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第37练 二项式定理的两类重点题型——求指定项与求和
[题型分析·高考展望] 二项式定理的应用，是理科高考的考点之一，考查频率较高，一般为选择题或填空题，题目难度不大，为低、中档题.主要考查两类题型，一是求展开式的指定项，二是求各项和或系数和，只要掌握两类题型的常规解法，该部分题目就能会做.
体验高考
1.(2015·课标全国Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )
A.10 B.20 C.30 D.60
答案 C
解析 方法一 利用二项展开式的通项公式求解.
(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.
其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.
所以x5y2的系数为CC＝30.故选C.
方法二 利用组合知识求解.
(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC＝30.故选C.
2.(2016·四川)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为( )
A.－15x4 B.15x4 C.－20ix4 D.20ix4
答案 A
解析 由题可知，含x4的项为Cx4i2＝－15x4.选A.
3.(2015·安徽)7的展开式中x5的系数是________(用数字填写答案).
答案 35
解析 7的展开式的第k＋1项为Tk＋1＝C(x3)7－k·k＝C·x21－4k，令21－4k＝5，得k＝4，∴T5＝Cx5＝35x5.
4.(2016·上海)在(－)n的二次项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于________.
答案 112
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解析 2n＝256，n＝8，
通项Tk＋1＝C··(－)k＝C(－2)k·.
取k＝2，
常数项为C(－2)2＝112.
高考必会题型
题型一 求展开项
例1 (1)(x2＋－2)3展开式中的常数项为( )
A.－8 B.－12 C.－20 D.20
(2)(2016·山东)若5的展开式中x5的系数为－80，则实数a＝________.
答案 (1)C (2)－2
解析 (1)二项式(x2＋－2)3可化为(x－)6，
展开式的通项公式为Tk＋1＝C·(－1)k·x6－2k.
令x的幂指数6－2k＝0，解得k＝3，
故展开式中的常数项为－C＝－20，
故选C.
(2)∵Tk＋1＝C(ax2)5－kk＝a5－kC，
∴10－k＝5，解得k＝2，∴a3C＝－80，解得a＝－2.
点评 应用通项公式要注意四点
(1)Tk＋1是展开式中的第k＋1项，而不是第k项；
(2)公式中a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置；
(3)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题；
(4)对二项式(a－b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题.
变式训练1 (1)(9x－)n(n∈N*)的展开式的第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为( )
A.252 B.－252 C.84 D.－84
(2)(1－x)(1＋2)5展开式中x2的系数为________.
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答案 (1)C (2)60
解析 (1)第3项的二项式系数为C＝＝36，n＝9，
其通项公式为Tk＋1＝(－)kC(9x)9－k＝(－)k99－kC，
当9－k＝0，k＝6时，为常数项，
常数项为(－)699－6C＝84.
(2)因为(1＋2)5展开式的通项公式为Tk＋1＝C·2k·，
所以(1－x)(1＋2)5展开式中x2的系数为1×C×24－×C×22＝60.
题型二 赋值法求系数之和
例2 (1)对任意的实数x，有(2x－3)6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＋6a6等于( )
A.－12 B.－6 C.6 D.12
(2)若(2x－1)2 013＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 013x2 013(x∈R)，则＋＋＋…＋等于( )
A.－ B. C.－ D.
答案 (1)A (2)D
解析 (1)由(2x－3)6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，两侧求导，得a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4＋6a6x5＝12(2x－3)5，
令x＝1，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＋6a6
＝12(2×1－3)5＝－12，故选A.
(2)因为(2x－1)2 013＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 013x2 013(x∈R)，
令x＝0，则a0＝－1，a1＝2C(－1)2 012＝2C；
令x＝，则a0＋＋＋…＋＝0，
所以＋＋＋…＋
＝(a1＋＋＋…＋)
＝(a0＋a1＋＋＋…＋)－
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＝(2×－1)2 013＋＝.
点评 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m (a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n (a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.
(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
变式训练2 (1)已知(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且a0＋a1＋a2＋…＋an＝126，那么(－)n的展开式中的常数项为( )
A.－15 B.15 C.20 D.－20
(2)若(1－5x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，那么|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值是( )
A.1 B.49 C.59 D.69
答案 (1)D (2)D
解析 (1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋an＝2＋22＋…＋2n＝2×＝2n＋1－2＝126⇒2n＋1＝128⇒2n＋1＝27⇒n＝6，又Tk＋1＝C()6－k(－)k＝C(－1)kx3－k，
所以由3－k＝0得k＝3，则常数项为－C＝－20.
(2)(1－5x)9展开式的通项公式为Tk＋1＝C(－5x)k＝(－5)kCxk，
所以当x的指数为奇数时，其系数为负，
所以在(1－5x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9中令x＝－1，得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|
＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝69，故选D.
高考题型精练
1.若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为( )
A.1 B.－1 C.0 D.2
答案 A
解析 令x＝1，得(2＋)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，
又令x＝－1，得(2－)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4，
所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2
＝(a0＋a2＋a4＋a1＋a3)(a0＋a2＋a4－a1－a3)
＝(2＋)4(2－)4＝14＝1.
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2.设n∈N*，则5C＋52C＋53C＋…＋5nC除以7的余数为( )
A.0或5 B.1或3 C.4或6 D.0或2
答案 A
解析 5C＋52C＋53C＋…＋5nC
＝C＋5C＋52C＋53C＋…＋5nC－C
＝(1＋5)n－1
＝(7－1)n－1＝7M＋(－1)n－1，M∈Z，
当n为奇数时，余数为5，
当n为偶数时，余数为0.
3.设k＝(sin x－cos x)dx，若(1－kx)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a1＋a2＋…＋a8等于( )
A.－1 B.0 C.1 D.256
答案 B
解析 k＝(sin x－cos x)dx＝sin xdx－cos xdx
＝－cos x－sin x＝2，
所以(1－kx)8＝(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a8＝(1－2)8＝1，
令x＝0，得a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a8＝(a0＋a1＋a2＋…＋a8)－a0＝1－1＝0，故选B.
4.设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m等于( )
A.5 B.6 C.7 D.8
答案 B
解析 (x＋y)2m展开式中二项式系数的最大值为C，
∴a＝C.同理，b＝C.
∵13a＝7b，∴13·C＝7·C，
∴13·＝7·，
∴m＝6.
5.(＋)5展开式的第三项为10，则y关于x的函数图象大致为( )
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答案 D
解析 由题意得，展开式的第三项为T3＝C()3()2＝10xy，
所以10xy＝10，所以y＝，且x>0，故选D.
6.设a∈Z，且0≤a
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