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由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ 肇庆市中小学教学质量评估 ‎2016—2017学年第一学期统一检测题 高二数学（理科）‎ 本试卷共4页，22小题，满分150分. 考试用时120分钟.‎ 注意事项：‎ ‎1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B铅笔在准考证号填涂区将考号涂黑．‎ ‎2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷或草稿纸上．‎ ‎3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再在答题区内写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎（1）命题“，”的否定是 ‎（A）， （B），‎ ‎（C）， （D），‎ ‎（2）过点且与直线垂直的直线是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）双曲线的离心率是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎1 ‎ ‎3‎ ‎（4）图1是一个组合体的三视图，根据图中数据，‎ 可得该几何体的体积是 正视图 侧视图 ‎2 2‎ ‎(A) （B） ‎ 图1 ‎ 俯视图 ‎ ‎（C） （D） ‎ ‎（5）“”是“”的 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎ （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 C ‎（6）直线与圆相交于A、B两点，且，则实数的值是 A ‎（A）或 （B）或 D ‎（C）或 （D）或 ‎ B ‎（7）如图2，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD 在原正方体中的位置关系是 图2‎ ‎（A）平行 （B）相交成60° ‎ ‎（C）相交且垂直 （D）异面直线 ‎（8）已知椭圆过点，则此椭圆上任意一点到两焦点的距离的和是 ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎（A）4 （B）8 （C）12 （D）16‎ ‎1‎ ‎2‎ 正视图 侧视图 ‎（9）一个几何体的三视图如图3所示（单位：cm），‎ ‎2‎ 则该几何体的表面积是 ‎1‎ ‎1‎ 俯视图 图3‎ ‎（A）4 （B） ‎ ‎（C） （D）24‎ ‎（10）已知过点的直线与圆有两个交点时,其斜率的取值范围是 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（11）是空间两条不同直线，是两个不同平面．有以下四个命题：‎ ‎①若,且，则； ②若,且，则；‎ ‎③若,且，则； ④若,且，则.‎ 其中真命题的序号是 ‎（A）①② （B）②③ （C） ③④ （D）①④‎ ‎（12）已知动直线与椭圆相交于、两点,已知点，则 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 的值是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. ‎ ‎（13）已知直线，若，则的值等于 ▲ .‎ ‎（14）如图4，在圆上任取一点P，过点P作x 轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，则线段PD的中点M的轨迹方程为 ▲ .‎ y ‎ ‎ 正视图 侧视图 M x 图5‎ 图4‎ 俯视图 ‎（15）某四面体的三视图如图5所示，则此四面体的四个面中面积最大的面的面积等于 ▲ .‎ ‎（16）有一球内接圆锥，底面圆周和顶点均在球面上，其底面积为，已知球的半径，则此圆锥的体积为 ▲ .‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎（17）（本小题满分11分）‎ 已知斜率且过点的直线与直线相交于点M.‎ ‎（Ⅰ）求以点M为圆心且过点的圆的标准方程C；‎ ‎（Ⅱ）求过点且与圆C相切的直线方程.‎ ‎（18）（本小题满分11分）‎ 如图6，已知正方体，‎ 分别是、、、的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：四点共面；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（Ⅱ）求证：.‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 已知分别是双曲线的左右焦点，点P是双曲线上任一点，且，顶点在原点且以双曲线的右顶点为焦点的抛物线为L.‎ ‎（Ⅰ）求双曲线C的渐近线方程和抛物线L的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过抛物线L的准线与x轴的交点作直线，交抛物线于M、N两点，问直线的斜率等于多少时，以线段MN为直径的圆经过抛物线L的焦点?‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ P 如图7，在四棱锥中，平面平面，是等腰直角三角形，是直角，，.‎ DC A ‎ （Ⅰ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；‎ B ‎ （Ⅱ）求平面PCD与平面PAB所成二面角的平面角的余弦值.‎ 图7‎ C ‎（21）（本小题满分12分）‎ 如图8，直角梯形中，，且的面积等于面积的．梯形所在平面外有一点，满足平面，．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）侧棱上是否存在点，使得平面?‎ 若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由； ‎ ‎（22）（本小题满分12分）‎ 已知椭圆G的中心在平面直角坐标系的原点，离心率，右焦点与圆C：的圆心重合.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆G的方程；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（Ⅱ）设、是椭圆G的左焦点和右焦点，过的直线与椭圆G相交于A、B两点，请问的内切圆M的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线的方程，若不存在，请说明理由.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2016—2017学年第一学期统一检测题 高二数学（理科）参考答案及评分标准 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D C A D A A B B C C B D ‎（12）解析：将代入中得 ‎ ‎ ，‎ ‎，‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎.‎ 二、填空题 ‎（13） （14） （15）‎ ‎（16）或（答1个得3分，答2个得5分）‎ ‎（15）解析：由三视图知该几何体为棱锥S﹣ABD，其中SC⊥平面ABCD；四面体S﹣ABD的四个面中SBD面的面积最大，三角形SBD是边长为的等边三角形，所以此四面体的四个面中面积最大的为． ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（16）解析：由得圆锥底面半径为，如图设，‎ 则，圆锥的高或 ‎ 所以，圆锥的体积为 ‎ 或 三、解答题 ‎（17）（本小题满分11分）‎ 解：（Ⅰ）依题意得，直线的方程为，即. （2分）‎ 由，解得. 即点M的坐标为 . （4分）‎ 设圆C的半径为，则. （5分）‎ 所以，圆C的标准方程为. （6分）‎ ‎（Ⅱ）①因为圆C过点B（4，-2），所以直线x=4为过点N（4，2）且与圆C相切的直线.‎ ‎ （8分）‎ ‎②设过点且与圆C相切的直线方程的斜率为，‎ 则直线方程为. （9分）‎ 由，得，即是圆C的一条切线方程. （10分）‎ 综上，过点且与圆C：相切的直线方程为和. ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ （11分）‎ ‎（18）（本小题满分11分）‎ 证明：（Ⅰ）如图，连结AC. （1分）‎ ‎∵分别是、的中点，∴. （2分）‎ ‎∵分别是、的中点，∴. （3分）‎ ‎∴. （4分）‎ ‎∴四点共面。 （5分）‎ ‎（Ⅱ）连结BD.‎ ‎∵是正方体，∴. （7分）‎ ‎∵，平面，∴平面. （9分）‎ 又∵，∴平面， （10分）‎ 又∵平面，∴. （11分）‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，，即. （1分）‎ ‎∴双曲线的标准方程为. （2分）‎ ‎∴双曲线的渐近线方程 . （3分）‎ 双曲线的右顶点坐标为，即抛物线L的焦点坐标为，‎ ‎∴抛物线L的标准方程为， （5分）‎ ‎（Ⅱ）抛物线的准线与对称轴的交点为. （6分）‎ 设直线MN的斜率为k，则其方程为. （7分）‎ 由，得.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵直线MN与抛物线交于M、N两点，‎ ‎∴，解得. （8分）‎ 设，抛物线焦点为F(1，0)，‎ ‎∵以线段MN为直径的圆经过抛物线焦点，∴MF⊥NF. （9分）‎ ‎ ∴，即. （10分）‎ 又，，且同号，‎ ‎∴. 解得，∴. （11分）‎ 即直线的斜率等于时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点. （12分）‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 解：取AD的中点O，连结OP，OC，‎ ‎∵是等腰直角三角形，是直角，∴.‎ ‎∵平面平面，∴平面.‎ ‎∴，，又∵，∴.‎ 即两两垂直. （2分）‎ 以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 由条件知，，.‎ 故各点的坐标分别为：，，，所以，，，. （4分）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（Ⅰ）设平面PCD的法向量为，则，即 令，则，故是平面PCD的一个法向量. （6分）‎ 设直线PB与平面PCD所成角为，则，即直线PB与平面PCD所成角的正弦值为. （8分）‎ ‎（Ⅱ）设平面PAB的法向量为，则，即.‎ 令，则，故是平面PAB的一个法向量. （10分）‎ 设平面PCD与平面PAB所成角的二面角的平面角为，则，所以平面PCD与平面PAB所成二面角的平面角的余弦值0. （12分）‎ ‎ （21）（本小题满分12分）‎ 证明：（Ⅰ）∵平面，∴． （1分）‎ 又的面积等于面积的，‎ ‎∴． （2分）‎ 在底面中，∵，，‎ ‎∴，∴． （4分）‎ 又∵，∴平面． （5分）‎ 又平面， ∴平面⊥平面. （6分）‎ ‎（Ⅱ）取的中点，使得平面. （7分）‎ 证明如下：‎ 取的中点是，连结，，，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 则，且． （8分）‎ 由已知，∴． （9分）‎ 又，∴，且.‎ ‎∴四边形为平行四边形， （10分）‎ ‎∴． （11分）‎ ‎∵平面，平面，∴平面． （12分） ‎ ‎（22）（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）圆C：的圆心为. （1分）‎ 设椭圆G的方程，‎ 则，得. （2分）‎ ‎∴， （3分）‎ ‎∴椭圆G的方程. （4分）‎ ‎（Ⅱ）如图，设内切圆M的半径为，与直线的切点为C，则三角形的面积等于的面积+的面积+的面积. ‎ 即.当最大时，也最大，内切圆的面积也最大. （5分）‎ 设、()，‎ 则. （6分）‎ ‎ 由，得，‎ 解得,. （7分）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴. （8分）‎ 令，则，且，‎ 有. （9分）‎ 令，因为在上单调递增，有. （10分）‎ ‎∴. 即当，时，有最大值，得，这时所求内切圆的面积为. （11分）‎ ‎∴存在直线，的内切圆M的面积最大值为. （12分）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费