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2016 年辽宁省本溪市中考数学一模试卷
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符
合题目要求的
1．﹣ 的相反数是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C． D．2
2．如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图（主视图、左视图、俯视图）有两个相同，而另一
个不同的几何体是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
3．已知下列事件：
①太阳从西边升起；
②抛一枚硬币正面朝上；
③口袋里只有两个红球，随机摸出一个球是红球；
④三点确定一个圆，
其中是必然事件的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
4．A，B 两地相距 48 千米，一艘轮船从 A 地顺流航行至 B 地，又立即从 B 地逆流返回 A 地，共用去
9 小时，已知水流速度为 4 千米/时，若设该轮船在静水中的速度为 x 千米/时，则可列方程（ ）
A． B．
C． +4=9 D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．在促销活动中某商品的中奖率是万分之一，则购买该商品一万件就一定会中奖
B．为了解某品牌节能灯的使用寿命，采用了普查的方式
C．一组数据 6，7，8，8，9，10 的众数和平均数都是 8第 2 页（共 33 页）
D．若甲组数据的方差 S 甲 2=0.05，乙组数据的方差 S 乙 2=0.1，则乙组数据比甲组数据稳定
6．设 a 是方程 x2+2x﹣2=0 的一个实数根，则 2a2+4a+2016 的值为（ ）
A．2016 B．2018 C．2020 D．2021
7．如图，将△ABC 绕点 C（0，1）旋转 180°得到△A′B′C，设点 A 的坐标为（a，b），则点 A′
的坐标为（ ）
A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a，﹣b﹣1） C．（﹣a，﹣b+1） D．（﹣a，﹣b+2）
8．二次函数 y=ax2+bx 与一次函数 y=ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中可能的图象为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分
9．长江全长约为 6300 千米，将 6300 千米用科学记数法可表示为 米．
10．小明手中有 4 张背面相同的扑克牌：红桃 K、红桃 5、黑桃 Q、黑桃 2，先将 4 张牌背面朝上洗
匀，再让小刚抽牌，小刚从中任意抽取一张扑克牌，抽到红桃的概率为 ．
11．如图，在⊙O 中，圆心角∠AOB=120°，弦 AB=2 cm，则 OA= cm．
12．本溪电视台某日发布的当天的天气预报，我市Ⅱ各地区当天最高气温（℃）统计如表：
气温（℃） 10 11 12 13 14 15 17
频数 1 1 1 3 2 2 1
那么这些城市当天的最高气温的众数和中位数分别是 ， ．
13．在平面直角坐标系中，将抛物线 y=3x2 先向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位，得到的抛第 3 页（共 33 页）
物线的解析式是 ．
14．如图，在△ABC 中，BC=4，以点 A 为圆心，2 为半径的⊙A 与 BC 相切于点 D，交 AB 于点 E，交 AC
于点 F，点 P 是⊙A 上的一点，且∠EPF=45°，则图中阴影部分的面积为 ．
15．如图所示是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，图象过 A 点（3，0），对称轴为 x=1，给出四
个结论：①b2﹣4ac＞0；②2a+b=0；③a+b+c=0；④当 x=﹣1 或 x=3 时，函数 y 的值都等于 0．把正
确结论的序号填在横线上 ．
16．如图，已知直角△ACB，AC=3，BC=4，过直角顶点 C 作 CA1⊥AB，垂足为 A1，再过 A1 作 A1C1⊥BC
，垂足为 C1；过 C1 作 C1A2⊥AB，垂足为 A2，再过 A2 作 A2C2⊥BC，垂足为 C2；…，这样一直做下去，
得到一组线段 A1C1，A2C2…，则线段 AnCn 为 ．（用含有 n 的代数式表示）
三、解答题．本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤
17．先化简 ÷（a+1）+ ，然后 a 在﹣1、1、2 三个数中任选一个合适的数代入求值第 4 页（共 33 页）
．
18．一个袋中有 3 张形状大小完全相同的卡片，编号为 1，2，3，先任取一张，将其编号记为 m，再
从剩下的两张中任取一张，将其编号记为 n．
（1）请用树状图或者列表法，表示事件发生的所有可能情况；
（2）求关于 x 的方程 x2+mx+n=0 有两个不相等实数根的概率．
四、本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
19．某校九年级（1）班所有学生参加 2010 年初中毕业生升学体育测试，根据测试评分标准，将他
们的成绩进行统计后分为 A、B、C、D 四等，并绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（未完成
），请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）九年级（1）班参加体育测试的学生有 人；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，等级 B 部分所占的百分比是 ，等级 C 对应的圆心角的度数为 ；
（4）若该校九年级学生共有 850 人参加体育测试，估计达到 A 级和 B 级的学生共有 人．
20．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边上的中线，E 是 AD 的中点，过点 A 作 AF∥BC 交 BE
的延长线于 F，连接 CF．
（1）求证：BD=AF；
（2）判断四边形 ADCF 的形状，并证明你的结论．
五、本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤第 5 页（共 33 页）
21．某工厂的甲车间承担了加工 2100 个机器零件的任务，甲车间单独加工了 900 个零件后，由于任
务紧急，要求乙车间与甲车间同时加工，结果比原计划提前 12 天完成任务．已知乙车间的工作效率
是甲车间的 1.5 倍，求甲、乙两车间每天加工零件各多少个？
22．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，BC⊥AB，连接 OC，弦 AD∥OC，直线 CD 交 BA 的延长线于点 E．
（1）求证：直线 CD 是⊙O 的切线；
（2）若 DE=2BC，EA=4，求⊙O 的半径．
23．如图，飞机的飞行高度为 2500 米，在 A 点处测得某电视塔尖点 C 的俯角为 30°，保持方向不
变前进 1200 米到达 B 点时测得该电视塔尖点 C 的俯角为 45°．请计算电视塔的高度（结果保留整
数， ≈1.414， ≈1.732）
六、本大题共 1 小题，共 10 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
24．已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图 1 所示．
（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义；
（2）写出批发该种水果的资金金额 w（元）与批发量 m（kg）之间的函数关系式；在图 2 的坐标系
中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果；
（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图 3 所示，该经销商
拟每日售出 60kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使
得当日获得的利润最大．第 6 页（共 33 页）
七、本大题共 1 小题，共 12 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
25．如图，正方形 ABCD，点 P 在射线 CB 上运动（不包含点 B、C），连接 DP，交 AB 于点 M，作 BE⊥
DP 于点 E，连接 AE，作∠FAD=∠EAB，FA 交 DP 于点 F．
（1）如图 a，当点 P 在 CB 的延长线上时，
①求证：DF=BE；
②请判断 DE、BE、AE 之间的数量关系并证明；
（2）如图 b，当点 P 在线段 BC 上时，DE、BE、AE 之间有怎样的数量关系？请直接写出答案，不必
证明；
（3）如果将已知中的正方形 ABCD 换成矩形 ABCD，且 AD：AB= ：1，其他条件不变，当点 P 在射
线 CB 上时，DE、BE、AE 之间又有怎样的数量关系？请直接写出答案，不必证明．
八、本大题共 1 小题，共 14 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
26．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=3，将∠ABC 对折，使点 C 的对应点 H 恰好落在直线
AB 上，折痕交 AC 于点 O，以点 O 为坐标原点，AC 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，抛物线经
过 A、B、O 三点．
（1）求 A、B、O 三点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；第 7 页（共 33 页）
（3）若在抛物线上有一点 E，在对称轴上有一点 F，
①求△OBF 的周长取得最小值时的点 F 的坐标；
②以 O、A、E、F 为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，直接写出点 E 的坐标；若不能，请说
明理由．
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2016 年辽宁省本溪市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符
合题目要求的
1．﹣ 的相反数是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C． D．2
【考点】相反数．
【专题】应用题．
【分析】根据相反数的意义解答即可．
【解答】解：由相反数的意义得：﹣ 的相反数是 ．
故选 C．
【点评】本题主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数．0 的相反数是其本身．
2．如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图（主视图、左视图、俯视图）有两个相同，而另一
个不同的几何体是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【考点】简单几何体的三视图．
【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，分别得
到每个几何体的三视图，进而得到答案．
【解答】解：正方体主视图、左视图、俯视图都是正方形；
圆柱主视图和左视图是长方形，俯视图是圆；
圆锥主视图和左视图是三角形、俯视图是带圆心的圆；
球主视图、左视图、俯视图都是圆，第 9 页（共 33 页）
故选：B．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握三视图所看的位置．
3．已知下列事件：
①太阳从西边升起；
②抛一枚硬币正面朝上；
③口袋里只有两个红球，随机摸出一个球是红球；
④三点确定一个圆，
其中是必然事件的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【考点】随机事件．
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念判断即可．
【解答】解：①太阳从西边升起是不可能事件；
②抛一枚硬币正面朝上是随机事件；
③口袋里只有两个红球，随机摸出一个球是红球是必然事件；
④三点确定一个圆是随机事件，
故选：A．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定
发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一
定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．A，B 两地相距 48 千米，一艘轮船从 A 地顺流航行至 B 地，又立即从 B 地逆流返回 A 地，共用去
9 小时，已知水流速度为 4 千米/时，若设该轮船在静水中的速度为 x 千米/时，则可列方程（ ）
A． B．
C． +4=9 D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】应用题．
【分析】本题的等量关系为：顺流时间+逆流时间=9 小时．第 10 页（共 33 页）
【解答】解：顺流时间为： ；逆流时间为： ．
所列方程为： + =9．
故选 A．
【点评】未知量是速度，有速度，一定是根据时间来列等量关系的．找到关键描述语，找到等量关
系是解决问题的关键．
5．下列说法正确的是（ ）
A．在促销活动中某商品的中奖率是万分之一，则购买该商品一万件就一定会中奖
B．为了解某品牌节能灯的使用寿命，采用了普查的方式
C．一组数据 6，7，8，8，9，10 的众数和平均数都是 8
D．若甲组数据的方差 S 甲 2=0.05，乙组数据的方差 S 乙 2=0.1，则乙组数据比甲组数据稳定
【考点】方差；全面调查与抽样调查；算术平均数；众数；概率的意义．
【分析】根据全面调查与抽样调查、随机事件及概率的意义、方差、众数、平均数的定义和计算公
式分别对每一项进行分析即可得出答案．
【解答】解：A、在促销活动中某商品的中奖率是万分之一，则购买该商品一万件不一定会中奖，故
本选项错误；
B、为了解某品牌节能灯的使用寿命，采用了抽样的方式，故本选项错误；
C、在数据 6，7，8，8，9，10 中，出现次数最多的是 8，则众数是 8；平均数是（6+7+8+8+9+10）÷
6=8，故本选项正确；
D、∵甲组数据的方差 S 甲 2=0.05，乙组数据的方差 S 乙 2=0.1，
∴S 甲 2＜S 乙 2，
∴甲组数据比乙组数据稳定；故本选项错误；
故选 C．
【点评】此题考查了方差、众数、平均数、全面调查与抽样调查、随机事件及概率的意义，熟知它
们的意义和计算公式是本题的关键．
6．设 a 是方程 x2+2x﹣2=0 的一个实数根，则 2a2+4a+2016 的值为（ ）
A．2016 B．2018 C．2020 D．2021
【考点】一元二次方程的解．第 11 页（共 33 页）
【分析】首先由已知可得 a2+2a﹣2=0，即 a2+2a=2．然后化简代数式，注意整体代入，从而求得代数
式的值．
【解答】解：把 x=a 代入得到 a2+2a﹣2=0，
则 a2+2a=2．
又∵2a2+4a=2（a2+2a），
把 a2+2a=2 代入 2a2+4a+2016=2（a2+2a）+2016=2×2+2016=2020，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．注意解题中的整体代入思想的应用．
7．如图，将△ABC 绕点 C（0，1）旋转 180°得到△A′B′C，设点 A 的坐标为（a，b），则点 A′
的坐标为（ ）
A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a，﹣b﹣1） C．（﹣a，﹣b+1） D．（﹣a，﹣b+2）
【考点】坐标与图形变化-旋转．
【专题】数形结合．
【分析】设点 A′的坐标是（x，y），根据旋转变换的对应点关于旋转中心对称，再根据中点公式
列式求解即可．
【解答】解：根据题意，点 A、A′关于点 C 对称，
设点 A′的坐标是（x，y），
则 =0， =1，
解得 x=﹣a，y=﹣b+2，
∴点 A′的坐标是（﹣a，﹣b+2）．
故选：D．
【点评】本题考查了利用旋转进行坐标与图形的变化，根据旋转的性质得出点 A、A′关于点 C 成中
心对称是解题的关键，还需注意中点公式的利用，也是容易出错的地方．第 12 页（共 33 页）
8．二次函数 y=ax2+bx 与一次函数 y=ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中可能的图象为（ ）
A． B． C． D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【专题】函数及其图象．
【分析】根据二次函数 y=ax2+bx 与一次函数 y=ax+b（a≠0）可以求得它们的交点坐标，从而可以判
断哪个选项是正确的．
【解答】解：
解得 或 ．
故二次函数 y=ax2+bx 与一次函数 y=ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在 x 轴上或点（1，
a+b）．
故选 A．
【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象
的特点．
二、填空题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分
9．长江全长约为 6300 千米，将 6300 千米用科学记数法可表示为 6.3×106 米．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要
看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1
时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：6300 千米=6300 000 米=6.3×106 米，
故答案为：6.3×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜
10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．第 13 页（共 33 页）
10．小明手中有 4 张背面相同的扑克牌：红桃 K、红桃 5、黑桃 Q、黑桃 2，先将 4 张牌背面朝上洗
匀，再让小刚抽牌，小刚从中任意抽取一张扑克牌，抽到红桃的概率为 ．
【考点】概率公式．
【分析】由小明手中有 4 张背面相同的扑克牌：红桃 K、红桃 5、黑桃 Q、黑桃 2，利用概率公式，
即可求得从中任意抽取一张扑克牌，抽到红桃的概率．
【解答】解：∵小明手中有 4 张背面相同的扑克牌：红桃 K、红桃 5、黑桃 Q、黑桃 2，
∴小刚从中任意抽取一张扑克牌，抽到红桃的概率为： = ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
11．如图，在⊙O 中，圆心角∠AOB=120°，弦 AB=2 cm，则 OA= 2 cm．
【考点】垂径定理；解直角三角形．
【分析】过点 O 作 OC⊥AB，根据垂径定理，可得出 AC 的长，再由余弦函数求得 OA 的长．
【解答】解：过点 O 作 OC⊥AB，
∴AC= AB，
∵AB=2 cm，
∴AC= cm，
∵∠AOB=12O°，OA=OB，
∴∠A=30°，
在直角三角形 OAC 中，cos∠A= = ，
∴OA= =2cm，
故答案为 2．第 14 页（共 33 页）
【点评】本题考查了垂径定理和解直角三角形，是基础知识要熟练掌握．
12．本溪电视台某日发布的当天的天气预报，我市Ⅱ各地区当天最高气温（℃）统计如表：
气温（℃） 10 11 12 13 14 15 17
频数 1 1 1 3 2 2 1
那么这些城市当天的最高气温的众数和中位数分别是 13℃ ， 13℃ ．
【考点】众数；频数（率）分布表；中位数．
【分析】根据表格可以得到这组数据的众数和中位数，从而可以解答本题．
【解答】解：由表格可知，
13℃出现了频数为 3，出现的次数最多，故这组数据的众数是 13℃，
由表格可知，一共 11 个数据，第 6 个数据是 13℃，故中位数是 13℃，
故答案是：13℃，13℃．
【点评】本题考查众数、频数分布表、中位数，解题的关键是明确它们各自的定义，根据表格可以
得到相应的众数和中位数．
13．在平面直角坐标系中，将抛物线 y=3x2 先向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位，得到的抛
物线的解析式是 y=3（x﹣1）2+2 ．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】先根据抛物线的顶点式得到抛物线 y=3x2 的顶点坐标为（0，0），则抛物线 y=3x2 向右平移
1 个单位，再向上平移 2 个单位得到的抛物线的顶点坐标为（1，2），然后再根据顶点式即可得到
平移后抛物线的解析式．
【解答】解：∵抛物线 y=3x2 的顶点坐标为（0，0），
∴抛物线 y=3x2 向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到的抛物线的顶点坐标为（1，2），
∴平移后抛物线的解析式为 y=3（x﹣1）2+2．
故答案是：y=3（x﹣1）2+2．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：先把抛物线的解析式化为顶点式 y=a（x﹣k）2+h，第 15 页（共 33 页）
其中对称轴为直线 x=k，顶点坐标为（k，h），若把抛物线先右平移 m 个单位，向上平移 n 个单位，
则得到的抛物线的解析式为 y=a（x﹣k﹣m）2+h+n；抛物线的平移也可理解为把抛物线的顶点进行平
移．
14．如图，在△ABC 中，BC=4，以点 A 为圆心，2 为半径的⊙A 与 BC 相切于点 D，交 AB 于点 E，交 AC
于点 F，点 P 是⊙A 上的一点，且∠EPF=45°，则图中阴影部分的面积为 4﹣π ．
【考点】切线的性质；扇形面积的计算．
【分析】图中阴影部分的面积=S△ABC﹣S 扇形 AEF．由圆周角定理推知∠BAC=90°．
【解答】解：如图，连接 AD．
∵⊙A 与 BC 相切于点 D，
∴AD⊥BC．
∵∠EPF=45°，
∴∠BAC=2∠EPF=90°．
∴S 阴影=S△ABC﹣S 扇形 AEF= BC•AD﹣ = ×4×2﹣ =4﹣π．
故答案是：4﹣π．
【点评】本题考查了切线的性质与扇形面积的计算．求阴影部分的面积时，采用了“分割法”．
15．如图所示是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，图象过 A 点（3，0），对称轴为 x=1，给出四
个结论：①b2﹣4ac＞0；②2a+b=0；③a+b+c=0；④当 x=﹣1 或 x=3 时，函数 y 的值都等于 0．把正
确结论的序号填在横线上 ①②④ ．第 16 页（共 33 页）
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】计算题．
【分析】根据函数图象得出抛物线开口向下得到 a 小于 0，且抛物线与 x 轴交于两个点，得出根的
判别式大于 0，即选项①正确；对称轴为 x=1，利用对称轴公式列出关于 a 与 b 的关系式，整理后得
到 2a+b=0，选项②正确；由图象得出 x=1 时对应的函数值大于 0，将 x=1 代入抛物线解析式得出
a+b+c 大于 0，故选项③错误；由抛物线与 x 轴的一个交点为 A（3，0），根据对称轴为 x=1，利用
对称性得出另一个交点的横坐标为﹣1，从而得到 x=﹣1 或 x=3 时，函数值 y=0，选项④正确，即可
得出正确的选项序号．
【解答】解：由图象可知：抛物线开口向下，对称轴在 y 轴右侧，对称轴为 x=1，
与 y 轴交点在正半轴，与 x 轴有两个交点，
∴a＜0，b＞0，c＞0，b2﹣4ac＞0，选项①正确；
当 x=1 时，y=a+b+c＞0，选项③错误；
∵图象过 A 点（3，0），对称轴为 x=1，
∴另一个交点的横坐标为﹣1，即坐标为（﹣1，0），
又﹣ =1，∴2a+b=0，选项②正确；
∴当 x=﹣1 或 x=3 时，函数 y 的值都等于 0，选项④正确，
则正确的序号有①②④．
故答案为：①②④
【点评】此题考查了抛物线图象与系数的关系，其中 a 由抛物线的开口方向决定，a 与 b 同号对称
轴在 y 轴左边；a 与 b 异号对称轴在 y 轴右边，c 的符合由抛物线与 y 轴的交点在正半轴或负半轴有
关；抛物线与 x 轴的交点个数决定了根的判别式的正负，此外还要在抛物线图象上找出特殊点对应
函数值的正负来进行判断．
16．如图，已知直角△ACB，AC=3，BC=4，过直角顶点 C 作 CA1⊥AB，垂足为 A1，再过 A1 作 A1C1⊥BC第 17 页（共 33 页）
，垂足为 C1；过 C1 作 C1A2⊥AB，垂足为 A2，再过 A2 作 A2C2⊥BC，垂足为 C2；…，这样一直做下去，
得到一组线段 A1C1，A2C2…，则线段 AnCn 为 3×（ ）2n ．（用含有 n 的代数式表示）
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】规律型．
【分析】利用勾股定理求得 AB 的长，即可得 sinA= = ，在 Rt△ACA1 中 CA1=ACsinA=3× ，由∠
A+∠ACA1=90°、∠CA1C1+∠ACA1=90°得∠A=∠A1CC1，从而得出 A1C1=CA1•sinA=3×（ ）2，同理得
出 A2C2=3×（ ）4，据此可得出规律．
【解答】解：∵Rt△ABC 中，AC=3，BC=4，
∴AB= =5，
∴sinA= = ，
∵CA1⊥AB，
∴在 Rt△ACA1 中，CA1=ACsinA=3× ，
又∵∠A+∠ACA1=90°，∠CA1C1+∠ACA1=90°，
∴∠A=∠A1CC1，
∴A1C1=CA1•sinA=3×（ ）2，
同理可得 A2C2=3×（ ）4，
∴AnCn=3×（ ）2n，
故答案为：3×（ ）2n．
【点评】本题主要考查了勾股定理、直角三角形的性质、运用锐角三角函数表示未知的边及分析归
纳能力，关键是确定对应的锐角相等，确定边的对应关系，利用三角函数得出 A1C1、A2C2 的长，从第 18 页（共 33 页）
而总结出规律．
三、解答题．本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤
17．先化简 ÷（a+1）+ ，然后 a 在﹣1、1、2 三个数中任选一个合适的数代入求值
．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的 a 的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式= • +
= +
= ，
当 a=2（a≠﹣1，a≠1）时，原式= =5．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
18．一个袋中有 3 张形状大小完全相同的卡片，编号为 1，2，3，先任取一张，将其编号记为 m，再
从剩下的两张中任取一张，将其编号记为 n．
（1）请用树状图或者列表法，表示事件发生的所有可能情况；
（2）求关于 x 的方程 x2+mx+n=0 有两个不相等实数根的概率．
【考点】列表法与树状图法；根的判别式．
【专题】作图题；数形结合．
【分析】（1）2 步实验，第一步是 3 种情况，第 2 步是 2 种情况，据此列举出所有情况即可；
（2）找到使△＞0 的 m，n 的组数占总情况数的多少即可．
【解答】解：（1）依题意画出树状图（或列表）如下第 19 页（共 33 页）
（2）当 m2﹣4n＞0 时，关于 x 的方程 x2+mx+n=0 有两个不相等实数根，而使得 m2﹣4n＞0 的
m，n 有 2 组，即（3，1）和（3，2）．
则关于 x 的方程 x2+mx+n=0 有两个不相等实数根的概率是 ．
∴P（有两个不等实根）= ．
【点评】考查概率问题；找到关于 x 的方程 x2+mx+n=0 有两个不相等实数根的情况数是解决本题的
关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
四、本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
19．（2010•宁德）某校九年级（1）班所有学生参加 2010 年初中毕业生升学体育测试，根据测试评
分标准，将他们的成绩进行统计后分为 A、B、C、D 四等，并绘制成如图所示的条形统计图和扇形统
计图（未完成），请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）九年级（1）班参加体育测试的学生有 50 人；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，等级 B 部分所占的百分比是 40% ，等级 C 对应的圆心角的度数为 72° ；
（4）若该校九年级学生共有 850 人参加体育测试，估计达到 A 级和 B 级的学生共有 595 人．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【专题】图表型．第 20 页（共 33 页）
【分析】（1）由 A 等的人数和比例，根据总数=某等人数÷所占的比例计算；
（2）根据“总数=某等人数÷所占的比例”计算出 D 等的人数，总数﹣其它等的人数=C 等的人数；
（3）由总数=某等人数÷所占的比例计算出 B 等的比例，由总比例为 1 计算出 C 等的比例，对应的
圆心角=360°×比例；
（4）用样本估计总体．
【解答】（1）总人数=A 等人数÷A 等的比例=15÷30%=50 人；
（2）D 等的人数=总人数×D 等比例=50×10%=5 人，
C 等人数=50﹣20﹣15﹣5=10 人，
如图：
（3）B 等的比例=20÷50=40%，
C 等的比例=1﹣40%﹣10%﹣30%=20%，
C 等的圆心角=360°×20%=72°；
（4）估计达到 A 级和 B 级的学生数=（A 等人数+B 等人数）÷50×850=（15+20）÷50×850=595 人
．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问
题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
20．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边上的中线，E 是 AD 的中点，过点 A 作 AF∥BC 交 BE
的延长线于 F，连接 CF．
（1）求证：BD=AF；
（2）判断四边形 ADCF 的形状，并证明你的结论．第 21 页（共 33 页）
【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据 AAS 证△AFE≌△DBE，即可得出结论；
（2）利用（1）中全等三角形的对应边相等得到 AF=BD．结合已知条件，利用“有一组对边平行且
相等的四边形是平行四边形”得到 ADCF 是菱形，由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到
AD=DC，从而得出结论．
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E 是 AD 的中点，AD 是 BC 边上的中线，
∴AE=DE，BD=CD，
在△AFE 和△DBE 中， ，
∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴BD=AF；
（2）解：四边形 ADCF 是菱形；理由如下：
由（1）知，AF=DB．
∵DB=DC，
∴AF=CD．
∵AF∥BC，
∴四边形 ADCF 是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点，
∴AD=DC= BC，
∴四边形 ADCF 是菱形．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，主要考查
学生的推理能力．
第 22 页（共 33 页）
五、本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
21．（2011•泰安）某工厂的甲车间承担了加工 2100 个机器零件的任务，甲车间单独加工了 900 个
零件后，由于任务紧急，要求乙车间与甲车间同时加工，结果比原计划提前 12 天完成任务．已知乙
车间的工作效率是甲车间的 1.5 倍，求甲、乙两车间每天加工零件各多少个？
【考点】分式方程的应用．
【分析】先设甲车间每天加工零件 x 个，则乙车间每天加工零件 1.5x 个，由题意列分式方程即可得
问题答案．
【解答】解：设甲车间每天加工零件 x 个，则乙车间每天加工零件 1.5x 个．
根据题意，得 ，
解之，得 x=60，
经检验，x=60 是方程的解，符合题意，
1.5x=90．
答：甲乙两车间每天加工零件分别为 60 个、90 个．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题
的关键．本题需注意应设较小的量为未知数．
22．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，BC⊥AB，连接 OC，弦 AD∥OC，直线 CD 交 BA 的延长线于点 E．
（1）求证：直线 CD 是⊙O 的切线；
（2）若 DE=2BC，EA=4，求⊙O 的半径．
【考点】切线的判定．
【分析】（1）首选连接 OD，易证得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的对应角相等，求得∠
CDO=90°，即可证得直线 CD 是⊙O 的切线；
（2）由△COD≌△COB．可得 CD=CB，即可得 DE=2CD，易证得△EDA∽△ECO，然后由相似三角形的对
应边成比例，列方程即可得到结论．
【解答】（1）证明：连结 DO．第 23 页（共 33 页）
∵AD∥OC，
∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．
又∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO，
∴∠COD=∠COB．
在△COD 和△COB 中，
，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠CDO=∠CBO=90°．
又∵点 D 在⊙O 上，
∴CD 是⊙O 的切线；
（2）解：∵△COD≌△COB．
∴CD=CB．
∵DE=2BC，
∴ED=2CD．
∵AD∥OC，
∴△EDA∽△ECO．
∴ ，
∴OE=6，
∴AO=2，
∴⊙O 的半径=2．
【点评】此题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．此题难
度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．第 24 页（共 33 页）
23．如图，飞机的飞行高度为 2500 米，在 A 点处测得某电视塔尖点 C 的俯角为 30°，保持方向不
变前进 1200 米到达 B 点时测得该电视塔尖点 C 的俯角为 45°．请计算电视塔的高度（结果保留整
数， ≈1.414， ≈1.732）
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】易得 BC=CF，那么利用 30°的正切值即可求得 CF 长．
【解答】解：过 C 作 CF⊥AB 交 AB 的延长线于 F，
∵∠BCF=90°，∠FBC=45°，
∴BC=CF，
∵∠CAF=30°，
∴tan 30°= = = ，
解得 CF=600 +600（m）．
∴电视塔的高度=2500﹣（600 +600）≈861m，
答：电视塔的高度约为 861 米．
【点评】此题考查了考查俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意
方程思想与数形结合思想的应用．
六、本大题共 1 小题，共 10 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
24．（2009•安徽）已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图 1 所示．
（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义；
（2）写出批发该种水果的资金金额 w（元）与批发量 m（kg）之间的函数关系式；在图 2 的坐标系
中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果；
（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图 3 所示，该经销商
拟每日售出 60kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使第 25 页（共 33 页）
得当日获得的利润最大．
【考点】二次函数的应用；一次函数的应用．
【专题】压轴题．
【分析】（1）（2）中要注意变量的不同的取值范围；
（3）可根据图中给出的信息，用待定系数的方法来确定函数．然后根据函数的特点来判断所要求的
值．
【解答】解：（1）图①表示批发量不少于 20kg 且不多于 60kg 的该种水果，
可按 5 元/kg 批发，
图②表示批发量高于 60kg 的该种水果，可按 4 元/kg 批发；
（2）由题意得： ，
函数图象如图所示．
由图可知批发量超过 60 时，价格在 4 元中，
所以资金金额满足 240＜w≤300 时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果；
（3）设日最高销售量为 xkg（x＞60），日零售价为 p，
设 x=pk+b，则由图②该函数过点（6，80），（7，40），第 26 页（共 33 页）
代入可得：x=320﹣40p，于是 p=
销售利润 y=x（ ﹣4）=﹣ （x﹣80）2+160
当 x=80 时，y 最大值=160，
此时 p=6，
即经销商应批发 80kg 该种水果，日零售价定为 6 元/kg，
当日可获得最大利润 160 元．
【点评】主要考查分段函数、一次函数、二次函数的性质和应用，难点在于分段函数不熟．
七、本大题共 1 小题，共 12 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
25．如图，正方形 ABCD，点 P 在射线 CB 上运动（不包含点 B、C），连接 DP，交 AB 于点 M，作 BE⊥
DP 于点 E，连接 AE，作∠FAD=∠EAB，FA 交 DP 于点 F．
（1）如图 a，当点 P 在 CB 的延长线上时，
①求证：DF=BE；
②请判断 DE、BE、AE 之间的数量关系并证明；
（2）如图 b，当点 P 在线段 BC 上时，DE、BE、AE 之间有怎样的数量关系？请直接写出答案，不必
证明；
（3）如果将已知中的正方形 ABCD 换成矩形 ABCD，且 AD：AB= ：1，其他条件不变，当点 P 在射
线 CB 上时，DE、BE、AE 之间又有怎样的数量关系？请直接写出答案，不必证明．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）①由正方形的性质得到 AD=AB，∠BAD=90°，判断出△ABE≌△ADF，即可；②由①得
到△ABE≌△ADF，并且判断出△EAF 为直角三角形，用勾股定理即可；
（2）先由正方形的性质和已知条件判断出△ABE≌△ADF，再用判断出△EAF 为直角三角形，用勾股
定理即可；
（3）分两种情况讨论，先由正方形的性质和已知条件判断出△ABE∽△ADF，AF= AE，DF= BE，第 27 页（共 33 页）
得出再用判断出△EAF 为直角三角形，用勾股定理和图形的结论．
【解答】证明：（1）①正方形 ABCD 中，AD=AB，∠ADM+∠AMD=90°
∵BE⊥DP，
∴∠EBM+∠BME=90°，
∵∠AMD=∠BME，
∴∠EBM=∠ADM，
在△ABE 和△ADF 中，
，
∴△ABE≌△ADF，
∴DF=BE；
②DE=BE+ AE，
理由：由（1）有△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，∠BAE=∠DAF，
∴∠BAE+∠FAM=∠DAF+∠FAM，
∴∠EAF=∠BAD=90°，
∴EF= AE，
∵DE=DF+EF，
∴DE=BE+ AE；
（2）DE= AE﹣BE；
理由：正方形 ABCD 中，AD=AB，∠BAD=∠BAE+∠DAE=90°，
∵∠FAD=∠EAB，
∴∠EAF=∠BAD=90°，
∴∠AFE+∠AEF=90°
∵BE⊥DP，
∴∠BEA+∠AEF=90°，
∴∠BEA=∠AFE，
∵∠FAD=∠EAB，AD=AB
∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，BE=DF第 28 页（共 33 页）
∵∠EAF=90°
∴EF= AE，
∵EF=DF+DE= AE，
∴DE= AE﹣DF= AE﹣BE；
（3）DE=2AE+ BE 或 DE=2AE﹣ BE．
①如图 1 所示时，
正方形 ABCD 中，∠ADM+∠AMD=90°
∵BE⊥DP，
∴∠EBM+∠BME=90°，
∵∠AMD=∠BME，
∴∠EBM=∠ADM，
∵∠FAD=∠EAB
∴△ABE∽△ADF，
∴ = ，
∵AD：AB= ：1，
∴ = ，
∴AF= AE，DF= BE
∵∠FAD=∠EAB
∴∠EAF=∠EAB+∠BAF=∠FAD+∠BAF=∠BAD=90°，
∴EF= =2AE=DE﹣DF=DE﹣ BE，
即：DE=2AE+ BE；
②如图 2 所示，第 29 页（共 33 页）
∵∠DAF=∠BAE，
∴∠EAF=∠BAD=90°，
∵∠DAF=∠BAE，
∴△BAE∽△DAF，
∴ ，
∵AD：AB= ：1，
∴ ，
∴AF= AE，DF= BE，
∵∠EAF=90°，
根据勾股定理得，EF= =2AE=DE+DF=DE+ BE，
∴DE=2AE﹣ BE．
【点评】此题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质和判
定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是用勾股定理得到线段的关系．
八、本大题共 1 小题，共 14 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
26．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=3，将∠ABC 对折，使点 C 的对应点 H 恰好落在直线
AB 上，折痕交 AC 于点 O，以点 O 为坐标原点，AC 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，抛物线经
过 A、B、O 三点．
（1）求 A、B、O 三点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若在抛物线上有一点 E，在对称轴上有一点 F，
①求△OBF 的周长取得最小值时的点 F 的坐标；
②以 O、A、E、F 为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，直接写出点 E 的坐标；若不能，请说
明理由．第 30 页（共 33 页）
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）设 OC=x，则 OH=x，OA=4﹣x，根据翻折的性质结合勾股定理即可得出关于 x 的一元二
次方程，解方程求出 x 值，由此即可得出点 A、B、O 的坐标；
（2）根据点 A、O 的坐标可设抛物线的解析式为 y=ax•（x+ ），代入点 B 的坐标即可求出 a 值，从
而得出抛物线的解析式；
（3）①根据抛物线的对称性即可得出当点 F 为直线 AB 与抛物线对称轴的交点时，△OBF 的周长取
得最小值，根据点 A、B 的坐标利用待定系数法求出直线 AB 的解析式，再利用配方法找出抛物线的
对称轴，将其代入直线 AB 的解析式中即可得出点 F 的坐标；
②假设能，分以 OA 为对角线和边两种情况来考虑，画出图形，利用数形结合结合平行四边形的性质
即可得出点 F 的坐标．
【解答】解：（1）设 OC=x，则 OH=x，OA=4﹣x．
由翻折的性质可知：BH=BC=3，∠BHO=∠BCO=90°，
∴AH=AB﹣BH= ﹣3=2．
在 Rt△AHO 中，∠AHO=90°，
∴AO2=AH2+OH2，即（4﹣x）2=x2+22，
解得：x= ，
∴4﹣x= ，
∴点 A（﹣ ，0），点 B（ ，3），点 O（0，0）．
（2）设抛物线的解析式为 y=ax•（x+ ），
把 B（ ，3）代入得：3=a× ×（ + ）=6a，
解得：a= ，第 31 页（共 33 页）
∴抛物线的解析式为 y= x（x+ ）= x2+ x．
（3）①∵点 O、A 关于抛物线的对称轴对称，
∴当点 F 为直线 AB 与抛物线对称轴的交点时，△OBF 的周长取得最小值．
∵y= x2+ x= ﹣ ，
∴抛物线的对称轴为 x=﹣ ．
设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，
则 ，解得： ，
∴直线 AB 的解析式为 y= x+ ．
当 x=﹣ 时，y= ×（﹣ ）+ = ，
∴△OBF 的周长取得最小值时的点 F 的坐标为（﹣ ， ）．
②假设能，设点 F 的坐标为（m， m2+ m）．
以 O、A、E、F 为顶点的平行四边形有两种情况（如图所示）：
（i）当 OA 为对角线时，点 F 为抛物线的顶点，
此时点 F 的坐标为（﹣ ，﹣ ）；
（ii）当 OA 为边时，
∵A（﹣ ，0），O（0，0），
∴|m+ |=0﹣（﹣ ），解得：m= 或 m=﹣ ，
此时点 F 的坐标为（ ， ）或（﹣ ， ）．
综上可知：以 O、A、E、F 为顶点的四边形可以成为平行四边形，点 E 的坐标为（﹣ ，﹣ ）、（
， ）或（﹣ ， ）．第 32 页（共 33 页）
【点评】本题考查了勾股定理、待定系数法求函数解析式以及平行四边形的性质，解题的关键是：（
1）根据勾股定理找出关于 x 的方程；（2）利用待定系数法求出函数解析式；（3）①找出点 F 的位
置；②分 OA 为对角线和边两种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点
的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
第 33 页（共 33 页）
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