梧州市岑溪市2016年中考数学模拟试卷含答案解析.doc

第 1 页（共 26 页） 2016 年广西梧州市岑溪市中考数学一模试卷 　 一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分） 1．4 的平方根是（　　） A．﹣2 B．2 C．±2 D．4 2．计算（a3）2 的结果是（　　） A．a5 B．a6 C．a8 D．a﹣1 3．若∠α=30°，则∠α 的补角是（　　） A．30° B．60° C．120°D．150° 4．甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如表．如果从这四位同学中， 选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加全国数学联赛，那么应选（　　） 甲 乙 丙 丁 平均数 80 85 85 80 方 差 42 42 54 59 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．函数 y= 中自变量 x 的取值范围为（　　） A．x＞2 B．x≥2C．x＜2D．x≤2 6．如图，平面直角坐标系中，OB 在 x 轴上，∠ABO=90°，点 A 的坐标为（1， 2），将△AOB 绕点 A 逆时针旋转 90°，点 O 的对应点 C 恰好落在双曲线 y= （x＞ 0）上，则 k 的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 7．一个正多边形，它的每一个外角都是 45°，则该正多边形是（　　） A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形第 2 页（共 26 页） 8．如图，已知圆心角∠BOC=100°，则圆周角∠BAC 的大小是（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 9．如图所示，∠AOB 的两边．OA、OB 均为平面反光镜，∠AOB=35°，在 OB 上 有一点 E，从 E 点射出一束光线经 OA 上的点 D 反射后，反射光线 DC 恰好与 OB 平行，则∠DEB 的度数是（　　） A．35° B．70° C．110°D．120° 10．如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口向上，对称轴为直线 x=1，图象经过 （3，0），下列结论中，正确的一项是（　　） A．abc＜0 B．2a+b＜0 C．a﹣b+c＜0 D．4ac﹣b2＜0 11．如图所示，边长为 2 的正三角形 ABO 的边 OB 在 x 轴上，将△ABO 绕原点 O 逆时针旋转 30°得到三角形 OA1B1，则点 A1 的坐标为（　　） A．（ ，1） B．（ ，﹣1） C．（1，﹣ ） D．（2，﹣1）第 3 页（共 26 页） 12．如图，已知⊙O 的半径 OB 为 3，且 CD⊥AB，∠D=15°．则 OE 的长为（　　） A． B． C． D．3 　 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 13．计算：﹣2﹣（﹣3）=　　． 14．分解因式：4a2﹣16=　　． 15．如图，圆锥的底面半径 OB=10cm，它的侧面展开图的扇形的半径 AB=30cm， 则这个扇形圆心角 α 的度数是　　． 16．已知点 P（a，b）在直线 上，点 Q（﹣a，2b）在直线 y=x+1 上， 则代数式 a2﹣4b2﹣1=　　． 17．把直线 y=﹣x+3 向上平移 m 个单位后，与直线 y=2x+4 的交点在第一象限， 则 m 的取值范围是　　． 18．如图，正方形 ABCD 的边长为 8，O 是 BC 的中点，点 P 是对角线 AC 上一动 点，则 PO+PB 的最小值为　　． 　 三、解答题（共 8 小题，满分 66 分） 19．计算：2sin60°﹣（﹣3）2+（﹣1）2016．第 4 页（共 26 页） 20．先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）﹣（x+1）2，其中 x=﹣3． 21．如图，在△ABC 中，AB=CB，∠ABC=90°，D 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 边上，且 BE=BD，连结 AE、DE、DC． ①求证：△ABE≌△CBD； ②若∠CAE=33°，求∠BDC 的度数． 22．某中学九（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的 方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根 据调查的结果组建了 4 个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图 （如图①，②，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提 供的信息解答下列问题： （1）九（1）班的学生人数为　　，并把条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中 m=　　，n=　　，表示“足球”的扇形的圆心角是　　度； （3）排球兴趣小组 4 名学生中有 3 男 1 女，现在打算从中随机选出 2 名学生参 加学校的排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的 2 名学生恰好是 1 男 1 女 的概率． 23．如图，从 A 地到 B 地的公路需经过 C 地，图中 AC=10 千米，∠CAB=25°，∠ CBA=37°，因城市规划的需要，将在 A、B 两地之间修建一条笔直的公路． （1）求改直的公路 AB 的长； （2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°第 5 页（共 26 页） ≈0.60，tan37°≈0.75） 24．某镇枇杷园的枇杷除了运往市区销售外，还可以让市民亲自去园内采摘购买， 已知今年 3 月份该枇杷在市区、园区的销售价格分别为 6 元/千克、4 元/千克， 今年 3 月份一共销售了 3000 千克，总销售额为 16000 元． （1）3 月份该枇杷在市区、园区各销售了多少千克？ （2）4 月份是枇杷旺季且适逢“三月三”小长假，为了促销，枇杷园决定 4 月份将 该枇杷在市区、园区的销售价格均在 3 月份的基础上降低 a%，预计这种枇杷在 市区、园区的销售量将在 3 月份的基础上分别增长 30%、20%，要使 4 月份该枇 杷的总销售不低于 18360 元，则 a 的最大值是多少？ 25．如图，AB 是⊙O 的直径，点 E 是 上一点，∠DAC=∠AED． （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）若点 E 是 的中点，连结 AE 交 BC 于点 F，当 BD=5，CD=4 时，求 DF 的 值． 26．如图，二次函数 的图象经过点 A（4，0），B（﹣4，﹣4）， 且与 y 轴交于点 C． （1）试求此二次函数的解析式； （2）试证明：∠BAO=∠CAO（其中 O 是原点）；第 6 页（共 26 页） （3）若 P 是线段 AB 上的一个动点（不与 A、B 重合），过 P 作 y 轴的平行线， 分别交此二次函数图象及 x 轴于 Q、H 两点，试问：是否存在这样的点 P，使 PH=2QH？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 　第 7 页（共 26 页） 2016 年广西梧州市岑溪市中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分） 1．4 的平方根是（　　） A．﹣2 B．2 C．±2 D．4 【考点】平方根． 【分析】首先根据平方根的定义求出 4 的平方根，然后就可以解决问题． 【解答】解：∵±2 的平方等于 4， ∴4 的平方根是：±2． 故选 C． 　 2．计算（a3）2 的结果是（　　） A．a5 B．a6 C．a8 D．a﹣1 【考点】幂的乘方与积的乘方． 【分析】根据幂的乘方（am）n=amn，即可求解． 【解答】解：原式=a3×2=a6． 故选 B． 　 3．若∠α=30°，则∠α 的补角是（　　） A．30° B．60° C．120°D．150° 【考点】余角和补角． 【分析】相加等于 180°的两角称作互为补角，也作两角互补，即一个角是另一 个角的补角．因而，求这个角的补角，就可以用 180°减去这个角的度数． 【解答】解：180°﹣30°=150°． 故选 D． 　 4．甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如表．如果从这四位同学中，第 8 页（共 26 页） 选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加全国数学联赛，那么应选（　　） 甲 乙 丙 丁 平均数 80 85 85 80 方 差 42 42 54 59 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【考点】方差；算术平均数． 【分析】此题有两个要求：①成绩较好，②状态稳定．于是应选平均数大、方差 小的同学参赛． 【解答】解：由于乙的方差较小、平均数较大，故选乙． 故选：B． 　 5．函数 y= 中自变量 x 的取值范围为（　　） A．x＞2 B．x≥2C．x＜2D．x≤2 【考点】函数自变量的取值范围． 【分析】本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二 次根式的意义，被开方数是非负数即可求解． 【解答】解：根据题意，得 x﹣2≥0， 解得 x≥2． 故选：B． 　 6．如图，平面直角坐标系中，OB 在 x 轴上，∠ABO=90°，点 A 的坐标为（1， 2），将△AOB 绕点 A 逆时针旋转 90°，点 O 的对应点 C 恰好落在双曲线 y= （x＞ 0）上，则 k 的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6第 9 页（共 26 页） 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-旋转． 【分析】由旋转可得点 D 的坐标为（3，2），那么可得到点 C 的坐标为（3，1）， 那么 k 等于点 C 的横纵坐标的积． 【解答】解：易得 OB=1，AB=2， ∴AD=2， ∴点 D 的坐标为（3，2）， ∴点 C 的坐标为（3，1）， ∴k=3×1=3． 故选：B． 　 7．一个正多边形，它的每一个外角都是 45°，则该正多边形是（　　） A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形 【考点】多边形内角与外角． 【分析】多边形的外角和是 360 度，因为是正多边形，所以每一个外角都是 45°，即可得到外角的个数，从而确定多边形的边数． 【解答】解：360÷45=8，所以这个正多边形是正八边形． 故选 C． 　 8．如图，已知圆心角∠BOC=100°，则圆周角∠BAC 的大小是（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系． 【分析】由圆心角∠BOC=100°，直接利用圆周角定理求解即可求得答案． 【解答】解：∵圆心角∠BOC=100°， ∴圆周角∠BAC= ∠BOC=50°． 故选 A． 　第 10 页（共 26 页） 9．如图所示，∠AOB 的两边．OA、OB 均为平面反光镜，∠AOB=35°，在 OB 上 有一点 E，从 E 点射出一束光线经 OA 上的点 D 反射后，反射光线 DC 恰好与 OB 平行，则∠DEB 的度数是（　　） A．35° B．70° C．110°D．120° 【考点】平行线的性质． 【分析】过点D 作 DF⊥AO 交 OB 于点 F．根据题意知，DF 是∠CDE 的角平分线， ∴∠1=∠3；然后又由两直线 CD∥OB 推知内错角∠1=∠2；最后由三角形的内角 和定理求得∠DEB 的度数是 70°． 【解答】解：过点 D 作 DF⊥AO 交 OB 于点 F． ∵入射角等于反射角， ∴∠1=∠3， ∵CD∥OB， ∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）； ∴∠2=∠3（等量代换）； 在 Rt△DOF 中，∠ODF=90°，∠AOB=35°， ∴∠2=55°； ∴在△DEF 中，∠DEB=180°﹣2∠2=70°． 故选 B． 　 10．如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口向上，对称轴为直线 x=1，图象经过 （3，0），下列结论中，正确的一项是（　　）第 11 页（共 26 页） A．abc＜0 B．2a+b＜0 C．a﹣b+c＜0 D．4ac﹣b2＜0 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【分析】由抛物线的开口方向判断a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结 论进行判断． 【解答】解：A、根据图示知，抛物线开口方向向上，则 a＞0． 抛物线的对称轴 x=﹣ =1＞0，则 b＜0． 抛物线与 y 轴交与负半轴，则 c＜0， 所以 abc＞0． 故 A 选项错误； B、∵x=﹣ =1， ∴b=﹣2a， ∴2a+b=0． 故 B 选项错误； C、∵对称轴为直线 x=1，图象经过（3，0）， ∴该抛物线与 x 轴的另一交点的坐标是（﹣1，0）， ∴当 x=﹣1 时，y=0，即 a﹣b+c=0． 故 C 选项错误； D、根据图示知，该抛物线与 x 轴有两个不同的交点，则△=b2﹣4ac＞0，则 4ac﹣b2 ＜0． 故 D 选项正确； 故选 D． 　 11．如图所示，边长为 2 的正三角形 ABO 的边 OB 在 x 轴上，将△ABO 绕原点 O第 12 页（共 26 页） 逆时针旋转 30°得到三角形 OA1B1，则点 A1 的坐标为（　　） A．（ ，1） B．（ ，﹣1） C．（1，﹣ ） D．（2，﹣1） 【考点】坐标与图形变化-旋转；等边三角形的性质． 【分析】设A1B1 与 x 轴相交于 C，根据等边三角形的性质求出 OC、A1C，然后写 出点 A1 的坐标即可． 【解答】解：如图，设 A1B1 与 x 轴相交于 C， ∵△ABO 是等边三角形，旋转角为 30°， ∴∠A1OC=60°﹣30°=30°， ∴A1B1⊥x 轴， ∵等边△ABO 的边长为 2， ∴OC= ×2= ， A1C= ×2=1， 又∵A1 在第四象限， ∴点 A1 的坐标为（ ，﹣1）． 故选：B． 　 12．如图，已知⊙O 的半径 OB 为 3，且 CD⊥AB，∠D=15°．则 OE 的长为（　　）第 13 页（共 26 页） A． B． C． D．3 【考点】垂径定理． 【分析】连接 OA，先根据圆 O 的直径为 6 求出 OA 的长，再由 CD⊥AB 得出∠ AEO=90°，由圆周角定理求出∠AOE 的度数，根据直角三角形的性质即可得出结 论． 【解答】解：连接 OA， ∵圆 O 的直径为 6， ∴OA=3． ∵CD⊥AB， ∴∠AEO=90°． ∵∠D=15°， ∴∠AOE=30°， ∴OE=OA•cos30°=3× = ． 故选 A． 　 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 13．计算：﹣2﹣（﹣3）=　1　． 【考点】有理数的减法． 【分析】根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．第 14 页（共 26 页） 【解答】解：﹣2﹣（﹣3）， =﹣2+3， =1． 故答案为：1． 　 14．分解因式：4a2﹣16=　4（a+2）（a﹣2）　． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【分析】首先提取公因式 4，进而利用平方差公式进行分解即可． 【解答】解：4a2﹣16=4（a2﹣4）=4（a+2）（a﹣2）． 故答案为：4（a+2）（a﹣2）． 　 15．如图，圆锥的底面半径 OB=10cm，它的侧面展开图的扇形的半径 AB=30cm， 则这个扇形圆心角 α 的度数是　120°　． 【考点】圆锥的计算；弧长的计算． 【分析】先计算出圆锥的底面圆的周长=2π•10=20π，再根据圆锥的侧面展开图 为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长得到弧 长为 20π，半径为 30，然后利用弧长公式得到关于 α 的方程，解方程即可． 【解答】解：∵底面半径为 10cm， ∴圆锥的底面圆的周长=2π•10=20π， ∴20π= ， ∴α=120°． 故答案为 120°． 　 16．已知点 P（a，b）在直线 上，点 Q（﹣a，2b）在直线 y=x+1 上， 则代数式 a2﹣4b2﹣1=　1　．第 15 页（共 26 页） 【考点】一次函数图象上点的坐标特征． 【分析】先根据题意得出关于 a 的方程组，求出 a，b 的值代入代数式进行计算 即可． 【解答】解：∵点P（a，b）在直线 上，点 Q（﹣a，2b）在直线 y=x+1 上， ∴ ，解得 ， ∴原式= ﹣4× ﹣1=1． 故答案为：1． 　 17．把直线 y=﹣x+3 向上平移 m 个单位后，与直线 y=2x+4 的交点在第一象限， 则 m 的取值范围是　m＞1　． 【考点】一次函数图象与几何变换． 【分析】直线 y=﹣x+3 向上平移 m 个单位后可得：y=﹣x+3+m，求出直线 y=﹣x+3+m 与直线 y=2x+4 的交点，再由此点在第一象限可得出 m 的取值范 围． 【解答】解：方法一： 直线 y=﹣x+3 向上平移 m 个单位后可得：y=﹣x+3+m， 联立两直线解析式得： ， 解得： ， 即交点坐标为（ ， ）， ∵交点在第一象限， ∴ ，第 16 页（共 26 页） 解得：m＞1． 故答案为：m＞1． 方法二：如图所示： 把直线 y=﹣x+3 向上平移 m 个单位后，与直线 y=2x+4 的交点在第一象限， 则 m 的取值范围是 m＞1． 故答案为：m＞1． 　 18．如图，正方形 ABCD 的边长为 8，O 是 BC 的中点，点 P 是对角线 AC 上一动 点，则 PO+PB 的最小值为　4 　． 【考点】轴对称-最短路线问题． 【分析】由于点 D 与点 B 关于 AC 对称，所以如果连接 DO，交 AC 于点 P，那 PO+PB 的值最小．在 Rt△CDO 中，由勾股定理先计算出 DO 的长度，即为 PO+PB 的最小值． 【解答】解：连接 DO，交 AC 于点 P，连接 BD． ∵点 B 与点 D 关于 AC 对称， ∴DO 的长即为 PO+PB 的最小值， ∵AB=8，O 是 BC 的中点，第 17 页（共 26 页） ∴CO=4， 在 Rt△CDO 中， DO= = =4 ． 故答案为：4 ． 　 三、解答题（共 8 小题，满分 66 分） 19．计算：2sin60°﹣（﹣3）2+（﹣1）2016． 【考点】特殊角的三角函数值． 【分析】代入特殊角的三角函数值、利用乘方法则计算即可． 【解答】解：原式=2× ﹣9+1 = ﹣8． 　 20．先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）﹣（x+1）2，其中 x=﹣3． 【考点】整式的混合运算—化简求值． 【分析】原式利用平方差公式及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果， 把 x 的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式=x2﹣4﹣x2﹣2x﹣1=﹣2x﹣5， 当 x=﹣3 时，原式=6﹣5=1． 　 21．如图，在△ABC 中，AB=CB，∠ABC=90°，D 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 边上，且 BE=BD，连结 AE、DE、DC． ①求证：△ABE≌△CBD； ②若∠CAE=33°，求∠BDC 的度数．第 18 页（共 26 页） 【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）由条件 AB=CB，∠ABC=∠CBD=90°，根据 SAS 就可以得出结论； （2）由条件可以求出∠AEB 的度数，由全等三角形的性质就可以求出结论． 【解答】解：（1）∵∠ABC=90°，D 为 AB 延长线上一点， ∴∠ABE=∠CBD=90°， 在△ABE 和△CBD 中， ， ∴△ABE≌△CBD（SAS）； （2）∵AB=CB，∠ABC=90°， ∴△ABC 为等腰直角三角形， ∴∠CAB=45°， ∵∠CAE=33°， ∴∠BAE=∠CAB﹣∠CAE=12°． ∵△ABE≌△CBD， ∴∠BCD=∠BAE=12°， ∴∠BDC=78° 答：∠BDC 的度数为 78°． 　 22．某中学九（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的 方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根 据调查的结果组建了 4 个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图 （如图①，②，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提 供的信息解答下列问题：第 19 页（共 26 页） （1）九（1）班的学生人数为　40　，并把条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中 m=　10　，n=　20　，表示“足球”的扇形的圆心角是　72　 度； （3）排球兴趣小组 4 名学生中有 3 男 1 女，现在打算从中随机选出 2 名学生参 加学校的排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的 2 名学生恰好是 1 男 1 女 的概率． 【考点】条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法． 【分析】（1）根据喜欢篮球的人数与所占的百分比列式计算即可求出学生的总 人数，再求出喜欢足球的人数，然后补全统计图即可； （2）分别求出喜欢排球、喜欢足球的百分比即可得到 m、n 的值，用喜欢足球 的人数所占的百分比乘以 360°即可； （3）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解． 【解答】解：（1）九（1）班的学生人数为：12÷30%=40（人）， 喜欢足球的人数为：40﹣4﹣12﹣16=40﹣32=8（人）， 补全统计图如图所示； （2）∵ ×100%=10%， ×100%=20%， ∴m=10，n=20，第 20 页（共 26 页） 表示“足球”的扇形的圆心角是 20%×360°=72°； 故答案为：（1）40；（2）10；20；72； （3）根据题意画出树状图如下： 一共有 12 种情况，恰好是 1 男 1 女的情况有 6 种， ∴P（恰好是 1 男 1 女）= = ． 　 23．如图，从 A 地到 B 地的公路需经过 C 地，图中 AC=10 千米，∠CAB=25°，∠ CBA=37°，因城市规划的需要，将在 A、B 两地之间修建一条笔直的公路． （1）求改直的公路 AB 的长； （2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37° ≈0.60，tan37°≈0.75） 【考点】解直角三角形的应用． 【分析】（1）作 CH⊥AB 于 H．在 Rt△ACH 中，根据三角函数求得 CH，AH，在 Rt△BCH 中，根据三角函数求得 BH，再根据 AB=AH+BH 即可求解； （2）在 Rt△BCH 中，根据三角函数求得 BC，再根据 AC+BC﹣AB 列式计算即可 求解． 【解答】解：（1）作 CH⊥AB 于 H． 在 Rt△ACH 中，CH=AC•sin∠CAB=AC•sin25°≈10×0.42=4.2（千米）， AH=AC•cos∠CAB=AC•cos25°≈10×0.91=9.1（千米）， 在 Rt△BCH 中，BH=CH÷tan∠CBA=4.2÷tan37°≈4.2÷0.75=5.6（千米）， ∴AB=AH+BH=9.1+5.6=14.7（千米）． 故改直的公路 AB 的长 14.7 千米；第 21 页（共 26 页） （2）在 Rt△BCH 中，BC=CH÷sin∠CBA=4.2÷sin37°≈4.2÷0.6=7（千米）， 则 AC+BC﹣AB=10+7﹣14.7=2.3（千米）． 答：公路改直后比原来缩短了 2.3 千米． 　 24．某镇枇杷园的枇杷除了运往市区销售外，还可以让市民亲自去园内采摘购买， 已知今年 3 月份该枇杷在市区、园区的销售价格分别为 6 元/千克、4 元/千克， 今年 3 月份一共销售了 3000 千克，总销售额为 16000 元． （1）3 月份该枇杷在市区、园区各销售了多少千克？ （2）4 月份是枇杷旺季且适逢“三月三”小长假，为了促销，枇杷园决定 4 月份将 该枇杷在市区、园区的销售价格均在 3 月份的基础上降低 a%，预计这种枇杷在 市区、园区的销售量将在 3 月份的基础上分别增长 30%、20%，要使 4 月份该枇 杷的总销售不低于 18360 元，则 a 的最大值是多少？ 【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用． 【分析】（1）设在市区销售了 x 千克，则在园区各销售了千克，根据总销售额为 16000 元可列方程 6x+4=1600，然后解方程求出 x，再计算 3000﹣x 即可； （2）分别表示出 4 月份该枇杷在市区、园区的销售价格和销售量，再利用总销 售不低于 18360 元得到 6（1﹣a%）×2000×（1+30%）+4（1﹣a%）×1000 （1+20%）≥18360，然后解不等式后求出不等式的最大解即可． 【解答】解：（1）设在市区销售了 x 千克，则在园区各销售了千克， 根据题意得 6x+4=1600，解得 x=2000， 所以 3000﹣x=1000， 答：在市区销售了 2000 千克，则在园区各销售了 1000 千克；第 22 页（共 26 页） （2）根据题意得 6（1﹣a%）×2000×（1+30%）+4（1﹣a%）×1000（1+20%）≥ 18360 解得 a≤10， 所以 a 的最大值是 10． 　 25．如图，AB 是⊙O 的直径，点 E 是 上一点，∠DAC=∠AED． （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）若点 E 是 的中点，连结 AE 交 BC 于点 F，当 BD=5，CD=4 时，求 DF 的 值． 【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质． 【分析】（1）欲证明 AC 是⊙O 的切线，只需证得 AB⊥AC 即可； （2）通过相似三角形（△ADC∽△BAC）的对应边成比例求得 AC=6．由圆周角、 弧、弦间的关键推知 CA=CF=6，故 DF=CA﹣CD=2． 【解答】解：（1）∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=∠ADC=90°． ∵∠B=∠AED=∠CAD，∠C=∠C，∴∠C+∠CAD=∠C+∠B=90°． ∴∠BAC=∠ADC=90°． 即 AB⊥AC 于点 A． 又∵AB 是⊙O 的直径， ∴AC 是⊙O 的切线； （2）∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°， 又∵∠BAC=∠ADB=90°，第 23 页（共 26 页） ∴∠ACD=∠BCA， ∴△ADC∽△BAC． ∴ ．即 AC2=BC×CD=36． 解得 AC=6． ∵点 E 是 的中点， ∴∠DAE=∠BAE． ∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD， ∴CA=CF=6， ∴DF=CA﹣CD=2． 　 26．如图，二次函数 的图象经过点 A（4，0），B（﹣4，﹣4）， 且与 y 轴交于点 C． （1）试求此二次函数的解析式； （2）试证明：∠BAO=∠CAO（其中 O 是原点）； （3）若 P 是线段 AB 上的一个动点（不与 A、B 重合），过 P 作 y 轴的平行线， 分别交此二次函数图象及 x 轴于 Q、H 两点，试问：是否存在这样的点 P，使 PH=2QH？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）由于抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此只需将 A、B 两点 的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式． （2）本题可先根据抛物线的解析式求出 C 点的坐标，然后根据这三点的坐标，第 24 页（共 26 页） 求出∠CAO 和∠BAO 的正切值，以此来证明这两角相等． （3）可先根据直线 AB 的解析式设出 P 点的坐标，由于 PH⊥x 轴，因此 P、Q 两 点的横坐标相等，可根据抛物线的解析式求出 Q 点的纵坐标，根据 PH=2QH， 即 P 的纵坐标的绝对值是 Q 的纵坐标绝对值的 2 倍，由此可求出 P、Q 的横坐标， 进而可求出 P 点的坐标． 【解答】解：（1）∵点 A（4，0）与 B（﹣4，﹣4）在二次函数图象上， ∴ 解得 ∴二次函数解析式为 y=﹣ x2+ x+2． （2）过 B 作 BD⊥x 轴于点 D，由（1）得 C（0，2）， 则在 Rt△AOC 中，tan∠CAO= = = ， 又在 Rt△ABD 中，tan∠BAD= = = ； ∵tan∠CAO=tan∠BAD， ∴∠CAO=∠BAO． （3）由点 A（4，0）与 B（﹣4，﹣4），可得直线 AB 的解析式为 y= x﹣2， 设 P（x， x﹣2），（﹣4＜x＜4）； 则 Q（x，﹣ x2+ x+2）， ∴PH=| x﹣2|=2﹣ x，QH=|﹣ x2+ x+2|． ∴2﹣ x=2|﹣ x2+ x+2|． 当 2﹣ x=﹣ x2+x+4， 解得 x1=﹣1，x2=4（舍去）， ∴P（﹣1，﹣ ）第 25 页（共 26 页） 当 2﹣ x= x2﹣x﹣4， 解得 x1=﹣3，x2=4（舍去）， ∴P（﹣3，﹣ ）． 综上所述，存在满足条件的点，它们是 P1（﹣1，﹣ ）与 P2（﹣3，﹣ ）． 　第 26 页（共 26 页） 2017 年 2 月 18 日