娄底市娄星区2016-2017学年八年级上期末数学试卷含答案解析.doc

第 1 页（共 20 页） 2016-2017 学年湖南省娄底市娄星区八年级（上）期末数学试卷 　 一、选择题（每小题 3 分，共 12 小题，满分 36 分．请把表示正确答案的字母 填入下表中对应的题号下．） 1．下列分式中，是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 2．当分式 的值为 0 时，字母 x 的取值应为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 3．下列计算正确的是（　　） A．2﹣3=﹣8 B．20=1C．a2•a3=a6 D．a2+a3=a5 4．（﹣8）2 的立方根是（　　） A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8 5．若代数式 有意义，则 x 必须满足条件（　　） A．x≠﹣ B．x＞ C．x＞﹣ D．x≥﹣ 6．已知一个等腰三角形的一个内角是 50°，则这个等腰三角形的另外两个内角 度数分别是（　　） A．50°，80° B．65°，65° C．50°，80°或 65°，65° D．无法确定 7．下列命题是假命题的是（　　） A．实数与数轴上的点一一对应 B．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数必定也相等 C．对顶角相等 D．三角形的重心是三角形三条中线的交点 8．下列长度的三根线段，能构成三角形的是（　　） A．3cm，10cm，5cm B．4cm，8cm，4cm第 2 页（共 20 页） C．5cm，13cm，12cm D．2cm，7cm，4cm 9．不等式组 的解集为（　　） A．x＞﹣1 B．x≤3C．1＜x≤3 D．﹣1＜x≤3 10．计算 ÷ × 的结果估计在（　　） A．5 至 6 之间 B．6 至 7 之间 C．7 至 8 之间 D．8 至 9 之间 11．已知关于 x 的方程 ﹣ =0 的增根是 1，则字母 a 的取值为（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 12．用反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于 60°”时，首先应假设 这个三角形中（　　） A．有一个内角大于 60° B．有一个内角小于 60° C．每一个内角都大于 60° D．每一个内角都小于 60° 　 二、填空题（每小题 3 分，共 6 小题，满分 18 分） 13．最小刻度为 0.2nm（1nm=10﹣9m）的钻石标尺，可以测量的距离小到不足头 发丝直径的十万分之一，这也是目前世界上刻度最小的标尺，用科学记数法表示 这一最小刻度为　　m． 14．分式方程 =﹣4 的解是 x=　　． 15．计算： • =　　． 16．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，使∠1=60°，∠2=100°，则∠ 3=　　°． 17．如图，已知∠BAC=∠DAC，则再添加一个条件　　，可使△ABC≌△ADC．第 3 页（共 20 页） 18．如图，已知在△ABC 中，AB=7，BC=6，AC 的垂直平分线 DE 交 AC 于点 E， 交 AB 于点 D，连接 CD，则△BCD 的周长为　　． 　 三、解答题：（19 题每小题 8 分，20 题 6 分，满分 14 分） 19．（1）计算： ﹣ （2）计算：（2 ﹣5 ）﹣（ ﹣ ） 20．解下列不等式 ≤ ﹣1，并将解集在数轴上表示出来． 　 四、分析与说理：（每小题 8 分，共 2 小题，满分 16 分） 21．已知：如图所示，AB=AC，CE 与 BF 相交于点 D，且 BD=CD．求证： DE=DF． 22．已知：如图所示，在边长为 4 的等边△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，且 AD=2 ，以 AD 为一边向左作等边△ADE． （1）求：△ABC 的面积；第 4 页（共 20 页） （2）判断 AB 与 DE 的位置关系是什么？请予以证明． 　 五、实践与应用（每小题 8 分，共 2 小题，满分 16 分） 23．已知北海到南宁的铁路长 210 千米．动车投入使用后，其平均速度达到了普 通火车的平均速度的 3 倍，这样由北海到南宁的行驶时间缩短了 1.75 小时．求 普通火车的平均速度是多少？（列方程解答） 24．张华老师揣着 200 元现金到星光文具店购买学生期末考试的奖品．他看好了 一种笔记本和一种钢笔，笔记本的单价为每本 5 元，钢笔的单价为每支 2 元．张 老师计划购买两种奖品共 50 份，求他最多能买笔记本多少本？（列不等式解答） 　 六、阅读与探究（每小题 10 分，共 2 小题，满分 20 分） 25．先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次 根式的性质化去一层根号． 例如： = = = =|1+ |=1+ 解决问题： ①在括号内填上适当的数： = = = =|　　|=　　 ②根据上述思路，试将 予以化简． 26．已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点 D 为线段 BC 上一动点（点 D 不与 B、C 重合），以 AD 为边向右作正方形 ADEF，连接 FC，探究：无论点 D 运动到何处，线段 FC、DC、BC 三者的长度之间都有怎样的数量关系？请予以证 明．第 5 页（共 20 页） 　第 6 页（共 20 页） 2016-2017 学年湖南省娄底市娄星区八年级（上）期末数 学试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题（每小题 3 分，共 12 小题，满分 36 分．请把表示正确答案的字母 填入下表中对应的题号下．） 1．下列分式中，是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【考点】最简分式． 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方 法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以 通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【解答】解：A、 的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式； B、 ，不是最简分式； C、 ，不是最简分式； D、 ，不是最简分式； 故选 A 　 2．当分式 的值为 0 时，字母 x 的取值应为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 【考点】分式的值为零的条件． 【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零，且分母不为零，进而得出答第 7 页（共 20 页） 案． 【解答】解：由题意，得 x+2=0 且 x﹣1≠0， 解得 x=﹣2， 故选：C． 　 3．下列计算正确的是（　　） A．2﹣3=﹣8 B．20=1C．a2•a3=a6 D．a2+a3=a5 【考点】同底数幂的乘法；合并同类项；零指数幂；负整数指数幂． 【分析】根据同底数幂的乘法，零次幂，负整数指数幂，可得答案． 【解答】解：A、2﹣3= = ，故 A 错误； B、20=1，故 B 正确； C、a2•a3=a2+3=a5，故 C 错误； D、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故 D 错误； 故选：B． 　 4．（﹣8）2 的立方根是（　　） A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8 【考点】立方根． 【分析】先求出（﹣8）2，再利用立方根定义即可求解． 【解答】解：∵（﹣8）2=64，64 的立方根是 4， ∴（﹣8）2 的立方根是 4． 故选：A． 　 5．若代数式 有意义，则 x 必须满足条件（　　） A．x≠﹣ B．x＞ C．x＞﹣ D．x≥﹣ 【考点】二次根式有意义的条件． 【分析】二次根式的被开方数是非负数． 【解答】解：依题意得：2x+1≥0，第 8 页（共 20 页） 解得 x≥﹣ ． 故选：D． 　 6．已知一个等腰三角形的一个内角是 50°，则这个等腰三角形的另外两个内角 度数分别是（　　） A．50°，80° B．65°，65° C．50°，80°或 65°，65° D．无法确定 【考点】等腰三角形的性质． 【分析】本题可根据三角形的内角和定理求解．由于 50°角可能是顶角，也可能 是底角，因此要分类讨论． 【解答】解：当 50°是底角时，顶角为 180°﹣50°×2=80°， 当 50°是顶角时，底角为÷2=65°． 故这个等腰三角形的另外两个内角度数分别是 50°，80°或 65°，65°． 故选：C． 　 7．下列命题是假命题的是（　　） A．实数与数轴上的点一一对应 B．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数必定也相等 C．对顶角相等 D．三角形的重心是三角形三条中线的交点 【考点】命题与定理． 【分析】根据实数与数轴的关系，绝对值的性质，对顶角相等以及三角形重心的 定义对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A、实数与数轴上的点一一对应，是真命题，故本选项错误； B、如果两个数的绝对值相等，那么这两个数必定也相等，是假命题，应为如果 两个数的绝对值相等，那么这两个数必定也相等或互为相反数，故本选项正确； C、对顶角相等，是真命题，故本选项错误； D、三角形的重心是三角形三条中线的交点，是真命题，故本选项错误． 故选 B．第 9 页（共 20 页） 　 8．下列长度的三根线段，能构成三角形的是（　　） A．3cm，10cm，5cm B．4cm，8cm，4cm C．5cm，13cm，12cm D．2cm，7cm，4cm 【考点】三角形三边关系． 【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各 选项进行进行逐一分析即可． 【解答】解：根据三角形的三边关系，得 A、5+3＜10，不能组成三角形，不符合题意； B、4+4=8，不能够组成三角形，不符合题意； C、12+5＞13，能够组成三角形，符合题意； D、2+4＜8，不能够组成三角形，不符合题意． 故选：C． 　 9．不等式组 的解集为（　　） A．x＞﹣1 B．x≤3C．1＜x≤3 D．﹣1＜x≤3 【考点】解一元一次不等式组． 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【解答】解： ， ∵解不等式①得：x＞﹣1， 解不等式②得：x≤3， ∴不等式组的解集为﹣1＜x≤3， 故选 D． 　 10．计算 ÷ × 的结果估计在（　　） A．5 至 6 之间 B．6 至 7 之间 C．7 至 8 之间 D．8 至 9 之间 【考点】估算无理数的大小． 【分析】利用二次根式的乘除法得到原式= ，然后根据算术平方根的定义得 到 ＜ ＜ ．第 10 页（共 20 页） 【解答】解：原式= = ， 因为 ＜ ＜ ， 所以 6＜ ＜7． 故选 B． 　 11．已知关于 x 的方程 ﹣ =0 的增根是 1，则字母 a 的取值为（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 【考点】分式方程的增根． 【分析】去分母得出整式方程，把 x=1 代入整式方程，即可求出答案． 【解答】解： ﹣ =0， 去分母得：3x﹣（x+a）=0①， ∵关于 x 的方程 ﹣ =0 的增根是 1， ∴把 x=1 代入①得：3﹣（1+a）=0， 解得：a=2， 故选 A． 　 12．用反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于 60°”时，首先应假设 这个三角形中（　　） A．有一个内角大于 60° B．有一个内角小于 60° C．每一个内角都大于 60° D．每一个内角都小于 60° 【考点】反证法． 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判 断． 【解答】解：反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于 60°”时， 首先应假设这个三角形中每一个内角都小于 60°， 故选：D． 　 二、填空题（每小题 3 分，共 6 小题，满分 18 分）第 11 页（共 20 页） 13．最小刻度为 0.2nm（1nm=10﹣9m）的钻石标尺，可以测量的距离小到不足头 发丝直径的十万分之一，这也是目前世界上刻度最小的标尺，用科学记数法表示 这一最小刻度为　2×10﹣10　m． 【考点】科学记数法—表示较小的数． 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a× 10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边 起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定． 【解答】解：用科学记数法表示这一最小刻度为 2×10﹣10m， 故答案为：2×10﹣10． 　 14．分式方程 =﹣4 的解是 x=　﹣1　． 【考点】解分式方程． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检 验即可得到分式方程的解． 【解答】解：去分母得：3x﹣1=﹣4x﹣8， 解得：x=﹣1， 经检验 x=﹣1 是分式方程的解， 故答案为：﹣1 　 15．计算： • =　 　． 【考点】分式的乘除法． 【分析】原式变形后，约分即可得到结果． 【解答】解：原式= • = ， 故答案为： 　 16．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，使∠1=60°，∠2=100°，则∠ 3=　40　°．第 12 页（共 20 页） 【考点】平行线的性质． 【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠2 的同位角，再根据三角形的外角 性质求解即可． 【解答】解：如图，∵∠2=100°，并且是直尺， ∴∠4=∠2=100°（两直线平行，同位角相等）， ∵∠1=60°， ∴∠3=∠4﹣∠1=100°﹣60°=40°． 故答案为：40． 　 17．如图，已知∠BAC=∠DAC，则再添加一个条件　AB=AD（答案不唯一）　， 可使△ABC≌△ADC． 【考点】全等三角形的判定． 【分析】根据 SAS 推出两三角形全等即可． 【解答】解：添加 AB=AD；理由如下： 在△ABC 和△ADC 中， ， ∴△ABC≌△ADC；第 13 页（共 20 页） 故答案为：AB=AD（答案不唯一）． 　 18．如图，已知在△ABC 中，AB=7，BC=6，AC 的垂直平分线 DE 交 AC 于点 E， 交 AB 于点 D，连接 CD，则△BCD 的周长为　13　． 【考点】线段垂直平分线的性质． 【分析】根据线段垂直平分线得出 AD=CD，推出 CD+BD=AB，即可求出答案． 【解答】解：∵DE 是 AC 的垂直平分线， ∴AD=DC， ∵AB=7， ∴AD+BD=7， ∴CD+BD=7， ∵BC=6， ∴△BCD 的周长是 CD+BD+BC=7+6=13， 故答案为：13 　 三、解答题：（19 题每小题 8 分，20 题 6 分，满分 14 分） 19．（1）计算： ﹣ （2）计算：（2 ﹣5 ）﹣（ ﹣ ） 【考点】二次根式的加减法；分式的加减法． 【分析】（1）利用分式的通分、约分法则化简； （2）根据二次根式的性质吧原式化简，合并同类二次根式即可． 【解答】解：（1） ﹣ = ﹣第 14 页（共 20 页） = ； （2）计算：（2 ﹣5 ）﹣（ ﹣ ） =4 ﹣10 ﹣3 +3 = ﹣7 ． 　 20．解下列不等式 ≤ ﹣1，并将解集在数轴上表示出来． 【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集． 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、 系数化为 1 可得解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括 端点用空心”的原则在数轴上将解集表示出来． 【解答】解：去分母，得：4（2x﹣1）≤3（3x+2）﹣12， 去括号，得：8x﹣4≤9x+6﹣12， 移项，得：8x﹣9x≤6﹣12+4， 合并同类项，得：﹣x≤﹣2， 系数化为 1，得：x≥2， 解集在数轴上表示为： 　 四、分析与说理：（每小题 8 分，共 2 小题，满分 16 分） 21．已知：如图所示，AB=AC，CE 与 BF 相交于点 D，且 BD=CD．求证： DE=DF． 【考点】全等三角形的判定与性质．第 15 页（共 20 页） 【分析】欲证明DE=DF，只要证明△ABD≌△ACD（SSS），推出∠B=∠C 再证明△ BDE≌△CDF 即可． 【解答】证明：连接 AD． 在△ABD 和△ACD 中， ， ∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠B=∠C， 在 BDE 和△CDF 中， ， ∴△BDE≌△CDF（ASA）， ∴DE=DF． 　 22．已知：如图所示，在边长为 4 的等边△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，且 AD=2 ，以 AD 为一边向左作等边△ADE． （1）求：△ABC 的面积； （2）判断 AB 与 DE 的位置关系是什么？请予以证明． 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 【分析】（1）根据等边三角形的性质，可知∠DAC=30°，在 RtADC 中求出 DC，再第 16 页（共 20 页） 根据 BC=2DC，由此即可解决问题． （2）通过计算只要证明∠AFD=90°即可． 【解答】（1）解：∵△ABC 是等边三角形，且 AD 为 BC 边上的中线 ∴AD⊥BC（三线合一），∠BAD=∠DAC=30°， 在 Rt△ADC 中，∵AD=2 ，∴CD=BD=2， ∴BC=4， ∴△ABC 的面积= ×4×2 =4 （2）解：AB 与 DE 的位置关系是 AB⊥DE，理由如下： ∵△ADE 是等边三角形 ∴∠ADF=60° ∵△ABC 是等边三角形，AD 为 BC 边上的中线 ∴AD 为∠BAC 的平分线（三线合一） ∴∠FAD= ∠BAC= ×60°=30° ∴∠AFD=180°﹣60°﹣30°=90° ∴AB⊥DE （说明：或证∠BFD=90°或证∠AFE=90°也可以） 　 五、实践与应用（每小题 8 分，共 2 小题，满分 16 分） 23．已知北海到南宁的铁路长 210 千米．动车投入使用后，其平均速度达到了普 通火车的平均速度的 3 倍，这样由北海到南宁的行驶时间缩短了 1.75 小时．求 普通火车的平均速度是多少？（列方程解答） 【考点】分式方程的应用． 【分析】设普通火车的平均速度为 x 千米/时，则动车的平均速度为 3x 千米/时，第 17 页（共 20 页） 根据题意可得：由北海到南宁的行驶时间缩短了 1.75 小时，列方程即可． 【解答】解：设普通火车的平均速度为x 千米/时，则动车的平均速度为 3x 千米 /时， 列方程得 = +1.75， 解得 x=80， 经检验，x=80 是原分式方程的解， 答：普通火车的平均速度是 80 千米/时． 　 24．张华老师揣着 200 元现金到星光文具店购买学生期末考试的奖品．他看好了 一种笔记本和一种钢笔，笔记本的单价为每本 5 元，钢笔的单价为每支 2 元．张 老师计划购买两种奖品共 50 份，求他最多能买笔记本多少本？（列不等式解答） 【考点】一元一次不等式的应用． 【分析】根据题意可以得到相应的不等式，从而可以求出他最多能买笔记本多少 本． 【解答】解：设他买笔记本 x 本， 5x+2（50﹣x）≤200， 解得，x≤ ， 即他最多能买笔记本 33 本． 　 六、阅读与探究（每小题 10 分，共 2 小题，满分 20 分） 25．先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次 根式的性质化去一层根号． 例如： = = = =|1+ |=1+ 解决问题： ①在括号内填上适当的数： = = = =|　3+ 　|=　3+ 　第 18 页（共 20 页） ②根据上述思路，试将 予以化简． 【考点】二次根式的性质与化简． 【分析】①根据题目中的例子可以解答本题； ②根据题目中的例子可以解答本题． 【解答】解：① = = = =|3+ | =3+ ， 故答案为：3+ ，3+ ； ② = = =|5﹣ | =5﹣ ． 　 26．已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点 D 为线段 BC 上一动点（点 D 不与 B、C 重合），以 AD 为边向右作正方形 ADEF，连接 FC，探究：无论点 D 运动到何处，线段 FC、DC、BC 三者的长度之间都有怎样的数量关系？请予以证 明． 【考点】正方形的性质． 【分析】根据正方形的性质、全等三角形的判定定理证明△BAD≌△FAC，根据第 19 页（共 20 页） 全等三角形的性质证明即可． 【解答】解：无论点 D 运动到何处，都有 BC=FC+DC， 理由如下： 在△ABC 中，∵∠BAC=90°，∠ABC=45°， ∴∠ACB=45°， ∴AB=AC， ∵四边形 ADEF 是正方形， ∴AD=AF，∠DAF=90°， ∵∠BAD+∠DAC=∠FAC+∠DAC=90°， ∴∠BAD=∠FAC， ∴△BAD≌△FAC（SAS） ∴BD=FC， 又∵BC=BD+DC， ∴BC=FC+DC． 　第 20 页（共 20 页） 2017 年 2 月 7 日