2015-2016学年浙江省绍兴市嵊州市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．要使二次根式有意义，则下列选择中字母x可以取的是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．下列各图形都由若干个小正方形构成，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知5个数a1、a2、a3、a4、a5的平均数是a，则数据a1+1，a2+2，a3+3，a4+4，a5+5的平均数为（ ）
A．a B．a+3 C． a D．a+15
4．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2+1=0 B．x2+4x﹣4=0 C．x2+x+=0 D．x2﹣x+=0
6．如图，▱ABCD的周长为20cm，AE平分∠BAD，若CE=2cm，则AB的长度是（ ）
A．10cm B．8cm C．6cm D．4cm
7．如图是一个近似“囧”的图形，若已知四边形ABCD是一个边长为2的正方形，点P，M，N分别是边AD、AB、CD的中点，E、H分别是PM、PN的中点，则正方形EFGH的面积是（ ）
第32页（共32页）
A．2 B．1 C． D．
8．用反证法证明“在△ABC中，若AB≠AC，则∠B≠∠C”时，第一步应假设（ ）
A．AB=AC B．AB≠AC C．∠B=∠C D．∠B≠∠C
9．如图，点E、F是四边形ABCD的边AD、BC上的点，连接EF，将四边形ABFE沿直线EF折叠，若点A，点B都落在四边形ABCD内部，记∠C+∠D=a，则下列结论一定正确的是（ ）
A．∠1+∠2=180°﹣α B．∠1+∠2=360°﹣α
C．∠1+∠2=360°﹣2α D．∠1+∠2=540°﹣2α
10．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，点D在双曲线（k≠0）上．将正方形沿x轴负方向平移a个单位长度后，点C恰好落在该双曲线上，则a的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．﹣（）2= ．
12．已知点A（﹣2，m）是反比例函数y=的图象上的一点，则m的值为 ．
13．若整数x满足|x|≤2，则使为整数的x的值是 ．
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14．若关于x的一元二次方程x2+mx+m2﹣4=0有一根为0，则m= ．
15．为积极响应嵊州市创建国家卫生城市的号召，某校利用双休日组织45名学生上街捡垃圾，他们捡到的垃圾重量如表所示：
重量（千克）
5
6
7
8
9
10
人数
3
15
8
12
5
2
这些学生捡到的垃圾重量的众数是 千克．
16．如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= ．
17．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长为 m．
18．如图，点P是正比例函数y=x与反比例函数y=在第一象限内的交点，PA⊥OP交x轴于点A，△POA的面积为2，则k的值是 ．
19．如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BEDF是菱形，且EF=AE+FC，则边BC的长为 ．
第32页（共32页）
20．如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为 ．
三、解答题
21．计算：
（1）﹣（）2
（2）÷﹣．
22．解方程：
（1）x2=2x
（2）x2﹣4x+1=0．
23．在喜迎建党九十周年之际，某校举办校园唱红歌比赛，选出10名同学担任评委，并事先拟定从如下四种方案中选择合理方案来确定演唱者的最后得分（每个评委打分最高10分）．
方案1：所有评委给分的平均分．
方案2：在所有评委中，去掉一个最高分和一个最低分，再计算剩余评委的平均分．
方案3：所有评委给分的中位数．
方案4：所有评委给分的众数．
为了探究上述方案的合理性，
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先对某个同学的演唱成绩进行统计实验，右侧是这个同学的得分统计图：
（1）分别按上述四种方案计算这个同学演唱的最后得分．
（2）根据（1）中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演唱的最后得分？
24．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．
（1）求证：BD=BE．
（2）若∠DBC=30°，AB=4，求△BED的周长．
25．阅读材料：新定义运算max{a，b}：当a≥b时，max{a，b}=a；当a＜b时，max{a，b}=b．例如：max{﹣3，x}=2请你阅读以上材料，完成下列各题．
（1）max{，3}= ．
（2）已知y=和y=k2x+b在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，当max{，k2x+b}=时，结合图象，直接写出x的取值范围．
（3）当max={﹣3x﹣1，﹣2x+3}=x2+x+3时，求x的值．
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26．已知：如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴交于点A，点B，点O关于直线AB的对称点为点O′，且点O′恰好在反比例函数y=的图象上．
（1）求点A与B的坐标；
（2）求k的值；
（3）若y轴正半轴有点P，过点P作x轴的平行线，且与反比例函数y=的图象交于点Q，设A、P、Q、O′四个点所围成的四边形的面积为S．若S=S△OAB时，求点P的坐标．
四、附加题(共20分)
27．在平行四边形ABCD中，BC=8，F为AD的中点，点E是边AB上一点，连结CE恰好有CE⊥AB．
（1）当∠B=60°时，求CE的长．
（2）当AB=4时，求∠AEF：∠EAF：∠EFD．
28．如图，在平面直角坐标系中A（﹣2，0）、B（0，1），AB=AC，且∠BAC=90°．
（1）求C点坐标；
（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式；
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（3）在（2）的条件下，直线B′C′交y轴于点G．问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMC′是平行四边形？如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
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2015-2016学年浙江省绍兴市嵊州市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．要使二次根式有意义，则下列选择中字母x可以取的是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】直接利用二次根式的定义得出x的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴x﹣3≥0，
解得：x≥3，
故字母x可以取的是：3．
故选：D．
2．下列各图形都由若干个小正方形构成，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行解答．
【解答】解：A、C、D都不是中心对称图形，只有C是中心对称图形．
故选：C．
3．已知5个数a1、a2、a3、a4、a5的平均数是a，则数据a1+1，a2+2，a3+3，a4+4，a5+5的平均数为（ ）
第32页（共32页）
A．a B．a+3 C． a D．a+15
【考点】算术平均数．
【分析】根据数据a1+1，a2+2，a3+3，a4+4，a5+5比数据a1、a2、a3、a4、a5的和多15，可得数据a1+1，a2+2，a3+3，a4+4，a5+5的平均数比a多3，据此求解即可．
【解答】解：a+[（a1+1+a2+2+a3+3+a4+4+a5+5）﹣（a1+a2+a3+a4+a5）]÷5
=a+[1+2+3+4+5]÷5
=a+15÷5
=a+3
故选：B．
4．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【分析】根据最简二次根式满足的两个条件进行判断即可．
【解答】解： =4，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
，被开方数含分母，不是最简二次根式；
是最简二次根式；
被开方数含分母，不是最简二次根式，
故选：C．
5．下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2+1=0 B．x2+4x﹣4=0 C．x2+x+=0 D．x2﹣x+=0
【考点】根的判别式．
【分析】直接利用根的判别式分别分析各选项，即可求得答案．
【解答】解：A、∵a=1，b=0，c=1，
∴△=b2﹣4ac=02﹣4×1×1=﹣4＜0，
∴此一元二次方程无实数根；
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B、∵a=1，b=4，c=﹣4，
∴△=b2﹣4ac=42﹣4×1×（﹣4）=32＞0，
∴此一元二次方程有两个不相等的实数根；
C、∵a=1，b=1，c=，
∴△=b2﹣4ac=12﹣4×1×=0，
∴此一元二次方程有两个相等的实数根；
D、∵a=1，b=﹣1，c=，
∴△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×=﹣1＜0，
∴此一元二次方程无实数根．
故选C．
6．如图，▱ABCD的周长为20cm，AE平分∠BAD，若CE=2cm，则AB的长度是（ ）
A．10cm B．8cm C．6cm D．4cm
【考点】平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的性质得出AB=CD，AD=BC，AD∥BC，推出∠DAE=∠BAE，求出∠BAE=∠AEB，推出AB=BE，设AB=CD=xcm，则AD=BC=（x+2）cm，得出方程x+x+2=10，求出方程的解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAE=∠BAE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
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设AB=CD=xcm，则AD=BC=（x+2）cm，
∵▱ABCD的周长为20cm，
∴x+x+2=10，
解得：x=4，
即AB=4cm，
故选D．
7．如图是一个近似“囧”的图形，若已知四边形ABCD是一个边长为2的正方形，点P，M，N分别是边AD、AB、CD的中点，E、H分别是PM、PN的中点，则正方形EFGH的面积是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【考点】正方形的性质；三角形中位线定理．
【分析】连接MN，由三角形中位线定理可求得EH=MN，则可求得正方形EFGH的面积．
【解答】解：
连接MN，
∵M、N分别是AB、CD的中点，
∴MN=AD=2，
∵E、H分别是PM、PN的中点，
∴EH=MN=1，
∴S正方形EFGH=EH2=1，
故选B．
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8．用反证法证明“在△ABC中，若AB≠AC，则∠B≠∠C”时，第一步应假设（ ）
A．AB=AC B．AB≠AC C．∠B=∠C D．∠B≠∠C
【考点】反证法．
【分析】根据反证法的一般步骤解答即可．
【解答】解：用反证法证明命题“在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C”，第一步应是假设∠B=∠C，
故选：C．
9．如图，点E、F是四边形ABCD的边AD、BC上的点，连接EF，将四边形ABFE沿直线EF折叠，若点A，点B都落在四边形ABCD内部，记∠C+∠D=a，则下列结论一定正确的是（ ）
A．∠1+∠2=180°﹣α B．∠1+∠2=360°﹣α
C．∠1+∠2=360°﹣2α D．∠1+∠2=540°﹣2α
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据四边形内角和为360°可得∠A+∠B=360°﹣a，进而可得∴∠AEF+∠BFE=a，再根据折叠可得：∠3+∠4=a，再由平角定义可得答案．
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠C+∠D=a，
∴∠A+∠B=360°﹣a，
∵∠A+∠B+∠AEF+∠AFE=360°，
∴∠AEF+∠BFE=360°﹣（∠A+∠B）=a，
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由折叠可得：∠3+∠4=a，
∴∠1+∠2=360°﹣2a，
故选：C．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，点D在双曲线（k≠0）上．将正方形沿x轴负方向平移a个单位长度后，点C恰好落在该双曲线上，则a的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】反比例函数综合题．
【分析】作CE⊥y轴于点E，交双曲线于点G．作DF⊥x轴于点F，易证△OAB≌△FDA≌△BEC，求得A、B的坐标，根据全等三角形的性质可以求得C、D的坐标，从而利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得G的坐标，则a的值即可求解．
【解答】解：作CE⊥y轴于点E，交双曲线于点G．作DF⊥x轴于点F．
在y=﹣3x+3中，令x=0，解得：y=3，即B的坐标是（0，3）．
令y=0，解得：x=1，即A的坐标是（1，0）．
则OB=3，OA=1．
∵∠BAD=90°，
∴∠BAO+∠DAF=90°，
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又∵直角△ABO中，∠BAO+∠OBA=90°，
∴∠DAF=∠OBA，
∵在△OAB和△FDA中，
，
∴△OAB≌△FDA（AAS），
同理，△OAB≌△FDA≌△BEC，
∴AF=OB=EC=3，DF=OA=BE=1，
故D的坐标是（4，1），C的坐标是（3，4）．代入y=得：k=4，则函数的解析式是：y=．
∴OE=4，
则C的纵坐标是4，把y=4代入y=得：x=1．即G的坐标是（1，4），
∴CG=2．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．﹣（）2= ﹣3 ．
【考点】实数的运算．
【分析】直接根据平方的定义求解即可．
【解答】解：∵（）2=3，
∴﹣（）2=﹣3．
12．已知点A（﹣2，m）是反比例函数y=的图象上的一点，则m的值为 ﹣4 ．
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【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】直接把点A（﹣2，m）代入反比例函数y=，求出m的值即可．
【解答】解：∵点A（﹣2，m）是反比例函数y=的图象上的一点，
∴m==﹣4．
故答案为：﹣4．
13．若整数x满足|x|≤2，则使为整数的x的值是 ﹣2 ．
【考点】实数．
【分析】先求出x的取值范围，再根据算术平方根的定义解答．
【解答】解：∵|x|≤2，
∴﹣2≤x≤2，
∴当x=﹣2时， ==3，
故使为整数的x的值是﹣2．
故答案为：﹣2．
14．若关于x的一元二次方程x2+mx+m2﹣4=0有一根为0，则m= ±2 ．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】根据关于x的一元二次方程x2+mx+m2﹣4=0有一根为0，将x=0代入即可求得m的值，本题得以解决．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+m2﹣4=0有一根为0，
∴m2﹣4=0，
解得，m=±2，
故答案为：±2．
15．为积极响应嵊州市创建国家卫生城市的号召，某校利用双休日组织45名学生上街捡垃圾，他们捡到的垃圾重量如表所示：
重量（千克）
5
6
7
8
9
10
第32页（共32页）
人数
3
15
8
12
5
2
这些学生捡到的垃圾重量的众数是 6 千克．
【考点】众数．
【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，依此求解即可．
【解答】解：由图表可知，6千克出现了15次，次数最多，所以众数为6千克．
故答案为6．
16．如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 360° ．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】首先根据图示，可得∠1=180°﹣∠BAE，∠2=180°﹣∠ABC，∠3=180°﹣∠BCD，∠4=180°﹣∠CDE，∠5=180°﹣∠DEA，然后根据三角形的内角和定理，求出五边形ABCDE的内角和是多少，再用180°×5减去五边形ABCDE的内角和，求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于多少即可．
【解答】解：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5
=++++
=180°×5﹣（∠BAE+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA）
=900°﹣（5﹣2）×180°
=900°﹣540°
=360°．
故答案为：360°．
17．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2
第32页（共32页）
的矩形空地，则原正方形空地的边长为 7 m．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】本题可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣2）m，宽为（x﹣3）m．根据长方形的面积公式方程可列出，进而可求出原正方形的边长．
【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有
（x﹣3）（x﹣2）=20，
解得：x1=7，x2=﹣2（不合题意，舍去）
即：原正方形的边长7m．
故答案是：7．
18．如图，点P是正比例函数y=x与反比例函数y=在第一象限内的交点，PA⊥OP交x轴于点A，△POA的面积为2，则k的值是 2 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；等腰直角三角形．
【分析】过P作PB⊥OA于B，根据一次函数的性质得到∠POA=45°，则△POA为等腰直角三角形，所以OB=AB，于是S△POB=S△POA=×2=1，然后根据反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义即可得到k的值．
【解答】解：过P作PB⊥OA于B，如图，
∵正比例函数的解析式为y=x，
∴∠POA=45°，
∵PA⊥OP，
第32页（共32页）
∴△POA为等腰直角三角形，
∴OB=AB，
∴S△POB=S△POA=×2=1，
∴k=1，
∴k=2．
故答案为2．
19．如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BEDF是菱形，且EF=AE+FC，则边BC的长为 3 ．
【考点】矩形的性质；菱形的性质．
【分析】根据矩形的性质和菱形的性质得∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，AB=BO=3，因为四边形BEDF是菱形，所以可求出BE，AE，进而可求出BC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，四边形BEDF是菱形，
∴∠A=90°，AD=BC，DE=BF，OE=OF，EF⊥BD，∠EBO=FBO，
∴AE=FC．又EF=AE+FC，
∴EF=2AE=2CF，又EF=2OE=2OF，AE=OE，
∴△ABE≌OBE，
∴∠ABE=∠OBE，
∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，
第32页（共32页）
∴BE=，
∴BF=BE=2，
∴CF=AE=，
∴BC=BF+CF=3，
故答案为：3．
20．如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为 16或4 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据翻折的性质，可得B′E的长，根据勾股定理，可得CE的长，根据等腰三角形的判定，可得答案．
【解答】解：（i）当B′D=B′C时，
过B′点作GH∥AD，则∠B′GE=90°，
当B′C=B′D时，AG=DH=DC=8，
由AE=3，AB=16，得BE=13．
由翻折的性质，得B′E=BE=13．
∴EG=AG﹣AE=8﹣3=5，
∴B′G===12，
∴B′H=GH﹣B′G=16﹣12=4，
∴DB′===4
（ii）当DB′=CD时，则DB′=16（易知点F在BC上且不与点C、B重合）．
（iii）当CB′=CD时，
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∵EB=EB′，CB=CB′，
∴点E、C在BB′的垂直平分线上，
∴EC垂直平分BB′，
由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，舍去．
综上所述，DB′的长为16或4．
故答案为：16或4．
三、解答题
21．计算：
（1）﹣（）2
（2）÷﹣．
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】根据二次根式的混合运算顺序，求出每个算式的值各是多少即可．
【解答】解：（1）﹣（）2
=4﹣5
=﹣1
第32页（共32页）
（2）÷﹣
=2﹣
=
22．解方程：
（1）x2=2x
（2）x2﹣4x+1=0．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
【分析】（1）移项然后提公因式可以解答此方程；
（2）根据配方法可以解答此方程．
【解答】解：（1）x2=2x
x2﹣2x=0
x（x﹣2）=0
∴x=0或x﹣2=0，
解得，x1=0，x2=2；
（2）x2﹣4x+1=0
x2﹣4x=﹣1
（x﹣2）2=3
x﹣2=，
∴．
23．在喜迎建党九十周年之际，某校举办校园唱红歌比赛，选出10名同学担任评委，并事先拟定从如下四种方案中选择合理方案来确定演唱者的最后得分（每个评委打分最高10分）．
方案1：所有评委给分的平均分．
方案2：在所有评委中，去掉一个最高分和一个最低分，再计算剩余评委的平均分．
方案3：所有评委给分的中位数．
第32页（共32页）
方案4：所有评委给分的众数．
为了探究上述方案的合理性，
先对某个同学的演唱成绩进行统计实验，右侧是这个同学的得分统计图：
（1）分别按上述四种方案计算这个同学演唱的最后得分．
（2）根据（1）中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演唱的最后得分？
【考点】众数；加权平均数；中位数．
【分析】本题关键是理解每种方案的计算方法：
（1）方案1：平均数=总分数÷10．
方案2：平均数=去掉一个最高分和一个最低分的总分数÷8．
方案3：10个数据，中位数应是第5个和第6个数据的平均数．
方案4：求出评委给分中，出现次数最多的分数．
（2）考虑不受极值的影响，不能有两个得分等原因进行排除．
【解答】解：（1）方案1最后得分：（3.2+7.0+7.8+3×8+3×8.4+9.8）=7.7；
方案2最后得分：（7.0+7.8+3×8+3×8.4）=8；
方案3最后得分：8；
方案4最后得分：8和8.4．
（2）因为方案1中的平均数受极端数值的影响，不适合作为这个同学演讲的最后得分，
所以方案1不适合作为最后得分的方案．
因为方案4中的众数有两个，众数失去了实际意义，所以方案4不适合作为最后得分的方案．
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24．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．
（1）求证：BD=BE．
（2）若∠DBC=30°，AB=4，求△BED的周长．
【考点】矩形的性质．
【分析】（1）根据矩形的对角线相等可得AC=BD，然后证明四边形ABEC是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等可得AC=BE，从而得证；
（2）根据矩形的对角线互相平分求出BD的长度，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD的长度，然后求出DE，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AB∥CD，
又∵BE∥AC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴AC=BE，
∴BD=BE；
（2）解：∵在矩形ABCD中，BO=4，∴BD=2BO=2×4=8，
∵∠DBC=30°，BD=BE，
∴CD=BD=×8=4，
∴AB=CD=4，DE=CD+CE=CD+AB=4+4=8，
∴△BED的周长=BD+BE+DE=8+8+8=24．．
25．阅读材料：新定义运算max{a，b}：当a≥b时，max{a，b}=a；当a＜b时，max{a，b}=b．例如：max{﹣3，x}=2请你阅读以上材料，完成下列各题．
（1）max{，3}= 3 ．
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（2）已知y=和y=k2x+b在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，当max{，k2x+b}=时，结合图象，直接写出x的取值范围．
（3）当max={﹣3x﹣1，﹣2x+3}=x2+x+3时，求x的值．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）根据新定义运算的法则进行计算即可；
（2）根据max{，k2x+b}=，得出≥k2x+b，再结合图象进行判断即可；
（3）分两种情况进行讨论：①﹣3x﹣1≥﹣2x+3时；②﹣3x﹣1＜﹣2x+3时，分别求得x的值，并检验是否符合题意即可．
【解答】解：（1）∵＜3，
∴max{，3}=3，
故答案为：3；
（2）∵max{，k2x+b}=，
∴≥k2x+b，
∴从图象可知，x的取值范围为﹣3≤x＜0或x≥2；
（3）①当﹣3x﹣1≥﹣2x+3时，解得x≤﹣4，
此时，﹣3x﹣1=x2+x+3，
解得x1=x2=﹣2（不合题意）
②当﹣3x﹣1＜﹣2x+3时，解得x＞﹣4，
此时，﹣2x+3=x2+x+3，
解得x1=0，x2=﹣3（符合题意）
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综上所述，x的值为0或﹣3．
26．已知：如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴交于点A，点B，点O关于直线AB的对称点为点O′，且点O′恰好在反比例函数y=的图象上．
（1）求点A与B的坐标；
（2）求k的值；
（3）若y轴正半轴有点P，过点P作x轴的平行线，且与反比例函数y=的图象交于点Q，设A、P、Q、O′四个点所围成的四边形的面积为S．若S=S△OAB时，求点P的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）分别令直线y=﹣x+3中的x=0，y=0即可求得A、B两点的坐标；
（2）根据对称点的性质即可；
（3）分两种情况：①当点P在点B的上方时，即：m＞3，延长AO′于PQ相交于点M，设P（0，m），由面积关系可求；②当点P在点B的上方时，即：0＜m＜3，方法同上．
【解答】解：（1）A（3，0），B（0，3）
（2）如图①
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图①
∵点O与O′关于直线AB对称，
∴由题意可得四边形OAO′B为正方形，
∴O′（3，3）
则 k=3×3=9
即：k的值为9
（3）设P（0，m），显然，点P与点B不重合
①当点P在点B的上方时，即：m＞3，
延长AO′于PQ相交于点M，如图②所示：
则：Q（，m），M（3，m）
∴PM=3，AM=m，MO′=m﹣3，QM=3﹣，
∴S=S△PMA﹣S△QMO′==×=
∴﹣（3﹣m）（m+3）=，
解之得：m=6
②当点P在点B的上方时，即：0＜m＜3，如图③所示：
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显然，PQ⊥AO′，
∴S=•PQ•AO′=×3×=，
∴m=2
∴P（0，2）或（0，6）
四、附加题(共20分)
27．在平行四边形ABCD中，BC=8，F为AD的中点，点E是边AB上一点，连结CE恰好有CE⊥AB．
（1）当∠B=60°时，求CE的长．
（2）当AB=4时，求∠AEF：∠EAF：∠EFD．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】（1）由已知条件得出∠BEC=90°，∠BCE=30°，得出BE=BC=4，由勾股定理求出CE即可；
（2）取BC的中点G，连接FG交CE于O，证出四边形ABGF和四边形CDFG都是菱形，且O为CE的中点，得出∠AEF=∠EFG，∠DFC=∠CFG，OF为CE的中垂线，得出∠EFG=∠CFG，因此∠EFD=3∠AEF，得出∠FAE=∠EFD﹣∠AEF=2∠AEF，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵CE⊥AB，
∴∠BEC=90°，
∵∠B=60°，
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∴∠BCE=30°，
∴BE=BC=4，
∴CE===4；
（2）取BC的中点G，连接FG交CE于O，连接CF，如图所示：
∵BC=8，AB=4，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABGF和四边形CDFG都是菱形，且O为CE的中点，
∴∠AEF=∠EFG，∠DFC=∠CFG，OF为CE的中垂线，
∴EF=CF，
∴∠EFG=∠CFG，
∴∠EFD=3∠AEF，
∴∠FAE=∠EFD﹣∠AEF=2∠AEF，
∴∠AEF：∠EAF：∠EFD=1：2：3．
28．如图，在平面直角坐标系中A（﹣2，0）、B（0，1），AB=AC，且∠BAC=90°．
（1）求C点坐标；
（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线B′C′交y轴于点G．问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMC′是平行四边形？如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
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【考点】反比例函数综合题．
【分析】（1）作CN⊥x轴于点N，通过角的计算得出∠NAC=∠OBA，结合相等的直角以及AC=AB即可证出Rt△CNA≌Rt△AOB（AAS），进而得出ON和CN的长度，此题得解；
（2）设反比例函数解析式为y=，C′（c，2），根据平移的性质结合点B、C的坐标即可得出点B′的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、c的二元一次方程组，解方程组即可得出k、c值，由此即可得出反比例函数解析式与点B′、C′坐标，根据点B′、C′坐标利用待定系数法即可求出直线B′C′的解析式；
（3）假设存在，根据直线B′C′的解析式即可求出点G的坐标，设点M（t，0），根据平行四边形的性质即可得出点P的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于t的分式方程，解方程即可得出t值，将t值代入点M、P的坐标即可得出结论．
【解答】解：（1）作CN⊥x轴于点N，如图1所示．
∵∠BAC=90°，
∴∠NAC+∠OAB=90°，
∵∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠NAC=∠OBA．
在Rt△CNA和Rt△AOB中，，
∴Rt△CNA≌Rt△AOB（AAS），
∴AN=BO=1，NO=NA+AO=3，CN=AO=2，
∴C点坐标为（﹣3，2）．
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（2）设反比例函数解析式为y=，
∵C（﹣3，2），B（0，1），
∴设C′（c，2），则B′（c+3，1）．
∵点B′和C′在反比例函数图象上，
∴，解得：，
∴反比例函数解析式为y=．
∵c=3，
∴C′（3，2），B′（6，1），
设直线B′C′的解析式为y=mx+n，
则，解得：，
∴直线B′C′的解析式位y=﹣x+3．
（3）假设存在，
令y=﹣x+3中x=0，则y=3，
∴G（0，3），
设点M（t，0），则P（0+3﹣t，3+2﹣0），即（3﹣t，5），
∵点P在反比例函数y=的图象上，
∴5=，解得：t=，
经检验t=是方程5=的解，
∴M（，0），P（，5）．
故存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMC′是平行四边形，点M的坐标为（，0），点P的坐标为（，5）．
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2017年2月26日
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