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2016-2017 学年江苏省无锡市江阴 XX 中学八年级（上）月考数
学试卷（12 月份）
一、精心选一选（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）
1．下列交通标识中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．在﹣0.101001， ， ，﹣ ， ，0 中，无理数的个数有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
3．若等腰三角形的周长为 10，一边长为 3，则这个等腰三角形的腰长为（ ）
A．3.5 B．3 C．3.5 或 3 D．6
4．若点 P 在第二象限，点 P 到 x 轴的距离是 4，到 y 轴的距离是 3，点 P 的坐标
是（ ）
A．（﹣4，3） B．（4，﹣3） C．（﹣3，4） D．（3，﹣4）
5．在平面直角坐标系中，点（﹣1，m2+1）一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．直线 y=2x﹣1 上到 y 轴的距离等于 3 的点的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（3，5） C．（3，5）或（﹣3，﹣7） D．（2，3）或（﹣1，﹣3）
7．已知正比例函数 y=kx（k≠0）的函数值 y 随 x 的增大而减小，则一次函数
y=﹣kx+k 的图象大致是 （ ）
A． B． C． D．
8．对平面上任意一点（a，b），定义 f，g 两种变换：f（a，b）=（a，﹣b）．如
f（1，2）=（1，﹣2）；g（a，b）=（b，a）．如 g（1，2）=（2，1）．据此得 g
（f（5，﹣9））=（ ）
A．（5，﹣9） B．（﹣9，﹣5） C．（5，9） D．（9，5）
9．小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点 A，再走上坡路到达点 B，第 2 页（共 26 页）
最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果
他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那
么他从单位到家门口需要的时间是（ ）
A．12 分钟 B．15 分钟 C．25 分钟 D．27 分钟
10 ． 如 图 ， ∠ AOB=45° ， 在 OA 上 截 取 OA1=1 ， OA2=3 ， OA3=5 ， OA4=7 ，
OA5=9，…，过点 A1、A2、A3、A4、A5 分别作 OA 的垂线与 OB 相交，得到并标出
一组阴影部分，它们的面积分别为 S1，S2，S3，…．观察图中的规律，第 n 个阴
影部分的面积 Sn 为（ ）
A．8n﹣4 B．4n C．8n+4 D．3n+2
二、仔细填一填（本大题共 9 小题，每空 2 分，满分 22 分）
11． 的平方根是 ； = ；|2﹣ |= ．
12．用四舍五入法对 31500 取近似数，精确到千位，用科学记数法可表示
为 ．
13．函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是 ．
14．若三角形三边分别为 5，12，13，则它最长边上的中线长是 ．
15．在平面直角坐标系中，一青蛙从点 A（﹣1，0）处向左跳 2 个单位长度，再
向下跳 2 个单位长度到点 A′处，则点 A′的坐标为 ．第 3 页（共 26 页）
16．已知，函数 y=3x+b 的图象经过点 A（﹣1，y1），点 B（﹣2，y2），则 y1 y2
（填“＞”“＜”或“=”）
17．是一张直角三角形的纸片．两直角边 AC=6cm，BC=8cm 将△ABC 折叠，使点
B 与点 A 重合，折痕为 DE，则 AD 的长为 ．
18．如图，有一种动画程序，屏幕上正方形区域 ABCD 表示黑色物体甲．已知 A
（2，2），B （4，2），C （4，4），D （2，4），用信号枪沿直线 y=﹣2x+b 发射
信号，当信号遇到区域甲（正方形 ABCD）时，甲由黑变白．则 b 的取值范围为
时，甲能由黑变白．
19．如图，∠AOB=30°，点 M、N 分别在边 OA、OB 上，且 OM=1，ON=3，点 P、
Q 分别在边 OB、OA 上，则 MP+PQ+QN 的最小值是 ．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 48 分，解答要求写出文字说明，证明过程或
计算步骤）
20．（1）计算：|1﹣ |﹣ + ．
（2）求 x 的值：4（x+1）2﹣9=0．
21．如图是单位长度是 1 的网格第 4 页（共 26 页）
（1）在图 1 中画出一条边长为 的线段；
（2）在图 2 中画出一个以格点为顶点，三边长都为无理数的直角三角形．
22．如图，已知四边形 ABCD 是梯形，AD∥BC，∠A=90°，BC=BD，CE⊥BD，垂
足为 E．
（1）求证：△ABD≌△ECB；
（2）若∠DBC=50°，求∠DCE 的度数．
23．如图，直线 OA 的解析式为 y=3x，点 A 的横坐标是﹣1，OB= ，OB 与 x 轴
所夹锐角是 45°．
（1）求 B 点坐标；
（2）求直线 AB 的函数表达式；
（3）若直线 AB 与 y 轴的交点为点 D，求△AOD 的面积；
（4）在直线 AB 上存在异于点 A 的另一点 P，使得△ODP 与△ODA 的面积相等，
请直接写出点 P 的坐标．
24．小张骑车往返于甲、乙两地，距甲地的路程 y（千米）与时间 x（时）的函
数图象如图所示．第 5 页（共 26 页）
（1）小张在路上停留 小时，他从乙地返回时骑车的速度为 千米/时；
（2）小王与小张同时出发，按相同路线匀速前往乙地，距甲地的路程 y（千米）
与时间 x（时）的函数关系式为 y=12x+10．请作出此函数图象，并利用图象回答：
小王与小张在途中共相遇 次；
（3）请你计算第一次相遇的时间．
25．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．△ABC 的边 BC 在 x 轴上，A、
C 两点的坐标分别为 A（0，m）、C（n，0），B（﹣5，0），且（n﹣3）2+
=0，点 P 从 B 出发，以每秒 2 个单位的速度沿射线 BO 匀速运动，设点 P 运动时
间为 t 秒．
（1）求 A、C 两点的坐标；
（2）连接 PA，用含 t 的代数式表示△POA 的面积；
（3）当 P 在线段 BO 上运动时，是否存在一点 P，使△PAC 是等腰三角形？若存
在，请写出满足条件的所有 P 点的坐标并求 t 的值；若不存在，请说明理由．
26．在向红星镇居民介绍王家庄位置的时候，我们可以这样说：如图 1，在以红
星镇为原点，正东方向为 x 轴正方向，正北方向为 y 轴正方向的平面直角坐标系
（1 单位长度表示的实际距离为 1km）中，王家庄的坐标为（5，5）；也可以说，
王家庄在红星镇东北方向 km 的地方．第 6 页（共 26 页）
还有一种方法广泛应用于航海、航空、气象、军事等领域．如图 2：在红星镇所
建的雷达站 O 的雷达显示屏上，把周角每 15°分成一份，正东方向为 0°，相邻两
圆之间的距离为 1 个单位长度（1 单位长度表示的实际距离为 1km），现发现 2
个目标，我们约定用（10，15°）表示点 M 在雷达显示器上的坐标，则：
（1）点 N 可表示为 ；王家庄位置可表示为 ；点 N 关于雷达站点 0 成中
心对称的点 P 的坐标为 ；
（2）S△OMP= ；
（3）若有一家大型超市 A 在图中（4，30°）的地方，请直接标出点 A，并将超
市 A 与雷达站 O 连接，现准备在雷达站周围建立便民服务店 B，使得△ABO 为底
角 30°的等腰三角形，请直接写出 B 点在雷达显示屏上的坐标．
第 7 页（共 26 页）
2016-2017 学年江苏省无锡市江阴 XX 中学八年级（上）
月考数学试卷（12 月份）
参考答案与试题解析
一、精心选一选（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）
1．下列交通标识中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念判断各项即可．
【解答】解：由轴对称的概念可得，只有 B 选项符合轴对称的定义．
故选 B．
2．在﹣0.101001， ， ，﹣ ， ，0 中，无理数的个数有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【考点】无理数．
【分析】先计算 =2，则所给的数中只有 ，﹣ 是无理数．
【解答】解： =2，
所以在﹣0.101001， ， ，﹣ ， ，0 中，其中无理数有： ，﹣ ．
故选 B．
3．若等腰三角形的周长为 10，一边长为 3，则这个等腰三角形的腰长为（ ）
A．3.5 B．3 C．3.5 或 3 D．6
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】根据已知的等腰三角形的周长和一边的长，先分清三角形的底和腰，再
计算腰长．第 8 页（共 26 页）
【解答】解：当 3 为腰，底边的长为 10﹣3﹣3=4 时，3+3＞4，能构成等腰三角
形，所以腰长可以是 3；
当 3 为底，腰的长为（10﹣3）÷2=3.5 时，3.5，3.5，3 能构成等腰三角形，所
以腰长可以是 3.5．
故选：C．
4．若点 P 在第二象限，点 P 到 x 轴的距离是 4，到 y 轴的距离是 3，点 P 的坐标
是（ ）
A．（﹣4，3） B．（4，﹣3） C．（﹣3，4） D．（3，﹣4）
【考点】点的坐标．
【分析】根据点到x 轴的距离等于纵坐标的长度，到 y 轴的距离等于横坐标的长
度结合第二象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：∵点 P 在第二象限，点 P 到 x 轴的距离是 4，到 y 轴的距离是 3，
∴点 P 的横坐标是﹣3，纵坐标是 4，
∴点 P 的坐标为（﹣3，4）．
故选 C．
5．在平面直角坐标系中，点（﹣1，m2+1）一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】点的坐标．
【分析】应先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限．
【解答】解：因为点（﹣1，m2+1），横坐标＜0，纵坐标 m2+1 一定大于 0，
所以满足点在第二象限的条件．
故选 B．
6．直线 y=2x﹣1 上到 y 轴的距离等于 3 的点的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（3，5） C．（3，5）或（﹣3，﹣7） D．（2，3）或（﹣1，﹣3）
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】让横坐标等于 3 或﹣3 可得到相对应的 y 的值可得所求坐标．第 9 页（共 26 页）
【解答】解：设该点的坐标为（x，y）．
∵点到 y 轴的距离是 3，
∴x=±3，
当 x=3 时，y=2x﹣1=5，
当 x=﹣3 时，y=2x﹣1=﹣7，
∴直线 y=2x﹣1 上到 y 轴的距离等于 3 的点的坐标是（3，5）或（﹣3，﹣7）．
故选 C．
7．已知正比例函数 y=kx（k≠0）的函数值 y 随 x 的增大而减小，则一次函数
y=﹣kx+k 的图象大致是 （ ）
A． B． C． D．
【考点】一次函数的图象；正比例函数的性质．
【分析】由于正比例函数y=kx（k≠0）函数值随 x 的增大而增大，可得 k＜0，﹣k
＞0，然后，判断一次函数 y=﹣kx+k 的图象经过象限即可；
【解答】解：∵正比例函数 y=kx（k≠0）函数值随 x 的增大而增大，
∴k＜0，
∴﹣k＞0，
∴一次函数 y=﹣kx+k 的图象经过一、三、四象限；
故选 B．
8．对平面上任意一点（a，b），定义 f，g 两种变换：f（a，b）=（a，﹣b）．如
f（1，2）=（1，﹣2）；g（a，b）=（b，a）．如 g（1，2）=（2，1）．据此得 g
（f（5，﹣9））=（ ）
A．（5，﹣9） B．（﹣9，﹣5） C．（5，9） D．（9，5）
【考点】点的坐标．
【分析】根据两种变换的规则，先计算f（5，﹣9）=（5，9），再计算 g（5，9）
即可．第 10 页（共 26 页）
【解答】解：g（f（5，﹣9））=g（5，9）=（9，5）．
故选 D．
9．小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点 A，再走上坡路到达点 B，
最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果
他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那
么他从单位到家门口需要的时间是（ ）
A．12 分钟 B．15 分钟 C．25 分钟 D．27 分钟
【考点】一次函数的应用．
【分析】依据图象分别求出平路、上坡路和下坡路的速度，然后根据路程，求出
时间即可．
【解答】解：先算出平路、上坡路和下坡路的速度分别为 、 和 （千米/分），
所以他从单位到家门口需要的时间是 （分钟）．
故选：B．
10 ． 如 图 ， ∠ AOB=45° ， 在 OA 上 截 取 OA1=1 ， OA2=3 ， OA3=5 ， OA4=7 ，
OA5=9，…，过点 A1、A2、A3、A4、A5 分别作 OA 的垂线与 OB 相交，得到并标出
一组阴影部分，它们的面积分别为 S1，S2，S3，…．观察图中的规律，第 n 个阴
影部分的面积 Sn 为（ ）第 11 页（共 26 页）
A．8n﹣4 B．4n C．8n+4 D．3n+2
【考点】规律型：图形的变化类．
【分析】观察图形，发现：黑色梯形的高总是 2；根据等腰直角三角形的性质，
分别求得黑色梯形的两底和依次是 4，12，20，…即依次多 8．再进一步根据梯
形的面积公式进行计算．
【解答】解：∵∠AOB=45°，
∴图形中三角形都是等腰直角三角形，
∴S1= （1+3）×2=4；
Sn= ×2×[4+8（n﹣1）]=8n﹣4．
故选 A．
二、仔细填一填（本大题共 9 小题，每空 2 分，满分 22 分）
11． 的平方根是 ±3 ； = ﹣3 ；|2﹣ |= 2﹣ ．
【考点】立方根；平方根；算术平方根；实数的性质．
【分析】利用立方根与算术平方根的定义及绝对值的性质求解．
【解答】解： 的平方根是±3， =﹣3，|2﹣ |=2﹣ ．
故答案为：±3，﹣3，2﹣ ．
12．用四舍五入法对 31500 取近似数，精确到千位，用科学记数法可表示为 3.2
×104 ．
【考点】科学记数法与有效数字．
【分析】一个近似数精确到十位或十位以前的数位时，要先用科学记数法表示出
这个数，再进行四舍五入．第 12 页（共 26 页）
【解答】解：用四舍五入法对31500 取近似数，精确到千位，用科学记数法可表
示为 3.2×104．
故答案为 3.2×104．
13．函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是 x≥﹣1 ．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x+1≥0，
解得 x≥﹣1．
故答案为：x≥﹣1．
14．若三角形三边分别为 5，12，13，则它最长边上的中线长是 6.5 ．
【考点】勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线．
【分析】根据勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，结合直角三角形的性
质求得最长边上的中线长．
【解答】解：∵52+122=132，
∴三角形为直角三角形，
∴斜边长为 13，
∵直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，
∴中线长为 6.5．
故答案为 6.5．
15．在平面直角坐标系中，一青蛙从点 A（﹣1，0）处向左跳 2 个单位长度，再
向下跳 2 个单位长度到点 A′处，则点 A′的坐标为 （﹣3，﹣2） ．
【考点】坐标与图形变化-平移．
【分析】根据向左跳横坐标减，向下跳纵坐标减分别计算即可得解．
【解答】解：∵从点A（﹣1，0）处向左跳 2 个单位长度，再向下跳 2 个单位长
度，
∴点 A′的横坐标为﹣1﹣2=﹣3，第 13 页（共 26 页）
纵坐标为 0﹣2=﹣2，
∴点 A′的坐标为（﹣3，﹣2）．
故答案为：（﹣3，﹣2）．
16．已知，函数 y=3x+b 的图象经过点 A（﹣1，y1），点 B（﹣2，y2），则 y1 ＞
y2（填“＞”“＜”或“=”）
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据 k=3＞0，一次函数的函数值 y 随 x 的增大而增大解答．
【解答】解：∵k=3＞0，
∴函数值 y 随 x 的增大而增大，
∵﹣1＞﹣2，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
17．是一张直角三角形的纸片．两直角边 AC=6cm，BC=8cm 将△ABC 折叠，使点
B 与点 A 重合，折痕为 DE，则 AD 的长为 cm ．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】首先设 AD=xcm，由折叠的性质得：BD=AD=xcm，又由 BC=8cm，可得
CD=8﹣x（cm），然后在 Rt△ACD 中，利用勾股定理即可求得方程，解方程即可
求得答案．
【解答】解：设 AD=xcm，
由折叠的性质得：BD=AD=xcm，
∵在 Rt△ABC 中，AC=6cm，BC=8cm，
∴CD=BC﹣BD=8﹣x（cm），
在 Rt△ACD 中，AC2+CD2=AD2，
即：62+（8﹣x）2=x2，第 14 页（共 26 页）
解得：x= ，
∴AD= cm．
故答案为： cm．
18．如图，有一种动画程序，屏幕上正方形区域 ABCD 表示黑色物体甲．已知 A
（2，2），B （4，2），C （4，4），D （2，4），用信号枪沿直线 y=﹣2x+b 发射
信号，当信号遇到区域甲（正方形 ABCD）时，甲由黑变白．则 b 的取值范围为 6
≤b≤12 时，甲能由黑变白．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据题意确定直线 y=﹣2x+b 经过哪一点 b 最大，哪一点 b 最小，然后
代入求出 b 的取值范围．
【解答】解：由题意可知当直线 y=﹣2x+b 经过 A（2，2）时 b 的值最小，即﹣2
×2+b=2，b=6；
当直线 y=﹣2x+b 过 C（4，4）时，b 最大即 4=﹣2×4+b，b=12，
故能够使黑色区域变白的 b 的取值范围为 6≤b≤12．
故答案为：6≤b≤12．
19．如图，∠AOB=30°，点 M、N 分别在边 OA、OB 上，且 OM=1，ON=3，点 P、
Q 分别在边 OB、OA 上，则 MP+PQ+QN 的最小值是 ．
【考点】轴对称-最短路线问题．第 15 页（共 26 页）
【分析】作 M 关于 OB 的对称点 M′，作 N 关于 OA 的对称点 N′，连接 M′N′，即
为 MP+PQ+QN 的最小值．
【解答】解：作 M 关于 OB 的对称点 M′，作 N 关于 OA 的对称点 N′，
连接 M′N′，即为 MP+PQ+QN 的最小值．
根据轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°，
∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，
∴∠N′OM′=90°，
∴在 Rt△M′ON′中，
M′N′= = ．
故答案为 ．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 48 分，解答要求写出文字说明，证明过程或
计算步骤）
20．（1）计算：|1﹣ |﹣ + ．
（2）求 x 的值：4（x+1）2﹣9=0．
【考点】实数的运算．
【分析】（1）原式利用绝对值的代数意义，二次根式性质计算即可得到结果；
（2）方程整理后，开方即可求出 x 的值．
【解答】解：（1）原式= ﹣1﹣2+ = ﹣ ；
（2）方程整理得：（x+1）2= ，
开方得：x+1=± ，
解得：x= 或 x=﹣ ．
第 16 页（共 26 页）
21．如图是单位长度是 1 的网格
（1）在图 1 中画出一条边长为 的线段；
（2）在图 2 中画出一个以格点为顶点，三边长都为无理数的直角三角形．
【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．
【分析】（1）由勾股定理得出 = ，画出线段即可；
（2）画一个边长 、2 、 的三角形即可．
【解答】解：（1）由勾股定理得： = ，
线段 AB 即为所求，
如图 1 所示：
（2）由勾股定理得：
= ， = ， = ，；
∵（ ）2+（2 ）2=（ ）2，
∴以边长 、2 、 的三角形为直角三角形，
如图 2 所示．
22．如图，已知四边形 ABCD 是梯形，AD∥BC，∠A=90°，BC=BD，CE⊥BD，垂第 17 页（共 26 页）
足为 E．
（1）求证：△ABD≌△ECB；
（2）若∠DBC=50°，求∠DCE 的度数．
【考点】直角梯形；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）因为这两个三角形是直角三角形，BC=BD，因为 AD∥BC，还能推
出∠ADB=∠EBC，从而能证明：△ABD≌△ECB．
（2）因为∠DBC=50°，BC=BD，可求出∠BDC 的度数，进而求出∠DCE 的度
数．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠EBC．
∵CE⊥BD，∠A=90°，
∴∠A=∠CEB，
在△ABD 和△ECB 中，
∵∠A=∠CEB，AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠BCE，
又∵BC=BD
∴△ABD≌△ECB；
（2）解：∵∠DBC=50°，BC=BD，
∴∠EDC= =65°，
又∵CE⊥BD，
∴∠CED=90°，
∴∠DCE=90°﹣∠EDC=90°﹣65°=25°．第 18 页（共 26 页）
23．如图，直线 OA 的解析式为 y=3x，点 A 的横坐标是﹣1，OB= ，OB 与 x 轴
所夹锐角是 45°．
（1）求 B 点坐标；
（2）求直线 AB 的函数表达式；
（3）若直线 AB 与 y 轴的交点为点 D，求△AOD 的面积；
（4）在直线 AB 上存在异于点 A 的另一点 P，使得△ODP 与△ODA 的面积相等，
请直接写出点 P 的坐标．
【考点】待定系数法求正比例函数解析式；待定系数法求一次函数解析式．
【分析】（1）过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E，则△BOE 为等腰直角三角形，由此得出
OE=BE、OB= OE，结合 OB= 即可得出 OE=BE=1，再根据点 B 所在的象限即可
得出点 B 的坐标；
（2）由点 A 的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点 A 的坐标，
根据点 A、B 的坐标利用待定系数法即可求出直线 AB 的函数表达式；
（3）将 x=0 代入直线 AB 的函数表达式中即可求出点 D 的坐标，再根据三角形
的面积公式即可得出△AOD 的面积；
（4）由△ODP 与△ODA 的面积相等可得知 xP=﹣xA，再根据一次函数图象上点的
坐标特征即可求出点 P 的坐标．
【解答】解：（1）过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E，如图所示．第 19 页（共 26 页）
∵∠BOE=45°，BE⊥OE，
∴△BOE 为等腰直角三角形，
∴OE=BE，OB= OE．
∵OB= ，
∴OE=BE=1，
∴点 B 的坐标为（1，﹣1）．
（2）当 x=﹣1 时，y=﹣3，
∴点 A 的坐标为（﹣1，﹣3）．
设直线 AB 的表达式为 y=kx+b（k≠0），
将（﹣1，﹣3）、（1，﹣1）代入 y=kx+b，
，解得： ，
∴直线 AB 的函数表达式为 y=x﹣2．
（3）当 x=0 时，y=﹣2，
∴点 D 的坐标为（0，﹣2），
∴S△AOD= OD•|xA|= ×2×1=1．
（4）∵△ODP 与△ODA 的面积相等，
∴xP=﹣xA=1，
当 x=1 时，y=1﹣2=﹣1，
∴点 P 的坐标为（1，﹣1）．
24．小张骑车往返于甲、乙两地，距甲地的路程 y（千米）与时间 x（时）的函
数图象如图所示．
（1）小张在路上停留 1 小时，他从乙地返回时骑车的速度为 30 千米/时；第 20 页（共 26 页）
（2）小王与小张同时出发，按相同路线匀速前往乙地，距甲地的路程 y（千米）
与时间 x（时）的函数关系式为 y=12x+10．请作出此函数图象，并利用图象回答：
小王与小张在途中共相遇 2 次；
（3）请你计算第一次相遇的时间．
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）根据函数图象得到小张在路上停留的时间，由图象中的数据可以得
到小张从乙地返回时骑车的速度；
（2）根据小王对应的函数解析式可以得到相应的函数图象，根据函数图象可以
得到小王与小张在途中的次数；
（3）根据图象可以得到当 2≤x≤4 时，小张对应的函数解析式，然后与小王对
应的函数解析式联立，即可解答本题．
【解答】解：（1）由图象可知，
小张在路上停留 1 小时，他从乙地返回时骑车的速度为：60÷（6﹣4）=30 千米
/时，
故答案为：1，30；
（2）如右图所示，图中虚线表示 y=12x+10，
由图象可知，小王与小张在途中相遇 2 次，
故答案为：2；
（3）设当 2≤x≤4 时，小张对应的函数解析式为 y=kx+b，
，得 ，
∴当 2≤x≤4 时，小张对应的函数解析式为 y=20x﹣20，
∴ ，第 21 页（共 26 页）
解得， ，
即小王与小张在途中第一次相遇的时间为 小时．
25．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．△ABC 的边 BC 在 x 轴上，A、
C 两点的坐标分别为 A（0，m）、C（n，0），B（﹣5，0），且（n﹣3）2+
=0，点 P 从 B 出发，以每秒 2 个单位的速度沿射线 BO 匀速运动，设点 P 运动时
间为 t 秒．
（1）求 A、C 两点的坐标；
（2）连接 PA，用含 t 的代数式表示△POA 的面积；
（3）当 P 在线段 BO 上运动时，是否存在一点 P，使△PAC 是等腰三角形？若存
在，请写出满足条件的所有 P 点的坐标并求 t 的值；若不存在，请说明理由．
【考点】一次函数综合题．
【分析】（1）根据偶次方和算术平方根的非负性得出 n﹣3=0，3m﹣12=0，求出
即可；
（2）分为三种情况：当 0≤t＜ 时，P 在线段 OB 上，②当 t= 时，P 和 O 重合，③第 22 页（共 26 页）
当 t＞ 时，P 在射线 OC 上，求出 OP 和 OA，根据三角形的面积公式求出即可；
（3）分为三种情况：①∠PAC 为顶角时，找出腰长关系便可解；②∠ACP 为顶
角时，找出腰长关系便可解；③∠APC 为顶角时，根据勾股定理可求得．
【解答】解：（1）∵ ，
∴n﹣3=0，3m﹣12=0，
n=3，m=4，
∴A 的坐标是（0，4），C 的坐标是（3，0）；
（2）∵B（﹣5，0），
∴OB=5，
①当 0≤t＜ 时，P 在线段 OB 上，如图 1，
∵OP=5﹣2t，OA=4，
∴△POA 的面积 S= ×OP×AP= ×（5﹣2t）×4=10﹣4t；
②当 t= 时，P 和 O 重合，此时△APO 不存在，即 S=0；
③当 t＞ 时，P 在射线 OC 上，如备用图 2，
∵OP=2t﹣5，OA=4，
∴△POA 的面积 S= ×OP×AP= ×（2t﹣5）×4=4t﹣10；
（3）P 在线段 BO 上运动使△PAC 是等腰三角形，分三种情况，
①∠PAC 为顶角时，即 AP=AC，
∴AO 为△PAC 中垂线，
∴PO=CO=3，
∴P 点坐标为（﹣3，0），
∴t= =1s；
②∠ACP 为顶角时，AC=CP
根据勾股定理可得，AC= =5，第 23 页（共 26 页）
∴PO=2，
∴P 点坐标为（﹣2，0），
∴t= =1.5s；
③∠APC 为顶角时，AP=PC，设 PA=a，
根据勾股定理，在 Rt△PAO 中，x2=（x﹣3）2+42
解得 x= ，
∴PO= ﹣3= ，
∴P 点坐标为（﹣ ，0），
∴t= = s；
综上，存在一点 P（﹣3，0）、（﹣2，0）、（ ，0）相对应的时间分别是 t=1、
1.5、 ，使△PAC 是等腰三角形．
26．在向红星镇居民介绍王家庄位置的时候，我们可以这样说：如图 1，在以红
星镇为原点，正东方向为 x 轴正方向，正北方向为 y 轴正方向的平面直角坐标系
（1 单位长度表示的实际距离为 1km）中，王家庄的坐标为（5，5）；也可以说，
王家庄在红星镇东北方向 km 的地方．第 24 页（共 26 页）
还有一种方法广泛应用于航海、航空、气象、军事等领域．如图 2：在红星镇所
建的雷达站 O 的雷达显示屏上，把周角每 15°分成一份，正东方向为 0°，相邻两
圆之间的距离为 1 个单位长度（1 单位长度表示的实际距离为 1km），现发现 2
个目标，我们约定用（10，15°）表示点 M 在雷达显示器上的坐标，则：
（1）点 N 可表示为 （8，135°） ；王家庄位置可表示为 （ ，45°） ；
点 N 关于雷达站点 0 成中心对称的点 P 的坐标为 （8，315°） ；
（2）S△OMP= 20 km2 ；
（3）若有一家大型超市 A 在图中（4，30°）的地方，请直接标出点 A，并将超
市 A 与雷达站 O 连接，现准备在雷达站周围建立便民服务店 B，使得△ABO 为底
角 30°的等腰三角形，请直接写出 B 点在雷达显示屏上的坐标．
【考点】坐标确定位置；作图—应用与设计作图．
【分析】（1）根据坐标中的第一个数值表示到 O 点距离，第二个数表示这点与
正东方向的夹角，利用此方法写出点 N、王家庄和点 P 的坐标；
（2）作 PH⊥OM 于 H，如图，先利用含 30 度的直角三角形三边的关系求出 OH=4，
PH= OH=4 ，然后根据三角形面积公式计算；
（3）分类讨论：分别以点 A、B、O 为顶点，利用等腰三角形的性质和含 30 度
的直角三角形三边的关系求出 OB 的长，从而得到对应 B 点坐标．
【解答】解：（1）N 点表示为（8，135°），王家庄位置可表示为（ ，45°），
点 P 的坐标表示为（8，315°），
（2）作 PH⊥OM 于 H，如图，第 25 页（共 26 页）
∵∠POH=60°，
∴OH= OP= ×8=4，PH= OH=4 ，
∴S△OMP= ×10×4 =20 （km2）；
（3）如图，当 AB=AO，则 B 点坐标为（4 ，0）或（4 ，60°），
当 BA=BO，则 B 点坐标为（ ，0）或（ ，60°），
当 OB=OAQ，则 B 点坐标为（4，150）或（4，270°）．
故答案为（8，135°），（ ，45°），（8，315°）；
第 26 页（共 26 页）
2017 年 2 月 2 日
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