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2016-2017 学年湖南省郴州市八年级（上）竞赛数学试卷
一、填空题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）
1．等腰三角形的底角是 15°，腰长为 10，则其腰上的高为 ．
2．已知点 A（a，2）、B（﹣3，b）关于 x 轴对称，求 a+b= ．
3．如图，D 为等边三角形 ABC 内一点，AD=BD，BP=AB，∠DBP=∠DBC，则∠BPD=
度．
4．等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则它的顶角的度数为 ．
5．已知一次函数 y=kx+2 过点（﹣2，﹣1），则 k 为
6．合泰童装厂在其生产的一批产品中抽取 300 件进行质量检测，发现有 6 件产品质量不合
格，则这批产品的合格率是 %．
7．新运算规定：a◇b= ，且 1◇2=1，则 2◇3= ．
8．在列频率分布表时，得到一组数据中某一个数据的频数是 12，频率是 0.2，那么这个数
据组中共有 个数据．
9．若（x+2）2=64，则 x= ．
10．若△ABC≌△A′B′C′且∠A=35°25′，∠B′=49°45′，则∠C= ．
11．已知|x﹣13|+|y﹣12|+（z﹣5）2=0，则由此为三边的三角形是 三角形．
12．观察下列规律：3=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729…用你发现的规律写出 32010
个位数字为
二、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分）
13． 的算术平方根是（ ）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．81
14．如图所示，直线 l1，l2，l3 表示三条相交的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三
条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．1 处 B．2 处 C．3 处 D．4 处
15．如果点 A（﹣3，a）是点 B（3，﹣4）关于 y 轴的对称点，那么点 A 关于 x 轴的对称
点的坐标是（ ）
A．（3，﹣4） B．（﹣3，4） C．（3，4） D．（﹣3，4）第 2 页（共 14 页）
16．一次考试后对 60 名学生的成绩进行频率分布统计，以 10 分为一分数段，共分 10 组，
若学生得分均为整数，且在 69.5～79.5 之间这组的频率是 0.3，那么得分在这个分数段的学
生有（ ）
A．30 人B．18 人C．20 人D．15 人
17．已知一组数据含有三个不同的数 12，17，25，它们的频率分别是 ，则这组
数据的平均数是（ ）
A．19 B．16.5 C．18.4 D．22
18．如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若 PC=4，则 PD 等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
19．如图，已知 AD=AE，BE=CD，∠1=∠2=110°，∠BAC=80°，则∠CAE 的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
20．若 x2+2（m﹣3）x+16 是完全平方式，则 m 的值是（ ）
A．﹣1 B．7 C．7 或﹣1 D．5 或 1
三、解答题（共 5 小题，满分 50 分）
21．如图，已知直线 l1：y=2x+1、直线 l2：y=﹣x+7，直线 l1、l2 分别交 x 轴于 B、C 两点，
l1、l2 相交于点 A．
（1）求 A、B、C 三点坐标；
（2）求△ABC 的面积．
22．如图，AB=DC，AC=BD，AC、BD 交于点 E，过 E 点作 EF∥BC 交 CD 于 F．
求证：∠1=∠2．第 3 页（共 14 页）
23．如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D、E、F 分别在 AB、BC、AC 边上，且 BE=CF，
BD=CE．
（1）求证：△DEF 是等腰三角形；
（2）当∠A=40°时，求∠DEF 的度数．
24．如表石山中学八年级某班 25 名男生 100m 跑成绩（精确到 0.1 秒）的频数分布表：
组别（秒） 频数 频数
12.55～13.55 3
13.55～14.55 6
14.55～15.55 8
15.55～16.55 5
16.55～17.55 3
（1）求各组频率，并填入上表；
（2）求其中 100m 跑的成绩不低于 15.55 秒的人数和所占的比例．
25．三江职业中学要印刷招生宣传材料，现有两家印刷厂可供选择：
甲印刷厂提出：每份材料收 0.2 元的印刷费，另收 500 元的制版费；
乙印刷厂提出：每份材料收 0.4 元的印刷费，不收制版费．
（1）分别写出两印刷厂的收费 y（元）与印刷数量 x（份）之间的函数关系式；
（2）若三江职业中学拿出 2000 元材料印刷费，你会选择哪家印刷厂，试说明理由？
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2016-2017 学年湖南省郴州市八年级（上）竞赛数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）
1．等腰三角形的底角是 15°，腰长为 10，则其腰上的高为 5 ．
【考点】等腰三角形的性质；含 30 度角的直角三角形．
【分析】根据题意作出图形，利用等腰三角形的两底角相等求出三角形的顶角等于 150°，
所以顶角的邻补角等于 30°，然后根据直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的一半即
可求出．
【解答】解：如图，△ABC 中，∠B=∠ACB=15°，
∴∠BAC=180°﹣15°×2=150°，
∴∠CAD=180°﹣150°=30°，
∵CD 是腰 AB 边上的高，
∴CD= AC= ×10=5cm．
故答案为：5．
2．已知点 A（a，2）、B（﹣3，b）关于 x 轴对称，求 a+b= ﹣5 ．
【考点】关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标．
【分析】先根据“于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”求得 a，b 的值再求代
数式的值．
【解答】解：∵点 A（a，2）、B（﹣3，b）关于 x 轴对称，
∴a=﹣3，b=﹣2，
∴a+b=﹣5．
3．如图，D 为等边三角形 ABC 内一点，AD=BD，BP=AB，∠DBP=∠DBC，则∠BPD= 30
度．
【考点】等边三角形的性质．
【分析】作 AB 的垂直平分线，再根据等边三角形的性质及全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：作 AB 的垂直平分线，
∵△ABC 为等边三角形，△ABD 为等腰三角形；
∴AB 的垂直平分线必过 C、D 两点，∠BCE=30°；
∵AB=BP=BC，∠DBP=∠DBC，BD=BD；第 5 页（共 14 页）
∴△BDC≌△BDP，所以∠BPD=30°．
故应填 30°．
4．等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则它的顶角的度数为 30°或 150° ．
【考点】含 30 度角的直角三角形；等腰三角形的性质．
【分析】本题要分两种情况解答：当BD 在三角形内部以及当 BD 在三角形外部．再根据等
腰三角形的性质进行解答．
【解答】解：本题分两种情况讨论：
（1）如图 1，当 BD 在三角形内部时，
∵BD= AB，∠ADB=90°，
∴∠A=30°；
（2）当如图 2，BD 在三角形外部时，
∵BD= AB，∠ADB=90°，
∴∠DAB=30°，∠ABC=180°﹣∠DAB=30°=150°．
故答案是：30°或 150°．
5．已知一次函数 y=kx+2 过点（﹣2，﹣1），则 k 为
【考点】待定系数法求一次函数解析式．
【分析】将点（﹣2，﹣1）代入函数解析式即可求出 k 的值．
【解答】解：将点（﹣2，﹣1）代入得：﹣1=﹣2k+2，
解得：k= ．
故填 ．
6．合泰童装厂在其生产的一批产品中抽取 300 件进行质量检测，发现有 6 件产品质量不合
格，则这批产品的合格率是 98 %．
【考点】有理数的除法．第 6 页（共 14 页）
【分析】合泰童装厂在其生产的一批产品中抽取300 件进行质量检测，发现有 6 件产品质量
不合格，即有 294 件合格，根据合格率=合格产品÷总产品，得出结果．
【解答】解：这批产品的合格率=÷300=294÷300=0.98．
答：这批产品的合格率是 98%．
7．新运算规定：a◇b= ，且 1◇2=1，则 2◇3= ．
【考点】代数式求值．
【分析】令a=1，b=2，代入 a◇b= ，可求得 k 的值，进而根据运算法则可得出 2◇3
的值．
【解答】解：令 a=1，b=2，
∴ =1，k=7，
∴2◇3= = ．
故填： ．
8．在列频率分布表时，得到一组数据中某一个数据的频数是 12，频率是 0.2，那么这个数
据组中共有 60 个数据．
【考点】频数（率）分布表．
【分析】根据频率、频数的关系：频率=频数÷数据总和，可得数据总和=频数÷频率．
【解答】解：∵一组数据中某一个数据的频数是 12，频率是 0.2，
∴这个数据组中共有数据的个数=12÷0.2=60．
9．若（x+2）2=64，则 x= 6 或﹣10 ．
【考点】平方根．
【分析】依据平方根的定义可求得 x+2 的值，然后解关于 x 的一元一次方程即可．
【解答】解：∵（x+2）2=64，
∴x+2=±8．
解得：x=6 或 x=﹣10．
故答案为：6 或﹣10．
10．若△ABC≌△A′B′C′且∠A=35°25′，∠B′=49°45′，则∠C= 94°10′ ．
【考点】全等三角形的性质．
【分析】全等三角形的对应角相等，三角形内角和等于 180°．所以∠C=180°﹣∠A﹣∠B，
且∠C1=∠C，∠B=∠B′．
【解答】解：∵△ABC≌△A1B1C1，
∴∠C1=∠C，∠B=∠B′，
又∵∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣∠A﹣∠B′=180°﹣35°25′﹣49°45′=94°50′．
11．已知|x﹣13|+|y﹣12|+（z﹣5）2=0，则由此为三边的三角形是 直角 三角形．
【考点】勾股定理的逆定理；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．第 7 页（共 14 页）
【分析】本题可根据非负数的性质“几个非负数相加，和为 0，这几个非负数的值都为 0”解
出 x、y、z 的值，再根据勾股定理的逆定理判断三角形的类型．
【解答】解：依题意得：x﹣13=0，y﹣12=0，z﹣5=0，
∴x=13，y=12，z=5，
∵x2=y2+z2，∴此三角形为直角三角形，故填直角．
12．观察下列规律：3=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729…用你发现的规律写出 32010
个位数字为 9
【考点】规律型：数字的变化类．
【分析】根据3 的指数从 1 到 4，末位数字从 3，9，7，1 进行循环，再用 2010 除以 4 得出
余数，再写出 32010 个位数字．
【解答】解：2010÷4=502…2，则 32010 个位数字为 9，
故答案为 9．
二、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分）
13． 的算术平方根是（ ）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．81
【考点】算术平方根．
【分析】根据算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根．所
以结果必须为正数，由此即可求出 =9 的算术平方根．
【解答】解：∵ =32=9，
∴ 的算术平方根是 3．
故选：B．
14．如图所示，直线 l1，l2，l3 表示三条相交的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三
条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．1 处 B．2 处 C．3 处 D．4 处
【考点】角平分线的性质．
【分析】根据到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路
的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的
交点都满足要求．
【解答】解：满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三个外角平分线两两相交的交点，共三处．
故选：D．
15．如果点 A（﹣3，a）是点 B（3，﹣4）关于 y 轴的对称点，那么点 A 关于 x 轴的对称
点的坐标是（ ）第 8 页（共 14 页）
A．（3，﹣4） B．（﹣3，4） C．（3，4） D．（﹣3，4）
【考点】关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标．
【分析】平面直角坐标系中任意一点 P（x，y），分别关于 x 轴的对称点的坐标是（x，
﹣y），关于 y 轴的对称点的坐标是（﹣x，y）．
【解答】解：根据对称的性质，得已知点 A（﹣3，a）是点 B（3，﹣4）关于 y 轴对称的点
的坐标，那么 a=﹣4；
则点 A 的坐标是（﹣3，﹣4），
所以点 A 关于 x 轴对称的点的坐标是（﹣3，4）．
故选 B．
16．一次考试后对 60 名学生的成绩进行频率分布统计，以 10 分为一分数段，共分 10 组，
若学生得分均为整数，且在 69.5～79.5 之间这组的频率是 0.3，那么得分在这个分数段的学
生有（ ）
A．30 人B．18 人C．20 人D．15 人
【考点】频数与频率．
【分析】根据频率、频数的关系：频率= ，可得频数=频率×数据总和．
【解答】解：根据题意，得
0.3×60=18（人）．
故选 B．
17．已知一组数据含有三个不同的数 12，17，25，它们的频率分别是 ，则这组
数据的平均数是（ ）
A．19 B．16.5 C．18.4 D．22
【考点】加权平均数．
【分析】本题是加权平均数，根据加权平均数的公式即可求解．
【解答】解：平均数=12× +17× +25× =16.5．
故选 B．
18．如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若 PC=4，则 PD 等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】菱形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形．
【分析】过点 P 做 PM∥CO 交 AO 于 M，可得∠CPO=∠POD，再结合题目推出四边形
COMP 为菱形，即可得 PM=4，又由 CO∥PM 可得∠PMD=30°，由直角三角形性质即可得 PD．
【解答】解：如图：过点 P 做 PM∥CO 交 AO 于 M，PM∥CO
∴∠CPO=∠POD，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA
∴四边形 COMP 为菱形，PM=4第 9 页（共 14 页）
PM∥CO⇒∠PMD=∠AOP+∠BOP=30°，
又∵PD⊥OA
∴PD= PC=2．
令解：作 CN⊥OA．
∴CN= OC=2，
又∵∠CNO=∠PDO，
∴CN∥PD，
∵PC∥OD，
∴四边形 CNDP 是长方形，
∴PD=CN=2
故选：C．
19．如图，已知 AD=AE，BE=CD，∠1=∠2=110°，∠BAC=80°，则∠CAE 的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】由题意知，△ABD 和△ABC 是等腰三角形，可求得顶角∠DAE 的度数，及∠BAD=
∠EAC，进而求得∠CAE 的度数．
【解答】解：∵AD=AE，BE=CD，
∴△ABE 和△ABC 是等腰三角形．
∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED．
∵∠1=∠2=110°，
∴∠ADE=∠AED=70°．
∴∠DAE=180°﹣2×70°=40°．
∵∠1=∠2=110°，∠B=∠C，
∴∠BAD=∠EAC．
∵∠BAC=80°．
∴∠BAD=∠EAC=（∠BAC﹣∠DAE）÷2=20°．
故选 A．
20．若 x2+2（m﹣3）x+16 是完全平方式，则 m 的值是（ ）
A．﹣1 B．7 C．7 或﹣1 D．5 或 1
【考点】完全平方式．第 10 页（共 14 页）
【分析】完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2 这里首末两项是 x 和 4 这两个数的平方，那
么中间一项为加上或减去 x 和 4 积的 2 倍，故 2（m﹣3）=±8，∴m=7 或﹣1．
【解答】解：∵（x±4）2=x2±8x+16，
∴在 x2+2（m﹣3）x+16 中，2（m﹣3）=±8，
解得：m=7 或﹣1．
故选：C．
三、解答题（共 5 小题，满分 50 分）
21．如图，已知直线 l1：y=2x+1、直线 l2：y=﹣x+7，直线 l1、l2 分别交 x 轴于 B、C 两点，
l1、l2 相交于点 A．
（1）求 A、B、C 三点坐标；
（2）求△ABC 的面积．
【考点】两条直线相交或平行问题．
【分析】（1）联立两直线解析式，解方程即可得到点 A 的坐标，两直线的解析式令 y=0，求
出 x 的值，即可得到点 A、B 的坐标；
（2）根据三点的坐标求出 BC 的长度以及点 A 到 BC 的距离，然后根据三角形的面积公式
计算即可求解．
【解答】解：（1）直线 l1：y=2x+1、直线 l2：y=﹣x+7 联立得，
，
解得 ，
∴交点为 A（2，5），
令 y=0，则 2x+1=0，﹣x+7=0，
解得 x=﹣0.5，x=7，
∴点 B、C 的坐标分别是：B（﹣0.5，0），C（7，0）；
（2）BC=7﹣（﹣0.5）=7.5，
∴S△ABC= ×7.5×5= ．
22．如图，AB=DC，AC=BD，AC、BD 交于点 E，过 E 点作 EF∥BC 交 CD 于 F．
求证：∠1=∠2．第 11 页（共 14 页）
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】根据AB=DC，AC=BD 可以联想到证明△ABC≌△DCB，可得∠DBC=∠ACB，从
而根据平行线的性质证得∠1=∠2．
【解答】证明：∵AB=DC，AC=BD，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB．
∴∠DBC=∠ACB．
∵EF∥BC，
∴∠1=∠DBC，∠2=∠ACB．
∴∠1=∠2．
23．如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D、E、F 分别在 AB、BC、AC 边上，且 BE=CF，
BD=CE．
（1）求证：△DEF 是等腰三角形；
（2）当∠A=40°时，求∠DEF 的度数．
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【分析】（1）由 AB=AC，∠ABC=∠ACB，BE=CF，BD=CE．利用边角边定理证明△DBE
≌△CEF，然后即可求证△DEF 是等腰三角形．
（2）根据∠A=40°可求出∠ABC=∠ACB=70°根据△DBE≌△CEF，利用三角形内角和定理
即可求出∠DEF 的度数．
【解答】证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
在△DBE 和△CEF 中
，
∴△DBE≌△CEF，
∴DE=EF，
∴△DEF 是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△CEF，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，第 12 页（共 14 页）
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B= =70°
∴∠1+∠2=110°
∴∠3+∠2=110°
∴∠DEF=70°
24．如表石山中学八年级某班 25 名男生 100m 跑成绩（精确到 0.1 秒）的频数分布表：
组别（秒） 频数 频数
12.55～13.55 3
13.55～14.55 6
14.55～15.55 8
15.55～16.55 5
16.55～17.55 3
（1）求各组频率，并填入上表；
（2）求其中 100m 跑的成绩不低于 15.55 秒的人数和所占的比例．
【考点】频数（率）分布表．
【分析】（1）根据频率、频数的关系，频率= ，可依次计算出各组的频率；
（2）观察图表，可得其中 100m 跑的成绩不低于 15.55 秒的有 8 人，进而求得其所占的比
例．
【解答】解：（1）样本容量为 25，且已知各组的频数，则各组的频率分别为 0.12，0.24，
0.32，0.2，0.12．
（2）观察图表可得：有 8 人 100m 跑的成绩不低于 15.55 秒，所占的比例为 =0.32．
25．三江职业中学要印刷招生宣传材料，现有两家印刷厂可供选择：
甲印刷厂提出：每份材料收 0.2 元的印刷费，另收 500 元的制版费；
乙印刷厂提出：每份材料收 0.4 元的印刷费，不收制版费．
（1）分别写出两印刷厂的收费 y（元）与印刷数量 x（份）之间的函数关系式；
（2）若三江职业中学拿出 2000 元材料印刷费，你会选择哪家印刷厂，试说明理由？
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）根据“甲厂费用=单价×数量+制版费；乙厂费用=单价×数量”，即可得出 y 甲、
y 乙关于 x 之间的函数关系式；
（2）分别令 y 甲、y 乙=2000，求出与之对应的 x 的值，比较后即可得出结论．第 13 页（共 14 页）
【解答】解：（1）根据题意可知：
y 甲=0.2x+500；y 乙=0.4x．
（2）选甲印刷厂，理由如下：
当 y 甲=2000 时，有 0.2x+500=2000，
解得：x=7500；
当 y 乙=2000 时，有 0.4x=2000，
解得：x=5000．
∵7500＞5000，
∴若三江职业中学拿出 2000 元材料印刷费，应该选取甲印刷厂．
第 14 页（共 14 页）
2016 年 12 月 5 日
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