第三章托勒密定理及应用答.doc

第三章 托勒密定理及应用 习题A ‎1．由和，有，，对四边形应用托勒密定理，有．令，得方程，求得(舍去了负值)．于是．又，求得，或，，总之为所求．‎ ‎2．连，，由，，知 ，即．设其比值为（为参数），则，，对四边形应用托勒密定理．有，即注意到，消去，得．‎ ‎3．连，在四边形中应用托勒密定理，有．‎ ‎4．连，设，，的半径为．由为上中线，可令．由正弦定理有，．对四边形应用托勒密定理，有，消去，两边同乘以 得，亦即 ，由此即证．‎ ‎5．连，则，．对四边形应用托勒密定理，有 ，即，由此整理即证．‎ ‎6．对四边形应用托勒密定理，有，即，同理，对四边形，，分别应用托勒密定理，有，，．由此四式即证得结论．‎ ‎7．设圆心到，，的距离分别为，，，连接并延长与交于，连，，则，，对四边形应用托勒密定理有．同理，，．加之， 但，以上两式相加得．但，， ，由此即证．‎ ‎8．作一直径的圆，在的两侧分别取，二点，使，，于是 ，，对四边形应用托勒密定理，有，将此式与原方程比较得．在中，由余弦定理，有，‎ 知，故为所求．‎ ‎9．作直径的圆，并作弦，的圆内接四边形，则，．应用托勒密定理，有，即，由此得，即也是圆的直径，故．‎ ‎10．当时，，当时，作代换，，，即，以为直径作圆，作弦，作弦，则， ．由托勒密定理及，有，亦有 ，即，故．‎ ‎11．连，，，对四边形应用托勒密定理，有，而，有．同理，，由此即证．‎ ‎12．不失一般性，令点位于内部（其中为中心），作于，于，于．由，，，四点共圆，有，知，，，四点共圆，即，，，，共圆，推知是正三角形，在中，有，即，故．‎ ‎13．作外接圆的直径，并设，，则，直径．对四边形应用托勒密定理，有．从而 ．‎ ‎14．令，对四边形应用托勒密定理，有， 即有．对四边形应用托勒密定理，有，即．‎ ‎15．对四边形应用托勒密定理，，即．又及，有，，于是，注意到即证．‎ ‎16．连，和，对四边形应用托勒密定理，有，又，，则，有，令其比值为，则，消去，注意到即证．‎ ‎17．作交于，则，．对四边形应用托勒密定理，．‎ 由平分，知，即，由此知，有．故 ‎．‎ 同理，有．‎ 此两式相减有，故．‎ ‎18．在直径的圆中，在两个半圆上分别取点和，使，，则 ‎，．由托勒密定理，有，与原方程比较得．在中，由余弦定理，有，则，故．‎ ‎19．由，在直径的圆中，在一半圆上取点，使，；在另一半圆上取中点，则．连，知，由托勒密定理，有， 即又在中，（当与或重合时，取等号)，故．‎ ‎20．设，则．‎ 当时，命题显然成立，当时，在直径的一半圆上取点，使，，‎ 因，则可在另一半圆上取点，使，，由托勒密定理，有，即， 但．‎ ‎21．设点在劣弧上，连，，，分别交小圆于点，，．连，，，过点作公切线．由，有，有．又 ，，有，即．同理，．对圆内接四边形应用托勒密定理，有，而，则 ，故．‎ ‎22．令，，．由平分，有，亦有，即．同理，．由，有，从而，注意到 ，有，即，即．在圆内接四边形中，应用托勒密定理，有，故，因此，．‎ ‎23．由，， ，又，‎ 则，由托勒密定理之逆，知有外接圆．‎ ‎24．连，，由，且，有，亦有，‎ 即．在圆内接四边形中，应用托勒密定理，有，于是．又，，有，有．于是，故．‎ 习题B ‎1．在弧上取点，使，连，，令，，，易证，即．对四边形，分别应用托勒密定理，有，．又在弧上取点，使，由，有对四边形应用托勒密定理，有．又由，有． 于是，，由此即求得，．‎ ‎2．作的外接圆，分别截，于点，，．易证，即，，即，．对四边形应用托勒密定理，有 ，故．（*）‎ 同理，由托勒密定理，有．‎ 于是，‎ 即 从而．‎ 由(*)式减去上式，有，即 ．‎ 又，，，故，其中等号当且仅当为的中心时取得．‎ ‎3．设四边形内接于以为圆心，半径为的圆，设点在弦，，，，，上的射影分别为点，，，，．记，，与，为与的面积与半周长，，为它们的内切圆半径．‎ 考虑含点的三角形，不妨设在内，分别对四边形，，，应用托勒密定理，并注意，，是的中位线，有． ，故．‎ 考虑在三角形外部的情形，考虑，对四边形，，应用托勒密定理，有 ‎ ‎，故．‎ 在上述情形下，．‎ 对一般情形，所求内切圆半径之和等于，，，，并赋以一定的符号之和，这些符号只与点相对四边形的位置有关．因此，这个和与对角线的选取无关．‎ ‎4．设圆的圆心为，半径为，连，，在四边形中应用托勒密不等式，有，即)，故 ．‎ 同理，迭用托勒密不等式，有；；； ，．‎ 将上述几个同向不等式相加，得， 故．由托勒密不等式中等号成立的条件是当且仅当四边形，，，，都是圆内接四边形，由圆内接四边形性质，知，，但 ，则，从而，因此．同理， ，即边形为正边形．‎ 反之，若为正边形，将其绕点逆时针方向旋转，知，，，，从而，，，．于是知也是正边形，因此有 ，．此时有．‎ ‎5．作，的公共直径，其中是的直径，是的直径，连交于点．显然，于是，，即．同理，，．在中应用托勒密定理，有．此时两边同乘以，即可得．‎ ‎6．首先证，．由切线长定理，有 ， ，而，故．同理．‎ 连，，，，由与互补，知与互余，有 ，即．于是．同理，．‎ 令，，,,，．于是，，，，，，．对 应用托勒密定理，有，即，亦即．即证．‎ ‎7．设，对，，应用三弦定理，则有，因，则．又在中，，则．又易知，即知，于是，即证．‎ ‎8．必要性：连，，知，均为等腰三角形，且 ，知，，，共圆，由托勒密定理，有，由得，即为正三角形，推得．‎ 充分性：由，知为正三角形，且由知，，，共圆，由托勒密定理，有，及，即得．‎ ‎9．对四边形应用托勒密定理，有，令，注意，有，即．同理，，，此三式相加即证．‎ ‎10．令，，．对四边形应用托勒密不等式，有，注意，有．同理。，．‎ 令，，，有，即知，（*）故，其中等号成立，即要（*）式中等号成立，亦即每次应用托勒密不等式中等号也成立．从而，，都是圆内接四边形，即为圆内接六边形且成立．即为正六边形时成立．‎ ‎11．连交于，连,．对及截线应用梅涅劳斯定理，有，即．令，有，即．‎ 对四边形应用托勒密定理，有．（*）注意及，有，（*）式变为．‎ 由，有，，有，注意，有 ，即，亦即，再由知，有 ‎ ‎．又，所以．即证 ‎12．设在内部，取，中点，，可证，，；，，分别共线，由 ，可证及，知，，，共圆，在此圆中应用托勒密定理，有．再由为正三角形即证得，若在上有．即证．‎ ‎13．设，，分别为顶点，，所对边长，下证所求最小值当为重心时取到，且最小值为 ‎．‎ 设是过，，的圆，中线交于（在内）和，令，，（为中点）．由为中点，知，到的距离相等．即，故．同理，．设为圆的半径，则，，，又设是所在平面上任意一点，由托勒密不等式，有 ，等号当且仅当在上成立，由（*）式，有．两边同加得，而， 则，等号当且仅当在线段上，且在圆上成立，即等号当且仅当与重合时成立．‎ ‎14．充分性：由于，故 ，应用托勒密定理的逆定理，知，，，四点共圆．从而点，，，均在的外接圆上，即为圆内接多边形．必要性：以圆内接多边形的外接圆为单位圆建立复平面．设对应的复数为，其中，令，，则对对任意，有．综上即证．‎