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高二数学 九江一中2016 -2017学年上学期期末考试 高二数学(理科)试卷 命题人：高二数学备课组 审题人：高二数学备课组 注意事项：‎ 1. 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，答题时间120分钟。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。‎ 2. 第I卷（选择题）答案必须使用2B铅笔填涂；第II卷（非选择题）必须将答案卸载答题卡上，写在本试卷上无效。‎ 3. 考试结束，将答题卡交回，试卷由个人妥善保管。‎ 第I卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1、如果，那么下列不等式成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2、（ ）‎ A．15 B．30 C．31 D．64‎ ‎3、已知双曲线的离心率等于，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4、已知命题，命题，则是的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ ‎5、若实数满足，则的最小值为（ ）‎ A. B.2 C. D.‎ 高二数学 高二数学 ‎6、已知数列为等比数列，则下列结论正确的是（ ）‎ A． B．若，则 C．若，则 D．‎ ‎7、《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现。书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织得快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布尺，一个月（按30天计算）总共织布尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（ ）‎ A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 ‎8、若双曲线的渐近线与圆（）相切，则 ‎（A）5 （B） （C）2 （D）‎ ‎9、设正数满足：，则的最小值为（ ）‎ A． B． C．4 D．2‎ ‎10、若椭圆和圆，(为椭圆的半焦距)，有四个不同的交点，则椭圆的离心率的取值范围是( ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎11、以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|=，|DE|=，则C的焦点到准线的距离为 ‎（A）2 （B）4 （C）6 （D）8‎ ‎12、如图，为椭圆的长轴的左、右端点，为坐标原点，为椭圆上不同于的三点，直线，围成一个平行四边形，则（ ）‎ A．5 B． C.9 D．14‎ 第II卷 高二数学 高二数学 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.‎ ‎13、在△ABC中，若,则 ‎ ‎14、在平面内，三角形的面积为S，周长为C，则它的内切圆的半径．在空间中，三棱锥的体积为V，表面积为S，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R=___________________‎ ‎15、已知中，，则的最大值是 ‎ ‎16、设数列是首项为0的递增数列，，满足：对于任意的总有两个不同的根，则的通项公式为_________‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎(17)（本小题满分10分）‎ 在中，角所对的边分别为，且 ‎（1）求的值； ‎ ‎（2）若，，求三角形ABC的面积.‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 已知数列满足，.‎ ‎（1）计算，，，的值；‎ ‎（2）根据以上计算结果猜想的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想.‎ 高二数学 高二数学 ‎（19）（本小题满分12分）‎ 数列的前项和记为，，.‎ ‎（Ⅰ）当为何值时，数列是等比数列;‎ ‎（Ⅱ）在（I）的条件下，若等差数列的前项和有最大值，且，又，，成等比数列，求.‎ ‎20、（本小题满分12分）‎ 由4个直角边为的等腰直角三角形拼成如图的平面凹五边形，沿折起，使平面平面.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的正切值.‎ ‎21、（本小题满分12分）‎ 已知点是拋物线的焦点, 若点在上,且．‎ ‎（1）求的值；‎ 高二数学 高二数学 ‎（2）若直线经过点且与交于（异于）两点, 证明: 直线与直线的斜率之积为常数．‎ ‎22、（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的中心为坐标原点，其离心率为，椭圆的一个焦点和抛物线的焦点重合．‎ ‎（1）求椭圆的方程 ‎（2）过点的动直线交椭圆于、两点，试问：在平面上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过点，若存在，说出点的坐标，若不存在，说明理由．‎ 高二数学 高二数学 九江一中2016 ----2017学年上学期期末考试 高二数学试卷 命题人：高二备课组 注意事项：‎ 1. 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，答题时间120分钟。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。‎ 2. 第I卷（选择题）答案必须使用2B铅笔填涂；第II卷（非选择题）必须将答案卸载答题卡上，写在本试卷上无效。‎ 3. 考试结束，将答题卡交回，试卷由个人妥善保管。‎ 第I卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1、如果，那么下列不等式成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎2、（ ）‎ A．15 B．30 C．31 D．64‎ ‎【答案】A ‎3、已知双曲线的离心率等于，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎4、已知命题，命题，则是的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ ‎【答案】B 高二数学 高二数学 ‎5、若实数满足，则的最小值为（ ）‎ A. B.2 C. D.‎ ‎【答案】A ‎6、已知数列为等比数列，则下列结论正确的是（ ）‎ A． B．若，则 C．若，则 D．‎ ‎【答案】D ‎7、《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现。书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织得快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布尺，一个月（按30天计算）总共织布尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（ ）‎ A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 ‎【答案】B ‎8、若双曲线的渐近线与圆（）相切，则 ‎（A）5 （B） （C）2 （D）‎ ‎【答案】B ‎9、设正数满足：，则的最小值为（ ）‎ A． B． C．4 D．2‎ ‎【答案】A ‎10、若椭圆和圆，(为椭圆的半焦距)，有四个不同的交点，则椭圆的离心率的取值范围是( ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎11、以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|=，|DE|=‎ 高二数学 高二数学 ‎，则C的焦点到准线的距离为 ‎（A）2 （B）4 （C）6 （D）8‎ ‎【答案】B ‎12、如图，为椭圆的长轴的左、右端点，为坐标原点，为椭圆上不同于的三点，直线，围成一个平行四边形，则（ ）‎ A．5 B． C.9 D．14‎ ‎【答案】D 第II卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.‎ ‎13、在△ABC中，若,则 ‎ ‎【答案】7‎ ‎14、在平面内，三角形的面积为S，周长为C，则它的内切圆的半径．在空间中，三棱锥的体积为V，表面积为S，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R=___________________‎ ‎【答案】‎ ‎15、已知中，，则的最大值是 ‎ ‎【答案】‎ ‎16、设数列是首项为0的递增数列，，满足：对于任意的总有两个不同的根，则的通项公式为_________‎ ‎【答案】‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎(17)（本小题满分10分）‎ 在中，角所对的边分别为，且 高二数学 高二数学 ‎（1）求的值； ‎ ‎（2）若，，求三角形ABC的面积.‎ 解析：（1）由已知及正弦定理可得……………2分 由两角和的正弦公式得………………4分 由三角形的内角和可得……………… 5分 因为，所以…………………6分 ‎(2) 由余弦定理得：， ‎ ‎，………………9分 由（1）知 ………………………10分 所以.…………12分 ‎（18）（本小题满分12分）‎ 已知数列满足，.‎ ‎（1）计算，，，的值；‎ ‎（2）根据以上计算结果猜想的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想.‎ 解析：解：（1）由和，得 ‎，，‎ ‎，. （4分）‎ ‎（2）由以上结果猜测： （6分）‎ 用数学归纳法证明如下：‎ ‎（Ⅰ）当时 ，左边，右边，等式成立. （8分）‎ ‎（Ⅱ）假设当时,命题成立，即成立.‎ 那么，当时，‎ 高二数学 高二数学 这就是说，当时等式成立.‎ 由（Ⅰ）和（Ⅱ），可知猜测对于任意正整数都成立.（12分）‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 数列的前项和记为，，.‎ ‎（Ⅰ）当为何值时，数列是等比数列;‎ ‎（Ⅱ）在（I）的条件下，若等差数列的前项和有最大值，且，又，，成等比数列，求.‎ 解析：（I）由，可得，‎ 两式相减得，‎ ‎∴当时，是等比数列， ‎ 要使时，是等比数列，则只需，从而.‎ ‎（II）设的公差为d，由得，于是， ‎ 故可设，又，‎ 由题意可得，‎ 解得：， ‎ ‎∵等差数列的前项和有最大值，∴ ‎ ‎∴.‎ ‎20、（本小题满分12分）‎ 由4个直角边为的等腰直角三角形拼成如图的平面凹五边形，沿折起，使平面 高二数学 高二数学 平面.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的正切值.‎ 解析：‎ 法一：（1）作于，连结.‎ ‎∵等腰，∴点为的中点.‎ 而等腰,∴，而，‎ ‎∴平面，∴.‎ ‎（2）∵等腰和等腰，‎ ‎∴，∴.‎ 又∵平面平面，平面平面，‎ ‎∴平面，作，连结，‎ 即为二面角的平面角.‎ 在中，，，，‎ ‎∴，∴二面角的正切值为2.‎ 法二：（1）作于，连结，∵平面平面，∴平面.‎ ‎∵等腰，∴点为的中点，而等腰，‎ ‎∴.‎ 如图，建立空间直角坐标系，‎ ‎∴，，，，，，‎ ‎，，∵，∴.‎ ‎（2）显然平面的法向量，‎ 平面中，，，‎ ‎∴平面的法向量，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴二面角的正切值为2.‎ ‎21、（本小题满分12分）‎ 高二数学 高二数学 已知点是拋物线的焦点, 若点在上,且．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若直线经过点且与交于（异于）两点, 证明: 直线与直线的斜率之积为常数．‎ 解析：（1）由抛物线定义知,则,解得,又点在上, 代入,得,解得．‎ ‎（2）由（1）得,当直线经过点且垂直于轴时, 此时,‎ 则直线的斜率,直线的斜率,所以．当直线不垂直于轴时, 设,‎ 则直线的斜率,同理直线的斜率,设直线的斜率为,且经过,则 直线的方程为．联立方程,消得,,‎ 所以,故 ‎,‎ 综上, 直线与直线的斜率之积为．‎ ‎22、（本小题满分12分）‎ 高二数学 高二数学 已知椭圆的中心为坐标原点，其离心率为，椭圆的一个焦点和抛物线的焦点重合．‎ ‎（1）求椭圆的方程 ‎（2）过点的动直线交椭圆于、两点，试问：在平面上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过点，若存在，说出点的坐标，若不存在，说明理由．‎ 解析：（1）抛物线焦点的坐标为，则椭圆的焦点在轴上 设椭圆方程为 由题意可得，，，‎ ‎∴ 椭圆方程为 ……3分 ‎（2）若直线与轴重合，则以为直径的圆是，‎ 若直线垂直于轴，则以为直径的圆是 由即两圆相切于点 ……5分因此所求的点如果存在，只能是，事实上，点就是所求的点. ……6分 证明：当直线垂直于轴时，以为直径的圆过点，若直线不垂直于轴，‎ 可设直线： 设点，‎ 由， ∴ ……9分 又 , ,‎ ‎∴ ‎ 高二数学 高二数学 ‎ ……11分 ‎ ‎∴ 即： 故以为直径的圆恒过点.‎ 综上可知：在坐标平面上存在一个定点满足条件. ……12分 高二数学