松原市宁江区2017届九年级上期末数学试卷含答案解析.doc

‎2016-2017学年吉林省松原市宁江区九年级（上）期末数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（每小题3分，共12分）‎ ‎1．我国经济快速发展，轿车进入百姓家庭，小明同学在街头观察出下列四种汽车标志，其中是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，那么cosA的值等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是（　　）‎ A．AE=BE B． = C．OE=DE D．∠DBC=90°‎ ‎5．将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（　　）‎ A．y=3（x+2）2+3 B．y=3（x﹣2）2+3 C．y=3（x+2）2﹣3 D．y=3（x﹣2）2﹣3‎ ‎6．若ab＞0，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=‎ 第27页（共27页）‎ 在同一坐标系数中的大致图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题3分，共24分）‎ ‎7．方程x2=2x的根为　　．‎ ‎8．已知=3，则=　　．‎ ‎9．抛物线y=（x﹣1）2﹣3的顶点坐标是　　．‎ ‎10．如图，铁道路口的栏杆短臂长1m，长臂长16m，当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高为　　．（杆的宽度忽略不计）‎ ‎11．如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC．若∠BCD=50°，则∠AOC的度数为　　．‎ ‎12．某校去年投资2万元购买实验器材，预计今明2年的投资总额为8万元．若该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x，则可列方程为　　．‎ ‎13．如图，在平面直角坐标系中，点A是函数y=（k＜0，x＜0）图象上的点，过点A与y轴垂直的直线交y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥‎ 第27页（共27页）‎ AD．若四边形ABCD的面积为3，则k值为　　．‎ ‎14．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③a+b+c=0；④若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，其中正确结论是：　　（填上序号即可）‎ ‎　‎ 三、解答题（一）（每小题5分，共20分）‎ ‎15．计算：（π﹣3.14）0﹣|sin60°﹣4|+（）﹣1．‎ ‎16．解方程：x2﹣1=2（x+1）．‎ ‎17．先化简： •（x），然后x在﹣1，0，1，2四个数中选一个你认为合适的数代入求值．‎ ‎18．某学校为了了解九年级学生“一份中内跳绳次数”的情况，随机选取了3名女生和2名男生，从这5名学生中，选取2名同时跳绳，请你用列表或画树状图求恰好选中一男一女的概率是多少？‎ ‎　‎ 四、解答题（二）（每小题7分，共28分）‎ ‎19．△ABC的顶点坐标为A（﹣2，3）、B（﹣3，1）、C（﹣1，2），以坐标原点O为旋转中心，顺时针旋转90°，得到△A′B′C′，点B′、C′分别是点B、C的对应点．‎ 第27页（共27页）‎ ‎（1）求过点B′的反比例函数解析式；‎ ‎（2）求线段CC′的长．‎ ‎20．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE=4，连接EF交CD于G．若=，求AD的长．‎ ‎21．如图，在平面直径坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象上有一点A（m，4），过点A作AB⊥x轴于点B，将点B向右平移2个单位长度得到点C，过点C作y轴的平行线交反比例函数的图象于点D，CD=‎ ‎（1）点D的横坐标为　　（用含m的式子表示）；‎ ‎（2）求反比例函数的解析式．‎ ‎22．如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南安边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60m到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向．回答下列问题：‎ ‎（1）∠CBA的度数为　　．‎ ‎（2）求出这段河的宽（结果精确到1m，备用数据≈1.41，≈1.73．‎ 第27页（共27页）‎ ‎　‎ 五、解答题（三）（每小题10分，共20分）‎ ‎23．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC，∠MAC=∠CAB，作CD⊥AM，垂足为D．‎ ‎（1）求证：CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）若∠ACD=30°，AD=4，求图中阴影部分的面积．‎ ‎24．课本中有一个例题：‎ 有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？‎ 这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05m2．‎ 我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题：‎ ‎（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积？‎ ‎（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．‎ 第27页（共27页）‎ ‎　‎ 六、解答题（四）（每小题10分，共20分）‎ ‎25．正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线L经过O、P、A三点，点E是正方形内的抛物线上的动点．‎ ‎（1）建立适当的平面直角坐标系，‎ ‎①直接写出O、P、A三点坐标；‎ ‎②求抛物线L的解析式；‎ ‎（2）求△OAE与△OCE面积之和的最大值．‎ ‎26．已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为E、F，点O为AC的中点．‎ ‎（1）当点P与点O重合时如图1，求证：OE=OF ‎（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当点P在对角线AC上时，且∠OFE=30°时，如图2，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？并给予证明．‎ ‎（3）当点P在对角线CA的延长线上时，且∠OFE=30°时，如图3，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？直接写出结论即可．‎ ‎　‎ 第27页（共27页）‎ ‎2016-2017学年吉林省松原市宁江区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题3分，共12分）‎ ‎1．我国经济快速发展，轿车进入百姓家庭，小明同学在街头观察出下列四种汽车标志，其中是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】中心对称图形．‎ ‎【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．‎ ‎【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项正确；‎ B、不是中心对称图形，故本选项错误；‎ C、不是中心对称图形，故本选项错误；‎ D、不是中心对称图形，故本选项错误．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎2．一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】概率公式．‎ ‎【分析】直接得出偶数的个数，再利用概率公式求出答案．‎ ‎【解答】解：∵一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，‎ ‎∴朝上一面的数字是偶数的概率为： =．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 第27页（共27页）‎ ‎3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，那么cosA的值等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．‎ ‎【分析】首先运用勾股定理求出斜边的长度，再利用锐角三角函数的定义求解．‎ ‎【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，‎ ‎∴AB=．‎ ‎∴cosA=，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是（　　）‎ A．AE=BE B． = C．OE=DE D．∠DBC=90°‎ ‎【考点】垂径定理；圆周角定理．‎ ‎【分析】根据垂径定理及圆周角定理对各选项进行逐一分析即可．‎ ‎【解答】解：∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，‎ ‎∴AE=BE， =，故A、B正确；‎ ‎∵CD是⊙O的直径，‎ ‎∴∠DBC=90°，故D正确．‎ 故选C．‎ ‎　‎ 第27页（共27页）‎ ‎5．将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（　　）‎ A．y=3（x+2）2+3 B．y=3（x﹣2）2+3 C．y=3（x+2）2﹣3 D．y=3（x﹣2）2﹣3‎ ‎【考点】二次函数图象与几何变换．‎ ‎【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．‎ ‎【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=3x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y=3x2+3；‎ 由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=3x2+3向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：y=3（x+2）2+3．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎6．若ab＞0，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一坐标系数中的大致图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．‎ ‎【分析】根据ab＞0，可得a、b同号，结合一次函数及反比例函数的特点进行判断即可．‎ ‎【解答】解：A、根据一次函数可判断a＞0，b＞0，根据反比例函数可判断ab＞0，故符合题意，本选项正确；‎ B、根据一次函数可判断a＜0，b＜0，根据反比例函数可判断ab＜0，故不符合题意，本选项错误；‎ C、根据一次函数可判断a＜0，b＞0，根据反比例函数可判断ab＞‎ 第27页（共27页）‎ ‎0，故不符合题意，本选项错误；‎ D、根据一次函数可判断a＞0，b＞0，根据反比例函数可判断ab＜0，故不符合题意，本选项错误；‎ 故选A．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题3分，共24分）‎ ‎7．方程x2=2x的根为　x1=0，x2=2　．‎ ‎【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．‎ ‎【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．‎ ‎【解答】解：x2=2x，‎ x2﹣2x=0，‎ x（x﹣2）=0，‎ x=0，或x﹣2=0，‎ x1=0，x2=2，‎ 故答案为：x1=0，x2=2．‎ ‎　‎ ‎8．已知=3，则=　2　．‎ ‎【考点】比例的性质．‎ ‎【分析】根据比例的合比性质即可求解．‎ ‎【解答】解：∵=3，‎ ‎∴=3﹣1=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎9．抛物线y=（x﹣1）2﹣3的顶点坐标是　（1，﹣3）　．‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【分析】根据抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k）直接写出即可．‎ ‎【解答】解：抛物线y=（x﹣1）2﹣3的顶点坐标是（1，﹣3）．‎ 故答案为（1，﹣3）．‎ ‎　‎ 第27页（共27页）‎ ‎10．如图，铁道路口的栏杆短臂长1m，长臂长16m，当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高为　8m　．（杆的宽度忽略不计）‎ ‎【考点】相似三角形的应用．‎ ‎【分析】由题意证△ABO∽△CDO，可得，即=，解之可得．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 由题意知∠BAO=∠C=90°，‎ ‎∵∠AOB=∠COD，‎ ‎∴△ABO∽△CDO，‎ ‎∴，即=，‎ 解得：CD=8，‎ 故答案为：8m．‎ ‎　‎ ‎11．如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC．若∠BCD=50°，则∠AOC的度数为　80°　．‎ ‎【考点】切线的性质．‎ ‎【分析】根据切线的性质得出∠OCD=90°，进而得出∠OCB=40°，再利用圆心角等于圆周角的2倍解答即可．‎ ‎【解答】解：∵在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，‎ ‎∴∠OCD=90°，‎ 第27页（共27页）‎ ‎∵∠BCD=50°，‎ ‎∴∠OCB=40°，‎ ‎∴∠AOC=80°．‎ 故答案为：80°．‎ ‎　‎ ‎12．某校去年投资2万元购买实验器材，预计今明2年的投资总额为8万元．若该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x，则可列方程为　2（1+x）+2（1+x）2=8　．‎ ‎【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．‎ ‎【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x，根据题意可得出的方程．‎ ‎【解答】解：设该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x，‎ 今年的投资金额为：2（1+x）；‎ 明年的投资金额为：2（1+x）2；‎ 所以根据题意可得出的方程：2（1+x）+2（1+x）2=8．‎ 故答案为：2（1+x）+2（1+x）2=8．‎ ‎　‎ ‎13．如图，在平面直角坐标系中，点A是函数y=（k＜0，x＜0）图象上的点，过点A与y轴垂直的直线交y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD．若四边形ABCD的面积为3，则k值为　﹣3　．‎ ‎【考点】反比例函数系数k的几何意义．‎ ‎【分析】根据已知条件得到四边形ABCD是平行四边形，于是得到四边形AEOB的面积=AB•OE，由于S平行四边形ABCD=AB•CD=3，得到四边形AEOB的面积=3，即可得到结论．‎ 第27页（共27页）‎ ‎【解答】解：∵AB⊥y轴，‎ ‎∴AB∥CD，‎ ‎∵BC∥AD，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴四边形AEOB的面积=AB•OE，‎ ‎∵S平行四边形ABCD=AB•CD=3，‎ ‎∴四边形AEOB的面积=3，‎ ‎∴|k|=3，‎ ‎∵＜0，‎ ‎∴k=﹣3，‎ 故答案为：﹣3．‎ ‎　‎ ‎14．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③a+b+c=0；④若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，其中正确结论是：　①③④　（填上序号即可）‎ ‎【考点】二次函数图象与系数的关系．‎ ‎【分析】①根据抛物线与x轴交点个数可判断；②根据抛物线对称轴可判断；③根据抛物线与x轴的另一个交点坐标可判断；④根据B、C两点到对称轴的距离，可判断．‎ 第27页（共27页）‎ ‎【解答】解：由函数图象可知抛物线与x轴有2个交点，‎ ‎∴b2﹣4ac＞0即b2＞4ac，故①正确；‎ ‎∵对称轴为直线x=﹣1，‎ ‎∴﹣=﹣1，即2a﹣b=0，故②错误；‎ ‎∵抛物线与x轴的交点A坐标为（﹣3，0）且对称轴为x=﹣1，‎ ‎∴抛物线与x轴的另一交点为（1，0），‎ ‎∴将（1，0）代入解析式可得，a+b+c=0，故③正确；‎ ‎∵a＜0，‎ ‎∴开口向下，‎ ‎∵|﹣+1|=，|﹣+1=，‎ ‎∴y1＜y2，故④正确；‎ 综上，正确的结论是：①③④，‎ 故答案为①③④．‎ ‎　‎ 三、解答题（一）（每小题5分，共20分）‎ ‎15．计算：（π﹣3.14）0﹣|sin60°﹣4|+（）﹣1．‎ ‎【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．‎ ‎【分析】本题涉及零指数幂、二次根式化简、绝对值、特殊角的三角函数值四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．‎ ‎【解答】解：：（π﹣3.14）0﹣|sin60°﹣4|+（）﹣1‎ ‎=1﹣|2×﹣4|+2‎ ‎=1﹣|﹣1|+2‎ ‎=2．‎ ‎　‎ ‎16．解方程：x2﹣1=2（x+1）．‎ 第27页（共27页）‎ ‎【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．‎ ‎【分析】首先把x2﹣1化为（x+1）（x﹣1），然后提取公因式（x+1），进而求出方程的解．‎ ‎【解答】解：∵x2﹣1=2（x+1），‎ ‎∴（x+1）（x﹣1）=2（x+1），‎ ‎∴（x+1）（x﹣3）=0，‎ ‎∴x1=﹣1，x2=3．‎ ‎　‎ ‎17．先化简： •（x），然后x在﹣1，0，1，2四个数中选一个你认为合适的数代入求值．‎ ‎【考点】分式的化简求值．‎ ‎【分析】利用分解因式、完全平方公式以及通分法化简原分式，再分析给定的数据中使原分式有意义的x的值，将其代入化简后的算式中即可得出结论．‎ ‎【解答】解：原式=••，‎ ‎=•，‎ ‎=x+1．‎ ‎∵在﹣1，0，1，2四个数中，使原式有意义的值只有2，‎ ‎∴当x=2时，原式=2+1=3．‎ ‎　‎ ‎18．某学校为了了解九年级学生“一份中内跳绳次数”的情况，随机选取了3名女生和2名男生，从这5名学生中，选取2名同时跳绳，请你用列表或画树状图求恰好选中一男一女的概率是多少？‎ ‎【考点】列表法与树状图法．‎ ‎【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出选中一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．‎ ‎【解答】解：画树状图为：‎ 第27页（共27页）‎ 共12种等可能的结果数，其中选中一男一女的结果数为12，‎ 所以恰好选中一男一女的概率==．‎ ‎　‎ 四、解答题（二）（每小题7分，共28分）‎ ‎19．△ABC的顶点坐标为A（﹣2，3）、B（﹣3，1）、C（﹣1，2），以坐标原点O为旋转中心，顺时针旋转90°，得到△A′B′C′，点B′、C′分别是点B、C的对应点．‎ ‎（1）求过点B′的反比例函数解析式；‎ ‎（2）求线段CC′的长．‎ ‎【考点】待定系数法求反比例函数解析式；坐标与图形变化﹣旋转．‎ ‎【分析】（1）据图形旋转方向以及旋转中心和旋转角度得出对应点，根据待定系数法，即可求出解．‎ ‎（2）根据勾股定理求得OC，然后根据旋转的旋转求得OC′，最后根据勾股定理即可求得．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示：由图知B点的坐标为（﹣3，1），根据旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，‎ 点B的对应点B′的坐标为（1，3），‎ 设过点B′的反比例函数解析式为y=，‎ ‎∴k=3×1=3，‎ 第27页（共27页）‎ ‎∴过点B′的反比例函数解析式为y=．‎ ‎（2）∵C（﹣1，2），‎ ‎∴OC==，‎ ‎∵△ABC以坐标原点O为旋转中心，顺时针旋转90°，‎ ‎∴OC′=OC=，‎ ‎∴CC′==．‎ ‎　‎ ‎20．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE=4，连接EF交CD于G．若=，求AD的长．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．‎ ‎【分析】根据相似三角形的判定与性质，可得答案．‎ ‎【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，AD=BC，‎ ‎∵DF∥EC，‎ ‎∴△DFG∽CEG，‎ ‎∴==，‎ ‎∴CE=6，‎ ‎∴AD=BC=BE+CE=10．‎ ‎　‎ ‎21．如图，在平面直径坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象上有一点A（m，4），过点A作AB⊥x轴于点B，将点B向右平移2个单位长度得到点C，过点C作y轴的平行线交反比例函数的图象于点D，CD=‎ ‎（1）点D的横坐标为　m+2　（用含m的式子表示）；‎ ‎（2）求反比例函数的解析式．‎ 第27页（共27页）‎ ‎【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化﹣平移．‎ ‎【分析】（1）由点A（m，4），过点A作AB⊥x轴于点B，将点B向右平移2个单位长度得到点C，可求得点C的坐标，又由过点C作y轴的平行线交反比例函数的图象于点D，CD=，即可表示出点D的横坐标；‎ ‎（2）由点D的坐标为：（m+2，），点A（m，4），即可得方程4m=（m+2），继而求得答案．‎ ‎【解答】解：（1）∵A（m，4），AB⊥x轴于点B，‎ ‎∴B的坐标为（m，0），‎ ‎∵将点B向右平移2个单位长度得到点C，‎ ‎∴点C的坐标为：（m+2，0），‎ ‎∵CD∥y轴，‎ ‎∴点D的横坐标为：m+2；‎ 故答案为：m+2；‎ ‎（2）∵CD∥y轴，CD=，‎ ‎∴点D的坐标为：（m+2，），‎ ‎∵A，D在反比例函数y=（x＞0）的图象上，‎ ‎∴4m=（m+2），‎ 解得：m=1，‎ ‎∴点A的坐标为（1，4），‎ ‎∴k=4m=4，‎ ‎∴反比例函数的解析式为：y=．‎ 第27页（共27页）‎ ‎　‎ ‎22．如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南安边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60m到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向．回答下列问题：‎ ‎（1）∠CBA的度数为　15°　．‎ ‎（2）求出这段河的宽（结果精确到1m，备用数据≈1.41，≈1.73．‎ ‎【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．‎ ‎【分析】（1）根据三角形的外角的性质、结合题意计算即可；‎ ‎（2）作BD⊥CA交CA的延长线于D，设BD=xm，根据正切的定义用x表示出CD、AD，根据题意列出方程，解方程即可．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得，∠BAD=45°，∠BCA=30°，‎ ‎∴∠CBA=∠BAD﹣∠BCA=15°．‎ 故答案为15°；‎ ‎（2）作BD⊥CA交CA的延长线于D，‎ 设BD=xm，‎ ‎∵∠BCA=30°，‎ ‎∴CD==x，‎ ‎∵∠BAD=45°，‎ ‎∴AD=BD=x，‎ ‎∵CD﹣AD=AC=60，‎ ‎∴x﹣x=60，‎ 解得x=30（+1）≈82，‎ 答：这段河的宽约为82m．‎ 第27页（共27页）‎ ‎　‎ 五、解答题（三）（每小题10分，共20分）‎ ‎23．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC，∠MAC=∠CAB，作CD⊥AM，垂足为D．‎ ‎（1）求证：CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）若∠ACD=30°，AD=4，求图中阴影部分的面积．‎ ‎【考点】切线的判定；扇形面积的计算．‎ ‎【分析】（1）先证明OC∥AM，由CD⊥AM，推出OC⊥CD即可解决问题．‎ ‎（2）根据S阴=S△ACD﹣（S扇形OAC﹣S△AOC）计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）连接OC．‎ ‎∵OA=OC．‎ ‎∴∠OAC=∠OCA，‎ ‎∵∠MAC=∠OAC，‎ ‎∴∠MAC=∠OCA，‎ ‎∴OC∥AM，‎ ‎∵CD⊥AM，‎ ‎∴OC⊥CD，‎ ‎∴CD是⊙O的切线．‎ ‎（2）在RT△ACD中，∵∠ACD=30°，AD=4，∠ADC=90°，‎ ‎∴AC=2AD=8，CD=AD=4，‎ 第27页（共27页）‎ ‎∵∠MAC=∠OAC=60°，OA=OC，‎ ‎∴△AOC是等边三角形，‎ ‎∴S阴=S△ACD﹣（S扇形OAC﹣S△AOC）‎ ‎=×4×4﹣（﹣×82）‎ ‎=24﹣π．‎ ‎　‎ ‎24．课本中有一个例题：‎ 有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？‎ 这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05m2．‎ 我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题：‎ ‎（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积？‎ ‎（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．‎ ‎【考点】二次函数的应用．‎ ‎【分析】（1）根据矩形和正方形的周长进行解答即可；‎ ‎（2）设AB为xcm，利用二次函数的最值解答即可．‎ 第27页（共27页）‎ ‎【解答】解：（1）由已知可得：AD=，‎ 则S=1×m2，‎ ‎（2）设AB=xm，则AD=3﹣m，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 设窗户面积为S，由已知得：‎ ‎，‎ 当x=m时，且x=m在的范围内，，‎ ‎∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大．‎ ‎　‎ 六、解答题（四）（每小题10分，共20分）‎ ‎25．正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线L经过O、P、A三点，点E是正方形内的抛物线上的动点．‎ ‎（1）建立适当的平面直角坐标系，‎ ‎①直接写出O、P、A三点坐标；‎ ‎②求抛物线L的解析式；‎ ‎（2）求△OAE与△OCE面积之和的最大值．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）以O点为原点，线段OA所在的直线为x轴，线段OC所在的直线为y轴建立直角坐标系．①根据正方形的边长结合正方形的性质即可得出点O、P、A三点的坐标；②设抛物线L的解析式为y=ax2+bx+c，结合点O、P、A的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；‎ 第27页（共27页）‎ ‎（2）由点E为正方形内的抛物线上的动点，设出点E的坐标，结合三角形的面积公式找出S△OAE+SOCE关于m的函数解析式，根据二次函数的性质即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）以O点为原点，线段OA所在的直线为x轴，线段OC所在的直线为y轴建立直角坐标系，如图所示．‎ ‎①∵正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，‎ ‎∴点O的坐标为（0，0），点A的坐标为（4，0），点P的坐标为（2，2）．‎ ‎②设抛物线L的解析式为y=ax2+bx+c，‎ ‎∵抛物线L经过O、P、A三点，‎ ‎∴有，‎ 解得：，‎ ‎∴抛物线L的解析式为y=﹣+2x．‎ ‎（2）∵点E是正方形内的抛物线上的动点，‎ ‎∴设点E的坐标为（m，﹣+2m）（0＜m＜4），‎ ‎∴S△OAE+SOCE=OA•yE+OC•xE=﹣m2+4m+2m=﹣（m﹣3）2+9，‎ ‎∴当m=3时，△OAE与△OCE面积之和最大，最大值为9．‎ ‎　‎ ‎26．已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为E、F，点O为AC的中点．‎ 第27页（共27页）‎ ‎（1）当点P与点O重合时如图1，求证：OE=OF ‎（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当点P在对角线AC上时，且∠OFE=30°时，如图2，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？并给予证明．‎ ‎（3）当点P在对角线CA的延长线上时，且∠OFE=30°时，如图3，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？直接写出结论即可．‎ ‎【考点】四边形综合题．‎ ‎【分析】（1）由△AOE≌△COF即可得出结论．‎ ‎（2）图2中的结论为：CF=OE+AE，延长EO交CF于点G，只要证明△EOA≌△GOC，△OFG是等边三角形，即可解决问题．‎ ‎（3）图3中的结论为：CF=OE﹣AE，延长EO交FC的延长线于点G，证明方法类似．‎ ‎【解答】解：（1）∵AE⊥PB，CF⊥BP，‎ ‎∴∠AEO=∠CFO=90°，‎ 在△AEO和△CFO中，‎ ‎，‎ ‎∴△AOE≌△COF（AAS），‎ ‎∴OE=OF．‎ ‎（2）图2中的结论为：CF=OE+AE．‎ ‎ 图3中的结论为：CF=OE﹣AE．‎ 选图2中的结论证明如下：‎ 延长EO交CF于点G，‎ ‎∵AE⊥BP，CF⊥BP，‎ 第27页（共27页）‎ ‎∴AE∥CF，‎ ‎∴∠EAO=∠GCO，‎ 在△EOA和△GOC中，‎ ‎，‎ ‎∴△EOA≌△GOC（ASA），‎ ‎∴EO=GO，AE=CG，‎ 在Rt△EFG中，∵EO=OG，‎ ‎∴OE=OF=GO，‎ ‎∵∠OFE=30°，‎ ‎∴∠OFG=90°﹣30°=60°，‎ ‎∴△OFG是等边三角形，‎ ‎∴OF=GF，‎ ‎∵OE=OF，‎ ‎∴OE=FG，‎ ‎∵CF=FG+CG，‎ ‎∴CF=OE+AE．‎ 选图3的结论证明如下：‎ 延长EO交FC的延长线于点G，‎ ‎∵AE⊥BP，CF⊥BP，‎ ‎∴AE∥CF，‎ ‎∴∠AEO=∠G，‎ 在△AOE和△COG中，‎ ‎，‎ ‎∴△AOE≌△COG（AAS），‎ ‎∴OE=OG，AE=CG，‎ 在Rt△EFG中，∵OE=OG，‎ ‎∴OE=OF=OG，‎ 第27页（共27页）‎ ‎∵∠OFE=30°，‎ ‎∴∠OFG=90°﹣30°=60°，‎ ‎∴△OFG是等边三角形，‎ ‎∴OF=FG，‎ ‎∵OE=OF，‎ ‎∴OE=FG，‎ ‎∵CF=FG﹣CG，‎ ‎∴CF=OE﹣AE．‎ ‎　‎ 第27页（共27页）‎ ‎2017年2月28日 第27页（共27页）‎