苏科版八年级下《9.5三角形的中位线》同步练习含详细答案.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎9.5 三角形的中位线 一．选择题 ‎1．如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F，则下列结论正确的是（　　）‎ A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜BD D．EF＞DE ‎ ‎ ‎2．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（　　）‎ A．7 B．‎8 ‎C．9 D．10‎ ‎3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（　　）‎ A．6 B．‎5 ‎C．4 D．3‎ ‎4．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为（　　）‎ A．4 B．‎8 ‎C．2 D．4‎ ‎ ‎ ‎5．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（　　）‎ A．1 B．‎2 ‎C． D．1+‎ ‎6．在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D、E、F分别为AB、BC、AC中点，连接DF、FE，则四边形DBEF的周长是（　　）‎ A．5 B．‎7 ‎C．9 D．11‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 二．填空题 ‎7．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，则DE=　　．‎ ‎8．如图，AB、CD相交于点O，OC=2，OD=3，AC∥BD，EF是△ODB的中位线，且EF=2，则AC的长为　　．‎ ‎ ‎ ‎9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN=　　．‎ ‎10．如图，△ABC的面积为‎12cm2，点D、E分别是AB、AC边的中点，则梯形DBCE的面积为　　cm2．‎ ‎ ‎ ‎11．在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么△ADE的面积与△ABC的面积的比是　　．‎ ‎12．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB=‎6cm，AC=‎8cm，则四边形ADEF的周长等于　　cm．‎ ‎13．如图，EF为△ABC的中位线，△AEF的周长为‎6cm，则△ABC的周长为　　cm．‎ ‎14．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是　　．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 三．解答题 ‎15．如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F．‎ ‎（1）求证：AE=AF；‎ ‎（2）求证：BE=（AB+AC）．‎ ‎16．如图，已知△ABC中，D为AB的中点．‎ ‎（1）请用尺规作图法作边AC的中点E，并连结DE（保留作图痕迹，不要求写作法）；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若DE=4，求BC的长．‎ ‎17．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．‎ ‎（1）求证：BM=MN；‎ ‎（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．‎ ‎18．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；‎ ‎（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？‎ ‎19．D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．‎ ‎（1）如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；‎ ‎（2）若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．）‎ ‎20．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．‎ ‎（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；‎ ‎（2）求证：∠DHF=∠DEF．‎ ‎21．（1）证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）]‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（2）如图2，在▱ABCD中，对角线交点为O，A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD的中点，A2、B2、C2、D2分别是OA1、OB1、OC1、OD1的中点，…，以此类推．‎ 若▱ABCD的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和l；‎ ‎（3）借助图形3反映的规律，猜猜l可能是多少？‎ ‎22．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3‎ ‎（1）求证：BN=DN；‎ ‎（2）求△ABC的周长．‎ ‎23．已知两个等腰Rt△ABC，Rt△CEF有公共顶点C，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．‎ ‎（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；‎ ‎（2）如图1，若CB=a，CE=‎2a，求BM，ME的长；‎ ‎（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎24．如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE（不需证明）．‎ ‎（温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME=∠CNE．）‎ 问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；‎ 问题二：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明．‎ ‎25．如图，已知AD与BC相交于E，∠1=∠2=∠3，BD=CD，∠ADB=90°，CH⊥AB于H，CH交AD于F．‎ ‎（1）求证：CD∥AB；‎ ‎（2）求证：△BDE≌△ACE；‎ ‎（3）若O为AB中点，求证：OF=BE．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 答案与解析 一．选择题 ‎1．（2016•厦门）如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F，则下列结论正确的是（　　）‎ A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜BD D．EF＞DE ‎【分析】首先根据三角形的中位线定理得出AE=EC，然后根据CF∥BD得出∠ADE=∠F，继而根据AAS证得△ADE≌△CFE，最后根据全等三角形的性质即可推出EF=DE．‎ ‎【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，‎ ‎∴E为AC中点，‎ ‎∴AE=EC，‎ ‎∵CF∥BD，‎ ‎∴∠ADE=∠F，‎ 在△ADE和△CFE中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△ADE≌△CFE（AAS），‎ ‎∴DE=FE．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是根据中位线定理和平行线的性质得出AE=EC、∠ADE=∠F，判定三角形的全等．‎ ‎　‎ ‎2．（2016•陕西）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（　　）‎ A．7 B．‎8 ‎C．9 D．10‎ ‎【分析】根据三角形中位线定理求出DE，得到DF∥BM，再证明EC=EF=AC，由此即可解决问题．‎ ‎【解答】解：在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，‎ ‎∴AC===10，‎ ‎∵DE是△ABC的中位线，‎ ‎∴DF∥BM，DE=BC=3，‎ ‎∴∠EFC=∠FCM，‎ ‎∵∠FCE=∠FCM，‎ ‎∴∠EFC=∠ECF，‎ ‎∴EC=EF=AC=5，‎ ‎∴DF=DE+EF=3+5=8．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，掌握等腰三角形的判定和性质，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎3．（2016•河南）如图，在△ABC中，∠‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（　　）‎ A．6 B．‎5 ‎C．4 D．3‎ ‎【分析】在Rt△ACB中，根据勾股定理求得BC边的长度，然后由三角形中位线定理知DE=BC．‎ ‎【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，‎ ‎∴BC=6．‎ 又∵DE垂直平分AC交AB于点E，‎ ‎∴DE是△ACB的中位线，‎ ‎∴DE=BC=3．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理．三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．‎ ‎　‎ ‎4．（2016•葫芦岛）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为（　　）‎ A．4 B．‎8 ‎C．2 D．4‎ ‎【分析】先利用直角三角形斜边中线性质求出AB，再在RT△ABF中，利用30角所对的直角边等于斜边的一半，求出AF即可解决问题．‎ ‎【解答】解：在RT△ABF中，∵∠AFB=90°，AD=DB，DF=4，‎ ‎∴AB=2DF=8，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵AD=DB，AE=EC，‎ ‎∴DE∥BC，‎ ‎∴∠ADE=∠ABF=30°，‎ ‎∴AF=AB=4，‎ ‎∴BF===4．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查三角形中位线性质、含30度角的直角三角形性质、直角三角形斜边中线性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎5．（2016•南充）如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（　　）‎ A．1 B．‎2 ‎C． D．1+‎ ‎【分析】由“30度角所对的直角边等于斜边的一半”求得AB=2BC=2．然后根据三角形中位线定理求得DE=AB．‎ ‎【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，‎ ‎∴AB=2BC=2．‎ 又∵点D、E分别是AC、BC的中点，‎ ‎∴DE是△ACB的中位线，‎ ‎∴DE=AB=1．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．‎ ‎　‎ ‎6．（2016•梧州）在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D、E、F分别为AB、BC、AC中点，连接DF、FE，则四边形DBEF的周长是（　　）‎ A．5 B．‎7 ‎C．9 D．11‎ ‎【分析】先根据三角形中位线性质得DF=BC=2，DF∥BC，EF=AB=，EF∥AB，则可判断四边形DBEF为平行四边形，然后计算平行四边形的周长即可．‎ ‎【解答】解：∵D、E、F分别为AB、BC、AC中点，‎ ‎∴DF=BC=2，DF∥BC，EF=AB=，EF∥AB，‎ ‎∴四边形DBEF为平行四边形，‎ ‎∴四边形DBEF的周长=2（DF+EF）=2×（2+）=7．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．‎ ‎　‎ 二．填空题 ‎7．（2016•泉州）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，则DE=　4　．‎ ‎【分析】根据三角形的中位线定理得到DE=BC，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：∵D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，‎ ‎∴DE=BC=4．‎ 故答案为：4．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【点评】本题主要考查对三角形的中位线定理的理解和掌握，能正确运用三角形的中位线定理进行计算是解此题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．（2016•南京）如图，AB、CD相交于点O，OC=2，OD=3，AC∥BD，EF是△ODB的中位线，且EF=2，则AC的长为　　．‎ ‎【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出DB，再根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．‎ ‎【解答】解：∵EF是△ODB的中位线，‎ ‎∴DB=2EF=2×2=4，‎ ‎∵AC∥BD，‎ ‎∴△AOC∽△BOD，‎ ‎∴=，‎ 即=，‎ 解得AC=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判定与性质，熟记定理与性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．（2016•随州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN=　3　．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【分析】连接CM，根据三角形中位线定理得到NM=CB，MN∥BC，证明四边形DCMN是平行四边形，得到DN=CM，根据直角三角形的性质得到CM=AB=3，等量代换即可．‎ ‎【解答】解：连接CM，‎ ‎∵M、N分别是AB、AC的中点，‎ ‎∴NM=CB，MN∥BC，又CD=BD，‎ ‎∴MN=CD，又MN∥BC，‎ ‎∴四边形DCMN是平行四边形，‎ ‎∴DN=CM，‎ ‎∵∠ACB=90°，M是AB的中点，‎ ‎∴CM=AB=3，‎ ‎∴DN=3，‎ 故答案为：3．‎ ‎【点评】本题考查的是三角形的中位线定理、直角三角形的性质、平行四边形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．（2016•凉山州）如图，△ABC的面积为‎12cm2，点D、E分别是AB、AC边的中点，则梯形DBCE的面积为　‎9　cm2．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【分析】根据三角形的中位线得出DE=BC，DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，再求出△ABC和△ADE的面积比值求出，进而可求出梯形DBCE的面积．‎ ‎【解答】解：∵点D、E分别是AB、AC边的中点，‎ ‎∴DE是三角形的中位线，‎ ‎∴DE=BC，DE∥BC，‎ ‎∴△ADE∽△ABC，‎ ‎∴，‎ ‎∵△ABC的面积为‎12cm2，‎ ‎∴△ADE的面积为‎3cm2，‎ ‎∴梯形DBCE的面积=12﹣3=‎9cm2，‎ 故答案为：9．‎ ‎【点评】本题考查了三角形的中位线和相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出△ABC和△ADE的面积比值，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．‎ ‎　‎ ‎11．（2016•上海）在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么△ADE的面积与△ABC的面积的比是　　．‎ ‎【分析】构建三角形中位线定理得DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，所以=（）2，由此即可证明．‎ ‎【解答】解：如图，∵AD=DB，AE=EC，‎ ‎∴DE∥BC．DE=BC，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴△ADE∽△ABC，‎ ‎∴=（）2=，‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是记住相似三角形的面积比等于相似比的平方，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎12．（2016•张家界）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB=‎6cm，AC=‎8cm，则四边形ADEF的周长等于　‎14　cm．‎ ‎【分析】首先证明四边形ADEF是平行四边形，根据三角形中位线定理求出DE、EF即可解决问题．‎ ‎【解答】解：∵BD=AD，BE=EC，‎ ‎∴DE=AC=‎4cm，DE∥AC，‎ ‎∵CF=FA，CE=BE，‎ ‎∴EF=AB=‎3cm，EF∥AB，‎ ‎∴四边形ADEF是平行四边形，‎ ‎∴四边形ADEF的周长=2（DE+EF）=‎14cm．‎ 故答案为14．‎ ‎【点评】‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 本题考查三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是出现中点想到三角形中位线定理，记住三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎13．（2016•六盘水）如图，EF为△ABC的中位线，△AEF的周长为‎6cm，则△ABC的周长为　‎12　cm．‎ ‎【分析】根据三角形中位线定理可直接得出结论．‎ ‎【解答】解：∵EF为△ABC的中位线，△AEF的周长为‎6cm，‎ ‎∴BC=2EF，AB=2AE，AC=2AF，‎ ‎∴BC+AB+AC=2（EF+AE+AF）=12（cm）．‎ 故答案为：12．‎ ‎【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．（2016•沈阳）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是　或　．‎ ‎【分析】分两种情形讨论即可①∠MN′O′=90°，根据=计算即可 ‎②∠MON=90°，利用△DOE∽△EFM，得=计算即可．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解：如图作EF⊥BC于F，DN′⊥BC于N′交EM于点O′，此时∠MN′O′=90°，‎ ‎∵DE是△ABC中位线，‎ ‎∴DE∥BC，DE=BC=10，‎ ‎∵DN′∥EF，‎ ‎∴四边形DEFN′是平行四边形，∵∠EFN′=90°，‎ ‎∴四边形DEFN′是矩形，‎ ‎∴EF=DN′，DE=FN′=10，‎ ‎∵AB=AC，∠A=90°，‎ ‎∴∠B=∠C=45°，‎ ‎∴BN′=DN′=EF=FC=5，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴DO′=．‎ 当∠MON=90°时，‎ ‎∵△DOE∽△EFM，‎ ‎∴=，‎ ‎∵EM==13，‎ ‎∴DO=，‎ 故答案为或．‎ ‎【点评】本题考查三角形中位线定理、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会分类讨论，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 三．解答题 ‎15．（2016•淄博）如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F．‎ ‎（1）求证：AE=AF；‎ ‎（2）求证：BE=（AB+AC）．‎ ‎【分析】（1）欲证明AE=AF，只要证明∠AEF=∠AFE即可．‎ ‎（2）作CG∥EM，交BA的延长线于G，先证明AC=AG，再证明BE=EG即可解决问题．‎ ‎【解答】证明：（1）∵DA平分∠BAC，‎ ‎∴∠BAD=∠CAD，‎ ‎∵AD∥EM，‎ ‎∴∠BAD=∠AEF，∠CAD=∠AFE，‎ ‎∴∠AEF=∠AFE，‎ ‎∴AE=AF．‎ ‎（2）作CG∥EM，交BA的延长线于G．‎ ‎∵EF∥CG，‎ ‎∴∠G=∠AEF，∠ACG=∠AFE，‎ ‎∵∠AEF=∠AFE，‎ ‎∴∠G=∠ACG，‎ ‎∴AG=AC，‎ ‎∵BM=CM．EM∥CG，‎ ‎∴BE=EG，‎ ‎∴BE=BG=（BA+AG）=（AB+AC）．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【点评】本题考查三角形中位线定理、角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造等腰三角形，以及三角形中位线，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎16．（2016•广东）如图，已知△ABC中，D为AB的中点．‎ ‎（1）请用尺规作图法作边AC的中点E，并连结DE（保留作图痕迹，不要求写作法）；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若DE=4，求BC的长．‎ ‎【分析】（1）作线段AC的垂直平分线即可．‎ ‎（2）根据三角形中位线定理即可解决．‎ ‎【解答】解：（1）作线段AC的垂直平分线MN交AC于E，点E就是所求的点．‎ ‎（2）∵AD=DB，AE=EC，‎ ‎∴DE∥BC，DE=BC，‎ ‎∵DE=4，‎ ‎∴BC=8．‎ ‎【点评】本题考查基本作图、三角形中位线定理等知识，解题的关键是掌握线段垂直平分线的作法，记住三角形的中位线定理，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎17．（2016•北京）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．‎ ‎（1）求证：BM=MN；‎ ‎（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．‎ ‎【分析】（1）根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，由此即可证明．‎ ‎（2）首先证明∠BMN=90°，根据BN2=BM2+MN2即可解决问题．‎ ‎【解答】（1）证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，‎ ‎∴MN∥AD，MN=AD，‎ 在RT△ABC中，∵M是AC中点，‎ ‎∴BM=AC，‎ ‎∵AC=AD，‎ ‎∴MN=BM．‎ ‎（2）解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，‎ ‎∴∠BAC=∠DAC=30°，‎ 由（1）可知，BM=AC=AM=MC，‎ ‎∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，‎ ‎∵MN∥AD，‎ ‎∴∠NMC=∠DAC=30°，‎ ‎∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，‎ ‎∴BN2=BM2+MN2，‎ 由（1）可知MN=BM=AC=1，‎ ‎∴BN=‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【点评】本题考查三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎18．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．‎ ‎（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；‎ ‎（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？‎ ‎【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明；‎ ‎（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明．‎ ‎【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，‎ ‎∴DE是△ABC的中位线，‎ ‎∴DE∥BC，‎ 又∵EF∥AB，‎ ‎∴四边形DBFE是平行四边形；‎ ‎（2）解：当AB=BC时，四边形DBFE是菱形．‎ 理由如下：∵D是AB的中点，‎ ‎∴BD=AB，‎ ‎∵DE是△ABC的中位线，‎ ‎∴DE=BC，‎ ‎∵AB=BC，‎ ‎∴BD=DE，‎ 又∵四边形DBFE是平行四边形，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴四边形DBFE是菱形．‎ ‎【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，菱形的判定以及菱形与平行四边形的关系，熟记性质与判定方法是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎19． D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．‎ ‎（1）如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；‎ ‎（2）若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．）‎ ‎【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DE=BC，GF∥BC且GF=BC，从而得到DE∥GF，DE=GF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；‎ ‎（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形解答．‎ ‎【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC边的中点，‎ ‎∴DE∥BC，且DE=BC，‎ 同理，GF∥BC，且GF=BC，‎ ‎∴DE∥GF且DE=GF，‎ ‎∴四边形DEFG是平行四边形；‎ ‎（2）解：当OA=BC时，平行四边形DEFG是菱形．‎ ‎【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，菱形的判定以及平行四边形与菱形的关系，熟记的定理和性质是解题的关键．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎20．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．‎ ‎（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；‎ ‎（2）求证：∠DHF=∠DEF．‎ ‎【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥AB，DE∥AC，再根据平行四边形的定义证明即可；‎ ‎（2）根据平行四边形的对角相等可得∠DEF=∠BAC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DH=AD，FH=AF，再根据等边对等角可得∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，然后求出∠DHF=∠BAC，等量代换即可得到∠DHF=∠DEF．‎ ‎【解答】证明：（1）∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，‎ ‎∴DE、EF都是△ABC的中位线，‎ ‎∴EF∥AB，DE∥AC，‎ ‎∴四边形ADEF是平行四边形；‎ ‎（2）∵四边形ADEF是平行四边形，‎ ‎∴∠DEF=∠BAC，‎ ‎∵D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，‎ ‎∴DH=AD，FH=AF，‎ ‎∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，‎ ‎∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，‎ ‎∠DHA+∠FHA=∠DHF，‎ ‎∴∠DHF=∠BAC，‎ ‎∴∠DHF=∠DEF．‎ ‎【点评】‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，平行四边形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．‎ ‎21．（1）证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）]‎ ‎（2）如图2，在▱ABCD中，对角线交点为O，A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD的中点，A2、B2、C2、D2分别是OA1、OB1、OC1、OD1的中点，…，以此类推．‎ 若▱ABCD的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和l；‎ ‎（3）借助图形3反映的规律，猜猜l可能是多少？‎ ‎【分析】（1）作出图形，延长DE至F，使EF=DE，然后根据“边角边”证明△ADE和△CFE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CF，全等三角形对应角相等可得∠A=∠ECF，再根据内错角相等，两直线平行可得AD∥CF，然后证明四边形BCFD是平行四边形，再根据平行四边形的对边平行且相等可得DF∥BC且DF=BC，然后整理即可得证；‎ ‎（2）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出四边形A1B‎1C1D1的周长等于▱ABCD周长的一半，然后依次表示出各四边形的周长，再相加即可得解；‎ ‎（3）根据规律，l的算式等于大正方形的面积减去最后剩下的一小部分的面积，然后写出结果即可．‎ ‎【解答】解：（1）已知：在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，‎ 求证：DE∥BC且DE=BC，‎ 证明：如图，延长DE至F，使EF=DE，‎ ‎∵E是AC的中点，‎ ‎∴AE=CE，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 在△ADE和△CFE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ADE≌△CFE（SAS），‎ ‎∴AD=CF（全等三角形对应边相等），‎ ‎∠A=∠ECF（全等三角形对应角相等），‎ ‎∴AD∥CF，‎ ‎∵点D是AB的中点，‎ ‎∴AD=BD，‎ ‎∴BD=CF且BD∥CF，‎ ‎∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），‎ ‎∴DF∥BC且DF=BC（平行四边形的对边平行且相等），‎ ‎∵DE=EF=DF，‎ ‎∴DE∥BC且DE=BC；‎ ‎（2）∵A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD的中点，‎ ‎∴A1B1=AB，B‎1C1=BC，C1D1=CD，A1D1=AD，‎ ‎∴四边形A1B‎1C1D1的周长=×1=，‎ 同理可得，四边形A2B‎2C2D2的周长=×=，‎ 四边形A3B‎3C3D3的周长=×=，‎ ‎…，‎ ‎∴四边形的周长之和l=1++++…；‎ ‎（3）由图可知， +++…=1（无限接近于1），‎ 所以l=1++++…=2（无限接近于2）．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的证明，利用面积法求等比数列的和，平行四边形的判定与性质，（1）作辅助线构造出全等三角形的和平行四边形是解题的关键，（3）仔细观察图形得到部分与整体的关系是解题的关键．‎ ‎22．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3‎ ‎（1）求证：BN=DN；‎ ‎（2）求△ABC的周长．‎ ‎【分析】（1）证明△ABN≌△ADN，即可得出结论；‎ ‎（2）先判断MN是△BDC的中位线，从而得出CD，由（1）可得AD=AB=10，从而计算周长即可．‎ ‎【解答】（1）证明：在△ABN和△ADN中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△ABN≌△ADN（ASA），‎ ‎∴BN=DN．‎ ‎（2）解：∵△ABN≌△ADN，‎ ‎∴AD=AB=10，‎ 又∵点M是BC中点，‎ ‎∴MN是△BDC的中位线，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴CD=2MN=6，‎ 故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．‎ ‎【点评】本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定，注意培养自己的敏感性，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找到等腰三角形．‎ ‎23．已知两个等腰Rt△ABC，Rt△CEF有公共顶点C，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．‎ ‎（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；‎ ‎（2）如图1，若CB=a，CE=‎2a，求BM，ME的长；‎ ‎（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．‎ ‎【分析】（1）证法一：如答图‎1a所示，延长AB交CF于点D，证明BM为△ADF的中位线即可；‎ 证法二：如答图1b所示，延长BM交EF于D，根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行可得AB∥EF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAM=∠DFM，根据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证明△ABM和△FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，然后求出BE=DE，从而得到△BDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠EBM=45°，从而得到∠EBM=∠ECF，再根据同位角相等，两直线平行证明MB∥CF即可，‎ ‎（2）解法一：如答图‎2a所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线；‎ 解法二：先求出BE的长，再根据全等三角形对应边相等可得BM=DM，根据等腰三角形三线合一的性质可得EM⊥BD，求出△BEM是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可；‎ ‎（3）证法一：如答图‎3a所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线：BM=DF，ME=AG；然后证明△ACG≌△DCF，得到DF=AG，从而证明BM=ME；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 证法二：如答图3b所示，延长BM交CF于D，连接BE、DE，利用同旁内角互补，两直线平行求出AB∥CF，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BAM=∠DFM，根据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证明△ABM和△FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，BM=DM，再根据“边角边”证明△BCE和△DFE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DE，全等三角形对应角相等可得∠BEC=∠DEF，然后求出∠BED=∠CEF=90°，再根据等腰直角三角形的性质证明即可．‎ ‎【解答】（1）证法一：‎ 如答图‎1a，延长AB交CF于点D，‎ 则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，‎ ‎∴AB=BC=BD，‎ ‎∴点B为线段AD的中点，‎ 又∵点M为线段AF的中点，‎ ‎∴BM为△ADF的中位线，‎ ‎∴BM∥CF．‎ 证法二：‎ 如答图1b，延长BM交EF于D，‎ ‎∵∠ABC=∠CEF=90°，‎ ‎∴AB⊥CE，EF⊥CE，‎ ‎∴AB∥EF，‎ ‎∴∠BAM=∠DFM，‎ ‎∵M是AF的中点，‎ ‎∴AM=MF，‎ 在△ABM和△FDM中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABM≌△FDM（ASA），‎ ‎∴AB=DF，‎ ‎∵BE=CE﹣BC，DE=EF﹣DF，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴BE=DE，‎ ‎∴△BDE是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠EBM=45°，‎ ‎∵在等腰直角△CEF中，∠ECF=45°，‎ ‎∴∠EBM=∠ECF，‎ ‎∴MB∥CF；‎ ‎（2）解法一：‎ 如答图‎2a所示，延长AB交CF于点D，则易知△BCD与△ABC为等腰直角三角形，‎ ‎∴AB=BC=BD=a，AC=CD=a，‎ ‎∴点B为AD中点，又点M为AF中点，‎ ‎∴BM=DF．‎ 分别延长FE与CA交于点G，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，‎ ‎∴CE=EF=GE=‎2a，CG=CF=a，‎ ‎∴点E为FG中点，又点M为AF中点，‎ ‎∴ME=AG．‎ ‎∵CG=CF=a，CA=CD=a，‎ ‎∴AG=DF=a，‎ ‎∴BM=ME=×a=a．‎ 解法二：如答图1b．‎ ‎∵CB=a，CE=‎2a，‎ ‎∴BE=CE﹣CB=‎2a﹣a=a，‎ ‎∵△ABM≌△FDM，‎ ‎∴BM=DM，‎ 又∵△BED是等腰直角三角形，‎ ‎∴△BEM是等腰直角三角形，‎ ‎∴BM=ME=BE=a；‎ ‎（3）证法一：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 如答图‎3a，延长AB交CE于点D，连接DF，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，‎ ‎∴AB=BC=BD，AC=CD，‎ ‎∴点B为AD中点，又点M为AF中点，∴BM=DF．‎ 延长FE与CB交于点G，连接AG，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，‎ ‎∴CE=EF=EG，CF=CG，‎ ‎∴点E为FG中点，又点M为AF中点，∴ME=AG．‎ 在△ACG与△DCF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ACG≌△DCF（SAS），‎ ‎∴DF=AG，‎ ‎∴BM=ME．‎ 证法二：‎ 如答图3b，延长BM交CF于D，连接BE、DE，‎ ‎∵∠BCE=45°，‎ ‎∴∠ACD=45°×2+45°=135°‎ ‎∴∠BAC+∠ACF=45°+135°=180°，‎ ‎∴AB∥CF，‎ ‎∴∠BAM=∠DFM，‎ ‎∵M是AF的中点，‎ ‎∴AM=FM，‎ 在△ABM和△FDM中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABM≌△FDM（ASA），‎ ‎∴AB=DF，BM=DM，‎ ‎∴AB=BC=DF，‎ 在△BCE和△DFE中，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，‎ ‎∴△BCE≌△DFE（SAS），‎ ‎∴BE=DE，∠BEC=∠DEF，‎ ‎∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90°，‎ ‎∴△BDE是等腰直角三角形，‎ 又∵BM=DM，‎ ‎∴BM=ME=BD，‎ 故BM=ME．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【点评】本题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出中位线、全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．‎ ‎24．如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE（不需证明）．‎ ‎（温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME=∠CNE．）‎ 问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；‎ 问题二：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明．‎ ‎【分析】（1）作出两条中位线，根据中位线定理，找到相等的同位角和线段，进而判断出三角形的形状．‎ ‎（2）利用平行线和中位线定理，可以证得三角形△FAG是等边三角形，再进一步确定∠FGD=∠FDG=30°，进而求出∠AGD=90°，故△AGD的形状可证．‎ ‎【解答】解：（1）取AC中点P，连接PF，PE，‎ 可知PE=，‎ PE∥AB，‎ ‎∴∠PEF=∠ANF，‎ 同理PF=，‎ PF∥CD，‎ ‎∴∠PFE=∠CME，‎ 又PE=PF，‎ ‎∴∠PFE=∠PEF，‎ ‎∴∠OMN=∠ONM，‎ ‎∴△OMN为等腰三角形．‎ ‎（2）判断出△AGD是直角三角形．‎ 证明：如图连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE，‎ ‎∵F是AD的中点，‎ ‎∴HF∥AB，HF=AB，‎ 同理，HE∥CD，HE=CD，‎ ‎∵AB=CD ‎∴HF=HE，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵∠EFC=60°，‎ ‎∴∠HEF=60°，‎ ‎∴∠HEF=∠HFE=60°，‎ ‎∴△EHF是等边三角形，‎ ‎∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°，‎ ‎∴△AGF是等边三角形．‎ ‎∵AF=FD，‎ ‎∴GF=FD，‎ ‎∴∠FGD=∠FDG=30°‎ ‎∴∠AGD=90°‎ 即△AGD是直角三角形．‎ ‎【点评】解答此题的关键是作出三条辅助线，构造出和中位线定理相关的图形．此题结构精巧，考查范围广，综合性强．‎ ‎25．如图，已知AD与BC相交于E，∠1=∠2=∠3，BD=CD，∠ADB=90°，CH⊥AB于H，CH交AD于F．‎ ‎（1）求证：CD∥AB；‎ ‎（2）求证：△BDE≌△ACE；‎ ‎（3）若O为AB中点，求证：OF=BE．‎ ‎【分析】（1）有BD=CD，可得∠1=∠BCD，那么就有∠2=∠BCD，从而CD∥AB；‎ ‎（2）由∠2=∠3，可得BE=AE，又因为CD∥AB，同样可知DE=CE，根据SAS即可证出：△BDE≌△ACE；‎ ‎（3）由于O是AB的中点，因此只需证得AF=EF即可得出OF是△‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ABE的中位线，进而可得出OF=BE．根据（2）的全等三角形，可得出∠ACE=90°，因此可通过证CF是直角三角形ACE斜边上的中线，来得出AF=EF．‎ ‎【解答】证明：（1）∵BD=CD，‎ ‎∴∠BCD=∠1；‎ ‎∵∠1=∠2，‎ ‎∴∠BCD=∠2；‎ ‎∴CD∥AB．‎ ‎（2）∵CD∥AB，∴∠CDA=∠3．‎ ‎∵∠BCD=∠2=∠3，‎ ‎∴BE=AE．‎ 且∠CDA=∠BCD，‎ ‎∴DE=CE．‎ 在△BDE和△ACE中，‎ ‎∵．‎ ‎∴△BDE≌△ACE（SAS）；‎ ‎（3）∵△BDE≌△ACE，‎ ‎∴∠4=∠1，∠ACE=∠BDE=90°‎ ‎∴∠ACH=90°﹣∠BCH；‎ 又∵CH⊥AB，‎ ‎∴∠2=90°﹣∠BCH；‎ ‎∴∠ACH=∠2=∠1=∠4，‎ ‎∴AF=CF；‎ ‎∵∠AEC=90°﹣∠4，∠ECF=90°﹣∠ACH，‎ 又∵∠ACH=∠4，‎ ‎∴∠AEC=∠ECF 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费