《3.4圆心角与圆周角的关系》强化训练
一、选择题
1.如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠B=75°，则∠AOC的度数是（ ）
第1小题图 第2小题图 第3小题图 第4小题图
A．150° B．140° C．130° D．120°
2.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OBC=60°，则∠BAC的度数是（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
3.如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，，∠AOB=60°，则∠BDC的度数是（ ）
A．60° B．45° C．35° D．30°
4.如图，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE=40°，则∠P的度数为（ ）
A．140° B．70° C．60° D．40°
5.如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径．若∠D=32°，则∠OAC=（ ）
第5小题图 第6小题图 第7小题图 第8小题图
A．64° B．58° C．72° D．55°
6.如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B=（ ）
A．100° B．72° C．64° D．36°
7.如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB=40°，则∠ABD与∠AOD分别等于（ ）
A．40°，80° B．50°，100° C．50°，80° D．40°，100°
8.如图，已知AB是⊙O的直径，∠D=40°，则∠CAB的度数为（ ）
A．20° B．40° C．50° D．70°
9.如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得OM=8cm，ON=6cm，则该圆玻璃镜的半径是（ ）
第9小题图 第10小题图 第11小题图 第12小题图
A．cm B．5cm C．6cm D．10cm
10.如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（ ）
A． B． C． D．
11.如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于（ ）
A．12.5° B．15° C．20° D．22.5°
12.如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上（不与A、C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB=3∠ADB，则（ ）
A．DE=EB B．DE=EB C．DE=DO D．DE=OB
二、填空题
13.如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB=6，BC=3，则∠BDC= 度．
第13小题图 第14小题图 第15小题图 第16小题图
14.如图，在⊙O中，AB是弦，C是上一点．若∠OAB=25°，∠OCA=40°，则∠BOC的大小为 度．
15.如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB=40°，直径CD∥AB，连接AC，则∠BAC= 度．
16.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=70°，AB=AC，则∠ABC= ．
17.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠BCD=28°，则∠ABD= °．
第17小题图 第18小题图 第19小题图 第20小题图
18.如图，⊙O的直径AB过弦CD的中点E，若∠C=25°，则∠D= ．
19.如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠C=110°，则∠BOD= 140 度．
20.如图，点P是四边形ABCD外接圆上任意一点，且不与四边形顶点重合，若AD是⊙O的直径，AB=BC=CD．连接PA、PB、PC，若PA=a，则点A到PB和PC的距离之和AE+AF= ．
三、解答题
21.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．
（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；
（2）求证：∠1=∠2．
22.如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连结EF．
（1）求证：∠1=∠F．
（2）若sinB=，EF=2，求CD的长．
23.已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形
（1）求证：△DFB是等腰三角形；
（2）若DA=AF，求证：CF⊥AB．
24.在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．
（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；
（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．
25.如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值．
26.已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AB=4，BC=2，求CD的长．
参考答案
1.A 2.D 3.D 4.B 5.B 6.C 7.B 8.C 9.B 10.C 11.B 12.D
13.30 14.30 15.35 16.35° 17.62° 18.65 19.140 20.
21. （1）∵BC=DC，
∴∠CBD=∠CDB=39°，
∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°；
（2）∵EC=BC，
∴∠CEB=∠CBE，
而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，
∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，
∵∠BAE=∠BDC=∠CBD，
∴∠1=∠2．
22. （1）证明：连接DE，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DEB=90°，
∵E是AB的中点，
∴DA=DB，
∴∠1=∠B，
∵∠B=∠F，
∴∠1=∠F；
（2）∵∠1=∠F，
∴AE=EF=2，
∴AB=2AE=4，
在Rt△ABC中，AC=AB•sinB=4，
∴BC==8，
设CD=x，则AD=BD=8﹣x，
∵AC2+CD2=AD2，
即42+x2=（8﹣x）2，
∴x=3，即CD=3．
23. （1）∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∵△AEF为等边三角形，
∴∠CAB=∠EFA=60°，
∴∠B=30°，
∵∠EFA=∠B+∠FDB，
∴∠B=∠FDB=30°，
∴△DFB是等腰三角形；
（2）过点A作AM⊥DF于点M，设AF=2a，
∵△AEF是等边三角形，∴FM=EM=a，AM=a，
在Rt△DAM中，AD=AF=2a，AM=，
∴DM=5a，∴DF=BF=6a，
∴AB=AF+BF=8a，
在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=4a，
∵AE=EF=AF=2a，
∴CE=AC﹣AE=2a，
∴∠ECF=∠EFC，
∵∠AEF=∠ECF+∠EFC=60°，∴∠CFE=30°，
∴∠AFC=∠AFE+∠EFC=60°+30°=90°，
∴CF⊥AB．
24. （1）连结OQ，如图1，
∵PQ∥AB，OP⊥PQ，
∴OP⊥AB，
在Rt△OBP中，∵tan∠B=，
∴OP=3tan30°=，
在Rt△OPQ中，∵OP=，OQ=3，
∴PQ=；
（2）连结OQ，如图2，
在Rt△OPQ中，PQ=，
当OP的长最小时，PQ的长最大，
此时OP⊥BC，则OP=OB=，
∴PQ长的最大值为．
25. （1）△ABC为等腰三角形．理由如下：
连结AE，如图，
∵，
∴∠DAE=∠BAE，即AE平分∠BAC，
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BC，
∴△ABC为等腰三角形；
（2）∵△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，
∴BE=CE=BC=×12=6，
在Rt△ABE中，∵AB=10，BE=6，
∴AE==8，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴AE•BC=BD•AC，
∴BD=，
在Rt△ABD中，∵AB=10，BD=，
∴AD=，
∴sin∠ABD=．
26. （1）证明：∵ED=EC，
∴∠EDC=∠C，
∵∠EDC=∠B，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC；
（2）连接AE，
∵AB为直径，
∴AE⊥BC，
由（1）知AB=AC，
∴BE=CE=，
∵△CDE∽△CBA，
∴，
∴CE•CB=CD•CA，AC=AB=4，
∴=4CD，
∴CD=
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