平面、侧 面三个方向的正投影分别是什么图形，然后画出它的三视图． 答案 五、课堂小结 1．画一个立体图形的三视图时要考虑从某一个方向看物体获得的平面图形的形状和大 小，不要受到该方向的物体结构的干扰． 2．在画三视图时，三个视图不要随意乱放，应做到俯视图在主视图的下方、左视图在主 视图的右边，三个视图之间保持：长对正，高平齐，宽相等． 本节课的教学设计，力求突出具体、生动、直观，因此，学生多以操作、观察实物模型 和图片等活动为主，比如正方体在不同位置时的正投影．归纳出物体三视图的概念，并能根 据此规律画出简单的立体几何图形的三视图．在介绍三视图时，若条件允许，可采用试验的 方法进行实例的观察，这样不仅直观而且富有真实感． 第 2 课时　三视图(2) 知识与技能 学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型． 过程与方法 经历探索简单的几何体的三视图的还原过程，进一步发展空间想象能力． 情感、态度与价值观了解将三视图转换成立体图在生活中的作用，使学生体会到所学的知识有重要的实用价 值． 重点 根据三视图描述基本几何体和实物原型及三视图在生活中的作用． 难点 根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型． 一、问题引入 1．画一个立体图形的三视图时要注意什么？ (三个视图要放在正确的位置，并且使主视图与俯视图的长对正、主视图与左视图的高平 齐、左视图与俯视图的宽相等．) 2．做一做：画出下面几何体的三视图． 二、新课教授 例 1　根据下面的三视图说出立体图形的名称． 分析：由三视图想象立体图形时，要先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形 的前面、上面和左侧面，然后再综合起来考虑整体图形． 解：(1)从三个方向看立体图形，图像都是矩形，可以想象出：整体是长方体，如图(a)所 示； (2)从正面、侧面看立体图形，图像都是等腰三角形；从上面看，图像是圆，可以想象出： 整体是圆锥，如图(b)所示． 例 2　根据物体的三视图(如图)描述物体的形状．分析：由主视图可知，物体的正面是正五边形，由俯视图可知，由上向下看物体是矩形 的，且有一条棱(中间的实线)可见到，两条棱(虚线)被遮挡，由左视图知，物体的侧面是矩形 的，且有一条棱(中间的实线)可见到，综合各视图可知，物体是五棱柱形状的． 解：物体是五棱柱形状的，如下图所示． 例 3　某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图(如下图)，请你按照三视 图确定制作每个密封罐所需钢板的面积． 分析：对于某些立体图形，若沿其中一些线(例如棱柱的棱)剪开，可以把立体图形的表 面展开成一个平面图形，即展开图．在实际的生产中，三视图和展开图往往结合在一起使 用．解决本题的思路是，由视图想象出密封罐的立体形状，再进一步画出展开图，从而计算 面积． 解：由三视图可知，密封罐的形状是正六棱柱．(如图(左))． 密封罐的高为 50 mm，底面正六边形的直径为 100 mm，边长为 50 mm，右图是它的展开 图． 由展开图可知，制作一个密封罐所需钢板的面积为 6×50×50＋2×6× 1 2×50×50× 3 2 ＝6×502×(1＋ 3 2 )≈27 990(mm2)． 三、巩固练习 如图所示的图形是一个多面体的三视图，请根据视图说出该多面体的具体名称． 答案　正四棱锥 四、课堂小结 1．一个视图不能确定物体的空间形状，根据三视图要描述几何体或实物原型时，必须将 各视图对照起来看． 2．一个摆好的几何体的视图是唯一的，但从视图反过来考虑几何体时，它有多种可能 性．例如：正方体的主视图是正方形，但主视图是正方形的几何体有直三棱柱、长方体、圆 柱等． 3．对于较复杂的物体，由三视图想象出物体的原型，应理解并掌握三个视图之间的前后、 左右、上下的对应关系． 本节课的教学，以课程标准为指南，结合学生的已有知识和经验而设计．重点讲解由三 视图判断几何体的结构特征，也就是画三视图时尺寸不作严格要求．教学设计时使用了大量 的图片，建议在实际应用时尽量使用信息技术，如画法几何，让学生从动态过程中获得三视 图的感性认识，以便从整体上把握三视图的画法． 29．3　课题学习　制作立体模型 知识与技能 1．通过实际动手进一步加深对投影和视图知识的认识． 2．加强在实践活动中手脑结合的能力． 3．体会用三视图表示立体图形的作用，进一步感受立体图形与平面图形之间的联系． 过程与方法 1．通过创设情境让学生自主探索立体图形的制作过程． 2．通过自主探索、合作研究讨论使学生加深对投影和视图的认识． 3．制作模型，体会由平面图形转化为立体图形的过程与乐趣． 情感、态度与价值观 1．通过创设问题情境使学生感受平面图形与立体图形的关系． 2．通过参与数学实践培养合作探索的精神和尊重理解他人想法的学习品质． 3．通过动手实践活动培养学生的创新意识与创造发明的意识． 重点 让学生亲自经历规律的发现、深入研究、应用的过程． 难点 学生通过手工制作实现理论与实践的结合；在探索解决实际问题的过程中，养成科学的 研究态度．一、问题引入 请学生回答下列两个问题： 1．主视图反映物体的________和________，俯视图反映物体的________和________，左 视图反映物体的________和________． 答案　长　高　长　宽　宽　高 2．下面是一个立体图形的三视图，请在括号内填上立体图形的名称(　　) 答案　圆柱体 二、新课教授 活动一：根据三视图制作原实物． 师：以硬纸板为主要原材料，分别做出下面的两组视图所表示的立体模型． 师：用硬纸板制作各面，围成立体图形． 说明：教师要给学生提供充分的时间和空间，让学生自己动手去做，最后展示学生的作 品，让学生感受到成功的喜悦，激发他们继续学习的兴趣． 活动二：根据三视图制作实物模型． 师：按照下面给出的两组视图，用马铃薯(或萝卜)制作相应的实物模型． 生：学生动手制作，实际动手制作立体物品有利于培养学生的空间想象能力． 师：(1)是圆锥，(2)是直五棱柱，它的底面五边形中有三个直角． 说明：教师要给学生提供充分的时间和空间，让学生自己动手去做，最后展示学生的作 品，让学生感受到成功的喜悦，激发学习的兴趣． 活动三：根据平面图形制作相应的实物图． 师：下面的每一组平面图形都是由四个等边三角形组成的．(1)指出其中哪些可以叠成多面体．把上面的图形描在纸上，剪下来，叠一叠，验证你的 答案； (2)画出由上面的图形能叠成的多面体的三视图，并指出三视图中是怎样体现“长对正， 高平齐，宽相等”的； (3)如果图中小三角形的边长为 1，那么对应的多面体的体积和表面积各是多少？ (1)　　　　　　　(2)　　　　　　　(3) 师：(1)和(3)可折叠成正四面体，正四面体的体积为 2 12，表面积为 3. 活动四：课题拓广． 三视图和展开图都是与立体图形有关的平面图形，利用课余时间去观察了解或者上网查 询了解，结合我们的生活实际和具体的事例，写一篇短文介绍三视图及展开图的应用以及你 的感受． 三、巩固练习 1．小明从正面观察下图所示的两个物体，看到的是(　　) 答案　C 2．如图，一平面经过圆锥的顶点截圆锥所得到的截面形状是(　　) 答案　B 3．如图是一个正方体的平面展开图，当把它折成一个正方体时，与空白面相对的字应该 是(　　)A．北　　　B．京　　　C．欢　　　D．迎 答案　C 四、课堂小结 从技能上说，认识平面图形与立体图形的联系，有助于根据需要实现它们之间的相互转 化，即学会画三视图和由三视图得出立体图形．从能力上说，认识平面图形与立体图形的联 系，对于培养空间想象能力是非常重要的． 本节是结合实际问题动手与动脑并重的学习内容．“观察、想象、制作、交流”相结合是 本节中的主要实践活动．设计这个课题学习的目的是：(1)在具体问题中，对是否切实理解掌 握前面学习的三视图的内容以及能否灵活运用知识的一次检验；(2)是采用独立完成与合作学 习相结合的方式，使同学之间相互讨论、互助互学，增强协作能力，增进感情．