第4练 用好基本不等式.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第5练　如何让“线性规划”不失分 ‎[题型分析·高考展望]　“线性规划”是高考每年必考的内容，主要以选择题、填空题的形式考查，题目难度大多数为低、中档，在填空题中出现时难度稍高.二轮复习中，要注重常考题型的反复训练，注意研究新题型的变化点，争取在该题目上做到不误时，不丢分.‎ 体验高考 ‎1.(2015·天津)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋6y的最大值为(　　)‎ A.3 B.4 C.18 D.40‎ 答案　C 解析　画出约束条件的可行域如图中阴影部分，作直线l：x＋6y＝0，平移直线l可知，直线l过点A时，目标函数z＝x＋6y取得最大值，易得A(0，3)，‎ 所以zmax＝0＋6×3＝18，选C.‎ ‎2.(2015·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为(　　)‎ 甲 乙 原料限额 A ‎3‎ ‎2‎ ‎12‎ B ‎1‎ ‎2‎ ‎8‎ A.12万元 B.16万元 C.17万元 D.18万元 答案　D 解析　设甲，乙的产量分别为x吨，y吨，‎ 由已知可得 目标函数z＝3x＋4y，线性约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 可得目标函数在点A处取到最大值.‎ 由得A(2，3).‎ 则zmax＝3×2＋4×3＝18(万元).‎ ‎3.(2016·山东)若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是(　　)‎ A.4 B.9 C.10 D.12‎ 答案　C 解析　满足条件的可行域如图中阴影部分(包括边界)，x2＋y2是可行域上动点(x，y)到原点(0，0)距离的平方，显然，当x＝3，y＝－1时，x2＋y2取最大值，最大值为10.故选C.‎ ‎4.(2016·浙江)若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　已知不等式组所表示的平面区域如图所示的阴影部分，‎ 由 解得A(1，2)，‎ 由 解得B(2，1).‎ 由题意可知，当斜率为1的两条直线分别过点A和点B时，两直线的距离最小，‎ 即|AB|＝＝.‎ ‎5.(2015·课标全国Ⅱ)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为____________.‎ 答案　 解析　画出约束条件表示的可行域如图中阴影部分(△ABC)所示：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 作直线l0：x＋y＝0，平移l0到过点A的直线l时，可使直线y＝－x＋z在y轴上的截距最大，即z最大，‎ 解得 即A，故z最大＝1＋＝.‎ 高考必会题型 题型一　已知约束条件，求目标函数的最值 例1　(2016·北京)若x，y满足则2x＋y的最大值为(　　)‎ A.0 B.3 C.4 D.5‎ 答案　C 解析　不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.‎ 令z＝2x＋y，则y＝－2x＋z，作直线2x＋y＝0并平移，当直线过点A时，截距最大，即z取得最大值，由得所以A点坐标为(1，2)，可得2x＋y的最大值为2×1＋2＝4.‎ 点评　(1)确定平面区域的方法：“直线定界，特殊点定域”.‎ ‎(2)线性目标函数在线性可行域中的最值，一般在可行域的顶点处取得，故可先求出可行域的顶点，然后代入比较目标函数的取值即可确定最值.‎ 变式训练1　已知实数x，y满足则z＝|4x－4y＋3|的取值范围是(　　)‎ A.[，15) B.[，15] C.[，5) D.(5，15)‎ 答案　A 解析　根据题意画出不等式所表示的可行域，如图所示，z＝|4x－4y＋3|＝×4表示的几何意义是可行域内的点(x，y)到直线4x－4y＋3＝0的距离的4倍，结合图象易知点A(2，－1)，B(，)到直线4x－4y＋3＝0的距离分别为最大和最小，此时z 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 分别取得最大值15与最小值，故z∈[，15)，故选A.‎ 题型二　解决参数问题 例2　已知变量x，y满足约束条件若x＋2y≥－5恒成立，则实数a的取值范围为(　　)‎ A.(－∞，－1] B.[－1，＋∞)‎ C.[－1，1] D.[－1，1)‎ 答案　C 解析　由题意作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，‎ 则x＋2y≥－5恒成立可转化为图中的阴影部分在直线x＋2y＝－5的上方，由得 由得 则实数a的取值范围为[－1，1].‎ 点评　所求参数一般为对应直线的系数，最优解的取得可能在某点，也可能是可行域边界上的所有点，要根据情况利用数形结合进行确定，有时还需分类讨论.‎ 变式训练2　(2015·山东)已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a等于(　　)‎ A.3 B.2 C.－2 D.－3‎ 答案　B 解析　不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，‎ 易知A(2，0)，由得B(1，1).‎ 由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴当a＝－2或a＝－3时，z＝ax＋y在O(0，0)处取得最大值，最大值为zmax＝0，不满足题意，排除C，D选项；当a＝2或3时，z＝ax＋y在A(2，0)处取得最大值，‎ ‎∴2a＝4，∴a＝2，排除A，故选B.‎ 题型三　简单线性规划的综合应用 例3　(1)(2016·浙江)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影.由区域 中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|等于(　　)‎ A.2 B.4 C.3 D.6‎ ‎(2)(2016·课标全国乙)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元.‎ 答案　(1)C　(2)216 000‎ 解析　(1)已知不等式组表示的平面区域如图中△PMQ所示.‎ 因为l与直线x＋y＝0平行.所以区域内的点在直线x＋y－2上的投影构成线段AB，则|AB|＝|PQ|.‎ 由解得P(－1，1)，‎ 由解得Q(2，－2).‎ 所以|AB|＝|PQ|＝＝3.‎ ‎(2)设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为 目标函数z＝2 100x＋900y.‎ 作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)处取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元).‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 点评　若变量的约束条件形成一个区域，如圆、三角形、带状图形等，都可考虑用线性规划的方法解决，解决问题的途径是：集中变量的约束条件得到不等式组，画出可行域，确定变量的取值范围，解决具体问题.‎ 变式训练3　设点P(x，y)是不等式组所表示的平面区域内的任意一点，向量m＝(1，1)，n＝(2，1)，点O是坐标原点，若向量＝λm＋μn(λ，μ∈R)，则λ－μ的取值范围是(　　)‎ A.[－，] B.[－6，2]‎ C.[－1，] D.[－4，]‎ 答案　B 解析　画出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示.‎ 由题意，可得(x，y)＝λ(1，1)＋μ(2，1)＝(λ＋2μ，λ＋μ)，故 令z＝λ－μ＝－2(λ＋2μ)＋3(λ＋μ)＝－2x＋3y，变形得y＝x＋.‎ 当直线y＝x＋过点A(－1，0)时，z取得最大值，且zmax＝2；当直线y＝x＋过点B(3，0)时，z取得最小值，且zmin＝－6.故选B.‎ 高考题型精练 ‎1.(2015·安徽)已知x，y满足约束条件则z＝－2x＋y的最大值是(　　)‎ A.－1 B.－2 C.－5 D.1‎ 答案　A 解析　约束条件下的可行域如图所示，‎ 由z＝－2x＋y可知y＝2x＋z，当直线y＝2x＋z过点A(1，1)时，截距最大，此时z最大为－1，故选A.‎ ‎2.(2016·四川)设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足则p是q的(　　)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　如图，‎ ‎(x－1)2＋(y－1)2≤2①表示圆心为(1，1)，半径为的圆内区域所有点(包括边界)；②表示△ABC内部区域所有点(包括边界).实数x，y满足②则必然满足①，反之不成立.则p是q的必要不充分条件.故选A.‎ ‎3.在平面直角坐标系中，点P是由不等式组所确定的平面区域内的动点，Q是直线2x＋y＝0上任意一点，O为坐标原点，则|＋|的最小值为(　　)‎ A. B. C. D.1‎ 答案　A 解析　在直线2x＋y＝0上取一点Q′，使得＝，则|＋|＝|＋|＝||≥||≥||，其中P′，B分别为点P，A在直线2x＋y＝0上的投影，如图.‎ 因为||＝＝，‎ 因此|＋|min＝，故选A.‎ ‎4.已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为(　　)‎ A.5 B.29 C.37 D.49‎ 答案　C 解析　由已知得平面区域Ω为△MNP内部及边界.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵圆C与x轴相切，∴b＝1.‎ 显然当圆心C位于直线y＝1与x＋y－7＝0的交点(6，1)处时，amax＝6.‎ ‎∴a2＋b2的最大值为62＋12＝37.故选C.‎ ‎5.设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为4，则ab的取值范围是(　　)‎ A.(0，4) B.(0，4]‎ C.[4，＋∞) D.(4，＋∞)‎ 答案　B 解析　作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示，由图可知，z＝ax＋by(a＞0，b＞0)过点A(1，1)时取最大值，‎ ‎∴a＋b＝4，ab≤2＝4，‎ ‎∵a＞0，b＞0，‎ ‎∴ab∈(0，4]，故选B.‎ ‎6.已知变量x，y满足约束条件若z＝x－2y的最大值与最小值分别为a，b，且方程x2－kx＋1＝0在区间(b，a)上有两个不同实数解，则实数k的取值范围是(　　)‎ A.(－6，－2) B.(－3，2)‎ C.(－，－2) D.(－，－3)‎ 答案　C 解析　作出可行域，如图所示，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 则目标函数z＝x－2y在点(1，0)处取得最大值1，在点(－1，1)处取得最小值－3，‎ ‎∴a＝1，b＝－3，从而可知方程x2－kx＋1＝0在区间(－3，1)上有两个不同实数解.‎ 令f(x)＝x2－kx＋1，‎ 则⇒－＜k＜－2，‎ 故选C.‎ ‎7.已知实数x，y满足若目标函数z＝2x＋y的最大值与最小值的差为2，则实数m的值为(　　)‎ A.4 B.3 C.2 D.－ 答案　C 解析　表示的可行域如图中阴影部分所示.‎ 将直线l0：2x＋y＝0向上平移至过点A，B时，z＝2x＋y分别取得最小值与最大值.‎ 由得A(m－1，m)，‎ 由得B(4－m，m)，‎ 所以zmin＝2(m－1)＋m＝3m－2，‎ zmax＝2(4－m)＋m＝8－m，‎ 所以zmax－zmin＝8－m－(3m－2)＝2，‎ 解得m＝2.‎ ‎8.设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，求得m的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　当m≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，因此m＜0.‎ 如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 要使可行域内包含y＝x－1上的点，只需可行域边界点(－m，m)在直线y＝x－1的下方即可，即m＜－m－1，解得m＜－.‎ ‎9.(2016·江苏)已知实数x，y满足则x2＋y2的取值范围是________.‎ 答案　 解析　已知不等式组所表示的平面区域如下图：‎ x2＋y2表示原点到可行域内的点的距离的平方.‎ 解方程组得A(2，3).‎ 由图可知(x2＋y2)min＝2＝，‎ ‎(x2＋y2)max＝|OA|2＝22＋32＝13.‎ ‎10.4件A商品与5件B商品的价格之和不小于20元，而6件A商品与3件B商品的价格之和不大于24，则买3件A商品与9件B商品至少需要________元.‎ 答案　22‎ 解析　设1件A商品的价格为x元，1件B商品的价格为y元，买3件A商品与9件B商品需要z元，则z＝3x＋9y，其中x，y满足不等式组作出不等式组表示的平面区域，如图所示，其中A(0，4)，B(0，8)，C(，).‎ 当y＝－x＋z经过点C时，目标函数z取得最小值.所以zmin＝3×＋9×＝22.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 因此当1件A商品的价格为元，1件B商品的价格为元时，可使买3件A商品与9件B商品的费用最少，最少费用为22元.‎ ‎11.给定区域D：令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线.‎ 答案　6‎ 解析　线性区域为图中阴影部分，‎ 取得最小值时点为(0，1)，最大值时点为(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)，故共可确定6条不同的直线.‎ ‎12.(2015·浙江)若实数x，y满足x2＋y2≤1，则|2x＋y－2|＋|6－x－3y|的最小值是________.‎ 答案　3‎ 解析　满足x2＋y2≤1的实数x，y表示的点(x，y)构成的区域是单位圆及其内部.‎ f(x，y)＝|2x＋y－2|＋|6－x－3y|‎ ‎＝|2x＋y－2|＋6－x－3y ‎＝ 直线y＝－2x＋2与圆x2＋y2＝1交于A，B两点，如图所示，‎ 易得B.‎ 设z1＝4＋x－2y，z2＝8－3x－4y，分别作直线y＝x和y＝－x并平移，则z1＝4＋x－2y在点B取得最小值为3，z2＝8－3x－4y在点B取得最小值为3，所以|2x＋y－2|＋|6－x－3y|的最小值是3.‎ ‎ ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费