泉州市洛江区2016年中考数学模拟试卷含答案解析.doc

第 1 页（共 27 页） 2016 年福建省泉州市洛江区中考数学模拟试卷 　 一、选择题（每小题 3 分，共 21 分.）每小题有四个答案，其中有且只有一个答 案是正确的，请在答题卡上相应题目的答题区域内作答，答对的得 3 分，答错 或不答的一律得 0 分. 1．计算 2﹣3 的结果是（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5 2．下列计算正确的是（　　） A．a+2a=3a2 B．a2•a3=a5 C．a3÷a=3 D．（﹣a）3=a3 3．下面四个几何体中，其左视图为圆的是（　　） A． B． C． D． 4．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人 10 次射击的平均成绩恰好是 9.4 环， 方差分别是 S 甲 2=0.90，S 乙 2=1.22，S 丙 2=0.43，S 丁 2=1.68，在本次射击测试中， 成绩最稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（　　） A．中线 B．角平分线 C．高 D．中位线 6．如图．在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，下列说法错误的是（　　） A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OC 7．二次函数 y=a（x+m）2+n 的图象如图，则一次函数 y=mx+n 的图象经过（　　）第 2 页（共 27 页） A．二、三、四象限 B．一、二、四象限 C．一、三、四象限 D．一、二、三象限 　 二、填空题（每小题 4 分，共 40 分）在答题卡上相应题目的答题区域内作答. 8．计算 =　　． 9．地球绕太阳每小时转动经过的路程约为 110000 千米，将 110000 用科学记数 法表示为　　． 10．分解因式：2x2﹣8=　　． 11．化简： + =　　． 12．不等式组 的解集是　　． 13．如图，一个 60°角的三角形纸片，剪去这个 60°角后，则∠1+∠2 的度数 为　　． 14．如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则 sinA 的值为　　． 15．如图，在⊙O 中，点 C 在圆周上，∠ACB=45°，则∠AOB=　　度．第 3 页（共 27 页） 16．将△ABC 绕着点 C 顺时针方向旋转 50°后得到△A′B′C′．若∠A=40°，∠ B′=110°，则∠BCA′的度数是　　． 17．如图，线段 AB 的长为 10cm，点 D 在 AB 上，△ACD 为等边三角形，过点 D 作 DP⊥CD，点 G 是 DP 上不与点 D 重合的一动点，作矩形 CDGH．记矩形 CDGH 的对角线交点为 O，连接 OA、OB， （1）∠OAB=　　度； （2）线段 BO 的最小值为　　cm． 　 三、解答题（共 89 分）在答题卡上相应题目的答题区域内作答. 18．计算：|﹣3|+ •tan30°﹣ ﹣0． 19．先化简，再求值：（x﹣1）2+x（x+2），其中 x= ． 20．如图，∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，AB=AC．求证：BD=CE．第 4 页（共 27 页） 21．有三张正面分别标有数字：﹣1，1，2 的卡片，它们除数字不同外其余全部 相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽出一张记下数字，放回洗匀后再从中随 机抽出一张记下数字． （1）请用列表或画树形图的方法（只选其中一种），表示两次抽出卡片上的数字 的所有结果； （2）若第一次抽出的数字为 x，第二次抽出的数字为 y，求点（x，y）落在双曲 线 y= 上的概率． 22．某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动．“放飞梦想”读 书小组协助老师随机抽取本校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别（图书分 为文学类、艺体类、科普类、其他等四类），并将调查结果绘制成如下两幅不完 整的统计图（如图），请你结合图中的信息解答下列问题： （1）求被调查的学生人数； （2）补全条形统计图； （3）已知该校有 1200 名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人？ 23．如图所示，等边三角形 ABC 放置在平面直角坐标系中，已知 A（0，0）、B （6，0），反比例函数的图象经过点 C． （1）求点 C 的坐标及反比例函数的解析式． （2）将等边△ABC 向上平移 n 个单位，使点 B 恰好落在双曲线上，求 n 的值．第 5 页（共 27 页） 24．某工厂生产的 A 种产品，它的成本是 2 元，售价是 3 元，年销量为 100 万 件，为了获得更好的效益，厂家准备拿出一定的资金做广告；根据统计，每年投 入的广告费是 x（十万元），产品的年销量将是原销售量的 y 倍，且 y 是 x 的二次 函数，它们的关系如表： x（十万元） 0 1 2 y 1 1.5 1.8 （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）如果把利润看成销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润 S（十万元） 与广告费 x（十万元的函数关系式）； （3）如果投入的年广告费为 10 万元～30 万元，问广告费在什么范围内，工厂 获得的利润最大？最大利润是多少？ 25．问题背景 （1）如图，△ABC 中，DE∥BC 分别交 AB，AC 于 D，E 两点，过点 E 作 EF∥AB 交 BC 于点 F．请按图示数据填空：四边形 DBFE 的面积 S=　　，△EFC 的面积 S1=　　，△ADE 的面积 S2=　　 探究发现 （2）在（1）中，若 BF=a，FC=b，DE 与 BC 间的距离为 h．请证明 S2=4S1S2． 拓展迁移 （3）如图，▱DEFG 的四个顶点在△ABC 的三边上，若△ADG、△DBE、△GFC 的 面积分别为 2、5、3，试利用（2）中的结论求△ABC 的面积．第 6 页（共 27 页） 26．如图，已知抛物线 y=ax2﹣3ax﹣4a（a≠0）与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，∠ACB=90°，点 D 的坐标为（0，3） （1）求 A、B、C 的坐标及 a 的值； （2）直线 l 经过点 D，与抛物线交于 M、N，若 MN2=DM•DN，求直线 l 的解析 式； （3）过点 D 作直线 DH⊥OD，P 为直线 DH 上的一动点．是否存在点 P，使 sin∠ OPB 的值最大？若存在，求出此时 sin∠OPB 的值；若不存在，请说明理由． 　第 7 页（共 27 页） 2016 年福建省泉州市洛江区中考数学模拟试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题（每小题 3 分，共 21 分.）每小题有四个答案，其中有且只有一个答 案是正确的，请在答题卡上相应题目的答题区域内作答，答对的得 3 分，答错 或不答的一律得 0 分. 1．计算 2﹣3 的结果是（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5 【考点】有理数的减法． 【分析】减去一个数等于加上这个数的相反数，再运用加法法则求和． 【解答】解：2﹣3=2+（﹣3）=﹣1． 故选 B． 　 2．下列计算正确的是（　　） A．a+2a=3a2 B．a2•a3=a5 C．a3÷a=3 D．（﹣a）3=a3 【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘 方． 【分析】根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相 除，底数不变指数相减；幂的乘方的性质对各选项分析判断后利用排除法求 解． 【解答】解：A、a+2a=3a，故本选项错误； B、a2•a3=a2+3=a5，故本选项正确； C、a3÷a=a3﹣1=a2，故本选项错误； D、（﹣a）3=﹣a3，故本选项错误． 故选 B． 　 3．下面四个几何体中，其左视图为圆的是（　　）第 8 页（共 27 页） A． B． C． D． 【考点】简单几何体的三视图． 【分析】分别分析四个选项的左视图，从而得出是圆的几何体． 【解答】解：A、圆柱的左视图是矩形，不符合题意； B、三棱锥的左视图是三角形，不符合题意； C、球的左视图是圆，符合题意； D、长方体的左视图是矩形，不符合题意． 故选 C． 　 4．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人 10 次射击的平均成绩恰好是 9.4 环， 方差分别是 S 甲 2=0.90，S 乙 2=1.22，S 丙 2=0.43，S 丁 2=1.68，在本次射击测试中， 成绩最稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【考点】方差． 【分析】根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，故由甲乙丙丁的方差可直 接作出判断． 【解答】解：∵0.43＜0.90＜1.22＜1.68， ∴丙成绩最稳定， 故选：C． 　 5．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（　　） A．中线 B．角平分线 C．高 D．中位线 【考点】三角形的面积；三角形的角平分线、中线和高． 【分析】根据等底等高的三角形的面积相等解答． 【解答】解：∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形， ∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分． 故选 A．第 9 页（共 27 页） 　 6．如图．在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，下列说法错误的是（　　） A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OC 【考点】菱形的性质． 【分析】根据菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、菱形的对边平行且相等，所以 AB∥DC，故 A 选项正确； B、菱形的对角线不一定相等，故 B 选项错误； C、菱形的对角线一定垂直，AC⊥BD，故 C 选项正确； D、菱形的对角线互相平分，OA=OC，故 D 选项正确． 故选：B． 　 7．二次函数 y=a（x+m）2+n 的图象如图，则一次函数 y=mx+n 的图象经过（　　） A．二、三、四象限 B．一、二、四象限 C．一、三、四象限 D．一、二、三象限 【考点】二次函数的性质；一次函数图象与系数的关系． 【分析】根据抛物线的顶点在第四象限，得出 n＜0，m＜0，即可得出一次函数 y=mx+n 的图象经过二、三、四象限． 【解答】解：∵抛物线的顶点（﹣m，n）在第四象限， ∴﹣m＞0，n＜0，第 10 页（共 27 页） ∴m＜0， ∴一次函数 y=mx+n 的图象经过二、三、四象限， 故选 A． 　 二、填空题（每小题 4 分，共 40 分）在答题卡上相应题目的答题区域内作答. 8．计算 =　5　． 【考点】二次根式的乘除法． 【分析】依据二次根式的乘法和除法法则计算即可． 【解答】解：原式= =（ ）2=5． 故答案为：5． 　 9．地球绕太阳每小时转动经过的路程约为 110000 千米，将 110000 用科学记数 法表示为　1.1×105　． 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整 数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与 小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：110000=1.1×105， 故答案为：1.1×105． 　 10．分解因式：2x2﹣8=　2（x+2）（x﹣2）　． 【考点】因式分解-提公因式法． 【分析】观察原式，找到公因式 2，提出即可得出答案． 【解答】解：2x2﹣8=2（x+2）（x﹣2）． 　 11．化简： + =　1　． 【考点】分式的加减法．第 11 页（共 27 页） 【分析】原式利用同分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果． 【解答】解：原式= =1， 故答案为：1． 　 12．不等式组 的解集是　 ＜x＜2　． 【考点】解一元一次不等式组． 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【解答】解： ，由①得，x＞ ；由②得，x＜1， 故此不等式组的解集为： ＜x＜2． 故答案为： ＜x＜2． 　 13．如图，一个 60°角的三角形纸片，剪去这个 60°角后，则∠1+∠2 的度数为　 240°　． 【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理． 【分析】先求出三角形另外两个角的度数和，然后用四边形的内角和减去这两个 角的度数和即为∠1+∠2 的度数． 【解答】解：由题意可得， ∠1+∠2=360°﹣=240°． 故答案为：240°． 　 14．如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则 sinA 的值为　 　．第 12 页（共 27 页） 【考点】勾股定理；三角形的面积；锐角三角函数的定义． 【分析】连接CE，求出 CE⊥AB，根据勾股定理求出 CA，在 Rt△AEC 中，根据锐 角三角函数定义求出即可． 【解答】解： 连接 CE， ∵根据图形可知 DC=1，AD=3，AC= = ， BE=CE= = ，∠EBC=∠ECB=45°， ∴CE⊥AB， ∴sinA= = = ， 故答案为： ． 　 15．如图，在⊙O 中，点 C 在圆周上，∠ACB=45°，则∠AOB=　90　度． 【考点】圆周角定理． 【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论． 【解答】解：∵∠ACB 与∠AOB 是同弧所对的圆周角与圆心角，∠ACB=45°， ∴∠AOB=2∠ACB=90°． 故答案为：90． 　第 13 页（共 27 页） 16．将△ABC 绕着点 C 顺时针方向旋转 50°后得到△A′B′C′．若∠A=40°，∠B′=110°， 则∠BCA′的度数是　80°　． 【考点】旋转的性质． 【分析】首先根据旋转的性质可得：∠A′=∠A，∠A′CB′=∠ACB，即可得到∠ A′=40°，再有∠B′=110°，利用三角形内角和可得∠A′CB′的度数，进而得到∠ACB 的度数，再由条件将△ABC 绕着点 C 顺时针旋转 50°后得到△A′B′C′可得∠ ACA′=50°，即可得到∠BCA′的度数． 【解答】解：根据旋转的性质可得：∠A′=∠A，∠A′CB′=∠ACB， ∵∠A=40°， ∴∠A′=40°， ∵∠B′=110°， ∴∠A′CB′=180°﹣110°﹣40°=30°， ∴∠ACB=30°， ∵将△ABC 绕着点 C 顺时针旋转 50°后得到△A′B′C′， ∴∠ACA′=50°， ∴∠BCA′=30°+50°=80°， 故答案是：80°． 　 17．如图，线段 AB 的长为 10cm，点 D 在 AB 上，△ACD 为等边三角形，过点 D 作 DP⊥CD，点 G 是 DP 上不与点 D 重合的一动点，作矩形 CDGH．记矩形 CDGH 的对角线交点为 O，连接 OA、OB， （1）∠OAB=　30　度； （2）线段 BO 的最小值为　5　cm．第 14 页（共 27 页） 【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形． 【分析】（1）如图 1，根据矩形对角线相等且互相平分得：OC=OD，再证明△ACO ≌△ADO，则∠OAB=30°； （2）如图 2，点 O 一定在∠CAB 的平分线上运动，根据垂线段最短得：当 OB⊥ AO 时，OB 的长最小，根据直角三角形 30 度角所对的直角边是斜边的一半得出 结论． 【解答】解：（1）如图 1，∵四边形 CDGH 是矩形， ∴CG=DH，OC= CG，OD= DH， ∴OC=OD， ∵△ACD 是等边三角形， ∴AC=AD，∠CAD=60°， ∵OA=OA， ∴△ACO≌△ADO， ∴∠OAB=∠CAO= ×60°=30°， 故答案为：30； （2）如图 2，由（1）可知：点 O 一定在∠CAB 的平分线上运动，所以当 OB⊥AO 时，OB 的长最小， ∵∠OAB=30°，∠AOB=90°， ∴OB= AB= ×10=5， 即 OB 的最小值为 5cm， 故答案为：5．第 15 页（共 27 页） 　 三、解答题（共 89 分）在答题卡上相应题目的答题区域内作答. 18．计算：|﹣3|+ •tan30°﹣ ﹣0． 【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值． 【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简3 个考点．在计算时，需 要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【解答】解：原式=3+ ﹣2﹣1 =3+1﹣2﹣1 =1． 　 19．先化简，再求值：（x﹣1）2+x（x+2），其中 x= ． 【考点】整式的混合运算—化简求值． 【分析】原式第一项利用完全平方公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计 算，去括号合并得到最简结果，将 x 的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式=x2﹣2x+1+x2+2x=2x2+1， 当 x= 时，原式=4+1=5． 　第 16 页（共 27 页） 20．如图，∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，AB=AC．求证：BD=CE． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】先根据∠BAC=∠DAE 得出∠BAD=∠CAE，再根据全等三角形的判定得出 △ABD≌△ACE，解答即可． 【解答】证明：∵∠BAC=∠DAE ∴∠BAD=∠CAE ∵∠ABD=∠ACE，AB=AC ∵在△ABD 与△ACE 中， ∴△ABD≌△ACE（ASA） ∴BD=CE． 　 21．有三张正面分别标有数字：﹣1，1，2 的卡片，它们除数字不同外其余全部 相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽出一张记下数字，放回洗匀后再从中随 机抽出一张记下数字． （1）请用列表或画树形图的方法（只选其中一种），表示两次抽出卡片上的数字 的所有结果； （2）若第一次抽出的数字为 x，第二次抽出的数字为 y，求点（x，y）落在双曲 线 y= 上的概率． 【考点】列表法与树状图法；反比例函数图象上点的坐标特征． 【分析】（1）画树状图展示所有 9 种等可能的结果数； （2）根据反比例函数图象上点的坐标特征找出点（x，y）落在双曲线 y= 上的 结果数，然后根据概率公式求解．第 17 页（共 27 页） 【解答】解：（1）画树状图为： 共有 9 种等可能的结果数； （2）点（x，y）落在双曲线 y= 上的结果数为 2， 所以点（x，y）落在双曲线 y= 上的概率= ． 　 22．某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动．“放飞梦想”读 书小组协助老师随机抽取本校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别（图书分 为文学类、艺体类、科普类、其他等四类），并将调查结果绘制成如下两幅不完 整的统计图（如图），请你结合图中的信息解答下列问题： （1）求被调查的学生人数； （2）补全条形统计图； （3）已知该校有 1200 名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人？ 【考点】条形统计图． 【分析】（1）根据科普类的人数和所占的百分比求出被调查的总人数； （2）用总人数减去文学类、科普类和其他的人数，求出艺体的人数，从而补全 统计图； （3）用该校的总人数乘以喜爱文学类图书的学生所占的百分比即可． 【解答】解：（1）被调查的学生人数为：12÷20%=60（人）；第 18 页（共 27 页） （2）喜欢艺体类的学生数为：60﹣24﹣12﹣16=8（人），如图所示： （3）全校最喜爱文学类图书的学生约有：1200× =480（人）． 　 23．如图所示，等边三角形 ABC 放置在平面直角坐标系中，已知 A（0，0）、B （6，0），反比例函数的图象经过点 C． （1）求点 C 的坐标及反比例函数的解析式． （2）将等边△ABC 向上平移 n 个单位，使点 B 恰好落在双曲线上，求 n 的值． 【考点】反比例函数综合题． 【分析】（1）过 C 点作 CD⊥x 轴，垂足为 D，设反比例函数的解析式为 y= ，根 据等边三角形的知识求出 AC 和 CD 的长度，即可求出 C 点的坐标，把 C 点坐标 代入反比例函数解析式求出 k 的值． （2）若等边△ABC 向上平移 n 个单位，使点 B 恰好落在双曲线上，则此时 B 点 的横坐标即为 6，求出纵坐标，即可求出 n 的值． 【解答】解：（1）过 C 点作 CD⊥x 轴，垂足为 D，设反比例函数的解析式为 y= ，第 19 页（共 27 页） ∵△ABC 是等边三角形， ∴AC=AB=6，∠CAB=60°， ∴AD=3，CD=sin60°×AC= ×6=3 ， ∴点 C 坐标为（3，3 ）， ∵反比例函数的图象经过点 C， ∴k=9 ， ∴反比例函数的解析式 y= ； （2）若等边△ABC 向上平移 n 个单位，使点 B 恰好落在双曲线上， 则此时 B 点的横坐标为 6， 即纵坐标 y= = ，也是向上平移 n= ． 　 24．某工厂生产的 A 种产品，它的成本是 2 元，售价是 3 元，年销量为 100 万 件，为了获得更好的效益，厂家准备拿出一定的资金做广告；根据统计，每年投 入的广告费是 x（十万元），产品的年销量将是原销售量的 y 倍，且 y 是 x 的二次 函数，它们的关系如表： x（十万元） 0 1 2 y 1 1.5 1.8 （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）如果把利润看成销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润 S（十万元） 与广告费 x（十万元的函数关系式）； （3）如果投入的年广告费为 10 万元～30 万元，问广告费在什么范围内，工厂 获得的利润最大？最大利润是多少？ 【考点】二次函数的应用．第 20 页（共 27 页） 【分析】（1）根据题意可求出 y 与 x 的二次函数关系式． （2）根据题意可知 S=（3﹣2）×100y÷10﹣x=﹣x2+5x+10； （3）根据解析式求最值即可． 【解答】解：（1）设 y 与 x 的函数关系式为 y=ax2+bx+c， 由题意得： ， 解得： ， ∴y 与 x 的函数关系式为：y=﹣0.1x2+0.6x+1； （2）∵利润=销售总额减去成本费和广告费， ∴S=（3﹣2）×100y÷10﹣x=﹣x2+5x+10； （3）S=﹣x2+5x+10=﹣（x﹣2.5）2+16.25， 当 x=2.5 时，函数有最大值．所以 x＜2.5 是函数的递增区间， 由于 1≤x≤3，所以 1≤x≤2.5 时，S 随 x 的增大而增大． ∴x=2.5 时利润最大，最大利润为 16.25（十万元）． 　 25．问题背景 （1）如图，△ABC 中，DE∥BC 分别交 AB，AC 于 D，E 两点，过点 E 作 EF∥AB 交 BC 于点 F．请按图示数据填空：四边形 DBFE 的面积 S=　6　，△EFC 的面积 S1=　 9　，△ADE 的面积 S2=　1　 探究发现 （2）在（1）中，若 BF=a，FC=b，DE 与 BC 间的距离为 h．请证明 S2=4S1S2． 拓展迁移 （3）如图，▱DEFG 的四个顶点在△ABC 的三边上，若△ADG、△DBE、△GFC 的 面积分别为 2、5、3，试利用（2）中的结论求△ABC 的面积．第 21 页（共 27 页） 【考点】四边形综合题． 【分析】（1）根据平行四边形面积公式、三角形面积公式，相似三角形的性质即 可解决问题． （2）根据平行四边形面积公式、三角形面积公式，相似三角形的性质，分别求 出 S1、S2 即可解决问题． （3）过点 G 作 GH∥AB 交 BC 于 H，则四边形 DBHG 为平行四边形，利用（2） 的结论求出□DBHG 的面积，△GHC 的面积即可． 【解答】解：（1）∵DE∥BC，EF∥AB， ∴四边形 DBFE 是平行四边形， ∴S=2×3=6，S1= ×6×3=9， ∴∠AED=∠C，∠A=∠CEF ∴△ADE∽△EFC ∴ =（ ）2= ， ∴S2=1， 故答案为 6，9，1． （2）证明：∵DE∥BC，EF∥AB ∴四边形 DBFE 为平行四边形， ∴∠AED=∠C，∠A=∠CEF ∴△ADE∽△EFC． ∴ =（ ）2= ， ∵S1= bh，第 22 页（共 27 页） ∴S2= ×S1= ， ∴4S1S2=4× bh× =（ah）2 而 S=ah， ∴S2=4S1S2． （3）解：过点 G 作 GH∥AB 交 BC 于 H，则四边形 DBHG 为平行四边形． ∴∠GHC=∠B，BD=HG，DG=BH， ∵四边形 DEFG 为平行四边形， ∴DG=EF． ∴BH=EF． ∴BE=HF， ∴△DBE≌△GHF． ∴△GHC 的面积为 5+3=8． 由（2）得，□DBHG 的面积为 =8， ∴△ABC 的面积为 2+8+8=18． 　 26．如图，已知抛物线 y=ax2﹣3ax﹣4a（a≠0）与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，∠ACB=90°，点 D 的坐标为（0，3） （1）求 A、B、C 的坐标及 a 的值； （2）直线 l 经过点 D，与抛物线交于 M、N，若 MN2=DM•DN，求直线 l 的解析 式； （3）过点 D 作直线 DH⊥OD，P 为直线 DH 上的一动点．是否存在点 P，使 sin∠ OPB 的值最大？若存在，求出此时 sin∠OPB 的值；若不存在，请说明理由．第 23 页（共 27 页） 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）令 y=0，即可求出点 A、B 坐标，再求出点 C 坐标代入抛物线解析 式即可求出 a． （2）如图 1，作 ME⊥AB 于点 E，NF⊥AB 于点 F，则 ME∥NF，设直线 l 的解析 式为 y=kx+3（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），列出方程组消去 y，根据根与系 数关系以及 EF2=OE•OF，列出方程即可解决问题． （3）法一：存在点 P，使 sin∠OPB 的值最大，当 QP⊥DH 时，QP 最小，此时⊙ Q 与 DH 相切于点 P（如图 3），求出 OQ 即可． 法二：存在点 P，使 sin∠OPB 的值最大，如图 4，作 OB 的中垂线 PG⊥OB，交 DH 于 P，交 OB 于 G，则△OPB 的外接圆⊙Q 切 DH 于 P，此时∠OPB 最大，求出 OQ 即可． 【解答】解：（1）令 y=0，得 ax2﹣3ax﹣4a=0 ∴x1=﹣1，x2=4 ∴A（﹣1，0）、B（4，0） ∵OC⊥AB，AC⊥BC ∴OC2=OA•OB=4 ∴OC=2 ∴C（0，2），代入 y=ax2﹣3ax﹣4a 得 a=﹣ ． （2）如图 1，作 ME⊥AB 于点 E，NF⊥AB 于点 F，则 ME∥NF， ∴ = ， = ， 又 MN2=DM•DN ∴EF2=OE•OF，设直线 l 的解析式为 y=kx+3（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），第 24 页（共 27 页） 由 消去 y 得 x2﹣（3﹣2k）x+2=0， ∴x1+x2=3﹣2k，x1x2=2， ∵（x1﹣x2）2=x1x2， ∴（x1+x2）2=5x1x2， ∴（3﹣2k）2=10， ∴k= ， ∴直线 l 的解析式为：y= x+3 或 y= x+3， （3）法一：存在点 P，使 sin∠OPB 的值最大， 如图 2，设∠POB 的外接圆为⊙Q，QG 是弦心距，则∠OQG=∠OPB， 在 Rt△OQG 中，OG 为定值， 当⊙Q 的半径最小时，∠BOG 最大， 当 QP⊥DH 时，QP 最小，此时⊙Q 与 DH 相切于点 P（如图 3）， 由 OQ2=OG2+QG2，得 OQ2=22+（3﹣OQ）2， 解得 OQ= ， ∴sin∠OPB= ，= ． 法二：存在点 P，使 sin∠OPB 的值最大， 如图 4，作 OB 的中垂线 PG⊥OB，交 DH 于 P，交 OB 于 G，则△OPB 的外接圆⊙ Q 切 DH 于 P， 设点 P′是 DH 边上不同于点 P 的另一点，BP′交⊙Q 于 K，连接 P′B， ∵∠OPB=∠OKB，∠OKB＞∠OP'B， ∴∠OPB＞OP'B，即∠OPB 最大； 在 Rt△PBG 中，PB= = ， 作 OT⊥PB 于点 T，由 S△OPB= OB•PG= PB•OT， 得 OT= ，第 25 页（共 27 页） ∴sin∠OPB= = ．第 26 页（共 27 页） 　第 27 页（共 27 页） 2017 年 2 月 18 日