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2014级高三二月月考试题
数学（文科）
本试卷分选择题和非选择题两部分。第I卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）。
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
第I卷（选择题，满分60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知集合，．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．设．“”是“复数是纯虚数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若向量,,满足且，则=（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
4．观察下列事实的不同整数解的个数为，的不同整数解的个数为8，的不同整数解的个数为12 …．则的不同整数解的个数为（ ）
A．76 B．80 C．86 D．92
5．2008年5月12日四川汶川发生强烈地震后，我市立即抽调骨干医生组成医疗队赶赴灾区进行抗震救灾，某医院要从包括张医生在内的4名外科骨干医生中，随机抽调2名医生参加抗震救灾医疗队，那么抽调到张医生的概率为（ ）
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A． B． C． D．
6．已知，为的导数，则（ ）
A． B． C． D．
7．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．在下列各数中，最大的数是（ ）
A．85（9） B．210（6） C．1000（4） D．11111（2）
9．在中，所对的边分别为已知三个内角度数之比，那么三边长之比等于（ ）
A． B． C． D．
10．一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图示，则该几何体的体积为（ ）
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A． B． C． D．
11．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
12．已知双曲线的两个焦点为，是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题，满分90分）
二．填空题（每小题5分，共20分）
13．若满足若的最大值为，则实数m= ．
14．把函数的图象沿轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数图象，对于函数有以下四个判断：
①该函数的解析式为；
②该函数图象关于点对称；
③该函数在上是增函数；
④函数在上的最小值为，则．
其中，正确判断的序号是 ．（写出所有正确命题的序号）
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15．已知圆，过圆心的直线交圆于两点，交轴于点．若恰为的中点，则直线的方程为 ．
16．已知函数的定义域是，关于函数给出下列命题：
①对于任意，函数是上的减函数；
②对于任意，函数存在最小值；
③对于任意，使得对于任意的，都有成立；
④存在，使得函数有两个零点．
其中正确命题的序号是 ．（写出所有正确命题的序号）
三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分12分）
已知是等差数列，满足，数列满足，且是等比数列．
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）若，都有成立，求正整数的值．
______________________________________▲_____________________________________________
18．（本小题满分12分）
我国是世界上严重缺水的国家．某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）．将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求直方图中的值；
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（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（Ⅲ）估计居民月均水量的中位数．
______________________________________▲_____________________________________________
19．（本小题满分12分）
如图，已知直三棱柱的侧棱长为，底面是等腰直角三角形，且,是的中点．
（Ⅰ）求异面直线和所成角的余弦值；
（Ⅱ）若为上一点，试确定点在上的位置,使得；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求点到平面的距离．
______________________________________▲_____________________________________________
20．（本小题满分12分）
如图，是椭圆的一个顶点，的长轴是圆的直径，是过点且互相垂直的两条直线，其中交圆于两点，交椭圆于另一点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求面积的最大值时直线的方程．
______________________________________▲_____________________________________________
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；
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（Ⅱ）求函数的极值；
（Ⅲ）当的值时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值．
______________________________________▲_____________________________________________
请考生在22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答请写清题号
22.（本小题满分10分）
在直角坐标系，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为
（Ⅰ）求的参数方程；
（Ⅱ）设点在半圆上，半圆在处的切线与直线垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线的倾斜角及的坐标．
______________________________________▲_____________________________________________
23．（本小题满分10分）
设函数．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，求得取值范围.
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2014级高三二月月考答案
数学（文科）
一．选择题（共12小题）
1．C．2．B．3．D. 4．B． 5．B．
6．解：∵f（x）=sinx+cosx，∴f′（x）=cosx﹣sinx，
∴cosx﹣sinx=3sinx+3cosx，cosx=﹣2sinx，tanx=﹣．
=====，故选C．
7． 解：因为=＞1，，因为a6=8，b6=9，所以b＞a，
因为c=log32∈（0，1），所以b＞a＞c．故选D．
8．解：85（9）=8×9+5=77；210（6）=2×62+1×6=78；1000（4）=1×43=64；
11111（2）=24+23+22+21+20=31．故210（6）最大，故选B．
9．解：∵三个内角度数之比∠A：∠B：∠C=1：2：3，∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°∴a：b：c=sin30°：sin60°：sin90°=1：：2 故选A．
10．解：依题意可知该几何体的直观图如图示，其体积为正方体的体积去掉两个三棱锥的体积．即：，
故选D．
11．解：由已知球的直径为2，故半径为1，其表面积是4×π×12=4π，应选B
12．解：∵•=0，∴⊥，∴MF1⊥MF2，∴|MF1|2+|MF2|2=40，
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∴（|MF1|﹣|MF2|）2=|MF1|2﹣2|MF1|•|MF2|+|MF2|2=40﹣2×2=36，
∴||MF1|﹣|MF2||=6=2a，a=3，又c=，∴b2=c2﹣a2=1，
∴双曲线方程为﹣y2=1．故选A．
二．填空题（共4小题）
13． 2 ．
14． ②④ ．
15． 2x﹣y﹣1=0或2x+y﹣11=0 ．
解：由题意可得，C（3，5），直线L的斜率存在
可设直线L的方程为y﹣5=k（x﹣3）
令x=0可得y=5﹣3k，即P（0，5﹣3k），设A（x1，y1），B（x2，y2）
联立直线与圆的方程，消去y可得（1+k2）x2﹣6（1+k2）x+9k2+4=0
由方程的根与系数关系可得，x1+x2=6，x1x2=①
∵A为PB的中点∴x2=2x1②
把②代入①可得x2=4，x1=2，x1x2==8 ∴k=±2
∴直线l的方程为y﹣5=±2（x﹣3），即2x﹣y﹣1=0或2x+y﹣11=0．
16． ②④ ．
解：由对数函数知：函数的定义域为：（0，+∞），f′（x）=ex+
①∵a∈（0，+∞）∴f′（x）=ex+≥0，是增函数．不正确，
②∵a∈（﹣∞，0），∴存在x有f′（x）=ex+=0，可以判断函数有最小值，正确．
③画出函数y=ex，y=alnx的图象，如图：显然不正确．
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④令函数y=ex是增函数，y=alnx是减函数，
所以存在a∈（﹣∞，0），f（x）=ex+alnx=0有两个根，正确．
三．解答题（共7小题）
17．解：（Ⅰ）设{an}的公差为d，则，∴an=2+（n﹣1）×4=4n﹣2，
故{an}的通项公式为an=4n﹣2（n∈N*）．
设cn=an﹣bn，则{cn}为等比数列．c1=a1﹣b1=2﹣1=1，c4=a4﹣b4=14﹣6=8，
设{cn}的公比为q，则，故q=2．则，即．
∴（n∈N*）．故{bn}的通项公式为（n∈N*）．
（Ⅱ）由题意，bk应为数列{bn}的最大项．
由=4﹣2n﹣1（n∈N*）．
当n＜3时，bn+1﹣bn＞0，bn＜bn+1，即b1＜b2＜b3；
当n=3时，bn+1﹣bn=0，即b3=b4；
当n＞3时，bn+1﹣bn＜0，bn＞bn+1，即b4＞b5＞b6＞…
综上所述，数列{bn}中的最大项为b3和b4．
故存在k=3或4，使∀n∈N*，都有bn≤bk成立．
18．解：（I）∵1=（0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）×0.5，
整理可得：2=1.4+2a，∴解得：a=0.3．
（II）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：
由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，
又样本容量为30万，
则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万．
（Ⅲ）根据频率分布直方图，得；
0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5=0.48＜0.5，
0.48+0.5×0.52=0.74＞0.5，
∴中位数应在（2，2.5]组内，设出未知数x，
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令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5+0.52×x=0.5，
解得x=0.04；
∴中位数是2+0.04=2.04．
19．（Ⅰ）取CC1的中点F，连接AF，BF，则AF∥C1D．
∴∠BAF为异面直线AB与C1D所成的角或其补角．
∵△ABC为等腰直角三角形，AC=2，∴AB=．
又∵CC1=2，∴AF=BF=．
∵cos∠BAF==，
∴∠BAF=，
即异面直线AB与C1D所成的角为．
（Ⅱ）法一：过C1作C1M⊥A1B1，垂足为M，则M为A1B1的中点，且C1M⊥平面AA1B1B．连接DM．
∴DM即为C1D在平面AA1B1B上的射影．要使得A1E⊥C1D，由三垂线定理知，只要A1E⊥DM．
∵AA1=2，AB=2，由计算知，E为AB的中点．
法二：过E作EN⊥AC，垂足为N，则EN⊥平面AA1C1C．
连接A1N．∴A1N即为A1E在平面AA1C1C上的射影．要使得A1E⊥C1D，由三垂线定理知，只要A1N⊥C1D．
∵四边形AA1C1C为正方形，∴N为AC的中点，∴E点为AB的中点．
（Ⅲ）法一：取AC中点N，连接EN，C1N，则EN∥B1C1．∵B1C1⊥平面AA1C1C，
∴面B1C1NE⊥平面AA1C1C．
过点D作DH⊥C1N，垂足为H，则DH⊥平面B1C1NE，
∴DH的长度即为点D到平面B1C1E的距离．
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在正方形AA1C1C中，由计算知DH=，
即点D到平面B1C1E的 距离．
法二：连接DE，DB1．
在三棱锥D﹣B1C1E中，点C1到平面DB1E的距离=，B1E=，DE=，
又B1E⊥DE，∴△DB1E的面积==，
∴三棱锥C1﹣DB1E的体积为==1．
设点D到平面B1C1E的距离为d，
在△B1C1E中，B1C1=2，B1E=C1E=，
∴△B1C1E的面积==．由=1，
得d=，即点D到平面B1C1E的距离．
20．解：（1）由题意可得b=1，2a=4，即a=2．
∴椭圆C1的方程为；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．
由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx﹣1．
又圆的圆心O（0，0）到直线l1的距离d=．
∴|AB|==．
又l2⊥l1，故直线l2的方程为x+ky+k=0，
联立，消去y得到（4+k2）x2+8kx=0，
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解得，
∴|PD|=．
∴三角形ABD的面积S△==，
令4+k2=t＞4，则k2=t﹣4，
f（t）===，
∴S△=，当且仅，即，当时取等号，
故所求直线l1的方程为．
21．解：（Ⅰ）由f（x）=x﹣1+，得f′（x）=1﹣，
又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，
∴f′（1）=0，即1﹣=0，解得a=e．
（Ⅱ）f′（x）=1﹣，
①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数，所以f（x）无极值；
②当a＞0时，令f′（x）=0，得ex=a，x=lna，
x∈（﹣∞，lna），f′（x）＜0；x∈（lna，+∞），f′（x）＞0；
∴f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，
故f（x）在x=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值．
综上，当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）在x=lna处取到极小值lna，无极大值．
（Ⅲ）当a=1时，f（x）=x﹣1+，令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+，
则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，
等价于方程g（x）=0在R上没有实数解．
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假设k＞1，此时g（0）=1＞0，g（）=﹣1+＜0，
又函数g（x）的图象连续不断，由零点存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解，
与“方程g（x）=0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1．
又k=1时，g（x）=＞0，知方程g（x）=0在R上没有实数解，
所以k的最大值为1．
22．解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈，即ρ2=2ρcosθ，可得C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1（0≤y≤1）．
可得C的参数方程为（t为参数，0≤t≤π）．
（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，
∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tant=，t=．
故D的直角坐标为，即（，）．
23．解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，
故不等式f（x）≥2成立．
（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，
∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．
当0＜a≤3时，不等式即 6﹣a+＜5，即 a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．
综上可得，a的取值范围（，）．
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