ui.doc

期 末 考 试 荆州中学2016～2017学年度上学期 期 末 考 试 卷 年级：高二 科目：数学（理科） ‎ 本试题卷共4页，三大题22小题．全卷满分150分，考试用时120分钟．‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．某单位员工按年龄分为A、B、C三个等级，其人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，则从C等级组中应抽取的样本数为 ‎ A．2 B．‎4 C．8 D．10 ‎ ‎2．下列有关命题的说法错误的是 A．若“”为假命题，则均为假命题 ‎ B．“”是“”的充分不必要条件 ‎ C．“”的必要不充分条件是“” ‎ D．若命题：，则命题： ‎ ‎3．若向量，，则 A． B． C． D．‎ ‎4．如右图表示甲、乙两名运动员每场比赛得分的茎叶图.则甲 得分的中位数与乙得分的中位数之和为 ‎ A．分 B．分 C．分 D．分 ‎5.已知变量与负相关，且由观测数据计算得样本平均数，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．执行如图所示的程序框图,输出的等于 ‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ 期 末 考 试 期 末 考 试 D．‎ ‎7.圆柱挖去两个全等的圆锥所得几何体的三视图如图所示，则其表面积为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎8.函数图象上的动点P到直线的距离为，点P到y轴的距离为，则 A． B. C． D. 不确定的正数 ‎ ‎9. 如果实数满足条件，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.椭圆的长轴为，短轴为，将椭圆沿y轴折成一个二面角，使得点在平面上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为 D1‎ A B C D A1‎ C1‎ B1‎ P A. 75° 　　 B. 60° 　　 C. 45° 　　 D. 30°‎ ‎11．如图，在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中，P是侧面BB‎1C1C内一动点，‎ 若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的 曲线是 ‎ A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线 ‎12． 过双曲线的一个焦点作平行于渐近线的两条直线，与双曲线分别交于、两点，若，则双曲线离心率的值所在区间是 ‎ A． B. C． D. ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．‎ 期 末 考 试 期 末 考 试 ‎13．已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上，若焦距为4，则m＝________.‎ ‎14．下列各数 、 、中最小的数是___________.‎ ‎15．已知函数，其中实数随机选自区间，对的概率是_________.‎ ‎16．已知的三边长分别为，，，是边上的点，是平面外一点．给出下列四个命题：‎ ‎①若平面，且是边中点，则有；‎ ‎②若，平面，则面积的最小值为；‎ ‎③若，平面，则三棱锥的外接球体积为；‎ ‎④若，在平面上的射影是内切圆的圆心，则三棱锥的体积为；‎ 其中正确命题的序号是 （把你认为正确命题的序号都填上）．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本题满分12分）设是实数，有下列两个命题：‎ 空间两点与的距离.‎ 抛物线上的点到其焦点的距离.‎ 已知“”和“”都为假命题，求的取值范围.‎ ‎18．（本小题满分12分）已知圆过点，，且圆心在直线上．‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）若点在圆上，求的最大值．‎ ‎19.（本题满分12分）某校从参加高二年级数学竞赛考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数，满分100分 期 末 考 试 期 末 考 试 ‎）分成六段[40，50），[50，60）…，[80，90），[90，100]，然后画出如图所示部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：‎ ‎（1）求第四小组的频率以及频率分布直方图中第四小矩形的高；‎ ‎（2）估计这次考试的及格率（60分及60分以上为及格）和平均分；‎ ‎（3）把从[80，90）分数段选取的最高分的两人组成B组，[90，100]分数段的学生组成C组，现从B，C两组中选两人参加科普知识竞赛，求这两个学生都来自C组的概率．‎ ‎20．（本题满分12分）在直角梯形PBCD中，∠D=∠C=，BC=CD=2，PD=4，A为PD的中点，如图1．将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，点E在SD上，且，如图2．‎ ‎(1)求证：SA⊥平面ABCD； ‎ ‎(2)求二面角E-AC-D的正切值； ‎ ‎(3)在线段BC上是否存在点F，使SF∥平面EAC？若存在，确定F的位置，若不存在，请说明理由． ‎ ‎21．（本题满分12分）已知直线经过椭圆：的一个焦点和一个顶点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）如图，分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连接 期 末 考 试 期 末 考 试 ‎，并延长交椭圆于点，设直线的斜率为．‎ ① 若直线平分线段，求的值；‎ ‎② 对任意，求证：．‎ ‎22．（本题满分10分）‎ 已知平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线方程为；的参数方程为（为参数）． ‎ ‎（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程和的普通方程； ‎ ‎（Ⅱ）设点为曲线上的任意一点，求点到曲线距离的取值范围．‎ 期 末 考 试 期 末 考 试 荆州中学2016～2017学年度上学期 期 末 考 试 卷 年级：高二 科目：数学（理科） 命题人：冯钢 审题人：冯启安 参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A C D B C C D B B B D C ‎12【解析】选C 设为左焦点，由双曲线的对称性，不妨设点的纵坐标为，则 由得， 又∵直线的方程为，‎ ‎∴，即， 又∵，‎ ‎∴， 两边同除以，得，‎ 即， 令，‎ ‎∵，，‎ ‎∴双曲线离心率的值所在区间是.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） ‎ ‎13. 8 14. 15. 16. ①④‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.解答：和都是假命题，为真命题，为假命题. ………………2分 ‎, ‎ 期 末 考 试 期 末 考 试 ‎；‎ ‎…………………………………………6分 又抛物线的准线为，为假命题，，.‎ ‎…………………………………10分 故所求的取值范围为. ………………………………12分 ‎18.解答：（1）设圆心坐标为，则 解得：，故圆的方程为： ……………6分 ‎（2）因为z＝x＋y，即，‎ 当这条直线与圆相切时，它在y轴上的截距最大或最小，即可求出的最大和最小值.‎ 将代入圆的方程，令，或者利用圆心到直线的距离等于半径 可求得最大值为： ……………………………………12分 ‎19.解答：（1）第四小组分数在[70，80）内的频率为：‎ ‎1-（0.005+0.01+0.015+0.015+0.025）10=0.30  第四个小矩形的高为=0.03 ……4分 ‎（2）由题意60分以上的各组频率和为：（0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75， ‎ 故这次考试的及格率约为75%， ………………6分 由45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71， ‎ 得本次考试中的平均分约为71： ………………8分 ‎ ‎（3）由已知可得C组共有学生60×10×0.005=3人，则从B，C两组共5人中选两人参加科普知识竞赛，设5人分别为，共有 等10种不同情况，其中这两个学生都来自C组有3种不同情况， ‎ ‎∴这两个学生都来自C组的概率． ……………………………………12分 期 末 考 试 期 末 考 试 ‎20.解法一：(1)证明：在题图1中，由题意可知，BA⊥PD，ABCD为正方形， 所以在题图2中，SA⊥AB，SA=2， 四边形ABCD是边长为2的正方形， 因为SB⊥BC，AB⊥BC， 所以BC⊥平面SAB，又SA⊂平面SAB， 所以BC⊥SA， 又SA⊥AB， 所以SA⊥平面ABCD， ……………………4分 ‎ ‎(2)在AD上取一点O，使，连接EO． 因为，所以EO∥SA 所以EO⊥平面ABCD， ‎ 过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH， 则AC⊥平面EOH， ‎ 所以AC⊥EH． 所以∠EHO为二面角E-AC-D的平面角，． ‎ 在Rt△AHO中，，，‎ 即二面角E-AC-D的正切值为．……………………8分 ‎(3)当F为BC中点时，SF∥平面EAC 理由如下：取BC的中点F，连接DF交AC于M， 连接EM，AD∥FC， 所以，又由题意，即 SF∥EM， 所以SF∥平面EAC，‎ 即当F为BC的中点时， SF∥平面EAC ……………12分 ‎ 解法二：(1)同方法一 ………………………………4分 ‎(2)如图，以A为原点建立直角坐标系， A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，S(0，0，2)，E ‎ 易知平面ACD的法向为 设平面EAC的法向量为，‎ 由所以，可取 ‎ 期 末 考 试 期 末 考 试 所以 所以 即二面角E-AC-D的正切值为． ………………………………8分 ‎(3)设存在F∈BC， 所以SF∥平面EAC， 设F(2，a，0) 所以，‎ 由SF∥平面EAC， 所以，所以4‎-2a-2=0， 即a=1，‎ 即F(2，1，0)为BC的中点. ……………………………………12分 ‎21.解：（1）在直线中令x=0得y=1；令y=0得x=-1，‎ 由题意得c=b=1， ∴，则椭圆方程为． …………………………3分 ‎（2）①由，，的中点坐标为，‎ 所以． ……………………………………………6分 ‎②解法一：将直线PA方程代入，解得，‎ 记，则，于是，‎ 故直线的方程为，‎ 代入椭圆方程得，由，‎ 因此， ………………………………………………9分 ‎∴， ，‎ ‎∴，∴，故．…………12分 解法二：由题意设，，，则，‎ ‎∵三点共线， ∴，……………………………………8分 期 末 考 试 期 末 考 试 又因为点在椭圆上， ∴，‎ 两式相减得：，……………………………………………10分 ‎∴，‎ ‎∴． ……………………………………………………12分 ‎22.解：（I）曲线方程为，可得，可得 ‎∴的直角坐标方程：，的参数方程为，‎ 消去参数可得： 的普通方程：．………………………………5分 ‎（II）由（I）知，为以（0，1）为圆心，为半径的圆，的圆心（0，1）到的距离为，则与相交，到曲线距离最小值为0，最大值为，则点到曲线距离的取值范围为．…………………10分 期 末 考 试