聊城市东阿县2015-2016学年八年级下期末数学试卷含答案解析.doc

第 1 页（共 18 页） 2015-2016 学年山东省聊城市东阿县八年级（下）期末数学试卷 　 一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分） 1．下列说法错误的是（　　） A．42 的算术平方根为 4 B．2 的算术平方根为 C． 的算术平方根是 D． 的算术平方根是 9 2．下列各数：3.14159，0，0.3131131113…（相邻两个 3 之间 1 的个数逐次加 1），﹣ ， ﹣ ，其中无理数有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 3．若代数式 有意义，则实数 x 的取值范围是（　　） A．x≥﹣1 B．x≥﹣1 且 x≠3 C．x＞﹣1 D．x＞﹣1 且 x≠3 4．下列各组数的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．32，42，52 C． ， ， D． ， ， 5．在四边形 ABCD 中，AC、BD 交于点 O，在下列各组条件中，不能判定四边形 ABCD 为矩形的是（　　） A．AB=CD，AD=BC，AC=BD B．AO=CO，BO=DO，∠A=90° C．∠A=∠C，∠B+∠C=180°，AC⊥BD D．∠A=∠B=90°，AC=BD 6．不等式﹣4x+6≥﹣3x+5 的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 7．若点（m，n）在函数 y=2x+1 的图象上，则 2m﹣n 的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 8．如图，函数 y=2x 和 y=ax+4 的图象相交于点 A（m，3），则不等式 2x＜ax+4 的解集为 （　　） A．x＜ B．x＜3 C．x＞ D．x＞3 9．如图所示，在菱形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、AC 的中点，如果 EF=2，那么菱形 ABCD 的周长是（　　）第 2 页（共 18 页） A．4 B．8 C．12 D．16 10．如图是一次函数 y=ax﹣b 的图象，则下列判断正确的是（　　） A．a＞0，b＜0 B．a＞0，b＞0 C．a＜0，b＜0 D．a＜0，b＞0 11．如图，直线 y1=k1x+a 与 y2=k2x+b 的交点坐标为（1，2），则使 y1≥y2 的 x 的取值范围 为（　　） A．x≥1 B．x≥2 C．x≤1 D．x≤2 12．如图，已知 P 为正方形 ABCD 外的一点，PA=1，PB=2，将△ABP 绕点 B 顺时针旋转 90°，使点 P 旋转至点 P′，且 AP′=3，则∠BP′C 的度数为 （　　） A．105° B．112.5° C．120° D．135° 　 二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分） 13．一个实数的两个平方根分别是 m﹣5 和 3m+9，则这个实数是　　． 14．通过平移把点 A（1，﹣3）移到点 A1（3，0），按同样的平移方式把点 P（2，3）移到 P1，则点 P1 的坐标是　　． 15．顺次连接平行四边形各边中点所形成的四边形是　　． 16．已知： +|b﹣1|=0，那么（a+b）2016 的值为　　． 17．如图，正方形 ABCD 的对角线 BD 是菱形 BEFD 的一边，菱形 BEFD 的对角线 BF 交于 P，则∠BPD 的度数为　　．第 3 页（共 18 页） 　 三、解答题（共 8 小题，满分 69 分） 18．化简计算： （1） ﹣15 + + ； （2） × ﹣4 ×（1﹣ ）2． 19．（1）解不等式： ，并求出它的正整数解． （2）解不等式组： ． 20．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是 1 个单位长度，Rt△ABC 的三个顶点 A （﹣2，2），B（0，5），C（0，2）． （1）将△ABC 以点 C 为旋转中心旋转 180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C 的图形． （2）平移△ABC，使点 A 的对应点 A2 坐标为（﹣2，﹣6），请画出平移后对应的△A2B2C2 的图形． （3）若将△A1B1C 绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标． 21．如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，且 AE=BC，DF⊥AE，垂足是 F，连接 DE．求证：（1）DF=AB；（2）DE 是∠FDC 的平分线． 22．如图，过 A 点的一次函数的图象与正比例函数 y=2x 的图象相交于点 B．第 4 页（共 18 页） （1）求该一次函数的解析式； （2）判定点 C（4，﹣2）是否在该函数图象上？说明理由； （3）若该一次函数的图象与 x 轴交于 D 点，求△BOD 的面积． 23．甲、乙两个厂家生产的办公桌和办公椅的质量、价格一致，每张办公桌 800 元，每张椅 子 80 元．甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲厂家：买一张桌子送三张椅子；乙 厂家：桌子和椅子全部按原价 8 折优惠．现某公司要购买 3 张办公桌和若干张椅子，若购买 的椅子数为 x 张（x≥9）． （1）分别用含 x 的式子表示甲、乙两个厂家购买桌椅所需的金额； （2）购买的椅子至少多少张时，到乙厂家购买更划算？ 24．如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 AD 上一点，将△ABE 绕点 A 按逆时针方向旋转 90°到△ADF 的位置．已知 AF=5，BE=13 （1）求 DE 的长度； （2）BE 与 DF 是否垂直？说明你的理由． 25．已知：甲乙两车分别从相距 300 千米的 A、B 两地同时出发相向而行，其中甲到达 B 地后立即返回，如图是它们离各自出发地的距离 y（千米）与行驶时间 x（小时）之间的函 数图象． （1）求甲车离出发地的距离 y 甲（千米）与行驶时间 x（小时）之间的函数关系式，并写出 自变量的取值范围； （2）它们出发 小时时，离各自出发地的距离相等，求乙车离出发地的距离 y 乙（千米） 与行驶时间 x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）在（2）的条件下，求它们在行驶的过程中相遇的时间． 　第 5 页（共 18 页） 2015-2016 学年山东省聊城市东阿县八年级（下）期末数 学试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分） 1．下列说法错误的是（　　） A．42 的算术平方根为 4 B．2 的算术平方根为 C． 的算术平方根是 D． 的算术平方根是 9 【考点】算术平方根． 【分析】依据有理数的乘方以及算术平方根的性质求解即可． 【解答】解：A、42=16，16 的算术平方根是 4，故 A 正确，与要求不符； B、2 的算术平方根是 ，故 B 正确，与要求不符； C、 = =3，3 的算术平方根是 ，故 C 正确，与要求不符； D、 =9，9 的算术平方根是 3，故 D 错误，与要求相符． 故选：D． 　 2．下列各数：3.14159，0，0.3131131113…（相邻两个 3 之间 1 的个数逐次加 1），﹣ ， ﹣ ，其中无理数有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【考点】无理数． 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念， 有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无 理数．由此即可判定选择项． 【解答】解：0，0.3131131113…（相邻两个 3 之间 1 的个数逐次加 1）是无理数， 故选：A． 　 3．若代数式 有意义，则实数 x 的取值范围是（　　） A．x≥﹣1 B．x≥﹣1 且 x≠3 C．x＞﹣1 D．x＞﹣1 且 x≠3 【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件． 【分析】根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，x+1≥0 且 x﹣3≠0， 解得：x≥﹣1 且 x≠3． 故选：B． 　 4．下列各组数的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．32，42，52 C． ， ， D． ， ，第 6 页（共 18 页） 【考点】勾股定理的逆定理． 【分析】根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角 形．只要判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断． 【解答】解：A、∵12+22=5≠32，∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故选项 错误； B、∵（32）2+（42）2≠（52）2 ，∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故选 项错误； C、∵（ ）2+（ ）2=5=（ ）2，∴以这三个数为长度的线段，能构成直角三角形， 故选项正确； D、∵（ ）2+（ ）2=7≠（ ）2，∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形， 故选项错误． 故选：C． 　 5．在四边形 ABCD 中，AC、BD 交于点 O，在下列各组条件中，不能判定四边形 ABCD 为矩形的是（　　） A．AB=CD，AD=BC，AC=BD B．AO=CO，BO=DO，∠A=90° C．∠A=∠C，∠B+∠C=180°，AC⊥BD D．∠A=∠B=90°，AC=BD 【考点】矩形的判定． 【分析】由 AB=CD，AD=BC，得出四边形 ABCD 是平行四边形，再由对角线相等即可得 出 A 正确； 由 AO=CO，BO=DO，得出四边形 ABCD 是平行四边形，由∠A=90°即可得出 B 正确； 由∠B+∠C=180°，得出 AB∥DC，再证出 AD∥BC，得出四边形 ABCD 是平行四边形，由 对角线互相垂直得出四边形 ABCD 是菱形，C 不正确； 由∠A+∠B=180°，得出 AD∥BC，由 HL 证明 Rt△ABC≌Rt△BAD，得出 BC=AD，证出 四边形 ABCD 是平行四边形，由∠A=90°即可得出 D 正确． 【解答】解：∵AB=CD，AD=BC， ∴四边形 ABCD 是平行四边形， 又∵AC=BD， ∴四边形 ABCD 是矩形， ∴A 正确； ∵AO=CO，BO=DO， ∴四边形 ABCD 是平行四边形， 又∵∠A=90°， ∴四边形 ABCD 是矩形， ∴B 正确； ∵∠B+∠C=180°， ∴AB∥DC， ∵∠A=∠C， ∴∠B+∠A=180°， ∴AD∥BC， ∴四边形 ABCD 是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴四边形 ABCD 是菱形， ∴C 不正确；第 7 页（共 18 页） ∵∠A=∠B=90°， ∴∠A+∠B=180°， ∴AD∥BC，如图所示： 在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）， ∴BC=AD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形， 又∵∠A=90°， ∴四边形 ABCD 是矩形， ∴D 正确； 故选：C． 　 6．不等式﹣4x+6≥﹣3x+5 的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式． 【分析】利用不等式的基本性质，将不等式移项合并同类项，系数化为1，再将解集在数轴 上表示出来即可． 【解答】解：移项得﹣4x+3x≥5﹣6， ﹣x≥﹣1， x≤1． 将解集在数轴上表示出来为： ． 故选：B． 　 7．若点（m，n）在函数 y=2x+1 的图象上，则 2m﹣n 的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 【考点】一次函数图象上点的坐标特征． 【分析】将点（m，n）代入函数 y=2x+1，得到 m 和 n 的关系式，再代入 2m﹣n 即可解 答． 【解答】解：将点（m，n）代入函数 y=2x+1 得， n=2m+1， 整理得，2m﹣n=﹣1． 故选：D．第 8 页（共 18 页） 　 8．如图，函数 y=2x 和 y=ax+4 的图象相交于点 A（m，3），则不等式 2x＜ax+4 的解集为 （　　） A．x＜ B．x＜3 C．x＞ D．x＞3 【考点】一次函数与一元一次不等式． 【分析】先根据函数 y=2x 和 y=ax+4 的图象相交于点 A（m，3），求出 m 的值，从而得出 点 A 的坐标，再根据函数的图象即可得出不等式 2x＜ax+4 的解集． 【解答】解：∵函数 y=2x 和 y=ax+4 的图象相交于点 A（m，3）， ∴3=2m， m= ， ∴点 A 的坐标是（ ，3）， ∴不等式 2x＜ax+4 的解集为 x＜ ； 故选 A． 　 9．如图所示，在菱形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、AC 的中点，如果 EF=2，那么菱形 ABCD 的周长是（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【考点】三角形中位线定理；菱形的性质． 【分析】根据中位线定理求边长，再求 ABCD 的周长． 【解答】解：由题意可知，EF 是△ABC 的中位线， 有 EF= BC． ∴BC=2EF=2×2=4， 那么 ABCD 的周长是 4×4=16． 故选：D． 　 10．如图是一次函数 y=ax﹣b 的图象，则下列判断正确的是（　　）第 9 页（共 18 页） A．a＞0，b＜0 B．a＞0，b＞0 C．a＜0，b＜0 D．a＜0，b＞0 【考点】一次函数图象与系数的关系． 【分析】根据一次函数的图象的增减性和与 y 轴的交点位置确定 a 和 b 的符号即可． 【解答】解：观察图象知：图象呈上升趋势，且交 y 轴的负半轴， 故 a＞0，﹣b＞0， 即：a＞0，b＜0， 故选 A． 　 11．如图，直线 y1=k1x+a 与 y2=k2x+b 的交点坐标为（1，2），则使 y1≥y2 的 x 的取值范围 为（　　） A．x≥1 B．x≥2 C．x≤1 D．x≤2 【考点】一次函数与一元一次不等式． 【分析】在图中找到两函数图象的交点，根据一次函数图象的交点坐标与不等式组解集的关 系即可作出判断． 【解答】解：∵直线 y1=k1x+a 与 y2=k2x+b 的交点坐标为（1，2）， ∴当 x=1 时，y1=y2=2； ∴当 y1≥y2 时，x≥1． 故选 A． 　 12．如图，已知 P 为正方形 ABCD 外的一点，PA=1，PB=2，将△ABP 绕点 B 顺时针旋转 90°，使点 P 旋转至点 P′，且 AP′=3，则∠BP′C 的度数为 （　　） A．105° B．112.5° C．120° D．135° 【考点】旋转的性质． 【分析】连结 PP′，如图，先根据旋转的性质得 BP=BP′，∠BAP=∠BP′C，∠PBP′=90°，则 可判断△PBP′为等腰直角三角形，于是有∠BPP′=45°，PP′= PB=2 ，然后根据勾股定理第 10 页（共 18 页） 的逆定理证明△APP′为直角三角形，得到∠APP′=90°，所以∠BPA=∠BPP′+∠APP′=135°， 则∠BP′C=135°． 【解答】解：连结 PP′，如图， ∵四边形 ABCD 为正方形， ∴∠ABC=90°，BA=BC， ∴△ABP 绕点 B 顺时针旋转 90°得到△CBP′， ∴BP=BP′，∠BAP=∠BP′C，∠PBP′=90°， ∴△PBP′为等腰直角三角形， ∴∠BPP′=45°，PP′= PB=2 ， 在△APP′中，∵PA=1，PP′=2 ，AP′=3， ∴PA2+PP′2=AP′2， ∴△APP′为直角三角形，∠APP′=90°， ∴∠BPA=∠BPP′+∠APP′=45°+90°=135°， ∴∠BP′C=135°． 故选 D． 　 二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分） 13．一个实数的两个平方根分别是 m﹣5 和 3m+9，则这个实数是　36　． 【考点】平方根． 【分析】先利用两个平方根的和等于零求出 m 的值，再求出这个数即可． 【解答】解：m﹣5+3m+9=0， 解得 m=﹣1，所以 m﹣1=﹣6， 所以这个实数是（﹣6）2=36， 故答案为：36． 　 14．通过平移把点 A（1，﹣3）移到点 A1（3，0），按同样的平移方式把点 P（2，3）移到 P1，则点 P1 的坐标是　（4，6）　． 【考点】坐标与图形变化-平移． 【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加， 左移减；纵坐标上移加，下移减． 【解答】解：从点 A 到 A1 点的横坐标从 1 到 3，说明是向右移动了 3﹣1=2，纵坐标从﹣3 到 0，说明是向上移动了 0﹣（﹣3）=3，那点 P 的横坐标加 2，纵坐标加 3 即可得到点 P1．则点 P1 的坐标是（4，6）． 故答案填：（4，6）． 　 15．顺次连接平行四边形各边中点所形成的四边形是　平行四边形　． 【考点】中点四边形． 【分析】可连接平行四边形的对角线，然后利用三角形中位线定理进行求解．第 11 页（共 18 页） 【解答】解：如图；四边形 ABCD 是平行四边形，E、F、G、H 分别是▱ABCD 四边的中 点． 连接 AC、BD； ∵E、F 是 AB、BC 的中点， ∴EF 是△ABC 的中位线； ∴EF∥AC； 同理可证：GH∥AC∥EF，EH∥BD∥FG； ∴四边形 EFGH 是平行四边形． 故顺次连接平行四边形各边中点的图形为平行四边形． 故答案为：平行四边形． 　 16．已知： +|b﹣1|=0，那么（a+b）2016 的值为　1　． 【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值． 【分析】根据非负数的性质分别求出 a、b 的值，代入代数式计算即可． 【解答】解：由题意得，a+2=0，b﹣1=0， 解得，a=﹣2，b=1， 则（a+b）2016=1， 故答案为：1． 　 17．如图，正方形 ABCD 的对角线 BD 是菱形 BEFD 的一边，菱形 BEFD 的对角线 BF 交于 P，则∠BPD 的度数为　112.5°　． 【考点】菱形的性质；正方形的性质． 【分析】根据菱形的性质对角线平分每一组对角以及正方形性质得出，∠DBF=∠ FBE=22.5°，进而利用三角形外角性质求出即可． 【解答】解：∵正方形ABCD 的对角线 BD 是菱形 BEFD 的一边，菱形 BEFD 的对角线 BF 交于 P， ∴∠DBC=∠BDC=45°，∠DBF=∠FBE=22.5°， ∴∠BPD 的度数为：∠PBC+∠BCP=90°+22.5°=112.5°． 故答案为：112.5°． 　 三、解答题（共 8 小题，满分 69 分） 18．化简计算： （1） ﹣15 + + ；第 12 页（共 18 页） （2） × ﹣4 ×（1﹣ ）2． 【考点】二次根式的混合运算． 【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）先进行二次根式的乘法运算，然后去括号后合并即可． 【解答】解：（1）原式=3 ﹣5 + +2 = ； （2）原式= ﹣ （1﹣2 +2） =2 ﹣3 +4 =4﹣ ． 　 19．（1）解不等式： ，并求出它的正整数解． （2）解不等式组： ． 【考点】解一元一次不等式组；解一元一次不等式；一元一次不等式的整数解． 【分析】（1）先去分母，再去括号得到 3x﹣6≤14﹣2x，接着移项、合并得 5x≤20，然后把 x 的系数化为 1 得到不等式的解集，再写出解集中的正整数即可； （2）分别解两不等式得到 x≤4 和 x＞2，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集． 【解答】解：（1）去分母得 3（x﹣2）≤2（7﹣x）， 去括号得 3x﹣6≤14﹣2x， 移项得 3x+2x≤14+6， 合并得 5x≤20， 系数化为 1 得 x≤4， 所以不等式的正整数解为 1、2、3、4； （2） ， 解①得 x≤4， 解②得 x＞2， 所以不等式组的解集为 2＜x≤4． 　 20．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是 1 个单位长度，Rt△ABC 的三个顶点 A （﹣2，2），B（0，5），C（0，2）． （1）将△ABC 以点 C 为旋转中心旋转 180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C 的图形． （2）平移△ABC，使点 A 的对应点 A2 坐标为（﹣2，﹣6），请画出平移后对应的△A2B2C2 的图形． （3）若将△A1B1C 绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．第 13 页（共 18 页） 【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换． 【分析】（1）利用旋转的性质得出对应点坐标进而得出答案； （2）利用平移规律得出对应点位置，进而得出答案； （3）利用旋转图形的性质，连接对应点，即可得出旋转中心的坐标． 【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C 即为所求； （2）如图所示：△A2B2C2 即为所求； （3）旋转中心坐标（0，﹣2）． 　 21．如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，且 AE=BC，DF⊥AE，垂足是 F，连接 DE．求证：（1）DF=AB；（2）DE 是∠FDC 的平分线．第 14 页（共 18 页） 【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质． 【分析】（1）由矩形的性质得出 AD=BC，AB=DC，AD∥BC，∠B=∠C=90°，得出∠DAF= ∠AEB，证出 AD=AE，由 AAS 证明△ADF≌△EAB，即可得出结论； （2）由 HL 证明 Rt△DEF≌Rt△DEC，得出对应角相等∠EDF=∠EDC，即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD=BC，AB=DC，AD∥BC，∠B=∠C=90°， ∴∠DAF=∠AEB， ∵AE=BC， ∴AD=AE， ∵DF⊥AE， ∴∠AFD=∠DFE=90°， ∴∠AFD=∠B， 在△ADF 和△EAB 中， ， ∴△ADF≌△EAB（AAS）， ∴DF=AB； （2）∵DF=AB，AB=DC， ∴DF=DC， 在 Rt△DEF 和 Rt△DEC 中， ， ∴Rt△DEF≌Rt△DEC（HL）， ∴∠EDF=∠EDC， ∴DE 是∠FDC 的平分线． 　 22．如图，过 A 点的一次函数的图象与正比例函数 y=2x 的图象相交于点 B． （1）求该一次函数的解析式； （2）判定点 C（4，﹣2）是否在该函数图象上？说明理由； （3）若该一次函数的图象与 x 轴交于 D 点，求△BOD 的面积． 【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征． 【分析】（1）首先求得 B 的坐标，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）把 C 的坐标代入一次函数的解析式进行检验即可； （3）首先求得 D 的坐标，然后利用三角形的面积公式求解． 【解答】解：（1）在 y=2x 中，令 x=1，解得 y=2，则 B 的坐标是（1，2）， 设一次函数的解析式是 y=kx+b， 则 ，第 15 页（共 18 页） 解得： ． 则一次函数的解析式是 y=﹣x+3； （2）当 a=4 时，y=﹣1，则 C（4，﹣2）不在函数的图象上； （3）一次函数的解析式 y=﹣x+3 中令 y=0，解得：x=3， 则 D 的坐标是（3，0）． 则 S△BOD= OD×2= ×3×2=3． 　 23．甲、乙两个厂家生产的办公桌和办公椅的质量、价格一致，每张办公桌 800 元，每张椅 子 80 元．甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲厂家：买一张桌子送三张椅子；乙 厂家：桌子和椅子全部按原价 8 折优惠．现某公司要购买 3 张办公桌和若干张椅子，若购买 的椅子数为 x 张（x≥9）． （1）分别用含 x 的式子表示甲、乙两个厂家购买桌椅所需的金额； （2）购买的椅子至少多少张时，到乙厂家购买更划算？ 【考点】一元一次不等式的应用． 【分析】（1）根据甲乙两厂家的优惠方式，可表示出购买桌椅所需的金额； （2）令甲厂家的花费大于乙厂家的花费，解出不等式，求解即可确定答案． 【解答】解：（1）根据甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案： 甲厂家所需金额为：3×800+80（x﹣9）=1680+80x； 乙厂家所需金额为：（3×800+80x）×0.8=1920+64x； （2）由题意，得：1680+80x≥1920+64x， 解得：x≥15． 答：购买的椅子至少 15 张时，到乙厂家购买更划算． 　 24．如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 AD 上一点，将△ABE 绕点 A 按逆时针方向旋转 90°到△ADF 的位置．已知 AF=5，BE=13 （1）求 DE 的长度； （2）BE 与 DF 是否垂直？说明你的理由． 【考点】旋转的性质；正方形的性质． 【分析】（1）根据旋转的性质得 DF=BE=13，AE=AF=5，再在 Rt△ADF 中利用勾股定理可 计算出 AD=12，所以 DE=AD﹣AE=7； （2）延长 BE 交 DF 于 H，根据旋转的性质得∠ABE=∠ADF，由于∠ADF+∠F=90°，则∠ ABE+∠F=90°，根据三角形内角和定理可计算出∠FHB=90°，于是可判断 BH⊥DF． 【解答】解：（1）∵△ABE 绕点 A 按逆时针方向旋转 90°得到△ADF， ∴DF=BE=13，AE=AF=5， 在 Rt△ADF 中，∵AF=3，DF=13，第 16 页（共 18 页） ∴AD= =12， ∴DE=AD﹣AE=12﹣5=7； （2）BE 与 DF 垂直．理由如下： 延长 BE 交 DF 于 H， ∵△ABE 绕点 A 按逆时针方向旋转 90°得到△ADF， ∴∠ABE=∠ADF， ∵∠ADF+∠F=90°， ∴∠ABE+∠F=90°， ∴∠FHB=90°， ∴BH⊥DF． 　 25．已知：甲乙两车分别从相距 300 千米的 A、B 两地同时出发相向而行，其中甲到达 B 地后立即返回，如图是它们离各自出发地的距离 y（千米）与行驶时间 x（小时）之间的函 数图象． （1）求甲车离出发地的距离 y 甲（千米）与行驶时间 x（小时）之间的函数关系式，并写出 自变量的取值范围； （2）它们出发 小时时，离各自出发地的距离相等，求乙车离出发地的距离 y 乙（千米） 与行驶时间 x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）在（2）的条件下，求它们在行驶的过程中相遇的时间． 【考点】一次函数的应用． 【分析】（1）由图知，该函数关系在不同的时间里表现成不同的关系，需分段表达．当行驶 时间小于 3 时是正比例函数；当行使时间大于 3 小时小于 小时是一次函数．可根据待定 系数法列方程，求函数关系式． （2）4.5 小时大于 3 小时，代入一次函数关系式，计算出乙车在用了 小时行使的距离．从 图象可看出求乙车离出发地的距离 y（千米）与行驶时间 x（小时）之间是正比例函数关系， 用待定系数法可求解．第 17 页（共 18 页） （3）两者相向而行，相遇时甲、乙两车行使的距离之和为 300 千米，列出方程解答，由题 意有两次相遇． 【解答】解：（1）当 0≤x≤3 时，是正比例函数，设为 y=kx， x=3 时，y=300，代入解得 k=100，所以 y=100x； 当 3＜x≤ 时，是一次函数，设为 y=kx+b， 代入两点（3，300）、（ ，0），得 解得 ， 所以 y=540﹣80x． 综合以上得甲车离出发地的距离 y 与行驶时间 x 之间的函数关系式 为：y= ． （2）当 x= 时，y 甲=540﹣80× =180； 乙车过点（ ，180），y 乙=40x．（0≤x≤ ） （3）由题意有两次相遇． ①当 0≤x≤3，100x+40x=300，解得 x= ； ②当 3＜x≤ 时，+40x=300，解得 x=6． 综上所述，两车第一次相遇时间为第 小时，第二次相遇时间为第 6 小时． 　第 18 页（共 18 页） 2016 年 11 月 20 日