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【高考考纲解读】
高考对本内容的考查主要有：
(1)两角和(差)的正弦、余弦及正切是C级要求，二倍角的正弦、余弦及正切是B级要求，应用时要适当选择公式，灵活应用．
(2)正弦定理、余弦定理及其应用，要求是B级，能够应用定理实现三角形中边和角的转化，以及应用定理解决实际问题．
试题类型一般是填空题，同时在解答题中与三角函数、向量等综合考查，构成中档题.
【重点、难点剖析】
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.
(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.
(3)tan(α±β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α.
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)tan 2α＝.
3．正弦定理
＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
sin A＝，sin B＝，sin C＝.
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
4．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，
c2＝a2＋b2－2abcos C.
推论：cos A＝，cos B＝，
cos C＝.
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5．三角形面积公式
S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C.
6．三角恒等变换的基本思路
(1)“化异为同”， “切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧．如1＝cos2θ＋sin2θ＝tan 45°等．
“化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”．
(2)角的变换是三角变换的核心，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)，＝－等．
7．解三角形的四种类型及求解方法
(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．
(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一．
(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解．
(4)已知三边，利用余弦定理求解．
8．利用解三角形的知识解决实际问题的思路
把实际问题中的要素归入到一个或几个相互关联的三角形中，通过解这样的三角形即可求出实际问题的答案．注意要检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，从而得出正确结果.
【题型示例】
题型1、三角变换及应用
【例1】【2017山东，文7】函数 最小正周期为
A. B. C. D.
【答案】C
【变式探究】(1)(2016·高考全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.
解析：基本法：将θ－转化为－.
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由题意知sin＝，θ是第四象限角，所以
cos>0，所以cos＝＝.
tan＝tan＝－
＝－＝－＝－.
答案：－
速解法：由题意知θ＋为第一象限角，设θ＋＝α，
∴θ＝α－，
∴tan＝tan＝－tan.
如图，不妨设在Rt△ACB中，∠A＝α，由sin α＝可得，
BC＝3，AB＝5，AC＝4，
∴∠B＝－α，∴tan B＝，
∴tan B＝－.
答案：－
(2)若tan α＞0，则( )
A．sin α＞0 B．cos α＞0
C．sin 2α＞0 D．cos 2α＞0
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答案：C
【举一反三】 (2015·新课标全国Ⅰ，2)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )
A．－ B. C．－ D.
解析 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝.
答案 D
【变式探究】(2015·四川，12)sin 15°＋sin 75°的值是________．
解析 sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝sin(15°＋45°)＝sin 60°＝.
答案
【举一反三】(2015·江苏，8)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan β的值为________．
答案 3
【感悟提升】
(1)此类问题的着眼点是“一角、二名、三结构”，即一看角的差异，二看名称的差异，三看结构形式的差异，然后多角度使用三角公式求解．
(2)对于三角函数中角的求值问题，关键在于“变角”，将“目标角”变换成“已知角”．若角所在象限没有确定，则应分情况讨论，要注意三角公式的正用、逆用、变形运用，掌握其结构特征，还要注意拆角、拼角等技巧的运用．
(3)求三角函数的化简求值问题的一般思路：“五遇六想一引”，即遇正切，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角．
【变式探究】(2015·广东，11)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________．
解析 因为sin B＝且B∈(0，π)，所以B＝或B＝.又C＝，所以B＝，A＝π－B－C＝.又a＝，由正弦定理得＝，即＝，解得b＝1.
答案 1
考点2、正、余弦定理的应用
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【例2】【2017课标3，文15】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，则A=_________.
【答案】75°
【解析】由题意：，即 ，结合 可得 ，则.
【变式探究】【2016高考山东文数】
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（Ⅰ）证明：a+b=2c;
（Ⅱ）求cosC的最小值.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,
所以 ，
当且仅当时，等号成立.
故 的最小值为.
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【举一反三】 (2015·福建，12)若锐角△ABC的面积为10，且AB＝5，AC＝8，则BC等于________．
解析 S＝AB·AC·sin A，∴sin A＝，在锐角三角形中A＝，由余弦定理得BC＝＝7.
答案 7
【变式探究】(2015·广东，11)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________．
解析 因为sin B＝且B∈(0，π)，所以B＝或B＝.又C＝，所以B＝，A＝π－B－C＝.又a＝，由正弦定理得＝，即＝，解得b＝1.
答案 1
【举一反三】(1)(2014·福建)在△ABC中，∠A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．
(2)(2014·湖南)如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.
①求cos∠CAD的值；
②若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．
【命题意图】(1)本题主要考查正弦定理等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力．
(2)本题以平面四边形为载体，考查余弦定理、正弦定理和三角函数的化简求值，第一问可利用余弦定理直接求解，第二问需综合运用两角差的正弦公式和正弦定理．
【答案】(1)2
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所以△ABC的面积S△ABC＝·AB·BC＝2.
(2)①如题图，在△ADC中，由余弦定理，得
cos∠CAD＝.
故由题设知，cos∠CAD＝＝.
②如题图，设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD.
因为cos∠CAD＝，cos∠BAD＝－，
所以sin∠CAD＝
＝＝.
sin∠BAD＝
＝＝.
于是sin α＝sin(∠BAD－∠CAD)
＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BADsin∠CAD
＝×－×＝.
在△ABC中，由正弦定理，得＝.
故BC＝＝＝3.
【变式探究】△ABC的面积是30，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos A＝.
(1)求A·A；
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(2)若c－b＝1，求a的值．
所以A·A＝bccos A＝156×＝144.
(2)由(1)知bc＝156，
又cos A＝，c－b＝1，
在△ABC中，由余弦定理，得
a2＝b2＋c2－2bccos A＝(c－b)2＋2bc(1－cos A)
＝1＋2×156×
＝25，
所以a＝5。
【规律方法】 求解此类问题，一要注意从问题的不断转化中寻求解题的突破口，如求A·A，需要求出bc，由三角形的面积及cos A，可求出sin A，二要注意求解本题第(2)问时，应该结合第(1)问中的结论．
题型三、解三角形的应用
【例3】【2017课标1，文11】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c。已知，a=2，c=，则C=
A. B. C. D.
【答案】B
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【变式探究】【2016高考山东文数】（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（Ⅰ）证明：a+b=2c;
（Ⅱ）求cosC的最小值.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
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【举一反三】(2015·新课标全国Ⅱ，17)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．
(1)求；
(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．
解 (1)S△ABD＝AB·ADsin∠BAD，
S△ADC＝AC·ADsin∠CAD.
因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.
由正弦定理可得＝＝.
(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝.在△ABD和△ADC中，由余弦定理知
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.
故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6，
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由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1.
【变式探究】(2015·浙江，16)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A＝，b2－a2＝c2.
(1)求tan C的值；
(2)若△ABC的面积为3，求b的值．
【举一反三】 (2015·陕西，17)△ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a ，b，c.向量m＝(a，b)与n＝(cos A，sin B)平行．
(1)求A；
(2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积．
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