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武威二中2016-2017学年高三第一次模拟考试
理科数学试题
出题人 崔国栋 王祥权
第Ⅰ卷（60分）
一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的）
1.设集合，，若，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
3.在中，，，，那么等于（ ）
A． B． C. 1 D．
4. 钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ）
A.必要条件 B. 充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件
5.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出了下列命题：
①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊥n，m⊥α，则n∥α；
③若m∥α，α⊥β，则m⊥β，④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α，n∥β（ ）
A．②④ B．①②④ C．①④ D．①③
6.抛物线与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为 （ ）
A . B.
C. D.
7.函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则的值为（ ）
A． B． C． D．
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8．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：
①，②，③，④，则输出的函数是（ ）
A． B．
C． D．
9.圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为，则( )
（A）（B） （C） （D）
10．如图所示，两个不共线向量,的夹角为，分别为与的中点，点在直线上，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
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11.已知函数若且，则的取值范围（ ）
A. B. C. D.
12．已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3=4，S3=3，则公差d=
14.已知向量，，则 ．
15．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD外接球表面积为______．
16.从圆内任取一点，则到直线的距离小于的概率____.
三．解答题（本大题共6小题,满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分） 已知数列的前项和为，且满足．
（1）求；
（2）设，数列的前项和为，求证：．
18.(本小题满分12分)在2017年高校自主招生期间，某校把学生的平时成绩按“百分制”折算，排出前名学生，并对这名学生按成绩分组，第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数
为60
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（I）请在图中补全频率分布直方图；
（II）若大学决定在成绩高的第，，组中用分层抽样的方法抽取名学生进行面试.
① 若大学本次面试中有、、三位考官，规定获得两位考官的认可即面试
成功，且面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为、，，求甲同学面试成功的概率；
②若大学决定在这名学生中随机抽取名学生接受考官的面试，第组中有名学生被考官面试，求的分布列和数学期望.
19.(本小题满分12分)在如图所示的几何体中，面为正方形，面为等腰梯形，//，，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）线段上是否存在点，使平面平面？证明你的结论
20.（本小题满分12分）
已知点,椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线
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的斜率为，为坐标原点.
（I）求的方程；
（II）设过点的动直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程
21（本小题满分12分）已知函数，其中
若在x=1处取得极值，求a的值；
（Ⅲ）若的最小值为1，求a的取值范围。
请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线 (t为参数)， (为参数)．
（Ⅰ）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（Ⅱ）过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲线于两点，求．
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）若，解不等式；
（2）若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围．
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武威二中2016—2017学年度高三年级
第二学期数学理科第一次模拟试题答案
一 选择题 1---5CBBAC， 6—10DBDAB,,11A 12B
二 填空题 13 3；14 -3；15 5∏；16
三．解答题（本大题共6小题,满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17 解(1); , (1) (2)
(1)-(2),得,,，。。。。。。6分
(2),。。。。。。。。。。。。12分
18.解：（Ⅰ）因为第四组的人数为，所以总人数为：，由直方图可知，第五组人数为:人，又为公差，所以第一组人数为：45人，第二组人数为： 75人，第三组人数为：90人
O
0.02
0.04
0.06
75
80
85
90
95
100
0.08
0.01
0.03
0.05
0.07
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-------------------4分
19(本小题满分12分)
【答案】（Ⅰ）证明：因为，，
在△中，由余弦定理可得，
所以 ． 又因为 ，
所以平面． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分
（Ⅱ） 线段上不存在点，使平面平面．证明如下：
因为平面，所以．
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因为，所以平面．
所以两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系．
在等腰梯形中，可得．
设，所以．
所以 ，，．
设平面的法向量为，则有
所以 取，得． ...........8分
假设线段上存在点，设 ，所以．
设平面的法向量为，则有
所以 取 ，得．
要使平面平面，只需， 。。。。。。。。。10分
即 ， 此方程无解．
所以线段上不存在点，使平面平面． 。。。。。。。。。。。。。。。。12分
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20 解析：（I）设，由条件知，得，又，所以，，故的方程为。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分
（II）当轴时不合题意，故可设，，
将代入中得，当时,即, 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分
由韦达定理得
从而
又点到直线的距离为
所以的面积。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
法一：设，则，，因为,当且仅当，即时等号成立，且满足.所以当的面积最大时，的方程为
或[ 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
法二：令，则
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当时， 即 ， ，时等号成立，且满足.
所以的面积最大时，的方程为或
考点：椭圆的标准方程，点到直线的距离公式，弦长公式，二次分式类函数最值的求法
21（本小题满分12分）
解（Ⅰ）
∵在x=1处取得极值，∴解得.。。。。。。5分
（Ⅱ）
∵ ∴
①当时，在区间∴的单调增区间为
②当时，
由
∴。。。。。。。。。。8分
故当时，，
当时，由②知，在处取得最小值
综上可知，若得最小值为1，则a的取值范围是。。。。。。。。。12分22 解：⑴
曲线为圆心是，半径是1的圆．
曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．……4分
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⑵曲线的左顶点为，则直线的参数方程为
将其代入曲线整理可得：，设对应参数分别为，则
所以. 。。。。。。。。。。。。10分
方法二，直线方程为，圆心到直线的距离为
23 【解析】不等式化为，则
，或，或，……………………3分
解得，
所以不等式的解集为．……………………5分
（2）不等式等价于，即，
由绝对值三角不等式知．……………………8分
若存在实数，使得不等式成立，则，解得，
所以实数的取值范围是．……………………10分
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