待定系数法求二次函数的解析式—巩固练习（提高）.doc

待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解（提高）‎ ‎【学习目标】‎ ‎1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；‎ ‎2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的． ‎ ‎【要点梳理】‎ 要点一、用待定系数法求二次函数解析式 ‎1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：‎ ‎ (1)一般式：(a，b，c为常数，a≠0)；‎ ‎ (2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)；‎ ‎ (3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)．‎ ‎2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下 第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或，‎ 或，其中a≠0；‎ ‎ 第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；‎ ‎ 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；‎ ‎ 第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．‎ 要点诠释：‎ 在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为；③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为．‎ ‎【典型例题】‎ 类型一、用待定系数法求二次函数解析式 ‎1. 已知抛物线经过A，B，C三点，当时，其图象如图1所示.求抛物线的解析式，写出顶点坐标.‎ 图1‎ ‎【答案与解析】‎ ‎ 设所求抛物线的解析式为（）.‎ 由图象可知A，B，C的坐标分别为（0，2），（4，0），（5，-3）.‎ 解之，得 抛物线的解析式为 该抛物线的顶点坐标为.‎ ‎【总结升华】这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标，需要从图象中获取信息.已知图象上三个点时，通常应用二次函数的一般式列方程求解析式.要特别注意：如果这道题是求“图象所表示的函数解析式”，那就必须加上自变量的取值范围.‎ ‎2. 一条抛物线经过点与.求这条抛物线的解析式.‎ ‎【答案与解析】‎ ‎ 抛物线经过点（）和，‎ 这条抛物线的对称轴是直线.‎ 设所求抛物线的解析式为.‎ 将点代入，得，解得.‎ 这条抛物线的解析式为，即.‎ ‎【总结升华】解析式中的a值已经知道，只需求出的值。已知条件给出了两个点，因此，可以从二次函数的一般式入手列方程组解答.还可以从所给两点的特征入手：这两点关于抛物线的对称轴对称，因此可知对称轴是直线，这样又可以从抛物线的顶点式入手.当点M（）和N（）都是抛物线上的点时，若，则对称轴方程为，这一点很重要也很有用.‎ ‎3. 已知抛物线的顶点坐标为（－1，4），与轴两交点间的距离为6，求此抛物线的函数关系式.‎ ‎【答案与解析】‎ 因为顶点坐标为（－1，4），所以对称轴为，又因为抛物线与轴两交点的距离为6，‎ 所以两交点的横坐标分别为： ，， 则两交点的坐标为（，0）、（2，0）；求函数的函数关系式可有两种方法：‎ 解法：设抛物线的函数关系式为顶点式：(a≠0)，把（2，0）代入得，‎ 所以抛物线的函数关系式为；‎ 解法：设抛物线的函数关系式为两点式：(a≠0)，‎ 把（－1，4）代入得，‎ 所以抛物线的函数关系式为：；‎ ‎【总结升华】在求函数的解析式时，要根据题中所给条件选择合适的形式.‎ 举一反三：‎ ‎【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式 高清ID号： 356565 关联的位置名称（播放点名称）：例3-例4】‎ ‎【变式】（2014•永嘉县校级模拟）已知抛物线经过点（1，0），（﹣5，0），且顶点纵坐标为，这个二次函数的解析式　 ．‎ ‎【答案】y=﹣x2﹣2x+　.‎ 提示：设抛物线的解析式为y=a（x+2）2+，‎ 将点（1，0）代入，得a（1+2）2+=0，‎ 解得a=﹣，即y=﹣（x+2）2+，‎ ‎∴所求二次函数解析式为y=﹣x2﹣2x+．‎ 类型二、用待定系数法解题 ‎4.（2015春•石家庄校级期中）已知二次函数的图象如图所示，根据图中的数据，‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）设此二次函数的顶点为P，求△ABP的面积．‎ ‎ ‎ ‎【答案与解析】 ‎ 解：（1）由二次函数图象知，函数与x轴交于两点（﹣1，0），（3，0），‎ 设其解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），‎ 又∵函数与y轴交于点（0，2），‎ 代入解析式得，‎ a×（﹣3）=2，‎ ‎∴a=﹣，‎ ‎∴二次函数的解析式为：，即；‎ ‎（2）由函数图象知，函数的对称轴为：x=1，‎ 当x=1时，y=﹣×2×（﹣2）=，‎ ‎∴△ABP的面积S===．‎ ‎【总结升华】此题主要考查二次函数图象的性质，对称轴及顶点坐标，另外巧妙设函数的解析式，从而来减少计算量.‎ 举一反三：‎ ‎【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式 高清ID号： 356565 关联的位置名称（播放点名称）：例3-例4】‎ ‎【变式】已知二次函数图象的顶点是，且过点．‎ ‎（1）求二次函数的表达式；‎ ‎（2）求证：对任意实数，点都不在这个二次函数的图象上.‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）证明：若点在此二次函数的图象上，则． ‎ 得． ‎ ‎△=，该方程无实根．‎ ‎ 所以原结论成立．‎