2016年江苏省泰州市靖江外国语学校中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）
1．如图，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，则下列结论正确的是（ ）
A．a+b＞0 B．ab＞0 C．a﹣b＞0 D．|a|﹣|b|＞0
2．若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则满足条件的m的所有正整数值是（ ）
A．1，2，3，4 B．1，2，3 C．1，2 D．1
3．如图，AB是半圆O的直径，∠DBA=20°，则∠C的大小是（ ）
A．70° B．100° C．110° D．140°
4．已知a，b是实数，设A=，B=，C=，则下列各式中，错误的是（ ）
A．A≤C B．B≥C C．A+B=2C D．A2+B2=C2
5．国际数学家大会的会标如图1所示，把这个图案沿图中线段剪开后，能拼成如图2所示的四个图形，则其中是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个
6．如图，在直角坐标系中放置一个边长为的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为（ ）
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A．π+π B．2π+2 C．3π+3π D．6π+6
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接写在答题纸相应位置）
7．﹣5的绝对值是 ．
8．根据有关方面统计，2015年全国普通高考报考人数大约9420000人，数据9420000用科学记数法表示为 ．
9．如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°．则圆锥的母线是 ．
10．有一组数据：1，3，3，4，4，这组数据的方差为 ．
11．不等式组的解集为 ．
12．“微信发红包”是刚刚兴起的一种娱乐方式，为了解所在单位员工春节期间使用微信发红包的情况，小红随机调查了15名同事，结果如表：
平均每个红包的钱数（元）
2
5
10
20
50
人数
7
4
2
1
1
则此次调查中平均每个红包的钱数的众数为 元，中位数为 元．
13．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积为 ．
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14．在同一直角坐标系中，点A、B分别是函数y=x﹣1与y=﹣3x+5的图象上的点，且点A、B关于原点对称，则点A的横坐标为 ．
15．如图，直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3．把一块含有45°角的直角三角板如图所示放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为 ．
16．在△ABC中，已知AC=6，BC=8，当∠B最大时，AB= ．
三、解答题（本大题共有10小题，共102分）
17．（1）计算：（﹣）﹣1﹣tan45°+（π﹣2016）0﹣
（2）化简：．
18．如图，线段AB绕点O顺时针旋转一定的角度得到线段A1B1．
（1）请用直尺和圆规作出旋转中心O（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接OA、OA1、OB、OB1，如果∠AO A1=∠BOB1=α；OA=OA1=a；OB=OB1=b．则线段AB扫过的面积是 ．
19．某校为了解“理化生实验操作”考试的备考情况，随机抽取了一部分九年级学生进行测试，测试结果分为“优秀”、“良好”、“合格”、“不合格”四个等级，分别记为A、B、C、D．根据测试结果绘制了如下尚不完整的统计图．
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（1）本次测试共随机抽取了 名学生．请根据数据信息补全条形统计图；
（2）若该校九年级的600名学生全部参加本次测试，请估计测试成绩等级在合格以上（包括合格）的学生约有多少人？
20．妈妈买回6个粽子，其中1个花生馅，2个肉馅，3个枣馅．从外表看，6个粽子完全一样，女儿有事先吃．
（1）若女儿只吃一个粽子，则她吃到肉馅的概率是 ；
（2）若女儿只吃两个粽子，求她吃到一个枣馅、一个肉馅的概率．
21．某市在道路改造过程中，需要铺设一条为2000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程，已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设600米所用的天数与乙工程队铺设500米所用的天数相同，甲、乙工程队每天各能铺设多少米？
22．如图，正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连结EB、ED，延长BE交AD于点F．
（1）求证：∠BEC=∠DEC；
（2）当CE=CD时，求证：DF2=FE•FB．
23．如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为6米，落在广告牌上的影子CD的长为4米，求铁塔AB的高（AB，CD均与水平面垂直，结果保留根号）．
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24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+4经过A（﹣3，0）、B（4，0）两点，且与y轴交于点C，点D在x轴的负半轴上，且BD=BC，点Q是CA边上一个动点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点M为抛物线的对称轴上一个动点，求点M的坐标使MQ+MA的值最小．
25．【发现】如图1∠ACB=∠ADB=90°，
那么点D在经过A，B，C三点的圆上（如图1①）
【思考】
如图1②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（点C，D在AB的同侧），那么点D还在经过A，B，C三点的圆上吗？图中卡通人证明了D不在⊙O外，请你画图证明点D也不在⊙O内．
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【应用】：利用【发现】和【思考】中的结论解决以下问题：
如图2，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CA=6，，若将△ACB绕点A顺时针旋转得Rt△AC′B′，旋转角为α（0°≤α≤180°）连结CC′交BB′于点F，交AB边于点O．
（1）请证明：∠BFO=∠CAO．
（2）若CA=CO=6，求则OF的长．
（3）在运动过程中，请证明F永远是BB′的中点，并直接写出点F的运动路线长．
26．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的密距，记为d（M，N）．特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）=0．
（1）如图1，⊙O的半径为2，
①点A（0，1），B（4，3），则d（A，⊙O）= ，d（B，⊙O）= ．
②已知直线l：y=与⊙O的密距d（l，⊙O）=，求b的值．
（2）如图2，C为x轴正半轴上一点，⊙C的半径为1，直线y=﹣与x轴交于点D，与y轴交于点E，线段DE与⊙C的密距d（DE，⊙C）＜．请直接写出圆心C的横坐标m的取值范围．
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2016年江苏省泰州市靖江外国语学校中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）
1．如图，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，则下列结论正确的是（ ）
A．a+b＞0 B．ab＞0 C．a﹣b＞0 D．|a|﹣|b|＞0
【考点】实数与数轴．
【分析】本题要先观察a，b在数轴上的位置，得b＜﹣1＜0＜a＜1，然后对四个选项逐一分析．
【解答】解：A、∵b＜﹣1＜0＜a＜1，∴|b|＞|a|，∴a+b＜0，故选项A错误；
B、∵b＜﹣1＜0＜a＜1，∴ab＜0，故选项B错误；
C、∵b＜﹣1＜0＜a＜1，∴a﹣b＞0，故选项C正确；
D、∵b＜﹣1＜0＜a＜1，∴|a|﹣|b|＜0，故选项D错误．
故选：C．
2．若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则满足条件的m的所有正整数值是（ ）
A．1，2，3，4 B．1，2，3 C．1，2 D．1
【考点】二元一次方程组的解．
【分析】方程组两方程相加表示出x+y，代入所求不等式计算确定出m的范围，即可确定出m的正整数值．
【解答】解：，
①+②得：3（x+y）=﹣3m+6，
解得：x+y=﹣m+2，
代入得：﹣m+2＞，
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解得：m＜，
则满足条件的m的所有正整数值是1，
故选D
3．如图，AB是半圆O的直径，∠DBA=20°，则∠C的大小是（ ）
A．70° B．100° C．110° D．140°
【考点】圆周角定理．
【分析】先根据圆周角定理求出∠ADB的度数，再由直角三角形的性质求出∠A的度数，根据圆内接四边形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵∠DBA=20°，
∴∠DAB=90°﹣20°=70°．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠C=180°﹣∠DAB=180°﹣70°=110°．
故选C．
4．已知a，b是实数，设A=，B=，C=，则下列各式中，错误的是（ ）
A．A≤C B．B≥C C．A+B=2C D．A2+B2=C2
【考点】实数大小比较．
【分析】分两种情况：a≤b，a＞b，进行讨论即可求解．
【解答】解：当a≤b时，
A=a，B=b，C=，
则A≤C，B≥C，A+B=2C，无法确定A2+B2=C2；
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当a＞b时，
A=b，B=a，C=，
则A＜C，B＞C，A+B=2C，无法确定A2+B2=C2；
故选：D．
5．国际数学家大会的会标如图1所示，把这个图案沿图中线段剪开后，能拼成如图2所示的四个图形，则其中是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可
【解答】解：图2所示的四个图形中是轴对称图形有①③④，共3个，
故选：C．
6．如图，在直角坐标系中放置一个边长为的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为（ ）
A．π+π B．2π+2 C．3π+3π D．6π+6
【考点】旋转的性质；坐标与图形性质；扇形面积的计算．
【分析】
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画出点A第一次回到x轴上时的图形，根据图形得到点A的路径分三部分，以B点为圆心，BA为半径，圆心角为90°的弧；再以C1为圆心，C1C为半径，圆心角为90°的弧；然后以D2点为圆心，D2A2为半径，圆心角为90°的弧，所以点A运动的路线与x轴围成的图形的面积就由三个扇形和两个直角三角形组长，于是可根据扇形面积和三角形面积公式计算，然后把计算结果乘以3即可得到答案．
【解答】解：点A第一次回到x轴上时，点A的路径为：开始以B点为圆心，BA为半径，圆心角为90°的弧；再以C1为圆心，C1C为半径，圆心角为90°的弧；然后以D2点为圆心，D2A2为半径，圆心角为90°的弧，
所以点A第一次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和=×2++2×××=2π+2，
所以点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为3（2π+2）=6π+6．
故选D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接写在答题纸相应位置）
7．﹣5的绝对值是 5 ．
【考点】绝对值．
【分析】绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
【解答】解：根据负数的绝对值是它的相反数，得|﹣5|=5．
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8．根据有关方面统计，2015年全国普通高考报考人数大约9420000人，数据9420000用科学记数法表示为 9.42×106 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：9420000=9.42×106，
故答案为：9.42×106
9．如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°．则圆锥的母线是 30 ．
【考点】圆锥的计算．
【分析】圆锥的底面周长即为侧面展开后扇形的弧长，已知扇形的圆心角，所求圆锥的母线即为扇形的半径，利用扇形的弧长公式求解．
【解答】解：将l=20π，n=120代入扇形弧长公式l=中，
得20π=，
解得r=30．
故答案为：30．
10．有一组数据：1，3，3，4，4，这组数据的方差为 1.2 ．
【考点】方差．
【分析】根据平均数的计算公式先算出这组数据的平均数，再根据方差公式进行计算即可．
【解答】解：这组数据的平均数是：（1+3+3+4+4）÷5=3，
则这组数据的方差为： [（1﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+2（4﹣3）2]=1.2．
故答案为：1.2．
11．不等式组的解集为 ﹣1＜x≤4 ．
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【考点】解一元一次不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式4x+6＞1﹣x，得x＞﹣1，
解不等式3（x﹣1）≤x+5，得：x≤4，
故不等式组的解集为：﹣1＜x≤4，
故答案为：﹣1＜x≤4．
12．“微信发红包”是刚刚兴起的一种娱乐方式，为了解所在单位员工春节期间使用微信发红包的情况，小红随机调查了15名同事，结果如表：
平均每个红包的钱数（元）
2
5
10
20
50
人数
7
4
2
1
1
则此次调查中平均每个红包的钱数的众数为 2 元，中位数为 5 元．
【考点】众数；中位数．
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；
众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】解：观察发现平均每个红包的钱数为2元的人数为7人，最多，故众数为2元；
共15人，排序后位于第8位的红包钱数为中位数，即中位数为5元，
故答案为：2，5．
13．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积为 2 ．
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【考点】反比例函数综合题．
【分析】由AB∥x轴可知，A、B两点纵坐标相等，设A（，b），B（，b），则AB=﹣，▱ABCD的CD边上高为b，根据平行四边形的面积公式求解．
【解答】解：∵点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，
∴设A（，b），B（，b），
则AB=﹣，
S▱ABCD=（﹣）×b=5﹣3=2．
故答案为：2．
14．在同一直角坐标系中，点A、B分别是函数y=x﹣1与y=﹣3x+5的图象上的点，且点A、B关于原点对称，则点A的横坐标为 ﹣1 ．
【考点】关于原点对称的点的坐标；一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】设点A的坐标为（a，a﹣1），根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数表示出点B的坐标，然后代入y=﹣3x+5计算即可得解．
【解答】解：∵点A在y=x﹣1的图象上，
∴设点A的坐标为（a，a﹣1），
∵点A、B关于原点对称，
∴点B（﹣a，1﹣a），
∴﹣3×（﹣a）+5=1﹣a，
解得a=﹣1，
∴点A的横坐标为﹣1，
故答案为：﹣1．
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15．如图，直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3．把一块含有45°角的直角三角板如图所示放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行线之间的距离；等腰直角三角形；相似三角形的判定与性质．
【分析】分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，先根据全等三角形的判定定理得出△BCE≌△ACF，故可得出CF及CE的长，在Rt△ACF中根据勾股定理求出AC的长，再由相似三角形的判定得出△CDG∽△CAF，故可得出CD的长，在Rt△BCD中根据勾股定理即可求出BD的长．
【解答】解：别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，
∵∠EBC+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAF=90°，
∴∠EBC=∠ACF，∠BCE=∠CAF，
在△BCE与△ACF中，
∴△BCE≌△ACF（ASA）
∴CF=BE，CE=AF，
∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，
∴CF=BE=3，CE=AF=3+1=4，
在Rt△ACF中，
∵AF=4，CF=3，
∴AC=5，
∵AF⊥l3，DG⊥l3，
∴△CDG∽△CAF，
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∴，
∴
∴
在Rt△BCD中，
∵CD=，BC=5，
所以BD==．
故答案为：．
16．在△ABC中，已知AC=6，BC=8，当∠B最大时，AB= 2 ．
【考点】切线的性质．
【分析】以AC为直径作⊙O，当AB为⊙O的切线时，即AB⊥AC时，∠B最大，根据勾股定理即可求出答案．
【解答】解：以AC为直径作⊙O，当AB为⊙O的切线时，即AB⊥AC时，∠B最大，
此时AB===2．
故答案为：2．
三、解答题（本大题共有10小题，共102分）
17．（1）计算：（﹣）﹣1﹣tan45°+（π﹣2016）0﹣
（2）化简：．
【考点】分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】
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（1）直接根据负整数指数幂、零指数幂以及二次根式和特殊角的三角函数值进行化简求值即可；
（2）括号里的式子先通分，然后把除法转化为乘法，再进行约分即可．
【解答】解：（1）（﹣）﹣1﹣tan45°+（π﹣2016）0﹣
=﹣2﹣1+1﹣4
=﹣2﹣4
（2）（+）÷+1
=（+）÷+1
=×+1
=+1
=
18．如图，线段AB绕点O顺时针旋转一定的角度得到线段A1B1．
（1）请用直尺和圆规作出旋转中心O（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接OA、OA1、OB、OB1，如果∠AO A1=∠BOB1=α；OA=OA1=a；OB=OB1=b．则线段AB扫过的面积是 ．
【考点】作图﹣旋转变换；扇形面积的计算．
【分析】（1）先连结AA1和BB1，然后分别作它们的垂直平分线，则两垂直平分线的交点即为点O；
（2）根据扇形面积公式，利用线段AB扫过的面积=S扇形BOB1﹣S扇形AOA1进行计算即可．
【解答】解：（1）如图，点O为所作；
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（2）线段AB扫过的面积=S扇形BOB1﹣S扇形AOA1=﹣=．
故答案为．
19．某校为了解“理化生实验操作”考试的备考情况，随机抽取了一部分九年级学生进行测试，测试结果分为“优秀”、“良好”、“合格”、“不合格”四个等级，分别记为A、B、C、D．根据测试结果绘制了如下尚不完整的统计图．
（1）本次测试共随机抽取了 60 名学生．请根据数据信息补全条形统计图；
（2）若该校九年级的600名学生全部参加本次测试，请估计测试成绩等级在合格以上（包括合格）的学生约有多少人？
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）根据各等级频数=总数×各等级所占百分比即可算出总数；再利用总数减去各等级人数可得A等级人数，再补图即可；
（2）利用样本估计总体的方法，用总人数600乘以样本中测试成绩等级在合格以上（包括合格）的学生所占百分比即可．
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【解答】解：（1）本次测试随机抽取的学生总数：24÷40%=60，
A等级人数：60﹣24﹣4﹣2=30，
如图所示；
（2）600××100%=580（人），
答：测试成绩等级在合格以上（包括合格）的学生约有580人．
20．妈妈买回6个粽子，其中1个花生馅，2个肉馅，3个枣馅．从外表看，6个粽子完全一样，女儿有事先吃．
（1）若女儿只吃一个粽子，则她吃到肉馅的概率是 ；
（2）若女儿只吃两个粽子，求她吃到一个枣馅、一个肉馅的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）运用古典概率，有六种相等可能的结果，出现鲜肉馅粽子有两种结果，根据概率公式，即可求解；
（2）此题可以认为有两步完成，所以可以采用树状图法或者采用列表法；注意题目属于不放回实验，利用列表法即可求解．
【解答】解：（1）她吃到肉馅的概率是=；
故答案为：；
（2）如图所示：根据树状图可得，一共有15种等可能的情况，吃两个粽子，一个枣馅、一个肉馅只有5种情况，所以她吃到一个枣馅、一个肉馅的概率=
第32页（共32页）
=．
21．某市在道路改造过程中，需要铺设一条为2000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程，已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设600米所用的天数与乙工程队铺设500米所用的天数相同，甲、乙工程队每天各能铺设多少米？
【考点】分式方程的应用．
【分析】设乙工程队每天铺设x米，则甲工程队每天铺设（x+20）米，根据甲工程队铺设600米所用的天数与乙工程队铺设500米所用的天数相同建立方程求出其解即可
【解答】解：设乙工程队每天铺设x米，则甲工程队每天铺设（x+20）米，由题意，得
，
解得：x=100．
经检验，x=100是原方程的解．
则甲工程队每天铺设100+20=120米．
答：乙工程队每天铺设100米，则甲工程队每天铺设120米．
22．如图，正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连结EB、ED，延长BE交AD于点F．
（1）求证：∠BEC=∠DEC；
（2）当CE=CD时，求证：DF2=FE•FB．
第32页（共32页）
【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
【分析】（1）利用正方形的性质，根据SAS即可证得：△BEC≌△DEC，得出对应角相等即可；
（2）首先证明△FDE∽△FBD，根据相似三角形的对应边的比相等，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCE=∠DCE，
在△BEC和△DEC中，，
∴△BEC≌△DEC（SAS），
∴∠BEC=∠DEC．
（2）证明：连接BD，如图所示．
∵CE=CD，
∴∠DEC=∠EDC．
∵∠BEC=∠DEC，∠BEC=∠AEF，
∴∠EDC=∠AEF．
∵∠AEF+∠FED=∠EDC+∠ECD，
∴∠FED=∠ECD．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ECD=∠BCD=45°，∠ADB=∠ADC=45°，
∴∠ECD=∠ADB．
∴∠FED=∠ADB．
又∵∠BFD是公共角，
∴△FDE∽△FBD，
∴，
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∴DF2=FE•BF．
23．如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为6米，落在广告牌上的影子CD的长为4米，求铁塔AB的高（AB，CD均与水平面垂直，结果保留根号）．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】过点C作CE⊥AB于E，过点B作BF⊥CD于F，在Rt△BFD中，分别求出DF、BF的长度，在Rt△ACE中，求出AE、CE的长度，继而可求得AB的长度．
【解答】解：过点C作CE⊥AB于E，过点B作BF⊥CD于F，
在Rt△BFD中，
∵∠DBF=30°，sin∠DBF==，cos∠DBF==，
∵BD=6，
∴DF=3，BF=3，
∵AB∥CD，CE⊥AB，BF⊥CD，
∴四边形BFCE为矩形，
∴BF=CE=3，CF=BE=CD﹣DF=1，
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在Rt△ACE中，∠ACE=45°，
∴AE=CE=3，
∴AB=3+1．
答：铁塔AB的高为（3+1）m．
24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+4经过A（﹣3，0）、B（4，0）两点，且与y轴交于点C，点D在x轴的负半轴上，且BD=BC，点Q是CA边上一个动点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点M为抛物线的对称轴上一个动点，求点M的坐标使MQ+MA的值最小．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；待定系数法求二次函数解析式．
【分析】（1）由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）设抛物线对称轴于x轴交点为N，过点B作BQ⊥AC于点Q，交抛物线对称轴于点M，此时MQ+MA的值最小．根据角的计算找出∠MBN=∠ACO，∠COA=∠BNM=90°，从而得出△COA∽△
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BNM，再根据相似三角形的性质结合点A、B、C的坐标即可得出点M的坐标．
【解答】解：（1）将点A（﹣3，0）、B（4，0）代入y=ax2+bx+4中，
得，解得：，
∴该抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4．
（2）设抛物线对称轴于x轴交点为N，过点B作BQ⊥AC于点Q，交抛物线对称轴于点M，此时MQ+MA的值最小，如图所示．
令y=﹣x2+x+4中x=0，则y=4，
∴点C（0，4），
∵A（﹣3，0），B（4，0），
∴AC=5，AO=3，CO=4，BN=AB=，ON=OB﹣BN=．
∵∠CAO=∠BAC，∠ACO+∠CAO=90°，∠MBN+∠BAC=90°，
∴∠MBN=∠ACO，
∵∠COA=∠BNM=90°，
∴△COA∽△BNM，
∴，
∴MN=，
∴点M（，）．
故当点M的坐标为（，）时，MQ+MA的值最小．
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25．【发现】如图1∠ACB=∠ADB=90°，
那么点D在经过A，B，C三点的圆上（如图1①）
【思考】
如图1②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（点C，D在AB的同侧），那么点D还在经过A，B，C三点的圆上吗？图中卡通人证明了D不在⊙O外，请你画图证明点D也不在⊙O内．
【应用】：利用【发现】和【思考】中的结论解决以下问题：
如图2，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CA=6，，若将△ACB绕点A顺时针旋转得Rt△AC′B′，旋转角为α（0°≤α≤180°）连结CC′交BB′于点F，交AB边于点O．
（1）请证明：∠BFO=∠CAO．
（2）若CA=CO=6，求则OF的长．
（3）在运动过程中，请证明F永远是BB′的中点，并直接写出点F的运动路线长．
【考点】圆的综合题．
【分析】【思考】假设点D在⊙O内，利用圆周角定理及三角形外角的性质，可证得与条件相矛盾的结论，从而证得点D不在⊙O内；
【应用】：（1）过C作CD⊥AB于点D，BH⊥CF于H，由已知条件得到AD=DO，解直角三角形得到AD=AC=2，得到BO=AB﹣AO=18﹣4=14，
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根据旋转的性质得到AC=AC′，AB=AB′，∠CAC′=∠BAB′，推出A，F，B，C四点共圆，于是得到结论；（2）由等腰三角形的性质得到∠COA=∠CAO，根据三角形的内角和得到∠BOF=∠BFO，根据等腰三角形的性质得到BF=BO=14，于是得到结论；
（3）连接AF，根据圆周角定理得到∠ABC=∠AFC根据等腰三角形的性质得到F永远是BB′的中点；根据圆周角定理得到在运动过程中，点F的运动路线是以AB为直径的半圆，即可得到结论．
【解答】解：【思考】如图1，假设点D在⊙O内，延长AD交⊙O于点E，连接BE，则∠AEB=∠ACB，
∵∠ADB是△BDE的外角，
∴∠ADB＞∠AEB，
∴∠ADB＞∠ACB，
因此，∠ADB＞∠ACB这与条件∠ACB=∠ADB矛盾，
∴点D也不在⊙O内，
∴点D即不在⊙O内，也不在⊙O外，点D在⊙O上；
【应用】：（1）如图2，过C作CD⊥AB于点D，BH⊥CF于H，
∵CA=CO，
∴AD=DO，
在Rt△ACB中，cos∠CAB===，
∴AB=3AC=18，
在Rt△ADC中：cos∠CAB==，
∴AD=AC=2，
∴AO=2AD=4，
∴BO=AB﹣AO=18﹣4=14，
∵△AC′B′是由△ACB旋转得到，
∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAC′=∠BAB′，
∵∠ACC′=，∠ABB′=，
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∴∠ABB′=∠ACC′，
∴A，F，B，C四点共圆，
∴∠BFO=∠CAO；
（2）∵CA=CO，
∴∠COA=∠CAO，
又∵∠COA=∠BOF（对顶角相等），
∴∠BOF=∠BFO，
∴BF=BO=14，
∵，
∴HF=，
∴OF=2HF=；
（3）如图2，连接AF，
∵A，F，B，C四点共圆，
∴∠ABC=∠AFC，
∵∠ABC+∠CAB=90°，
∴∠BFO+∠AFC=90°，
∴AF⊥BB′，
∵AB=AB′，
∴BF=B′F；
∴F永远是BB′的中点；
∵∠AFB=90°，
∴在运动过程中，点F的运动路线是以AB为直径的半圆，
∵CA=6，，
∴AB=18，
∴点F的运动路线长=×18π=9π．
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26．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的密距，记为d（M，N）．特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）=0．
（1）如图1，⊙O的半径为2，
①点A（0，1），B（4，3），则d（A，⊙O）= 1 ，d（B，⊙O）= 3 ．
②已知直线l：y=与⊙O的密距d（l，⊙O）=，求b的值．
（2）如图2，C为x轴正半轴上一点，⊙C的半径为1，直线y=﹣与x轴交于点D，与y轴交于点E，线段DE与⊙C的密距d（DE，⊙C）＜．请直接写出圆心C的横坐标m的取值范围．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）①连接OB，如图1①，只需求出OA、OB就可解决问题；
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②设直线l：y=与x轴、y轴分别交于点P、Q，过点O作OH⊥PQ于H，设OH与⊙O交于点G，如图1②，可用面积法求出OH，然后根据条件建立关于b的方程，然后解这个方程就可解决问题；
（2）过点C作CN⊥DE于N，如图2．易求出点D、E的坐标，从而可得到OD、OE，然后运用三角函数可求出∠ODE，然后分三种情况（①点C在点D的左边，②点C与点D重合，③点C在点D的右边）讨论，就可解决问题．
【解答】解：（1）①连接OB，过点B作BT⊥x轴于T，如图1①，
∵⊙O的半径为2，点A（0，1），
∴d（A，⊙O）=2﹣1=1．
∵B（4，3），
∴OB==5，
∴d（B，⊙O）=5﹣2=3．
故答案为1，3；
②设直线l：y=与x轴、y轴分别交于点P、Q，过点O作OH⊥PQ于H，设OH与⊙O交于点G，如图1②，
∴P（﹣b，0），Q（0，b），
∴OP=|b|，OQ=|b|，
∴PQ=|b|．
∵S△OPQ=OP•OQ=PQ•OH，
∴OH==|b|．
∵直线l：y=与⊙O的密距d（l，⊙O）=，
∴|b|=2+=，
∴b=±4；
（2）过点C作CN⊥DE于N，如图2．
∵点D、E分别是直线y=﹣与x轴、y轴的交点，
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∴D（4，0），E（0，），
∴OD=4，OE=，
∴tan∠ODE==，
∴∠ODE=30°．
①当点C在点D左边时，m＜4．
∵xC=m，
∴CD=4﹣m，
∴CN=CD•sin∠CDN=（4﹣m）=2﹣m．
∵线段DE与⊙C的密距d（DE，⊙C）＜，
∴0＜2﹣m＜+1，
∴1＜m＜4；
②当点C与点D重合时，m=4．
此时d（DE，⊙C）=0．
③当点C在点D的右边时，m＞4．
∵线段DE与⊙C的密距d（DE，⊙C）＜，
∴CD＜，
∴m﹣4＜+1，
∴m＜
∴4＜m＜．
综上所述：1＜m＜．
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2017年2月28日
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