安徽省安庆市2017届九年级上期末数学模拟试卷含答案解析.doc

第 1 页（共 29 页） 2016-2017 学年安徽省安庆市九年级（上）期末数学模拟试卷 　 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．在平面直角坐标系中，将抛物线 y=x2﹣4 先向右平移两个单位，再向上平移 两个单位，得到的抛物线的解析式是（　　） A．y=（x+2）2+2 B．y=（x﹣2）2﹣2 C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x+2）2﹣2 2．下列关于函数 的图象说法：①图象是一条抛物线；②开口向下；③ 对称轴是 y 轴；④顶点（0，0），其中正确的有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 3．如图是二次函数 y=ax2+bx+c 的部分图象，由图象可知不等式 ax2+bx+c＜0 的 解集是（　　） A．﹣1＜x＜5 B．x＞5C．x＜﹣1 且 x＞5 D．x＜﹣1 或 x＞5 4．抛物线 y=（x+2）2﹣3 可以由抛物线 y=x2 平移得到，则下列平移过程正确的 是（　　） A．先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 B．先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 C．先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 D．先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 5．为了测量被池塘隔开的 A，B 两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图 形，其中 AB⊥BE，EF⊥BE，AF 交 BE 于 D，C 在 BD 上．有四位同学分别测量出 以下四组数据：①BC，∠ACB； ②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE， DC，BC．能根据所测数据，求出 A，B 间距离的有（　　）第 2 页（共 29 页） A．1 组 B．2 组 C．3 组 D．4 组 6．如图，△ABC 与△DEF 是位似图形，位似比为 2：3，已知 AB=4，则 DE 的长 等于（　　） A．6 B．5 C．9 D． 7．如图，直径为 10 的⊙A 经过点 C（0，5）和点 O（0，0），B 是 y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则 cos∠OBC 的值为（　　） A． B． C． D． 8．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若斜边 AB 是直角边 BC 的 3 倍，则 tanB 的值是（　　） A．2 B．3 C． D． 9．如图，点 B、D、C 是⊙O 上的点，∠BDC=130°，则∠BOC 是（　　） A．100°B．110°C．120°D．130° 10．如图，△ABC 中，A，B 两个顶点在 x 轴的上方，点 C 的坐标是（﹣1，第 3 页（共 29 页） 0）．以点 C 为位似中心，在 x 轴的下作△ABC 的位似图形△A′B′C，并把△ABC 的 边长放大到原来的 2 倍．设点 A′的对应点 A 的纵坐标是 1.5，则点 A'的纵坐标是 （　　） A．3 B．﹣3 C．﹣4 D．4 　 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 11．已知二次函数 y=x2+bx+3 的对称轴为 x=2，则 b=　　． 12．若△ADE∽△ACB，且 = ，若四边形 BCED 的面积是 2，则△ADE 的面积 是　　． 13．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=4，BC=2 ，则 sin =　　． 14．如图，在正方形 ABCD 内有一折线段，其中 AE 丄 EF，EF 丄 FC，并且 AE=6， EF=8，FC=10，则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为　　． 　 三、计算题（本大题共 1 小题，共 8 分） 15．计算：（﹣1）2016+2sin60°﹣|﹣ |+π0． 　第 4 页（共 29 页） 四、解答题（本大题共 7 小题，共 68 分） 16．已知抛物线 y=﹣x2+bx+c 经过点 A（3，0），B（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标． 17．某校九年级数学兴趣小组的同学开展了测量湘江宽度的活动．如图，他们在 河东岸边的 A 点测得河西岸边的标志物 B 在它的正西方向，然后从 A 点出发沿 河岸向正北方向行进 550 米到点 C 处，测得 B 在点 C 的南偏西 60°方向上，他们 测得的湘江宽度是多少米？（结果保留整数，参考数据： ≈1.414， ≈1.732） 18．已知：如图，点 P 是⊙O 外的一点，PB 与⊙O 相交于点 A、B，PD 与⊙O 相 交于 C、D，AB=CD． 求证：（1）PO 平分∠BPD； （2）PA=PC． 19．如图，△ABC 中，E 是 AC 上一点，且 AE=AB，∠EBC= ∠BAC，以 AB 为直 径的⊙O 交 AC 于点 D，交 EB 于点 F． （1）求证：BC 与⊙O 相切； （2）若 AB=8，sin∠EBC= ，求 AC 的长．第 5 页（共 29 页） 20．如图，直线 y=﹣x+b 与反比例函数 y= 的图象相交于 A（1，4），B 两点，延 长 AO 交反比例函数图象于点 C，连接 OB． （1）求 k 和 b 的值； （2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量 x 的取值范围； （3）在 y 轴上是否存在一点 P，使 S△PAC= S△AOB？若存在请求出点 P 坐标，若 不存在请说明理由． 21．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，O 是 AB 上一点，以 OA 为半径的⊙O 经过点 D． （1）求证：BC 是⊙O 切线； （2）若 BD=5，DC=3，求 AC 的长． 22．一种实验用轨道弹珠，在轨道上行驶 5 分钟后离开轨道，前 2 分钟其速度 v （米/分）与时间 t（分）满足二次函数 v=at2，后三分钟其速度 v（米/分）与时 间 t（分）满足反比例函数关系，如图，轨道旁边的测速仪测得弹珠 1 分钟末的 速度为 2 米/分，求： （1）二次函数和反比例函数的关系式． （2）弹珠在轨道上行驶的最大速度． （3）求弹珠离开轨道时的速度．第 6 页（共 29 页） 　 五、综合题（本大题共 1 小题，共 14 分） 23．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y= x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交 于点 C．抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴是 x=﹣ 且经过 A、C 两点，与 x 轴的另一 交点为点 B． （1）①直接写出点 B 的坐标；②求抛物线解析式． （2）若点 P 为直线 AC 上方的抛物线上的一点，连接 PA，PC．求△PAC 的面积 的最大值，并求出此时点 P 的坐标． （3）抛物线上是否存在点 M，过点 M 作 MN 垂直 x 轴于点 N，使得以点 A、M、 N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说 明理由． 　第 7 页（共 29 页） 2016-2017 学年安徽省安庆市九年级（上）期末数学模拟 试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．在平面直角坐标系中，将抛物线 y=x2﹣4 先向右平移两个单位，再向上平移 两个单位，得到的抛物线的解析式是（　　） A．y=（x+2）2+2 B．y=（x﹣2）2﹣2 C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x+2）2﹣2 【考点】二次函数图象与几何变换． 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可． 【解答】解：函数 y=x2﹣4 向右平移 2 个单位，得：y=（x﹣2）2﹣4； 再向上平移 2 个单位，得：y=（x﹣2）2﹣2； 故选 B． 　 2．下列关于函数 的图象说法：①图象是一条抛物线；②开口向下；③ 对称轴是 y 轴；④顶点（0，0），其中正确的有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【考点】二次函数的性质． 【分析】函数 是一种最基本的二次函数，画出图象，直接判断． 【解答】解：①二次函数 的图象是抛物线，正确； ②因为 a=﹣ ＜0，抛物线开口向下，正确； ③因为 b=0，对称轴是 y 轴，正确； ④顶点（0，0）也正确． 故选 D． 　第 8 页（共 29 页） 3．如图是二次函数 y=ax2+bx+c 的部分图象，由图象可知不等式 ax2+bx+c＜0 的 解集是（　　） A．﹣1＜x＜5 B．x＞5C．x＜﹣1 且 x＞5 D．x＜﹣1 或 x＞5 【考点】二次函数与不等式（组）． 【分析】利用二次函数的对称性，可得出图象与x 轴的另一个交点坐标，结合图 象可得出 ax2+bx+c＜0 的解集． 【解答】解：由图象得：对称轴是 x=2，其中一个点的坐标为（5，0）， ∴图象与 x 轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）． 利用图象可知： ax2+bx+c＜0 的解集即是 y＜0 的解集， ∴x＜﹣1 或 x＞5． 故选：D． 　 4．抛物线 y=（x+2）2﹣3 可以由抛物线 y=x2 平移得到，则下列平移过程正确的 是（　　） A．先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 B．先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 C．先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 D．先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 【考点】二次函数图象与几何变换． 【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可． 【解答】解：抛物线 y=x2 向左平移 2 个单位可得到抛物线 y=（x+2）2， 抛物线 y=（x+2）2，再向下平移 3 个单位即可得到抛物线 y=（x+2）2﹣3． 故平移过程为：先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位． 故选：B．第 9 页（共 29 页） 　 5．为了测量被池塘隔开的 A，B 两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图 形，其中 AB⊥BE，EF⊥BE，AF 交 BE 于 D，C 在 BD 上．有四位同学分别测量出 以下四组数据：①BC，∠ACB； ②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE， DC，BC．能根据所测数据，求出 A，B 间距离的有（　　） A．1 组 B．2 组 C．3 组 D．4 组 【考点】相似三角形的应用；解直角三角形的应用． 【分析】根据三角形相似可知，要求出AB，只需求出 EF 即可．所以借助于相似 三角形的性质，根据 = 即可解答． 【解答】解：此题比较综合，要多方面考虑， ①因为知道∠ACB 和 BC 的长，所以可利用∠ACB 的正切来求 AB 的长； ②可利用∠ACB 和∠ADB 的正切求出 AB； ③，因为△ABD∽△EFD 可利用 = ，求出 AB； ④无法求出 A，B 间距离． 故共有 3 组可以求出 A，B 间距离． 故选 C． 　 6．如图，△ABC 与△DEF 是位似图形，位似比为 2：3，已知 AB=4，则 DE 的长 等于（　　） A．6 B．5 C．9 D．第 10 页（共 29 页） 【考点】位似变换． 【分析】位似是特殊的相似，位似比就是相似比，相似形对应边的比相等． 【解答】解：根据题意，△ABC 与△DEF 位似，且 AB：DE=2：3，AB=4 ∴DE=6 故选 A． 　 7．如图，直径为 10 的⊙A 经过点 C（0，5）和点 O（0，0），B 是 y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则 cos∠OBC 的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义． 【分析】连接CD，由∠COD 为直角，根据 90°的圆周角所对的弦为直径，可得出 CD 为圆 A 的直径，再利用同弧所对的圆周角相等得到∠CBO=∠CDO，在直角三 角形 OCD 中，由 CD 及 OC 的长，利用勾股定理求出 OD 的长，然后利用余弦函 数定义求出 cos∠CDO 的值，即为 cos∠CBO 的值． 【解答】解：连接 CD，如图所示： ∵∠COD=90°， ∴CD 为圆 A 的直径，即 CD 过圆心 A， 又∵∠CBO 与∠CDO 为 所对的圆周角， ∴∠CBO=∠CDO， 又∵C（0，5）， ∴OC=5， 在 Rt△CDO 中，CD=10，CO=5， 根据勾股定理得：OD= =5 ， ∴cos∠CBO=cos∠CDO= = = ．第 11 页（共 29 页） 故选 B 　 8．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若斜边 AB 是直角边 BC 的 3 倍，则 tanB 的值是（　　） A．2 B．3 C． D． 【考点】锐角三角函数的定义． 【分析】根据勾股定理求出 AC，根据正切的概念计算即可． 【解答】解：设 BC=x，则 AB=3x， 由勾股定理得，AC= =2 x， 则 tanB= =2 ， 故选：A． 　 9．如图，点 B、D、C 是⊙O 上的点，∠BDC=130°，则∠BOC 是（　　） A．100°B．110°C．120°D．130° 【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质． 【分析】首先在优弧 上取点E，连接 BE，CE，由点 B、D、C 是⊙O 上的点，∠ BDC=130°，即可求得∠E 的度数，然后由圆周角定理，即可求得答案． 【解答】解：在优弧 上取点 E，连接 BE，CE，如图所示： ∵∠BDC=130°， ∴∠E=180°﹣∠BDC=50°， ∴∠BOC=2∠E=100°．第 12 页（共 29 页） 故选：A． 　 10．如图，△ABC 中，A，B 两个顶点在 x 轴的上方，点 C 的坐标是（﹣1， 0）．以点 C 为位似中心，在 x 轴的下作△ABC 的位似图形△A′B′C，并把△ABC 的 边长放大到原来的 2 倍．设点 A′的对应点 A 的纵坐标是 1.5，则点 A'的纵坐标是 （　　） A．3 B．﹣3 C．﹣4 D．4 【考点】位似变换；坐标与图形性质． 【分析】根据位似变换的性质得出△ABC 的边长放大到原来的 2 倍，进而得出点 A'的纵坐标． 【解答】解：∵点C 的坐标是（﹣1，0）．以点 C 为位似中心，在 x 轴的下方作△ ABC 的位似图形△A′B′C， 并把△ABC 的边长放大到原来的 2 倍． 点 A′的对应点 A 的纵坐标是 1.5， 则点 A'的纵坐标是：﹣3． 故选：B． 　 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 11．已知二次函数 y=x2+bx+3 的对称轴为 x=2，则 b=　﹣4　． 【考点】二次函数的性质．第 13 页（共 29 页） 【分析】可直接由对称轴公式﹣ =2，求得 b 的值． 【解答】解：∵对称轴为 x=2， ∴﹣ =2， ∴b=﹣4． 　 12．若△ADE∽△ACB，且 = ，若四边形 BCED 的面积是 2，则△ADE 的面积 是　 　． 【考点】相似三角形的性质． 【分析】根据题意求出△ADE 与△ACB 的相似比，根据相似三角形面积的比等于 相似比的平方计算即可． 【解答】解：∵△ADE∽△ACB，且 = ， ∴△ADE 与△ACB 的面积比为： ， ∴△ADE 与四边形 BCED 的面积比为： ，又四边形 BCED 的面积是 2， ∴△ADE 的面积是 ， 故答案为： ． 　 13．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=4，BC=2 ，则 sin =　 　． 【考点】特殊角的三角函数值． 【分析】根据在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=4，BC=2 ，可以求得∠A 正弦值， 从而可以求得∠A 的度数，进而可求得 sin 的值． 【解答】解：∵在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=4，BC=2 ，第 14 页（共 29 页） ∴sinA= ， ∴∠A=60°， ∴sin =sin30°= ， 故答案为： ． 　 14．如图，在正方形 ABCD 内有一折线段，其中 AE 丄 EF，EF 丄 FC，并且 AE=6， EF=8 ， FC=10 ， 则 正 方 形 与 其 外 接 圆 之 间 形 成 的 阴 影 部 分 的 面 积 为 　 80π﹣160　． 【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质． 【分析】首先连接 AC，则可证得△AEM∽△CFM，根据相似三角形的对应边成 比例，即可求得 EM 与 FM 的长，然后由勾股定理求得 AM 与 CM 的长，则可求 得正方形与圆的面积，则问题得解． 【解答】解：连接 AC， ∵AE 丄 EF，EF 丄 FC， ∴∠E=∠F=90°， ∵∠AME=∠CMF， ∴△AEM∽△CFM， ∴ ， ∵AE=6，EF=8，FC=10， ∴ ， ∴EM=3，FM=5， 在 Rt△AEM 中，AM= =3 ， 在 Rt△FCM 中，CM= =5 ，第 15 页（共 29 页） ∴AC=8 ， 在 Rt△ABC 中，AB=AC•sin45°=8 • =4 ， ∴S 正方形 ABCD=AB2=160， 圆的面积为：π•（ ）2=80π， ∴正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为 80π﹣160． 故答案为：80π﹣160． 　 三、计算题（本大题共 1 小题，共 8 分） 15．计算：（﹣1）2016+2sin60°﹣|﹣ |+π0． 【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值． 【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方和乘法，然后从左向右依次计算， 求出算式（﹣1）2016+2sin60°﹣|﹣ |+π0 的值是多少即可． 【解答】解：（﹣1）2016+2sin60°﹣|﹣ |+π0 =1+2× ﹣ +1 =1+ ﹣ +1 =2 　 四、解答题（本大题共 7 小题，共 68 分） 16．已知抛物线 y=﹣x2+bx+c 经过点 A（3，0），B（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标． 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质． 【分析】（1）根据抛物线 y=﹣x2+bx+c 经过点 A（3，0），B（﹣1，0），直接得出 抛物线的解析式为；y=﹣（x﹣3）（x+1），再整理即可，第 16 页（共 29 页） （2）根据抛物线的解析式为 y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵抛物线 y=﹣x2+bx+c 经过点 A（3，0），B（﹣1，0）． ∴抛物线的解析式为；y=﹣（x﹣3）（x+1）， 即 y=﹣x2+2x+3， （2）∵抛物线的解析式为 y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）． 　 17．某校九年级数学兴趣小组的同学开展了测量湘江宽度的活动．如图，他们在 河东岸边的 A 点测得河西岸边的标志物 B 在它的正西方向，然后从 A 点出发沿 河岸向正北方向行进 550 米到点 C 处，测得 B 在点 C 的南偏西 60°方向上，他们 测得的湘江宽度是多少米？（结果保留整数，参考数据： ≈1.414， ≈1.732） 【考点】解直角三角形的应用-方向角问题． 【分析】根据题意，∠BAC=90°，AC=550，∠ACB=60°，求 AB．由三角函数定义 可建立关系式后求解． 【解答】解：由题意得：△ABC 中，∠BAC=90°，∠ACB=60°， AC=550，AB=AC•tan∠ACB=550 ≈952.6≈953（米）． 答：他们测得湘江宽度为 953 米． 　 18．已知：如图，点 P 是⊙O 外的一点，PB 与⊙O 相交于点 A、B，PD 与⊙O 相 交于 C、D，AB=CD． 求证：（1）PO 平分∠BPD； （2）PA=PC．第 17 页（共 29 页） 【考点】垂径定理；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理． 【分析】（1）过点 O 作 OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为 E、F，根据 AB=CD 可知 OE=OF，进而可知 PO 平分∠BPD； （2）先根据全等三角形的判定定理得出 Rt△POE≌Rt△POF，再由垂径定理可得 出 AE=CF，再根据 PE﹣AE=PF﹣CF 即可得出结论． 【解答】证明：（1）过点 O 作 OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为 E、F， ∵AB=CD， ∴OE=OF， ∴PO 平分∠BPD； （2）在 Rt△POE 与 Rt△POF 中， ∵OP=OP，OE=OF， ∴Rt△POE≌Rt△POF， ∴PE=PF， ∵AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，E、F 分别为垂足， ∴AE= ， CF= ， ∴AE=CF， ∴PE﹣AE=PF﹣CF，即 PA=PC． 　第 18 页（共 29 页） 19．如图，△ABC 中，E 是 AC 上一点，且 AE=AB，∠EBC= ∠BAC，以 AB 为直 径的⊙O 交 AC 于点 D，交 EB 于点 F． （1）求证：BC 与⊙O 相切； （2）若 AB=8，sin∠EBC= ，求 AC 的长． 【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质． 【分析】（1）首先连接 AF，由 AB 为直径，根据圆周角定理，可得∠AFB=90°， 又由 AE=AB，∠EBC= ∠BAC，根据等腰三角形的性质，可得∠BAF=∠EBC，继而 证得 BC 与⊙O 相切； （2）首先过 E 作 EG⊥BC 于点 G，由三角函数的性质，可求得 BF 的长，易证得△ CEG∽△CAB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案． 【解答】（1）证明：连接 AF． ∵AB 为直径， ∴∠AFB=90°． ∵AE=AB， ∴△ABE 为等腰三角形． ∴∠BAF= ∠BAC． ∵∠EBC= ∠BAC， ∴∠BAF=∠EBC， ∴∠FAB+∠FBA=∠EBC+∠FBA=90°． ∴∠ABC=90°． 即 AB⊥BC， ∴BC 与⊙O 相切．第 19 页（共 29 页） （2）解：过 E 作 EG⊥BC 于点 G， ∵∠BAF=∠EBC， ∴sin∠BAF=sin∠EBC= ． 在△AFB 中，∠AFB=90°， ∵AB=8， ∴BF=AB•sin∠BAF=8× =2， ∴BE=2BF=4． 在△EGB 中，∠EGB=90°， ∴EG=BE•sin∠EBC=4× =1， ∵EG⊥BC，AB⊥BC， ∴EG∥AB， ∴△CEG∽△CAB， ∴ ． ∴ ， ∴CE= ， ∴AC=AE+CE=8+ = ． 　第 20 页（共 29 页） 20．如图，直线 y=﹣x+b 与反比例函数 y= 的图象相交于 A（1，4），B 两点，延 长 AO 交反比例函数图象于点 C，连接 OB． （1）求 k 和 b 的值； （2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量 x 的取值范围； （3）在 y 轴上是否存在一点 P，使 S△PAC= S△AOB？若存在请求出点 P 坐标，若 不存在请说明理由． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】（1）由待定系数法即可得到结论； （2）根据图象中的信息即可得到结论； （3）过 A 作 AM⊥x 轴，过 B 作 BN⊥x 轴，由（1）知，b=5，k=4，得到直线的 表达式为：y=﹣x+5，反比例函数的表达式为： 列方程 ，求得 B（4， 1），于是得到 ，由已知条件得 到 ，过 A 作 AE⊥y 轴，过 C 作 CD⊥y 轴，设 P（0，t），根据三 角形的面积公式列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）将 A（1，4）分别代入 y=﹣x+b 和 得：4=﹣1+b，4= ，解得：b=5，k=4； （2）一次函数值小于反比例函数值的自变量 x 的取值范围为：x＞4 或 0＜x＜1， （3）过 A 作 AM⊥x 轴，过 B 作 BN⊥x 轴，第 21 页（共 29 页） 由（1）知，b=5，k=4， ∴直线的表达式为：y=﹣x+5，反比例函数的表达式为： 由 ，解得：x=4，或 x=1， ∴B（4，1）， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 过 A 作 AE⊥y 轴，过 C 作 CD⊥y 轴，设 P（0，t）， ∴S△PAC= OP•CD+ OP•AE= OP（CD+AE）=|t|=3， 解得：t=3，t=﹣3， ∴P（0，3）或 P（0，﹣3）． 　 21．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，O 是 AB 上一点，以 OA 为半径的⊙O 经过点 D． （1）求证：BC 是⊙O 切线； （2）若 BD=5，DC=3，求 AC 的长．第 22 页（共 29 页） 【考点】切线的判定． 【分析】（1）要证 BC 是⊙O 的切线，只要连接 OD，再证 OD⊥BC 即可． （2）过点 D 作 DE⊥AB，根据角平分线的性质可知 CD=DE=3，由勾股定理得到 BE 的长，再通过证明△BDE∽△BAC，根据相似三角形的性质得出 AC 的长． 【解答】（1）证明：连接 OD； ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠1=∠3． ∵OA=OD， ∴∠1=∠2． ∴∠2=∠3． ∴ ∥AC． ∴∠ODB=∠ACB=90°． ∴OD⊥BC． ∴BC 是⊙O 切线． （2）解：过点 D 作 DE⊥AB， ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴CD=DE=3． 在 Rt△BDE 中，∠BED=90°， 由勾股定理得： ， ∵∠BED=∠ACB=90°，∠B=∠B， ∴△BDE∽△BAC． ∴ ． ∴ ． ∴AC=6．第 23 页（共 29 页） 　 22．一种实验用轨道弹珠，在轨道上行驶 5 分钟后离开轨道，前 2 分钟其速度 v （米/分）与时间 t（分）满足二次函数 v=at2，后三分钟其速度 v（米/分）与时 间 t（分）满足反比例函数关系，如图，轨道旁边的测速仪测得弹珠 1 分钟末的 速度为 2 米/分，求： （1）二次函数和反比例函数的关系式． （2）弹珠在轨道上行驶的最大速度． （3）求弹珠离开轨道时的速度． 【考点】反比例函数的应用． 【分析】（1）二次函数图象经过点（1，2），反比例函数图象经过点（2，8），利 用待定系数法求函数解析式即可； （2）把 t=2 代入（1）中二次函数解析式即可； （3）把 t=5 代入（1）中反比例函数解析式即可求得答案． 【解答】解：（1）v=at2 的图象经过点（1，2）， ∴a=2．第 24 页（共 29 页） ∴二次函数的解析式为：v=2t2，（0≤t≤2）； 设反比例函数的解析式为 v= ， 由题意知，图象经过点（2，8）， ∴k=16， ∴反比例函数的解析式为 v= （2＜t≤5）； （2）∵二次函数 v=2t2，（0≤t≤2）的图象开口向上，对称轴为 y 轴， ∴弹珠在轨道上行驶的最大速度在 2 秒末，为 8 米/分； （3）弹珠在第 5 秒末离开轨道，其速度为 v= =3.2（米/分）． 　 五、综合题（本大题共 1 小题，共 14 分） 23．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y= x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交 于点 C．抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴是 x=﹣ 且经过 A、C 两点，与 x 轴的另一 交点为点 B． （1）①直接写出点 B 的坐标；②求抛物线解析式． （2）若点 P 为直线 AC 上方的抛物线上的一点，连接 PA，PC．求△PAC 的面积 的最大值，并求出此时点 P 的坐标． （3）抛物线上是否存在点 M，过点 M 作 MN 垂直 x 轴于点 N，使得以点 A、M、 N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说 明理由． 【考点】二次函数综合题．第 25 页（共 29 页） 【分析】（1）①先求的直线 y= x+2 与 x 轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称 性可求得点 B 的坐标；②设抛物线的解析式为 y=y=a（x+4）（x﹣1），然后将点 C 的坐标代入即可求得 a 的值； （2）设点 P、Q 的横坐标为 m，分别求得点 P、Q 的纵坐标，从而可得到线段 PQ= m2﹣2m，然后利用三角形的面积公式可求得 S△PAC= ×PQ×4，然后利用配 方法可求得△PAC 的面积的最大值以及此时 m 的值，从而可求得点 P 的坐标； （3）首先可证明△ABC∽△ACO∽△CBO，然后分以下几种情况分类讨论即可：① 当 M 点与 C 点重合，即 M（0，2）时，△MAN∽△BAC；②根据抛物线的对称 性，当 M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC； ④当点 M 在第四象限时，解题时， 需要注意相似三角形的对应关系． 【解答】解：（1）①y= 当 x=0 时，y=2，当 y=0 时，x=﹣4， ∴C（0，2），A（﹣4，0）， 由抛物线的对称性可知：点 A 与点 B 关于 x=﹣ 对称， ∴点 B 的坐标为 1，0）． ②∵抛物线 y=ax2+bx+c 过 A（﹣4，0），B（1，0）， ∴可设抛物线解析式为 y=a（x+4）（x﹣1）， 又∵抛物线过点 C（0，2）， ∴2=﹣4a ∴a= ∴y= x2 x+2． （2）设 P（m， m2 m+2）． 过点 P 作 PQ⊥x 轴交 AC 于点 Q，第 26 页（共 29 页） ∴Q（m， m+2）， ∴PQ= m2 m+2﹣（ m+2） = m2﹣2m， ∵S△PAC= ×PQ×4， =2PQ=﹣m2﹣4m=﹣（m+2）2+4， ∴当 m=﹣2 时，△PAC 的面积有最大值是 4， 此时 P（﹣2，3）． （3）方法一： 在 Rt△AOC 中，tan∠CAO= 在 Rt△BOC 中，tan∠BCO= ， ∴∠CAO=∠BCO， ∵∠BCO+∠OBC=90°， ∴∠CAO+∠OBC=90°， ∴∠ACB=90°， ∴△ABC∽△ACO∽△CBO， 如下图： ①当 M 点与 C 点重合，即 M（0，2）时，△MAN∽△BAC； ②根据抛物线的对称性，当 M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC； ③当点 M 在第四象限时，设 M（n， n2 n+2），则 N（n，0）第 27 页（共 29 页） ∴MN= n2+ n﹣2，AN=n+4 当 时，MN= AN，即 n2+ n﹣2= （n+4） 整理得：n2+2n﹣8=0 解得：n1=﹣4（舍），n2=2 ∴M（2，﹣3）； 当 时，MN=2AN，即 n2+ n﹣2=2（n+4）， 整理得：n2﹣n﹣20=0 解得：n1=﹣4（舍），n2=5， ∴M（5，﹣18）． 综上所述：存在 M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18），使 得以点 A、M、N 为顶点的三角形与△ABC 相似． 方法二： ∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2）， ∴KAC×KBC=﹣1， ∴AC⊥BC，MN⊥x 轴， 若以点 A、M、N 为顶点的三角形与△ABC 相似， 则 ， ， 设 M（2t，﹣2t2﹣3t+2）， ∴N（2t，0）， ①| |= ， ∴| |= ， ∴2t1=0，2t2=2， ②| |= ， ∴| |=2，∴2t1=5，2t2=﹣3，第 28 页（共 29 页） 综上所述：存在 M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18），使 得以点 A、M、N 为顶点的三角形与△ABC 相似． 　第 29 页（共 29 页） 2017 年 1 月 18 日