北师大版九年级数学下册第二章单元测试
评卷人
得分
一、 选择题（每小题4 分，共10小题，满分40分）
每题有A、B、C、D四个选项，只有一个是正确的，请把正确的选项填写在题的括号内.
1.二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
2.函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
3.关于二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象，下列说法中错误的是（ ）
A．当x＜2，y随x的增大而减小 B．函数的对称轴是直线x=1
C．函数的开口方向向上 D．函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3）
4.如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
5.如图所示是二次函数y=ax2﹣x+a2﹣1的图象，则a的值是（ ）
A．a=﹣1 B．a= C．a=1 D．a=1或a=﹣1
6.抛物线y=x2﹣2x﹣3的图象向左平移2个单位，再向上平移2个单位，所得图象的解析式为y=x2+bx+c，则b、c的值为（ ）
A．b=2，c=2 B．b=2，c=﹣1 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=﹣3，c=2
7.根据下列表格对应值：
x
3
4
5
y=ax2+bx+c
0.5
﹣0.5
﹣1
判断关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解x的范围是（ ）
A．x＜3 B．x＞5 C．3＜x＜4 D．4＜x＜5
8.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x=﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
9.如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（ ）
A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5
10.已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=﹣1，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是抛物线上的点，P3（x3，y3）是直线l上的点，且﹣1＜x1＜x2，x3＜﹣1，则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
评卷人
得分
二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）
请把正确的答案填写在横线上.
11.二次函数y=x2﹣2x+6的最小值是 ．
12.抛物线y=x2﹣5x+6与x轴交于A、B两点，则AB的长为 ．
13.若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是 ．
14.如图，抛物线y=﹣（x+1）（x﹣3）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D为该抛物线的对称轴上一点，当点D到直线BC和到x轴的距离相等时，则点D的坐标为 ．
评卷人
得分
三、解答题（共8小题，满分90分）
15.二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）．
（1）求b、c的值；
（2）求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
16.如图，二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在点P，满足S△AOP=8，请直接写出点P的坐标．
17.已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式；
（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．
18.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现在O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）．
（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
（2）求出这条抛物线的函数解析式；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．
19.已知某种产品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查发现，该产品每降价1元，每星期可多卖出20件，由于供货方的原因销量不得超过380件，设这种产品每件降价x元（x为整数），每星期的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）该产品销售价定为每件多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）该产品销售价在什么范围时，每星期的销售利润不低于6000元，请直接写出结果．
20.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；
（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标．
21.如图，已知二次函数y=ax2+bx+8（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0），
B（4，0）与y轴交于点C．
（Ⅰ）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（Ⅱ）求△BCD的面积；
（Ⅲ）若直线CD交x轴与点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD与点F，将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究抛物线最多可以向上平移多少个单位长度（直接写出结果，不写求解过程）．
22.如图，已知正方形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，抛物线y=x2+bx+c经过点A，B，交正x轴于点D，E是OC上的动点（不与C重合）连接EB，过B点作BF⊥BE交y轴与F
（1）求b，c的值及D点的坐标；
（2）求点E在OC上运动时，四边形OEBF的面积有怎样的规律性？并证明你的结论；
（3）连接EF，BD，设OE=m，△BEF与△BED的面积之差为S，问：当m为何值时S最小，并求出这个最小值．
23.如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画．
（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；
（2）小球的落点是A，求点A的坐标；
（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；
（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．
参考答案及解析
1. 【答案】C．
解析：∵抛物线的顶点在第四象限，
∴﹣m＞0，n＜0，
∴m＜0，
∴一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限，
故选C．
2. 【答案】B．
解析：由解析式y=﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x=0；
A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；
B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；
C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；
D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．
故选B．
3. 【答案】A．
解析：∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，对称轴为x=1，当x＜1时y随x的增大而减小，故B、C正确，A不正确，
令x=0可得y=﹣3，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3），故D正确，
故选A．
4. 【答案】B．
解析：∵a＜0，
∴抛物线的开口方向向下，
故第三个选项错误；
∵c＜0，
∴抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上，
故第一个选项错误；
∵a＜0、b＞0，对称轴为x=＞0，
∴对称轴在y轴右侧，
故第四个选项错误．
故选B．
5. 【答案】C．
解析：由图象得，此二次函数过原点（0，0），
把点（0，0）代入函数解析式得a2﹣1=0，解得a=±1；
又因为此二次函数的开口向上，所以a＞0；
所以a=1．
故选C．
6. 【答案】B
解析：y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，
图象向左平移2个单位，再向上平移2个单位，所得图象的解析式为y=（x﹣1+2）2﹣4+2=（x+1）2﹣2=x2+2x﹣1，
则b=2，c=﹣1，
故选B．
7. 【答案】C
解析：∵x=3时，y=0.5，即ax2+bx+c＞0；
x=4时，y=﹣0.5，即ax2+bx+c＜0，
∴抛物线与x轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，
∴关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解x的范围是3＜x＜4．
故选C．
8. 【答案】A
解析：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x=﹣=﹣1，
∴b=2a＞0，则2a﹣b=0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵x=2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，所以③错误；
∵点（﹣5，y1）离对称轴的距离与点（3，y2）离对称轴的距离相等，
∴y1=y2，所以④不正确．
故选A．
9. 【答案】D.
解析：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）．
利用图象可知：
ax2+bx+c＜0的解集即是y＜0的解集，
∴x＜﹣1或x＞5．
故选D．
考点：二次函数利用图象.
10. 【答案】D．
解析：对称轴为直线x=﹣1，且﹣1＜x1＜x2，当x＞﹣1时，y2＜y1，
又因为x3＜﹣1，由一次函数的图象可知，此时点P3（x3，y3）在二次函数图象上方，
所以y2＜y1＜y3．
故选D．
11. 【答案】5.
解析：y=x2﹣2x+6=x2﹣2x+1+5
=（x﹣1）2+5，
可见，二次函数的最小值为5．
12. 【答案】1.
解析：当y=0，则0=x2﹣5x+6，
解得：x1=2，x2=3，
故AB的长为：3﹣2=1．
13. 【答案】0或1
①若m=0，则函数y=2x+1，是一次函数，与x轴只有一个交点；
②若m≠0，则函数y=mx2+2x+1，是二次函数．
根据题意得：△=4﹣4m=0，
解得：m=1．
14. 【答案】（1，）或（1，﹣2）.
解析：如图所示：
∵抛物线y=﹣（x+1）（x﹣3）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
∴当﹣（x+1）（x﹣3）=0时，x=﹣1，或x=3，
当x=0时，y=3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），对称轴x=1，
∴BM=3﹣1=2，
当点D到直线BC和到x轴的距离相等时，点D在∠ABC或∠ABE的平分线上，
①点D在∠ABC的平分线上时，
∵tan∠ABC==，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABD=30°，
∴DM=BM=，
∴D（1，）；
②点D在∠ABE的平分线上时，∠ABE=180°﹣60°=120°，
∴∠ABD=60°，
∴DM=BM=2，
∴D（1，﹣2）.
15.【答案】（1） ；（2）顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2
解析：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0），
∴ ，
解得 ；
（2）∵该二次函数为y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1．
∴该二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2
考点：1.待定系数法求二次函数解析式；2.二次函数的性质．
16. 【答案】（1）y=﹣x2﹣4x；（2）（﹣2，4）、（﹣2+2，﹣4）、（﹣2﹣2，﹣4）．
解析：（1）由已知条件得，
解得，
所以，此二次函数的解析式为y=﹣x2﹣4x；
（2）∵点A的坐标为（﹣4，0），
∴AO=4，
设点P到x轴的距离为h，
则S△AOP=×4h=8，
解得h=4，
①当点P在x轴上方时，﹣x2﹣4x=4，
解得x=﹣2，
所以，点P的坐标为（﹣2，4），
②当点P在x轴下方时，﹣x2﹣4x=﹣4，
解得x1=﹣2+2，x2=﹣2﹣2，
所以，点P的坐标为（﹣2+2，﹣4）或（﹣2﹣2，﹣4），
综上所述，点P的坐标是：（﹣2，4）、（﹣2+2，﹣4）、（﹣2﹣2，﹣4）．
17. 【答案】（1）b=2,c=3, y=﹣x2+2x+3．(2) ﹣1＜x＜3
解析：（1）将点（﹣1，0），（0，3）代入y=﹣x2+bx+c中，得
，解得．
∴y=﹣x2+2x+3．
（2）令y=0，解方程﹣x2+2x+3=0，
得x1=﹣1，x2=3，抛物线开口向下，
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0．
18. 【答案】（1）M（12，0），P（6，6）；（2）y=x2+2x；（3）15米．
解析：（1）M（12，0），P（6，6）
（2）∵顶点坐标（6，6）
∴设y=a（x﹣6）2+6（a≠0）
又∵图象经过（0，0）
∴0=a（0﹣6）2+6
∴a=
∴这条抛物线的函数解析式为y=（x﹣6）2+6，即y=x2+2x；
（3）设A（x，y）
∴A（x，（x﹣6）2+6）
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC=（x﹣6）2+6，
根据抛物线的轴对称性，可得：OB=CM=x，
∴BC=12﹣2x，即AD=12﹣2x，
∴令L=AB+AD+DC=2[（x﹣6）2+6]+12﹣2x=x2+2x+12=（x﹣3）2+15．
∴当x=3，L最大值为15
∴AB、AD、DC的长度之和最大值为15米．
19. 【答案】（1）w=﹣20x2+100x+6000，x≤4，且x为整数；(2) 当定价为57或58元时有最大利润6120元；(3) 售价不低于56元且不高于60元时，每星期利润不低于6000元．
解析: （1）w=（20﹣x）（300+20x）=﹣20x2+100x+6000，
∵300+20x≤380，
∴x≤4，且x为整数；
（2）w=﹣20x2+100x+6000=﹣20（x﹣）2+6125，
∵﹣20（x﹣）2≤0，且x≤4的整数，
∴当x=2或x=3时有最大利润6120元，
即当定价为57或58元时有最大利润6120元；
（3）根据题意得：
﹣20（x﹣）2+6125≥6000，
解得：0≤x≤5．
又∵x≤4，
∴0≤x≤4
答：售价不低于56元且不高于60元时，每星期利润不低于6000元．
20. 【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3．（2）对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）．（3）点P在该抛物线上滑动到（1+2，4）或（1﹣2，4）或（1，﹣4）时，满足S△PAB=8．
解析：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，
∴﹣1+3=﹣b，
﹣1×3=c，
∴b=﹣2，c=﹣3，
∴二次函数解析式是y=x2﹣2x﹣3．
（2）∵y=﹣x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）．
（3）设P的纵坐标为|yP|，
∵S△PAB=8，
∴AB•|yP|=8，
∵AB=3+1=4，
∴|yP|=4，
∴yP=±4，
把yP=4代入解析式得，4=x2﹣2x﹣3，
解得，x=1±2，
把yP=﹣4代入解析式得，﹣4=x2﹣2x﹣3，
解得，x=1，
∴点P在该抛物线上滑动到（1+2，4）或（1﹣2，4）或（1，﹣4）时，满足S△PAB=8．
21. 【答案】（Ⅰ）抛物线的解析式：y=﹣x2+2x+8=﹣（x﹣1）2+9，顶点D（1，9）；（Ⅱ）6；（Ⅲ）72.
解析：（Ⅰ）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，得：
，解得，
∴抛物线的解析式：y=﹣x2+2x+8=﹣（x﹣1）2+9，顶点D（1，9）；
（Ⅱ）如图1，
∵抛物线的解析式：y=﹣x2+2x+8，
∴C（0，8），
∵B（4，0），
∴直线BC解析式为y=﹣2x+8，
∴直线和抛物线对称轴的交点H（1，6），
∴S△BDC=S△BDH+S△DHC=×3×1+×3×3=6．
（Ⅲ）如图2，
∵C（0，8），D（1，9）；
代入直线解析式y=kx+b，
∴，
解得：，
∴y=x+8，
∴E点坐标为：（﹣8，0），
∵B（4，0），
∴x=4时，y=4+8=12
∴F点坐标为：（4，12），
设抛物线向上平移m个单位长度（m＞0），
则抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣1）2+9+m；
当x=﹣8时，y=m﹣72，
当x=4时，y=m，
∴m﹣72≤0 或 m≤12，
∴0＜m≤72，
∴抛物线最多向上平移72个单位．
22. 【答案】（1）b=，c=2；D点坐标为（3，0）．（2）点E在OC上运动时，四边形OEBF的面积不变；（3）当m=2﹣时S最小为0．
解析：（1）把点A（0，2）、B（2，2）代入抛物线y=x2+bx+c得
解得b=，c=2；
∴y=x2+x+2；
令x2+x+2=0
解得x1=﹣1，x2=3
∴D点坐标为（3，0）．
（2）点E在OC上运动时，四边形OEBF的面积不变；
∵四边形OABC是正方形
∴AB=BC，∠BCE=∠BAE=∠ABC=90°
又∵BF⊥BE
∴∠FBE=90°
∴∠ABF=∠CBE
∴△ABF≌△BCE
∴四边形OEBF的面积始终等于正方形OABC的面积．
（3）如图，
可以看出S△BEF=S梯形OCBF﹣S△OEF﹣S△BEC
=（2+2+m）×2﹣m（2+m）﹣（2﹣m）×2
=﹣m2+m+2
S△BED=×（3﹣m）×2
=3﹣m
两个三角形的面积差最小为0，
即3﹣m=﹣m2+m+，
解得m=2±，
∵E是OC上的动点
∴m=2﹣，
当m=2﹣时S最小为0．
23. 【答案】（1）最高点P的坐标为（2，4）；（2）点A的坐标为（，）；（3）；（4）点M的坐标为（，）．
解析：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，
故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；
（2）联立两解析式可得：，解得：，或．
故可得点A的坐标为（，）；
（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．
S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA
=×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣××
=4+﹣
=；
（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA的面积．
设直线PM的解析式为y=x+b，
∵P的坐标为（2，4），
∴4=×2+b，解得b=3，
∴直线PM的解析式为y=x+3．
由，解得，，
∴点M的坐标为（，）．
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