第一章梅涅劳斯定理及应有答.doc

第一章 梅涅劳斯定理及应有 习题A ‎1．延长，交于，与截线，有，有，即．对及截线，，求得．‎ ‎2．设，的延长线交于，又，，对与截线，，有，即；，即．由此求得．‎ ‎3．对于截线，有，知．对与截线，有，知．而，故．‎ 在中，由中线长公式，得，即．又，即，，．‎ ‎4．直线分别与和的三边延长线都相交，有，，即．由，有，，从而，即，有，故．‎ ‎5．直线截，有，即，故．直线截，有，所以．‎ ‎6．设，则，。，由求得．直线截 ，有，即，．直线截，有 ，可得，．又，，，即，而，故．‎ ‎7．直线截，有，即，亦即．直线截，有，即，亦即．‎ 又，故．而，故．‎ ‎8．显然，若时，有．设，，三直线共点于，设，相交于．由直线截，直线截，直线截，有 ‎，，．三式相乘，得．对应用梅涅劳斯定理只逆，知，，共线，由此知，，共点于．‎ ‎9．由，公用，知，有．同理，，．故．由梅涅劳斯定理之逆，知，，三点共线．‎ ‎10．设，，分别是的，的内角平分线和的外角平分线与边，，或延长线的交点，则由内分和外分性质有．由梅涅劳斯定理之逆，知，，共线．‎ ‎11．设与，，分别交于，，，由切线长定理知，．由题设，有，，从而对又．由梅涅劳斯定理之逆，知，，共线，即，，共点．‎ ‎12．设与交于，与交于，，且，即．在中，．由梅涅劳斯定理之逆，知，，共线，即，，三线共点．‎ ‎13．延长交于，只需证．对及支线，应用梅涅劳斯定理，有．‎ 又由，有，而，故，‎ 即，也就是．（*）由平分，有，由此式及*式，知，故．‎ ‎14．由梅涅劳斯定理，有，①，②，③．④由①÷②，③÷④，得， ．此两式相乘，并注意由，有，即有，亦即，亦即，故．‎ ‎15．直线截，应用梅涅劳斯定理，有．由切线长相等，有，，，． 于是，．由梅涅劳斯定理之逆，知，，三点共线．‎ ‎16．由 ，应用梅内劳斯定理之逆，知，，三点共线．‎ ‎17．设交于点，设，，．不妨设，由平分，有，即，即．由切线长定理有， ，．注意到，则，由梅涅劳斯定理之逆，知，，三点共线．‎ ‎18．设与相交时，交点为．对及截线应用梅涅劳斯定理，有 令，，，，有 ，，则，由梅涅劳斯定之逆，知，，三点共线，即，，三四按共点．‎ 若，则假设与相交，由上面证明，知与相交于同一点，矛盾，故．‎ ‎19．设与相交于，交于，交于．直线截，应用梅内劳斯定理，有，从而．同理，．于是与重合，即过，的交点．‎ 和位置时对称的（相对于和而言），因而亦过，的交点，即，，，四线共点．‎ 习题B ‎1．设，分别与交于，，分别对于截线，对于截线，由梅涅劳斯定理，有，．又，，故，由合比定理得，从而，与重合，即，，共点．‎ ‎2．设于，于，于，交于，交于，下面证明，从而是的垂心．对于截线，由梅涅劳斯定理，得，但，故．又，所以，从而，即，也即，与重合，因此由线段任一点所得到的的垂心都在线段上．反之，由不在线段上的任一点所得到的的垂心都不在上．故点的轨迹为线段为．‎ ‎3．由题设，对及截线 应用梅涅劳斯定理，有，因此，，于是 ．同理，可得，， 因而．由题意得，即，注意，求得．‎ ‎4．取中点，连交于．对及截线应用梅涅劳斯定理，有，而，所以，即（*）同理对及截线，有及，得，即．注意，有，由此式及（*）式有，又，故，因此．‎ ‎5．由，知．由知，而，则．又公用，知，有．‎ 对及截线，对及截线分别应用梅涅劳斯定理，有，．此两式相乘，，即，亦即．（注①点为直线上除点以外任意一点结论都成立；②和为的外角平分线时，结论仍成立．）‎ ‎6．（Ⅰ）设交于点，交于点，对与直线应用梅涅劳斯定理，有．又由于，，为切点，，，故．‎ 对与直线，应用梅涅劳斯定理，得．从而，因此，重合，故，，三线共点．‎ 再证，，三线共点．设交于，交于，对与直线应用梅涅劳斯定理，有．又由于，，为切点，，，，故，．对与直线应用梅涅劳斯定理，得．‎ 因此，故，重合，即，，共点，即证．‎ ‎（Ⅱ）将（Ⅰ）中，，，，，，，，，分别重新标作，，，，，，，，，，使用（Ⅰ）的证明即可．‎ ‎（Ⅲ）将（Ⅰ），，，，，，，，，分别重新标作，，，，，，，，，，重新使用（Ⅰ）的证明即可．‎ ‎7．由已知条件知，，，四点共圆，有．①在中，由 ‎，，有．②由①，②得．③ 延长交直线于，交直线于，由，，，四点共圆，有，④ ③④有，则，故．⑤‎ 在及截线和及截线中分别应用梅涅劳斯定理，有，．又由⑤式，有，故．‎ 同理，．从而．同理，．‎ 注：若时，由，有．又，有，由此得．同理，，故．‎ ‎8．设，．‎ 对及直线应用梅涅劳斯定理，有，即．‎ 对及直线应用梅涅劳斯定理，有，即．‎ 而 ，，由题 设，得，从而． ①‎ 又 ②‎ 本题即在条件①下求②的最大值．‎ 利用均值不等式于①式，有， ，由此得．‎ ‎，，则，因此．当且仅当时，等号成立．‎ ‎．‎ 当时，取得最大值，最大值是．‎ ‎9．由直线截，有，求得．直线截，有，有，求得．．‎ ‎10．（Ⅰ）设是，的中垂线交点即可；（Ⅱ）由4条平分线性质有 ‎ ‎．假设与交于，由直线解，有，即．对应用梅涅劳斯之逆，知，，共线，得与交于，这显然不可能．故，由此有，即．同理，即点轨迹是，中垂线的交点．‎ ‎11．设直线交于，直线交于，直线交于．由直线截，直线截，有，，有．令，，，则，，，，故．‎ ‎12．对=1，2，3，记为的圆心，为的外心，显然在的内角平分线上．可证也在的内角平分线上．由直线截，直线截，直线截，有，，．三式相乘，有．对应用梅内劳斯定理之逆，知，，共线．‎ 由于是的中垂线，而是的中垂线，因此，，，恰好分别为，，的外心．‎