第二章塞瓦定理及应用答.doc

第二章 塞瓦定理及应用 习题A ‎1．对及点，由塞瓦定理可得，．又对与截线，由梅涅劳斯定理得，，故，由此可知．又，所以．‎ ‎2．在中由题设及塞瓦定理有．又有，，，，，，故．由塞瓦定理之逆知，，三线共点．‎ ‎3．由割线定理有，即．同理，，．三式相乘并适当交换位置，有．由塞瓦定理知，再由塞瓦定理之逆知，，三线共点．‎ ‎4．设的边，，，周长为，过顶点，，且平分周长的直线分别交，，于点，，，则由，，求得 ，．同理，，．故有．由塞瓦定理之逆，知，，共点．‎ ‎5．令，，，由角平分线性质有，，．由正弦定理，有，，，于是．由塞瓦定理之逆，值，，三线共点．‎ ‎6．令，，，由平分线性质有，，．设的外接圆半径为，由正弦定理有 ，．‎ 子啊中，由余弦定理及公式，求得 ．‎ 由，知，，故同理，‎ ‎，．于是，由塞瓦定理之逆，知，，三线共点．‎ ‎7．由正弦定理，有，．两式相除并注意，有，则，即．同理，‎ ‎．三式相乘，得．由于，共点于，则上式右边等于1，从而左边亦等于1．由塞瓦定理之逆，知，，共点．‎ ‎8．设，，分别与，，垂直于，，，且，，共点于．，，分别与，，垂直于，，．又锐角与的两边分别垂直，故，同理，，从而． 类似地有，．三式相乘并适当整理，有．由重，，共点及角元形式的塞瓦定理，知上式右边等于1，从而左边也等于1，也等于1．由塞瓦定理之逆，知，，三线共点．‎ ‎9．设，则，由，求得．‎ ‎10．设，则，由，求得．‎ ‎11．设，则，由，及 ，求得．‎ ‎12．连，设，则．对及点，有，求得．此时．过作交于，则梯形为等腰梯形，有．又，，则，故．‎ ‎13．设，则，由，求的．‎ ‎14．设，则，由，求得．‎ ‎15．设，则，由及 ，求得．‎ ‎15．设，，由及 ，求得．分别在，，中由正弦定理，有，，．故．‎ ‎17．连，设，则，对及点有，求得．‎ 连，设，则．对及点有，求得．此时，，故，，共线．‎ ‎18．设，则．对及点有．求得，即有．‎ 连，设，则．对及点有，求得 ‎，即有．又，故．‎ ‎19．连，，由及为内心，知．又由，知．设，则，对及点有，求得．故为所求．‎ ‎20．设过，，分别与，，平行的直线交成，则，，分别为，，的中点．又设过，，与，，平行的直线，，分别与，，交于，，，则有；而由，，，知，有．从而，即，，三点共线．故有（因，）=．同理，，．于是由塞瓦定理知，，共点共点．‎ ‎21．因，有，．即，．又，，则．于是．即．由塞瓦定理，即得结论．‎ ‎22．令，，，则，．由，得．同理，，．在中，有．由塞瓦定理之逆，知，，共点，故，，共点．‎ ‎23．设，，，．在中，，，交于一点，由角元形式的塞瓦定理，有，即．‎ 令，，，，，，，．同理，有，．注意到，，交于一点，由角元形式的塞瓦定理，有，由此即证．‎ ‎24．令，，，，，．，，共线．‎ 而，则，，．‎ 又由条件易知，，，．由此即证．‎ 注：此题也可以应用梅涅劳斯定理证．分别延长和，和，和得交点，，（交点可无穷远处）．由，有．同理，，．直线截，由梅涅劳斯定理，有．同理，，．三式相乘并注意，，，得．由梅涅劳斯定理之逆，知，，共线．又点，，分别是和对应所在直线的交点，利用笛沙格逆定理可得和对应顶点的连线，，共点．‎ ‎25．设与相交于，对应用塞瓦定理，有．又由梅涅劳斯定理，点，，共线的充要条件是．从而转证即可．因， ，这表明，即时的平分线，且，是的外角平分线，由此即证得结论．‎ ‎26．设，，交边，，于，，．由，，，三式相乘即证．‎ 习题B ‎1．设直线，，交，，于，，过作的切线交，于，．由，知，，则，即．连，，设的半径为则，，，；，，，分别四点共圆．由，，则，．而，，则，即．‎ 同理，，，则．由塞瓦定理之逆，有，，三线共点．即，，三线共点．‎ ‎2．设交圆于，，连，，，，，，，，．由，，有，．而，则，即．‎ 同理，．于是．‎ 对圆内接四边形和分别应用托勒密定理，有， ，所以，由此得 ，即．由塞瓦定理的推论，知，，三线共点．同理，，，三线共点．因与交点唯一，故，，，四线共点．‎ ‎3．设的内心为，则是的垂心．令，，．‎ ‎（Ⅰ）由，有，即，有 ．同理，，故．同理，，．三式相加即证．‎ ‎（Ⅱ）令，，，则，，．对应用塞瓦定理，有，即，从而，‎ ‎． （*）‎ 又由平均值不等式，有．即，亦即，等号当且仅当为正三角形时成立．‎ 注：其中（*）是三角形与其内接三角形的关系公式．‎ ‎4．延长交于，由塞瓦定理有．由，知．又，过作交直线于，作交直线于，有，，于是得．有，有，得．‎ ‎5．连交直线于．令，，，由 ，有．同理，．又 ．对及点应用塞瓦定理，有，得 ，即．由此可得，即证 ‎6．连，，设，则，对及点应用角元形式的塞瓦定理，有，求得，故为所求．‎ ‎7．由，，及，，注意应用塞瓦定理，，从而 ‎ ‎8．设直线与交于．过作的垂线交于．设圆的圆心为，由，有．由有，即．注意，有．由塞瓦定理之逆，知，，共点，直线重合于，点与重合．又，，，共圆，且直径为，又，知也在此圆上．故．‎ ‎9．设直线交于，直线交于，交于，由塞瓦定理的逆定理，只要证明．设中心为的正方形边长为，顶点，分别在边和上，顶点，在上，且在，之间．因过正方形的中心，若截边两段为，，则它截边两段为，，则．同理，，．故有．‎ ‎10．作高，连，，则，，交于一点，即的垂心．对应用塞瓦定理，有．由，有．‎ 由，有，即．由，有．对，考察点，，，有 ，由梅涅劳斯定理之逆即证．‎ ‎11．设关于边，，的对称点分别为，，，则，，均在外接圆 上．下证，，满足要求．设直线，，与，，的交点为，，．由于，有（为半径）．同理，．‎ 由，有．又，，则，有．同理，，．对及点应用塞瓦定理，有，即．再由塞瓦定理之逆，知，，共点．，，满足要求．‎ ‎12．连交于，连交于，连，．由，知，，，四点共圆，有．又，则，即且，有．同理，．在中，．由塞瓦定理之逆，知，，三线共点．‎ ‎13．显然，有，且，．由正弦定理，有．‎ 同理，，．‎ 又由于，，，故 ．应用角元形式的塞瓦定理，知，，三线共点．‎ ‎14．设与交于点，与交于点．由，，有 ．又由，有，，则，注意，有 ．于是．由塞瓦定理之逆即证．‎ ‎15．设非等边各定点处的外接圆切线，，组成，直线与交于，与交于，与交于，连，，．因，，分别在三边所在直线，，上，，，，从而．由塞瓦定理的逆定理，知，，共点．再运用戴沙格定理，知，，三点共线．‎ ‎16．必要性：设，，，．又设，，分别为，，与各边的交点．因，，共点，则由塞瓦定理，得 ．‎ 即．‎ 注意，，故，即．‎ 充分性：若，因上述证明各步均可逆，由塞瓦定理之逆，知，，三线共点．‎ ‎17．设，，，，，．由塞瓦定理及正弦定理，有，共点 ‎，，三直线共点，且与点位置无关．‎ ‎18．设是的重心，，，分别为，，的中点，则区域被划分为六个区域：，，，，，．不妨设点落在区域．此时，易知．‎ 由塞瓦定理，有，， ．分别过，，在，内作，的平行线，则两平行线的交点必落在区域．从而，有，结论成立．‎ ‎19．设交于．对和点应用塞瓦定理，有．对及截线应用梅涅劳斯定理，有，故有．‎ 过作的平行线交于，交与，则．于是，即．又，则平分，即平分．‎ 同理，当与相交时，平分；而当时，过作的平行线交于，则，即，为平行四边形，亦即为中点．因此，平分．‎ ‎20．显然有，．不妨设，则，为直角或锐角．作于，易知，，，四点共圆，，，，四点共圆．则，．故．‎ 由平分，有，得，即．而，则．由塞瓦定理之逆，知，，三线共点，即，故．‎