高考数学(文)教学案专题08数列及其应用
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资料简介
天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎【高考考纲解读】‎ 高考对本内容的考查主要有:‎ ‎(1)数列的概念是A级要求,了解数列、数列的项、通项公式、前n项和等概念,一般不会单独考查;‎ ‎(2)等差数列、等比数列是两种重要且特殊的数列,要求都是C级,熟练掌握等差数列、等比数列的概念、通项公式、前n项求和公式、性质等知识,理解其推导过程,并且能够灵活应用.‎ ‎(4)通过适当的代数变形后,转化为等差数列或等比数列的问题.‎ ‎(5)求数列的通项公式及其前n项和的基本的几种方法.‎ ‎(6)数列与函数、不等式的综合问题.‎ 试题类型可能是填空题,以考查单一性知识为主,同时在解答题中经常与不等式综合考查,构成压轴题.‎ ‎【重点、难点剖析】‎ ‎ 1.等差、等比数列的通项公式 等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d;等比数列{an}的通项公式为an=a1qn-1=amqn-m.‎ ‎2.等差、等比数列的前n项和 ‎(1)等差数列的前n项和为 Sn==na1+d.‎ 特别地,当d≠0时,Sn是关于n的二次函数,且常数项为0,即可设Sn=an2+bn(a,b为常数).‎ ‎(2)等比数列的前n项和 Sn= 特别地,若q≠1,设a=,‎ 则Sn=a-aqn.‎ ‎3.等差数列、等比数列常用性质 ‎(1)若序号m+n=p+q,在等差数列中,则有am+an=ap+aq;特别的,若序号m+n=2p,则am+an=2ap;在等比数列中,则有am·an=ap·aq;特别的,若序号m+n=2p,则am·an=a;‎ ‎(2)在等差数列{an}中,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列,其公差为kd;其中Sn为前n项的和,且Sn≠0(n∈N*);在等比数列{an}中,当q≠-1或k不为偶数时Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等比数列,其中Sn为前n项的和(n∈N*).‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎4.数列求和的方法归纳 ‎(1)转化法:将数列的项进行分组重组,使之转化为n个等差数列或等比数列,然后应用公式求和;‎ ‎(2)错位相减法:适用于{an·bn}的前n项和,其中{an}是等差数列,{bn}是等比数列;‎ ‎(3)裂项法:求{an}的前n项和时,若能将an拆分为an=bn-bn+1,则a1+a2+…+an=b1-bn+1;‎ ‎(4)倒序相加法:一个数列倒过来与原数列相加时,若有公因式可提,并且剩余的项的和容易求出,那么这样的数列求和可采用此法.其主要用于求组合数列的和.这里易忽视因式为零的情况;‎ ‎(5)试值猜想法:通过对S1,S2,S3,…的计算进行归纳分析,寻求规律,猜想出Sn,然后用数学归纳法给出证明.易错点:对于Sn不加证明;‎ ‎(6)并项求和法:先将某些项放在一起先求和,然后再求Sn.例如对于数列{an}:a1=1,a2=3,a3=2,an+2=an+1-an,可证其满足an+6=an,在求和时,依次6项求和,再求Sn.‎ ‎5.数列的应用题 ‎(1)应用问题一般文字叙述较长,反映的事物背景陌生,知识涉及面广,因此要解好应用题,首先应当提高阅读理解能力,将普通语言转化为数学语言或数学符号,实际问题转化为数学问题,然后再用数学运算、数学推理予以解决.‎ ‎(2)数列应用题一般是等比、等差数列问题,其中,等比数列涉及的范围比较广,如经济上涉及利润、成本、效益的增减,解决该类题的关键是建立一个数列模型{an},利用该数列的通项公式、递推公式或前n项和公式.‎ ‎【题型示例】‎ 题型1、等差、等比数列中基本量的计算 ‎【例1】(2017·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为(  )‎ A.1          B.2‎ C.4 D.8‎ ‎ ‎ ‎(a4+a5)-(a4+a3)=8,‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎∴d=4,故选C.‎ ‎【2017江苏,9】等比数列的各项均为实数,其前项的和为,已知,则= ▲ .‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】当时,显然不符合题意;‎ 当时,,解得,则.‎ ‎【变式探究】【2016年高考北京文数】已知为等差数列,为其前项和,若,,则_______..‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】∵是等差数列,∴,,,,‎ ‎∴,故填:6.【举一反三】 (2015·江苏,11)设数列{an}满足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N*),则数列前10项的和为________.‎ ‎【变式探究】(1)(2014·全国大纲卷)等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lg an}的前8项和等于(  )‎ A.6 B.5 C.4 D.3‎ ‎(2)(2014·北京)若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a100,∴a8>0.又a7+a10=a8+a9

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