第28练 空间向量解决立体几何问题的两大策略——“选基底”与“建系”.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第29练　“空间角”攻略 ‎[题型分析·高考展望]　空间角包括异面直线所成的角，线面角以及二面角，在高考中频繁出现，也是高考立体几何题目中的难点所在.掌握好本节内容，首先要理解这些角的概念，其次要弄清这些角的范围，最后再求解这些角.在未来的高考中，空间角将是高考考查的重点，借助向量求空间角，将是解决这类题目的主要方法.‎ 体验高考 ‎1.(2015·浙江)如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD翻折成△A′CD，所成二面角A′－CD－B的平面角为α，则(　　)‎ A.∠A′DB≤α B.∠A′DB≥α C.∠A′CB≤α D.∠A′CB≥α 答案　B 解析　极限思想：若α＝π，‎ 则∠A′CB＜π，排除D；若α＝0，如图，‎ 则∠A′DB，∠A′CB都可以大于0，‎ 排除A，C.故选B.‎ ‎2.(2016·课标全国乙)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　如图所示，设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1，‎ ‎∵α∥平面CB1D1，则m1∥m，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 又∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，‎ 平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥m1，‎ ‎∴B1D1∥m，同理可得CD1∥n.‎ 故m、n所成角的大小与B1D1、CD1所成角的大小相等，即∠CD1B1的大小.‎ 而B1C＝B1D1＝CD1(均为面对角线)，‎ 因此∠CD1B1＝，得sin∠CD1B1＝，故选A.‎ ‎3.(2016·课标全国丙)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点.‎ ‎(1)证明MN∥平面PAB；‎ ‎(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.‎ ‎(1)证明　由已知得AM＝AD＝2.‎ 取BP的中点T，连接AT，TN，‎ 由N为PC的中点知TN∥BC，TN＝BC＝2.‎ 又AD∥BC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.‎ 因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB.‎ ‎(2)解　取BC的中点E，连接AE.‎ 由AB＝AC得AE⊥BC，‎ 从而AE⊥AD，‎ AE＝＝＝.‎ 以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.‎ 由题意知，P(0，0，4)，M(0，2，0)，C(，2，0)，N，＝(0，2，－4)，＝，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ＝.‎ 设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，则 即可取n＝(0，2，1).‎ 于是|cos〈n，〉|＝＝.‎ 所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.‎ 高考必会题型 题型一　异面直线所成的角 例1　在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直线BA1与AC所成的角.‎ 解　方法一　因为＝＋，＝＋，‎ 所以·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·.‎ 因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，‎ 所以·＝0，·＝0，·＝0，·＝－a2.‎ 所以·＝－a2.‎ 又·＝||||cos〈，〉，‎ cos〈，〉＝＝－.‎ 所以〈，〉＝120°，‎ 所以异面直线BA1与AC所成的角为60°.‎ 方法二　连接A1C1，BC1，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 则由条件可知A1C1∥AC，‎ 从而BA1与AC所成的角即为BA1与A1C1所成的角，‎ 由于该几何体为边长为a的正方体，于是△A1BC1为正三角形，∠BA1C1＝60°，‎ 从而所求异面直线BA1与AC所成的角为60°.‎ 方法三　由于该几何体为正方体，所以DA，DC，DD1两两垂直且长度均为a，‎ 于是以D为坐标原点，，，分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 于是有A(a，0，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，B(a，a，0)，‎ 从而＝(－a，a，0)，＝(0，－a，a)，‎ 且||＝||＝a，·＝－a2，‎ 所以cos〈，〉＝＝－，‎ 即〈，〉＝120°，‎ 所以所求异面直线BA1与AC所成的角为60°.‎ 点评　(1)异面直线所成的角的范围是(0，].求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决.‎ 具体步骤如下：‎ ‎①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；‎ ‎②证明作出的角即为所求的角；‎ ‎③利用三角形来求角.‎ ‎(2)如果题目条件易建立空间坐标系，可以借助空间向量来求异面直线所成角：设异面直线 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足cos θ＝|cos〈m1，m2〉|.‎ 变式训练1　(2015·浙江)如图，三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________.‎ 答案　 解析　如图所示，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK.‎ ‎∵M为AD的中点，‎ ‎∴MK∥AN，∴∠KMC为异面直线AN，CM所成的角.‎ ‎∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N为BC的中点，‎ 由勾股定理求得AN＝DN＝CM＝2，‎ ‎∴MK＝AN＝.‎ 在Rt△CKN中，CK＝＝.‎ 在△CKM中，由余弦定理，得 cos∠KMC＝＝.‎ 题型二　直线与平面所成的角 例2　如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点.‎ ‎(1)证明：PE⊥BC；‎ ‎(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值.‎ ‎(1)证明　以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 则A(1，0，0)，B(0，1，0)，‎ 设C(m，0，0)，P(0，0，n)‎ ‎(m0)，‎ 则D(0，m，0)，E(，，0).‎ 可得＝(，，－n)，＝(m，－1，0).‎ 因为·＝－＋0＝0，‎ 所以PE⊥BC.‎ ‎(2)解　由已知条件可得m＝－，n＝1，‎ 故C(－，0，0)，D(0，－，0)，E(，－，0)，P(0，0，1)，‎ 设n＝(x，y，z)为平面PEH的法向量，‎ 则 即因此可以取n＝(1，，0)，‎ 又＝(1，0，－1)，‎ 所以|cos〈，n〉|＝，‎ 所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为.‎ 点评　(1)求直线l与平面α所成的角，先确定l在α上的射影，在l上取点作α的垂线，或观察原图中是否存在这样的线，或是否存在过l上一点与α垂直的面.‎ ‎(2)找到线面角、作出说明，并通过解三角形求之.‎ ‎(3)利用向量求线面角，设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m和n，则直线l与平面α所成角θ满足sin θ＝|cos〈m，n〉|，θ∈.‎ 变式训练2　如图，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AB＝BC＝4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD＝AE＝2，点O、M分别为CE、AB的中点.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(1)求证：OD∥平面ABC；‎ ‎(2)求直线CD和平面ODM所成角的正弦值；‎ ‎(3)能否在EM上找到一点N，使得ON⊥平面ABDE？若能，请指出点N的位置并加以证明；若不能，请说明理由.‎ 解　以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BD为z轴，建立空间直角坐标系，则C(4，0，0)，A(0，4，0)，D(0，0，2)，E(0，4，4)，O(2，2，2)，M(0，2，0).‎ ‎(1)证明　平面ABC的法向量n1＝(0，0，1)，＝(2，2，0)，·n1＝0，‎ ‎∴OD∥平面ABC.‎ ‎(2)解　设平面ODM的法向量为n2，直线CD与平面ODM所成角为θ，‎ ‎∵＝(2，2，0)，＝(0，2，－2)，‎ ‎∴n2＝(－1，1，1)，＝(－4，0，2)，‎ ‎∴sin θ＝＝.‎ ‎(3)解　设EM上一点N满足＝λ＋(1－λ)＝(0，4－2λ，4－4λ)，‎ 平面ABDE的法向量n3＝(1，0，0)，＝－＝(－2，2－2λ，2－4λ)，不存在λ使n3∥，‎ ‎∴不存在满足题意的点N.‎ 题型三　二面角 例3　(2016·浙江)如图，在三棱台ABC－DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.‎ ‎(1)求证：BF⊥平面ACFD；‎ ‎(2)求二面角B－AD－F的平面角的余弦值.‎ ‎(1)证明　延长AD，BE，CF相交于一点K，如图①所示.‎ 图①‎ 因为平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCFE，因此BF⊥AC.‎ 又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，‎ BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK，且CK∩AC＝C，‎ 所以BF⊥平面ACFD.‎ ‎(2)解　方法一　如图①所示，过点F作FQ⊥AK于Q，连接BQ.因为BF⊥平面ACFD，所以BF⊥AK，‎ 则AK⊥平面BQF，所以BQ⊥AK.‎ 所以∠BQF是二面角B－AD－F的平面角.‎ 在Rt△ACK中，AC＝3，CK＝2，得FQ＝.‎ 在Rt△BQF中，FQ＝，BF＝，‎ 得cos∠BQF＝.‎ 所以二面角B－AD－F的平面角的余弦值为.‎ 方法二　如图②所示，延长AD，BE，CF相交于一点K，则△BCK为等边三角形.‎ 图②‎ 取BC的中点O，连接KO，则KO⊥BC，又平面BCFE⊥平面ABC，所以KO⊥平面ABC.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 以点O为原点，分别以射线OB，OK的方向为x轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.‎ 由题意得B(1，0，0)，C(－1，0，0)，K(0，0，)，A(－1，－3，0)，E，F.‎ 因此，＝(0，3，0)，＝(1，3，)，＝(2，3，0).‎ 设平面ACK的法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面ABK的法向量为n＝(x2，y2，z2).‎ 由得 取m＝(，0，－1)；‎ 由得 取n＝(3，－2，)，于是，cos〈m，n〉＝＝.‎ 所以二面角B－AD－F的平面角的余弦值为.‎ 点评　(1)二面角的范围是(0，π]，解题时要注意图形的位置和题目的要求.作二面角的平面角常有三种方法.‎ ‎①棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；‎ ‎②面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点(即斜足)，斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；‎ ‎③空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角.‎ ‎(2)用向量法求二面角的大小 ‎①如图(1)，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎②如图(2)(3)，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉.‎ 变式训练3　如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，AB＝2，点E是C1D1的中点.‎ ‎(1)求证：DE⊥平面BCE；(2)求二面角A－EB－C的大小.‎ ‎(1)证明　建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则D(0，0，0)，E(0，1，1)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，‎ ＝(0，1，1)，＝(－1，－1，1)，＝(－1，0，0).‎ 因为·＝0，·＝0，‎ 所以⊥，⊥.‎ 则DE⊥BE，DE⊥BC.‎ 因为BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，‎ BE∩BC＝B，所以DE⊥平面BCE.‎ ‎(2)解　设平面AEB的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则即 所以平面AEB的法向量为n＝(1，0，1)，‎ 因为DE⊥平面BCE，所以就是平面BCE的法向量.‎ 因为cos〈n，〉＝＝，‎ 由图形可得二面角A－EB－C的大小为120°.‎ 高考题型精练 ‎1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B与B1C所在直线所成角的大小是(　　)‎ A.30° B.45° C.60° D.90°‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 答案　C 解析　作A1B∥D1C，连接B1D1，‎ 易证∠B1CD1就是A1B与B1C所在直线所成角，‎ 由于△B1CD1是等边三角形，‎ 因此∠B1CD1＝60°，故选C.‎ ‎2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B与平面BB1D1D所成的角的大小是(　　)‎ A.90° B.30° C.45° D.60°‎ 答案　B 解析　连接A1C1∩B1D1＝O，∴A1O⊥平面BB1D1D，A1B与平面BB1D1D所成的角为∠A1BO，‎ ‎∵A1O＝A1B，∴∠A1BO＝30°，‎ A1B与平面BB1D1D所成的角的大小是30°.‎ ‎3.如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是(　　)‎ A.90° B.60° C.45° D.30°‎ 答案　A 解析　连接B′C，则△AB′C为等边三角形，‎ 设AD＝a，则B′D＝DC＝a，B′C＝AC＝a，‎ 所以∠B′DC＝90°，故选A.‎ ‎4.已知正三棱锥S－ABC中，E是侧棱SC的中点，且SA⊥BE，则SB与底面ABC所成角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　如图，在正三棱锥S－ABC中，作SO⊥平面ABC，连接OA，OB，则O是△ABC的中心，OA⊥BC，由此可得SA⊥BC，又SA⊥BE，所以SA⊥平面SBC.故正三棱锥S－ABC的各侧面是全等的等腰直角三角形.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 方法一　由上述分析知cos∠SBA＝cos∠ABO·cos∠SBO，即cos 45°＝cos 30°·cos∠SBO，‎ 所以cos ∠SBO＝，故选A.‎ 方法二　因为SO⊥平面ABC，所以SB与平面ABC所成的角为∠SBO，令AB＝2，则OB＝，SB＝，‎ 所以cos ∠SBO＝＝＝，故选A.‎ ‎5.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于(　　)‎ A.45° B.60° C.90° D.120°‎ 答案　B 解析　如图，连接A1B，BC1，A1C1，则A1B＝BC1＝A1C1，‎ 因为EF∥A1B，GH∥BC1，‎ 所以异面直线EF与GH所成的角等于60°，‎ 故选B.‎ ‎6.正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解析　设AC∩BD＝O，连接OC1，过C点作CH⊥OC1于H，连接DH.‎ ‎∵BD⊥AC，BD⊥AA1，‎ ‎∴BD⊥平面ACC1A1，‎ ‎∴BD⊥CH，又CH⊥OC1，‎ ‎∴CH⊥平面C1BD，‎ 则∠CDH为CD与平面BDC1所成的角，设AA1＝2AB＝2，OC1＝＝ ＝，‎ 由等面积法有OC1·CH＝OC·CC1，‎ 代入算出CH＝，sin ∠CDH＝＝，故选A.‎ ‎7.直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，2AB＝2AC＝AA1，则异面直线BA1与B1C所成角的余弦值等于________.‎ 答案　 解析　以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 因为2AB＝2AC＝AA1＝2，‎ 则A1(0，0，2)，B(1，0，0)，B1(1，0，2)，C(0，1，0)，‎ ＝(－1，0，2)，＝(－1，1，－2)，‎ 设异面直线BA1与B1C所成的角为θ，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 则cos θ＝＝＝.‎ ‎8.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，PA＝1，底面ABCD是正方形，PC与底面ABCD所成角的大小为，则该四棱锥的体积是________.‎ 答案　 解析　∵PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PC与底面ABCD所成角的大小为，‎ ‎∴Rt△PAC中，PA＝1，∠PCA＝，AC＝，‎ ‎∵底面ABCD是正方形，∴AB＝，‎ V＝×××1＝.‎ ‎9.以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕，使△AB′D和△ACD折成互相垂直的两个平面，则∠B′AC＝________.‎ 答案　60°‎ 解析　不妨设△ABC的斜边为2，‎ 则AD＝BD＝CD＝1，AC＝AB＝，‎ 因为△AB′D和△ACD折成互相垂直的两个平面，‎ 且AD⊥B′D，AD⊥DC，‎ 所以∠B′DC是二面角B′－AD－C的平面角，‎ 即B′D⊥DC，则B′C＝，‎ 所以折叠后的△AB′C为等边三角形，即∠B′AC＝60°.‎ ‎10.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝，D、E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为________.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 答案　 解析　取AC中点F，连接BF，DF，‎ 则DF∥BE，DF＝BE，‎ ‎∴DE∥BF，∴BF与平面BB1C1C所成的角为所求.‎ ‎∵AB＝1，BC＝，AC＝2，∴AB⊥BC，‎ 又AB⊥BB1，∴AB⊥平面BB1C1C.作GF∥AB交BC于G，则GF⊥平面BB1C1C，‎ ‎∴∠FBG为直线BF与平面BB1C1C所成的角，‎ 由条件知BG＝BC＝，GF＝AB＝，‎ ‎∴tan∠FBG＝＝，‎ ‎∴∠FBG＝.‎ ‎11.(2016·四川)如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD.E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.‎ ‎(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；‎ ‎(2)若二面角P－CD－A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.‎ 解　(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行.延长AB，DC，相交于点M(M∈平面PAB)，点M即为所求的一个点.理由如下：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由已知，BC∥ED，且BC＝ED.‎ 所以四边形BCDE是平行四边形.‎ 从而CM∥EB.又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE.‎ 所以CM∥平面PBE.‎ ‎(说明：延长AP至点N，使得AP＝PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点)‎ ‎(2)方法一　由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，‎ 所以CD⊥平面PAD.‎ 从而CD⊥PD.‎ 所以∠PDA是二面角P－CD－A的平面角.所以∠PDA＝45°.‎ 设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2.‎ 过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.‎ 易知PA⊥平面ABCD，‎ 从而PA⊥CE.且PA∩AH＝A，‎ 于是CE⊥平面PAH.‎ 又CE⊂平面PCE，‎ 所以平面PCE⊥平面PAH.‎ 过A作AQ⊥PH于Q，‎ 则AQ⊥平面PCE.‎ 所以∠APH是PA与平面PCE所成的角.‎ 在Rt△AEH中，∠AEH＝45°，AE＝1，‎ 所以AH＝.‎ 在Rt△PAH中，PH＝＝.‎ 所以sin∠APH＝＝.‎ 方法二　由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，‎ 所以CD⊥平面PAD，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 于是CD⊥PD.‎ 从而∠PDA是二面角P－CD－A的平面角，‎ 所以∠PDA＝45°.‎ 由∠PAB＝90°，‎ 且PA与CD所成的角为90°，‎ 可得PA⊥平面ABCD.‎ 设BC＝1，‎ 则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2.‎ 作Ay⊥AD，以A为原点，‎ 以，的方向分别为x轴，z轴的正方向，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，‎ 则A(0，0，0)，P(0，0，2)，C(2，1，0)，E(1，0，0).‎ 所以＝(1，0，－2)，＝(1，1，0)，＝(0，0，2).‎ 设平面PCE的法向量为n＝(x，y，z).‎ 由得 设x＝2，解得n＝(2，－2，1).‎ 设直线PA与平面PCE所成角为α，‎ 则sin α＝＝＝.‎ 所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.‎ ‎12.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点.‎ ‎(1)若PA＝PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；‎ ‎(2)点M在线段PC上，PM＝PC，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA＝PD＝AD＝2，求平面MBQ与平面CBQ夹角的大小.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(1)证明　由题意知：PQ⊥AD，BQ⊥AD，PQ∩BQ＝Q，‎ ‎∴AD⊥平面PQB，‎ 又∵AD⊂平面PAD，‎ ‎∴平面PQB⊥平面PAD.‎ ‎(2)解　∵PA＝PD＝AD，Q为AD的中点，‎ ‎∴PQ⊥AD，‎ ‎∵平面PAD⊥平面ABCD，‎ 平面PAD∩平面ABCD＝AD，‎ ‎∴PQ⊥平面ABCD.‎ 以Q为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则Q(0，0，0)，A(1，0，0)，P(0，0，)，B(0，，0)，‎ C(－2，，0)，‎ ‎∴＝＋ ‎＝＋ ‎＝＋(－)‎ ‎＝＋ ‎＝(－，，)，‎ 设n1是平面MBQ的一个法向量，‎ 则n1·＝0，n1·＝0，‎ ‎∴ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴n1＝(，0，1).‎ 又∵n2＝(0，0，1)是平面BQC的一个法向量，‎ ‎∴cos〈n1，n2〉＝，‎ ‎∴平面MBQ与平面CBQ的夹角为60°.‎ ‎ ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费