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由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 绝密★启用前 天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试 高三数学（文科）试卷 温馨提示：使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在答题卡上；不使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在试卷上.‎ 题 号 一 二 三 总 分 ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 得 分 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页.‎ 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘帖考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 祝各位考生考试顺利！‎ 第Ⅰ卷（选择题，共40分）‎ 注意事项：‎ ‎1．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.‎ ‎2．本卷共8小题，每小题5分，共40分.‎ 参考公式：‎ 如果事件互斥，那么．‎ 如果事件相互独立，那么．‎ 锥体的体积公式，其中表示锥体的底面面积，表示锥体的高.‎ 柱体的体积公式，其中表示柱体的底面面积，表示柱体的高.‎ 一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎（1）已知集合，则 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（2）从数字1，2，3，4，5，6中任取两个数，则取出的两个数的乘积为奇数的概率为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第3题图 ‎（3）已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是 ‎（A）48 ‎ ‎（B）36 ‎ ‎（C）24 ‎ ‎（D）12‎ ‎（4）设，则“”是“”的 ‎（A）充分不必要条件 ‎ ‎（B）必要不充分条件 ‎（C）充要条件 ‎ ‎（D）既不充分也不必要条件 ‎（5）已知，，，则 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（6）已知双曲线（）的焦点到渐近线的距离为2，且双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的方程为 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（7）已知向量，，（其中），则的最小值为 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（8）已知函数若方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共110分）‎ 注意事项：‎ ‎1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.‎ ‎2．本卷共12小题，共110分.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎（9）已知i是虚数单位，若，则复数=___________．‎ ‎（10）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，‎ ‎ 则输出的值为___________.‎ ‎（11）已知（其中是自 ‎ 然对数的底数），为的导 ‎ 函数，则的值为___________.‎ ‎（12）在等比数列{}中，‎ 已知，，‎ 则{}的前10项和___________. ‎ ‎（13）如图，为边长为1的 正三角形，为AB的中点，在 第13题图 上，且，连结 并延长至，使，连结 ‎．则的值为________.‎ ‎（14）已知 ‎（），若函数在区间 内恰有个零点，则的取值 范围是___________. ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎（15）（本小题满分13分）‎ 在中，角A,B,C的对边分别为，且满足．‎ ‎（I）求角C的值；‎ ‎（II）若，的面积为，求的值．‎ ‎（16）（本小题满分l3分）‎ 某石材加工厂可以把甲、乙两种类型的大理石板加工成三种规格的小石板，每种类型的大理石板可同时加工成三种规格小石板的块数如下表所示：‎ ‎ 板材类型 甲型石板（块）‎ 乙型石板（块）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 某客户至少需要订购两种规格的石板分别为块和块，至多需要规格的石板块．分别用表示甲、乙两种类型的石板数．‎ ‎（I）用列出满足客户要求的数学关系式，并画出相应的平面区域；‎ ‎（II）加工厂为满足客户的需求，需要加工甲、乙两种类型的石板各多少块，才能使所用石板总数最少？‎ ‎（17）（本小题满分13分）‎ 如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面为直角梯形，,,‎ ‎,，点、分别为、的中点.‎ ‎（I）求证：直线平面；‎ ‎（II）求证：平面平面；‎ ‎（III）若，求直线与平面所成的角.‎ ‎（18）（本小题满分13分）‎ 已知数列的前项和（），（），数列的前项和为.‎ ‎（I）求数列的通项公式；‎ ‎（II）设（），求数列的前项和；‎ ‎（III）证明： （）.‎ ‎（19）（本小题满分14分）‎ 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，若的周长为，且点到直线的距离为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设是椭圆长轴的两个端点，点是椭圆上不同于的任意一点，直线交直线于点，求证：以为直径的圆过点.‎ ‎（20）（本小题满分14分）‎ 已知函数（），函数的图象记为曲线.‎ ‎（I）若函数在时取得极大值2，求的值；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（II）若函数存在三个不同的零点，求实数的取值范围；‎ ‎（III）设动点处的切线与曲线交于另一点，点处的切线为，两切线的斜率分别为，当为何值时存在常数使得？并求出的值.‎ 天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试 高三数学（文科）参考答案 一、选择题:‎ ‎1-4 DCDA 5-8 BACD 二、填空题:‎ ‎9. 10. 11. 12. 13. 14. ‎ 三、解答题:‎ ‎15.（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）已知 可化为 ‎ ， …………………………3分 整理得 ，‎ ‎ ，‎ 又 …………………………6分 ‎（Ⅱ）由 得 ，‎ 由（Ⅰ） ， 所以由余弦定理得：‎ ‎ ，‎ ‎ ，即， …………………………9分 所以 . …………………………13分 ‎16.（本小题满分13分）‎ 解：（I）由题意得 ………………………………3分 二元一次不等式组所表示的区域为图中的阴影部分.‎ ‎ ………………………………6分 ‎（Ⅱ）解：设需要加工甲、乙两种类型的板材数为 ，则目标函数 ，作出直线 ，平移直线 ，如图，‎ 易知直线经过点A时， 取到最小值，‎ 解方程组 得点 的坐标为 ，………………………………10分 所以最少需要加工甲、乙两种类型的板材分别8块和6块．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 答：加工厂为满足客户需求，最少需要加工甲、乙两种类型的板材分别8块和6块．………………………………13分 ‎17.（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ） ，且 为 的中点， .‎ 又因为 ，则四边形 是平行四边形，∴ ， 平面 ， 平面 ， 直线 平面 . ……………4分 ‎（II）∵在等边 中， 是 的中点， ；‎ 又 ， ；‎ 又 ， ，又 ，‎ ‎ ，又 ， 平面 ，‎ 故平面 平面 ； ……8分 ‎（III）设 与 交于点 ，‎ 由（II）知 平面 ， ，‎ 故 平面 ，连结 ， 为直线 与平面 所成的角.‎ 在 中， ， ，‎ ‎ . ………………………13分 ‎18．（本小题满分13分）‎ 解：（I）当 时， ， ，‎ 两式相减： ；‎ 当 时， ，也适合 ，‎ 故数列 的通项公式为 ；………………………………….3分 ‎（II） ， ，‎ ‎ ， ，两式相减可得：‎ ‎ ， ………………………………… 4分 即 ，‎ ‎ ， . ………………… 7分 ‎（III） ，显然 ，‎ 即 ， ；………………………………. 9分 另一方面， ，‎ 即 ， ，…， ， ，‎ 即： . ……………………….. 13分 ‎19．（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）由已知得 ，解得 .‎ 所以椭圆 的方程为 . ……………5分 ‎（Ⅱ）由题意知 ， ……………6分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 设 ，则 ，得 .‎ 且由点 在椭圆上，得 . ……………9分 所以 ‎ ‎ …………13分 以 为直径的圆过点 . ……………14分 ‎20．（本小题满分14分）‎ 解：函数 的导函数为 .‎ ‎（I）当 时极大值2，则 ，解得 ；…… 4分 ‎（II）由题意可得 有三个不同的零点，即方程 有三个实数解.‎ 令 ，则 ，由 可得 或 ，且 是其单调递增区间， 是其单调递减区间， .因此，实数 的取值范围是 . 9分 ‎（III）由（I）知点 处的切线 的方程为 ，与 联立得 ，即 ，所以点 的横坐标是 ，可得 ，即 ， 等价于 ，解得 .‎ 综上可得，当 时存在常数 使得 . ……………14分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试 高三数学（文科）参考答案 一、选择题:‎ ‎1-4 DCDA 5-8 BACD 二、填空题:‎ ‎9. 10. 11. 12. 13. 14. ‎ 三、解答题:‎ ‎15.（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）已知可化为 ‎， …………………………3分 整理得，‎ ‎，‎ 又 …………………………6分 ‎（Ⅱ）由得，‎ 由（Ⅰ）， 所以由余弦定理得：‎ ‎，‎ ‎，即， …………………………9分 所以. …………………………13分 ‎16.（本小题满分13分）‎ 解：（I）由题意得………………………………3分 二元一次不等式组所表示的区域为图中的阴影部分.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ ………………………………6分 ‎（Ⅱ）解：设需要加工甲、乙两种类型的板材数为，则目标函数，作出直线，平移直线，如图，‎ 易知直线经过点A时，取到最小值，‎ 解方程组得点的坐标为，………………………………10分 所以最少需要加工甲、乙两种类型的板材分别8块和6块．‎ 答：加工厂为满足客户需求，最少需要加工甲、乙两种类型的板材分别8块和6块．………………………………13分 ‎17.（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ），且为的中点，.‎ 又因为，则四边形是平行四边形，∴ ，平面，平面，直线平面. ……………4分 ‎（II）∵在等边中，是的中点，；‎ 又，；‎ 又，，又，‎ ‎，又，平面，‎ 故平面平面； ……8分 ‎（III）设与交于点，‎ 由（II）知平面，，‎ 故平面，连结，为直线与平面所成的角.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 在中，，，‎ ‎. ………………………13分 ‎18．（本小题满分13分）‎ 解：（I）当时，，，‎ 两式相减：；‎ 当时，，也适合，‎ 故数列的通项公式为；………………………………….3分 ‎（II），，‎ ‎，，两式相减可得：‎ ‎， ………………………………… 4分 即，‎ ‎，. ………………… 7分 ‎（III），显然，‎ 即，；………………………………. 9分 另一方面，，‎ 即，，…，，，‎ 即：. ……………………….. 13分 ‎19．（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）由已知得，解得.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以椭圆的方程为. ……………5分 ‎（Ⅱ）由题意知， ……………6分 设，则，得.‎ 且由点在椭圆上，得. ……………9分 所以 ‎ …………13分 以为直径的圆过点. ……………14分 ‎20．（本小题满分14分）‎ 解：函数的导函数为.‎ ‎（I）当时极大值2，则，解得；…… 4分 ‎（II）由题意可得有三个不同的零点，即方程有三个实数解.‎ 令，则，由可得或，且是其单调递增区间，是其单调递减区间，.因此，实数的取值范围是. 9分 ‎（III）由（I）知点处的切线的方程为，与联立得，即，所以点的横坐标是，可得，即，等价于，解得 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎.‎ 综上可得，当时存在常数使得. ……………14分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费