上海市宝山区2015-2016学年八年级上期末数学试卷含答案解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2015-2016学年上海市宝山区八年级（上）期末数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）‎ ‎1．下列等式一定成立的是（　　）‎ A． B． C． D． =π﹣4‎ ‎2．方程x2﹣3x+7=0的根的情况是（　　）‎ A．没有实数根 B．有无数个相等或不相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 ‎3．“等腰三角形两底角相等”的逆命题是（　　）‎ A．等腰三角形“三线合一”‎ B．底边上高和中线重合的三角形等腰 C．两个角互余的三角形是等腰三角形 D．有两个角相等的三角形是等腰三角形 ‎4．若点P（3，2﹣m）在函数y=的图象上，则点P一定在（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎5．如图，在平面直角坐标系中，直线l1对应的函数表达式为y=2x，将直线l1向左平移，使之分别与x、y轴交于点A、B，若OA=2，则线段OB的长为（　　）‎ A．3 B．4 C．2 D．2‎ ‎6．命题甲：由正比例函数图象上任意一点的坐标可以确定该正比例函数的解析式；‎ 命题乙：大边上的中线等于大边一半的三角形是直角三角形．‎ 则下列判断正确的是（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．两命题都正确 B．两命题都不正确 C．甲不正确乙正确 D．甲正确乙不正确 ‎　‎ 二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分）‎ ‎7．化简： =　　．‎ ‎8．方程2（x+3）（x+4）=0的根是　　．‎ ‎9．在实数范围内分解因式：2x2﹣4x﹣3=　　．‎ ‎10．随着市场多重刺激，宝山的学区房一扫连月低迷，终于走上了连续上涨的轨道，某小区学区房去年第二季度每平方米a元，若平均每季度上涨6%，则去年第四季度的价格为每平方米　　元（用含a的代数式表示）．‎ ‎11．函数的定义域是　　．‎ ‎12．已知函数f（x）=，那么f（3）=　　．‎ ‎13．若A（1，a）、B（2，3）是同一个正比例函数图象上的两点，则a　　3．‎ ‎14．在课堂小结描述每一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图象上任意一点向x轴、y轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为2016．”乙同学说：“这个反比例函数在相同的象限内，y随着x增大而增大．”根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是　　．‎ ‎15．以线段AB为底边的等腰三角形的顶点的轨迹是　　．‎ ‎16．如图已知，∠BAC=30°，D为∠BAC平分线上一点，DF∥AC交AB于F，DE⊥AC于E，若DE=2，则DF=　　．‎ ‎17．已知点A、B、C的坐标分别A（1，5）、B（1，0）、C（5，0）．若点P在∠ABC的平分线上，且PA=5，则点P的坐标为　　．‎ ‎18．如图，点P在边长为1的正方形ABCD边AD上，连接PB．过点B作一条射线与边DC的延长线交于点Q，使得∠QBE=∠PBC，其中E是边AB延长线上的点，连接PQ．若PQ2=PB2+PD2+1，则△PAB的面积为　　．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ 三、解答题：（本大题共8题，其中19---23每题5分，第24---26题每题7分满分46分）‎ ‎19．计算：．‎ ‎20．用适当方法解方程：x2+6x+3=0．‎ ‎21．已知正比例函数y=5x与反比例函数交于A、B两点，其中A的横坐标为1．求A、B的坐标与反比例函数的解析式．‎ ‎22．某工地利用一面16米长的墙和简易板材围一个面积为140平方米的长方形临时堆场，已知和墙平行的一边要开一个宽为2米的门，除留作门以外部分的板材总长度为32米，求这个长方形临时堆场的尺寸．‎ ‎23．已知在同一坐标系中，正比例函数y=kx（其中k≠0），反比例函数（其中t≠0）的图象没有交点，试判断关于x的方程x2﹣ax+kt=0的根的情况并说明理由．‎ ‎24．如图，在△ABC中，BD=2AC，CD⊥BC，E是BD的中点，求证：∠A=2∠B．‎ ‎25．步彦京同学在前阶段复习中突然发现“定理”：凡三角形都是等腰三角形．‎ 下面是步彦京同学的证明：‎ 如图，设△ABC中∠A的平分线与边BC的垂直平分线相交于D，M是边BC垂直平分线的垂足．联结DB、DC．又过D作DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足．由角平分线定理易知DE=DF，又易证△ADE≌△ADF从而得到AE=AF，同时由垂直平分线性质得DB=DC，然后再证明直角△BED≌直角△CFD，从而得到BE=CF，于是由等量公理得AE+BE=AF+CF，即AB=AC．因此凡三角形都是等腰三角形．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由此步彦京百思不得其解：“难道我们教材上的几何内容错了？学习如此低级错误的内容岂不误人子弟？”同学：根据你所掌握的知识，你认为究竟是教材内容错了，还是步彦京同学错了？为什么？‎ ‎26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD、BE、CF分别是三边上的中线．‎ ‎（1）若AC=1，BC=．求证：AD2+CF2=BE2；‎ ‎（2）是否存在这样的Rt△ABC，使得它三边上的中线AD、BE、CF的长恰好是一组勾股数？请说明理由．（提示：满足关系a2+b2=c2的3个正整数a、b、c称为勾股数．）‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2015-2016学年上海市宝山区八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）‎ ‎1．下列等式一定成立的是（　　）‎ A． B． C． D． =π﹣4‎ ‎【考点】二次根式的混合运算．‎ ‎【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的除法法则对B进行判断；根据二次根式的性质对C、D进行判断．‎ ‎【解答】解：A、与﹣不能合并，所以A选项错误；‎ B、原式=，所以B选项正确；‎ C、原式=|x|，所以C选项错误；‎ D、原式=|π﹣4|=4﹣π，所以D选项错误．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．方程x2﹣3x+7=0的根的情况是（　　）‎ A．没有实数根 B．有无数个相等或不相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 ‎【考点】根的判别式．‎ ‎【分析】把a=1，b=﹣3，c=7代入△=b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．‎ ‎【解答】解：∵a=1，b=﹣3，c=7，‎ ‎∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×7=﹣19＜0，‎ ‎∴方程没有实数根．‎ 故选A．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎3．“等腰三角形两底角相等”的逆命题是（　　）‎ A．等腰三角形“三线合一”‎ B．底边上高和中线重合的三角形等腰 C．两个角互余的三角形是等腰三角形 D．有两个角相等的三角形是等腰三角形 ‎【考点】命题与定理．‎ ‎【分析】直接交换原命题的题设和结论即可得到正确的选项．‎ ‎【解答】解：“等腰三角形两底角相等”的逆命题是有两个角相等的三角形是等腰三角形，故选D．‎ ‎　‎ ‎4．若点P（3，2﹣m）在函数y=的图象上，则点P一定在（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．‎ ‎【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再由点P横坐标的值即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵函数y=中，k=1＞0，‎ ‎∴函数图象的两个分支分别位于一三象限．‎ ‎∵点P（3，2﹣m）中3＞0，‎ ‎∴点P一定在第一象限．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．如图，在平面直角坐标系中，直线l1对应的函数表达式为y=2x，将直线l1向左平移，使之分别与x、y轴交于点A、B，若OA=2，则线段OB的长为（　　）‎ A．3 B．4 C．2 D．2‎ ‎【考点】一次函数图象与几何变换．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【分析】先写出A点坐标，则利用两直线平行的问题，设直线l2对应的函数表达式为y=2x+b，再把A点坐标代入求出b的值，则可确定B点坐标，于是可得到OB的长．‎ ‎【解答】解：∵OA=2，‎ ‎∴A（﹣2，0），‎ ‎∵l1∥l2，直线l1对应的函数表达式为y=2x，‎ ‎∴直线l2对应的函数表达式可设为y=2x+b，‎ 把A（﹣2，0）代入得﹣4+b=0，解得b=4，‎ ‎∴直线l2对应的函数表达式为y=2x+4，‎ ‎∴B（0，4），‎ ‎∴OB=4．‎ 故选B ‎　‎ ‎6．命题甲：由正比例函数图象上任意一点的坐标可以确定该正比例函数的解析式；‎ 命题乙：大边上的中线等于大边一半的三角形是直角三角形．‎ 则下列判断正确的是（　　）‎ A．两命题都正确 B．两命题都不正确 C．甲不正确乙正确 D．甲正确乙不正确 ‎【考点】命题与定理．‎ ‎【分析】分别判断两个命题后即可确定正确的选项．‎ ‎【解答】解：命题甲：由正比例函数图象上任意一点（除原点外）的坐标可以确定该正比例函数的解析式，不正确；‎ 命题乙：大边上的中线等于大边一半的三角形是直角三角形，正确，‎ 故选C．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分）‎ ‎7．化简： =　x﹣1　．‎ ‎【考点】二次根式的乘除法．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案．‎ ‎【解答】解： =x﹣1．‎ 故答案为：x﹣1．‎ ‎　‎ ‎8．方程2（x+3）（x+4）=0的根是　x=﹣3，x=﹣4　．‎ ‎【考点】解一元二次方程-因式分解法．‎ ‎【分析】方程利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．‎ ‎【解答】解：方程2（x+3）（x+4）=0，‎ 可得x+3=0或x+4=0，‎ 解得：x=﹣3，x=﹣4．‎ 故答案为：x=﹣3，x=﹣4．‎ ‎　‎ ‎9．在实数范围内分解因式：2x2﹣4x﹣3=　2（x﹣）（x﹣）　．‎ ‎【考点】实数范围内分解因式．‎ ‎【分析】根公式法据解方程ax2+bx+c=0，可得方程的解，根据因式分解法可得ax2+bx+c=a（x﹣）（x﹣）．‎ ‎【解答】解：由2x2﹣4x﹣3=0，得 x=．‎ 原式=2（x2﹣2x﹣）=2（x﹣）（x﹣），‎ 故答案为：2（x﹣）（x﹣）．‎ ‎　‎ ‎10．随着市场多重刺激，宝山的学区房一扫连月低迷，终于走上了连续上涨的轨道，某小区学区房去年第二季度每平方米a元，若平均每季度上涨6%，则去年第四季度的价格为每平方米　a（1+6%）2　元（用含a的代数式表示）．‎ ‎【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．‎ ‎【分析】由题意可知：去年第三季度的价格为第二季度的（1+‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎6%），即a（1+6%）元，去年第四季度的价格为第三季度的（1+6%），即a（1+6%）2元．‎ ‎【解答】解：∵某小区学区房去年第二季度每平方米a元，若平均每季度上涨6%，‎ ‎∴去年第三季度的价格为a（1+6%）元，去年第四季度的价格为a（1+6%）2元．‎ 故答案为a（1+6%）2．‎ ‎　‎ ‎11．函数的定义域是　x取全体实数．　．‎ ‎【考点】函数自变量的取值范围．‎ ‎【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．‎ ‎【解答】解：根据题意得：x2+1≥0，‎ 解得：x取全体实数．‎ 故答案为x取全体实数．‎ ‎　‎ ‎12．已知函数f（x）=，那么f（3）=　2﹣　．‎ ‎【考点】函数值．‎ ‎【分析】直接利用已知将x=3代入原式，进而利用二次根式的性质化简求出答案．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=，‎ ‎∴f（3）===2﹣．‎ 故答案为：2﹣．‎ ‎　‎ ‎13．若A（1，a）、B（2，3）是同一个正比例函数图象上的两点，则a　＜　3．‎ ‎【考点】一次函数图象上点的坐标特征．‎ ‎【分析】运用待定系数法求得正比例函数解析式，进一步求得a的值，从而求解．‎ ‎【解答】解：设解析式为：y=kx，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 将点（2，3）代入可得：2k=3‎ 解得：k=1.5，‎ 故函数解析式为：y=1.5x，‎ 将点（1，a）代入可得：a=1.5，即a＜3．‎ 故答案为：＜．‎ ‎　‎ ‎14．在课堂小结描述每一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图象上任意一点向x轴、y轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为2016．”乙同学说：“这个反比例函数在相同的象限内，y随着x增大而增大．”根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是　　．‎ ‎【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的性质．‎ ‎【分析】先设反比例函数的解析式y=，根据甲同学说的可知k=±2016，根据乙同学说的可知k＜0，综合可得k=﹣2016，即得到反比例函数的解析式．‎ ‎【解答】解：从这个反比例函数图象上任意一点向x轴、y轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为2016，‎ ‎|k|=|xy|=2016，‎ k=2016或k=﹣2016，‎ ‎∵这个反比例函数在相同的象限内，y随着x增大而增大，‎ ‎∴k=﹣2016，‎ 故反比例函数的解析式是y=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．以线段AB为底边的等腰三角形的顶点的轨迹是　线段AB的垂直平分线（与AB的交点除外）　．‎ ‎【考点】轨迹；等腰三角形的性质．‎ ‎【分析】满足△ABC以线段AB为底边且CA=CB，根据线段的垂直平分线判定得到点C在线段AB的垂直平分线上，除去与AB的交点（交点不满足三角形的条件）．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解：∵△ABC以线段AB为底边，CA=CB，‎ ‎∴点C在线段AB的垂直平分线上，除去与AB的交点（交点不满足三角形的条件），‎ ‎∴以线段AB为底边的等腰三角形的顶点C的轨迹是 线段AB的垂直平分线，不包括AB的中点．‎ 故答案为线段AB的垂直平分线，不包括AB的中点．‎ ‎　‎ ‎16．如图已知，∠BAC=30°，D为∠BAC平分线上一点，DF∥AC交AB于F，DE⊥AC于E，若DE=2，则DF=　4　．‎ ‎【考点】角平分线的性质；平行线的性质．‎ ‎【分析】过点D作DG⊥AB于G，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DG=DE，根据两直线平行，同位角相等可得∠DFG=∠BAC=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求解即可．‎ ‎【解答】解：如图，过点D作DG⊥AB于G，‎ ‎∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC ‎∴DG=DE，‎ ‎∵DF∥AC，‎ ‎∴∠DFG=∠BAC=30°，‎ 在Rt△DFG中，DF=2DG=2×2=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎17．已知点A、B、C的坐标分别A（1，5）、B（1，0）、C（5，0）．若点P在∠ABC的平分线上，且PA=5，则点P的坐标为　（6，5）或（1，0）　．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【考点】坐标与图形性质．‎ ‎【分析】先根据A、B、C三点的坐标判断∠ABC的位置与大小，再根据点P在∠ABC的平分线上，且PA=5，判断点P的位置，并写出点P的坐标．‎ ‎【解答】解：∵A（1，5）、B（1，0）、C（5，0）‎ ‎∴AB=5，且AB⊥BC ‎∴∠ABC=90°‎ 如图，以A为圆心，AB长为半径画弧，交∠ABC的平分线于两点 ‎∵点P在∠ABC的平分线上，且PA=5‎ ‎∴当点P在点B处时，P1的坐标为（1，0）‎ 当点P在第一象限内时，由△ABP2是等腰直角三角形，可知P2的坐标为（6，5）‎ 故答案为：（6，5）或（1，0）‎ ‎　‎ ‎18．如图，点P在边长为1的正方形ABCD边AD上，连接PB．过点B作一条射线与边DC的延长线交于点Q，使得∠QBE=∠PBC，其中E是边AB延长线上的点，连接PQ．若PQ2=PB2+PD2+1，则△PAB的面积为　　．‎ ‎【考点】正方形的性质；勾股定理．‎ ‎【分析】先由∠QBE=∠PBC，∠QBE+∠QBC=90°易得△PAB与△QCB均为直角三角形，再证得△PAB≌△QCB，可得QC=PA，设正方形的边长AB=a，PA=x，利用方程思想和勾股定理可得ax的值，据此可得△PAB的面积．‎ ‎【解答】解：∵∠QBE=∠PBC，∠QBE+∠QBC=90°，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴∠PBQ=∠PBC+∠QBC=90°，‎ ‎∵∠PBC+∠PBA=90°，‎ ‎∴∠PBA=∠QBC，‎ 在Rt△PAB和Rt△QCB中，‎ ‎，‎ ‎∴△PAB≌△QCB（ASA），‎ ‎∴QC=PA，‎ 设正方形的边长AB=a，PA=x，则QC=x，‎ ‎∴DQ=DC+QC=a+x，PD=AD﹣PA=a﹣x，‎ 在Rt△PAB中，PB2=PA2+AB2=x2+a2，‎ ‎∵PQ2=PB2+PD2+1，‎ ‎∴（a﹣x）2+（a+x）2=x2+a2+（a﹣x）2+1，‎ 解得：2ax=1，‎ ‎∴ax=，‎ ‎∵△PAB的面积S=PA•PB=ax=×=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共8题，其中19---23每题5分，第24---26题每题7分满分46分）‎ ‎19．计算：．‎ ‎【考点】二次根式的混合运算．‎ ‎【分析】先利用二次根式的乘法法则运算，然后把各二次根式化简后合并即可．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解：原式=+﹣‎ ‎=3+﹣‎ ‎=3+．‎ ‎　‎ ‎20．用适当方法解方程：x2+6x+3=0．‎ ‎【考点】解一元二次方程-配方法．‎ ‎【分析】在本题中，把常数项3移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方．‎ ‎【解答】解：x2+6x+3=0，‎ x2+6x=﹣3，‎ x2+6x+9=6，‎ ‎（x+3）2=6，‎ x+3=±，‎ x1=﹣3﹣，x1=﹣3+．‎ ‎　‎ ‎21．已知正比例函数y=5x与反比例函数交于A、B两点，其中A的横坐标为1．求A、B的坐标与反比例函数的解析式．‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．‎ ‎【分析】先把x=1代入正比例函数y=5x求得点A坐标，再根据对称性得出点B坐标，从而得出反比例函数的解析式．‎ ‎【解答】解：根据题意易知A（1，5），‎ 将A（1，5）代入，得k=5，‎ ‎∴反比例函数的解析式为，‎ 由正比例函数和反比例函数的交点对称易知B（﹣1，﹣5）．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎22．某工地利用一面16米长的墙和简易板材围一个面积为140平方米的长方形临时堆场，已知和墙平行的一边要开一个宽为2米的门，除留作门以外部分的板材总长度为32米，求这个长方形临时堆场的尺寸．‎ ‎【考点】一元二次方程的应用．‎ ‎【分析】设这个长方形临时堆场垂直于墙面的一边为x米，然后可得平行于墙面的一边为（32﹣2x+2）米，然后利用其面积为140列出方程求解即可．‎ ‎【解答】解：如图，设这个长方形临时堆场垂直于墙面的一边为x米，则平行于墙面的一边为（32﹣2x+2）米，‎ 根据题意有，x（34﹣2x）=140，‎ 解得x=7或x=10，‎ 其中x=7时，34﹣2x=20＞16，‎ 所以x=10．‎ 答：这个长方形垂直于墙面的一边为10米，平行于墙面的一边为14米．‎ ‎　‎ ‎23．已知在同一坐标系中，正比例函数y=kx（其中k≠0），反比例函数（其中t≠0）的图象没有交点，试判断关于x的方程x2﹣ax+kt=0的根的情况并说明理由．‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；根的判别式．‎ ‎【分析】根据题意首先判断出kt＜0，再判断△的值的情形即可解决问题．‎ ‎【解答】解：∵在同一坐标系中，y=kx（其中k≠0）和（其中t≠0）的图象没有交点，‎ ‎∴kt＜0，‎ ‎∵关于x的方程x2﹣ax+kt=0的根的判别式△=a2﹣4kt，‎ ‎∴△＞0，‎ ‎∴关于x的方程x2﹣ax+kt=0有两个不相等的实数根．‎ ‎　‎ ‎24．如图，在△ABC中，BD=2AC，CD⊥BC，E是BD的中点，求证：∠A=2∠‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 B．‎ ‎【考点】直角三角形斜边上的中线．‎ ‎【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE=BE=BD，根据等边对等角可得∠B=∠BCE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CED=2∠B，然后求出AC=CE，根据等边对等角可得∠A=∠CED．‎ ‎【解答】证明：∵CD⊥BC，E是BD的中点，‎ ‎∴CE=BE=BD，‎ ‎∴∠B=∠BCE，‎ 由三角形的外角性质得，∠CED=∠B+∠BCE=2∠B，‎ ‎∵BD=2AC，‎ ‎∴AC=BD，‎ ‎∴AC=CE，‎ ‎∴∠CED=∠A，‎ ‎∴∠A=2∠B．‎ ‎　‎ ‎25．步彦京同学在前阶段复习中突然发现“定理”：凡三角形都是等腰三角形．‎ 下面是步彦京同学的证明：‎ 如图，设△ABC中∠A的平分线与边BC的垂直平分线相交于D，M是边BC垂直平分线的垂足．联结DB、DC．又过D作DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足．由角平分线定理易知DE=DF，又易证△ADE≌△ADF从而得到AE=AF，同时由垂直平分线性质得DB=DC，然后再证明直角△BED≌直角△CFD，从而得到BE=CF，于是由等量公理得AE+BE=AF+CF，即AB=AC．因此凡三角形都是等腰三角形．‎ 由此步彦京百思不得其解：“难道我们教材上的几何内容错了？学习如此低级错误的内容岂不误人子弟？”同学：根据你所掌握的知识，你认为究竟是教材内容错了，还是步彦京同学错了？为什么？‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．‎ ‎【分析】步彦京同学给出的示意图是错误的，正确的图形如右，即角平分线与垂直平分线的交点在三角形外，由于AC=AF﹣CF，AB=AE+BE．只能得到AB=AC+2 CF，而没有AB=AC．‎ ‎【解答】解：教材内容没有错，步彦京同学错了．理由如下：‎ 步彦京同学给出的示意图是错误的，正确的图形如右，即角平分线与垂直平分线的交点在三角形外，‎ 步彦京同证明AE=AF，BE=CF没有错，但此时AC=AF﹣CF，AB=AE+BE．只有AB=AC+2 CF，而没有AB=AC．‎ ‎　‎ ‎26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD、BE、CF分别是三边上的中线．‎ ‎（1）若AC=1，BC=．求证：AD2+CF2=BE2；‎ ‎（2）是否存在这样的Rt△ABC，使得它三边上的中线AD、BE、CF的长恰好是一组勾股数？请说明理由．（提示：满足关系a2+b2=c2的3个正整数a、b、c称为勾股数．）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【考点】勾股定理；勾股数．‎ ‎【分析】（1）连接FD，根据三角形中线的定义求出CD、CE，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得FD=AC，然后分别利用勾股定理列式求出AD2、CF2、BE2即可得证；‎ ‎（2）设两直角边分别为a、b，根据（1）的思路求出AD2、CF2、BE2，再根据勾股定理列出方程表示出a、b的关系，然后用a表示出AD、CF、BE，再进行判断即可．‎ ‎【解答】（1）证明：如图，连接FD，‎ ‎∵AD、BE、CF分别是三边上的中线，‎ ‎∴CD=BC=，CE=AC=，‎ FD=AC=，‎ 由勾股定理得，AD2=AC2+CD2=12+（）2=，‎ CF2=CD2+FD2=（）2+（）2=，‎ BE2=BC2+CE2=（）2+（）2=，‎ ‎∵+=，‎ ‎∴AD2+CF2=BE2；‎ ‎（2）解：设两直角边分别为a、b，‎ ‎∵AD、BE、CF分别是三边上的中线，‎ ‎∴CD=a，CE=b，‎ FD=AC=a，‎ 由勾股定理得，AD2=AC2+CD2=b2+（a）2=a2+b2，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 CF2=CD2+FD2=（a）2+（b）2=a2+b2，‎ BE2=BC2+CE2=a2+（b）2=a2+b2，‎ ‎∵AD2+CF2=BE2，‎ ‎∴a2+b2+a2+b2=a2+b2，‎ 整理得，a2=2b2，‎ ‎∴AD=b，‎ CF=b，‎ BE=b，‎ ‎∴CF：AD：BE=1：：，‎ ‎∵没有整数是和的倍数，‎ ‎∴不存在这样的Rt△ABC．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017年2月26日 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费