人教版九年级数学下《第27章相似》专项训练含答案.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第27章 相似 专项训练 专训1　证比例式或等积式的技巧 名师点金：‎ 证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形或不在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它们转化到两个三角形中再证两三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换．‎ 构造平行线法 ‎1．如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F，‎ 求证：AE·CF＝BF·EC.‎ ‎(第1题)‎ ‎2．如图，已知△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD＝CE，DE交AC于点F，‎ 试证明：AB·DF＝BC·EF.‎ ‎(第2题)‎ 三点找三角形相似法 ‎3．如图，在▱ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F.‎ 求证：＝.‎ ‎(第3题)‎ ‎4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于D，交AB于E.‎ 求证：AM2＝MD·ME.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(第4题)‎ 构造相似三角形法 ‎5．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.‎ 求证：BP·CP＝BM·CN.‎ ‎(第5题)‎ 等比过渡法 ‎6．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE.‎ 求证：(1)△DEF∽△BDE；‎ ‎(2)DG·DF＝DB·EF.‎ ‎(第6题)‎ ‎7．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D.‎ 求证：CE2＝DE·PE.‎ ‎(第7题)‎ 两次相似法 ‎8．如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，∠ABC的平分线BE交AC 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 于E，交AD于F.‎ 求证：＝.‎ ‎(第8题)‎ ‎9．如图，在▱ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为M，N.求证：‎ ‎(1)△AMB∽△AND；‎ ‎(2)＝.‎ ‎(第9题)‎ 等积代换法 ‎10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.‎ 求证：＝.‎ ‎(第10题)‎ 等线段代换法 ‎11．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD上一点，CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF于点F，‎ 求证：BP2＝PE·PF.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(第11题)‎ ‎12．已知：如图，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P.‎ 求证：PD2＝PB·PC.‎ ‎(第12题)‎ 专训2　巧用“基本图形”探索相似条件 名师点金：‎ 几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法．相似三角形的四类结构图： ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎1.平行线型．‎ ‎2．相交线型．‎ ‎3．子母型．‎ ‎4．旋转型．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ 平行线型 ‎1．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D.‎ ‎(1)求证：AE·BC＝BD·AC；‎ ‎(2)如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC的长．‎ ‎(第1题)‎ 相交线型 ‎2．如图，点D，E分别为△ABC的边AC，AB上的点，BD，CE交于点O，且＝，试问△ADE与△ABC相似吗？请说明理由．‎ ‎(第2题)‎ 子母型 ‎3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F.求证：＝.‎ ‎(第3题)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 旋转型 ‎4．如图，已知∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC.‎ 求证：(1)△ADE∽△ABC；‎ ‎(2)＝.‎ ‎(第4题)‎ 专训3　利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系 名师点金：‎ 判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一．由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法．‎ 证明两线段的数量关系 证明两线段的相等关系 ‎1．如图，已知在△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于点M，与DE交于点N.‎ 求证：BM＝MC.‎ ‎(第1题)‎ ‎2．如图，一直线和△ABC的边AB，AC分别交于点D，E，和BC的延长线交于点F，且AECE＝BFCF.‎ 求证：AD＝DB.‎ ‎(第2题)‎ 证明两线段的倍分关系 ‎3．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，∠A＝60°，求证：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 DE＝BC.‎ ‎(第3题)‎ ‎4．如图，AM为△ABC的角平分线，D为AB的中点，CE∥AB，CE交DM的延长线于E.‎ 求证：AC＝2CE.‎ ‎(第4题)‎ 证明两线段的位置关系 证明两线段平行 ‎5．如图，已知点D为等腰直角三角形ABC的斜边AB上一点，连接CD，DE⊥CD，DE＝CD，连接CE，AE.求证：AE∥BC.‎ ‎(第5题)‎ ‎6．在△ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC上的点，EF∥BC，DF∥AB，连接CE和AD，分别交DF，EF于点N，M.‎ ‎(1)如图①，若E为AB的中点，图中与MN平行的直线有哪几条？请证明你的结论；‎ ‎(2)如图②，若E不为AB的中点，写出与MN平行的直线，并证明． ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(第6题)‎ 证明两线垂直 ‎7．如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AC2＝AB·AD，BC2＝BA·BD，求证：CD⊥AB.‎ ‎(第7题)‎ ‎8．如图，已知矩形ABCD，AD＝AB，点E，F把AB三等分，DF交AC于点G，求证：EG⊥DF.‎ ‎(第8题)‎ 专训4　相似三角形与函数的综合应用 名师点金：‎ 解涉及相似三角形与函数的综合题时，由于这类题的综合性强，是中考压轴题重点命题形式之一，因此解题时常结合方程思想、分类讨论思想进行解答．‎ 相似三角形与一次函数 ‎1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋3与x轴交于点C，与直线AD交于点A，点D的坐标为(0，1)．‎ ‎(1)求直线AD的解析式；‎ ‎(2)直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点(不与点B重合)，当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．‎ ‎(第1题)‎ 相似三角形与二次函数 ‎2．如图，直线y＝－x＋3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，B，C(1，0)三点．‎ ‎(1)求抛物线对应的函数解析式；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(2)若点D的坐标为(－1，0)，在直线y＝－x＋3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标．‎ ‎(第2题)‎ ‎3．如图，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线BC交于点D(3，－4)．‎ ‎(1)求直线BD和抛物线对应的函数解析式；‎ ‎(2)在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M，O，N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎(第3题)‎ 相似三角形与反比例函数 ‎4．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(2，3)，双曲线y＝(x>0)经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE.‎ ‎(1)求k的值及点E的坐标；‎ ‎(2)若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB对应的函数解析式．‎ ‎(第4题)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 专训5　全章热门考点整合应用 名师点金：‎ 本章主要内容为：平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，位似图形及其画法等，涉及考点、考法较多，是中考的高频考点．其主要考点可概括为：3个概念、2个性质、1个判定、2个应用、1个作图、1个技巧．‎ ‎3个概念 成比例线段 ‎1．下列各组线段，是成比例线段的是(　　)‎ A．3 cm，6 cm，7 cm，9 cm B．2 cm，5 cm，0.6 dm，8 cm C．3 cm，9 cm，1.8 dm，6 cm D．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm ‎2．有一块三角形的草地，它的一条边长为25 m，在图纸上，这条边的长为5 cm，其他两条边的长都为4 cm，则其他两边的实际长度都是________m.‎ 相似多边形 ‎3．如图，已知∠1′＝∠1，∠2′＝∠2，∠3′＝∠3，∠4′＝∠4，∠D′＝∠D，试判断四边形A′B′C′D′与四边形ABCD是否相似，并说明理由．‎ ‎(第3题)‎ 位似图形 ‎4．如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C.设点B的对应点B′的坐标是(a，b)，求点B的坐标．‎ ‎(第4题)‎ ‎ 2个性质 平行线分线段成比例的性质 ‎5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6.若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y.‎ ‎(1)求出y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎(2)当x为何值时，△BDE的面积有最大值，最大值为多少？ ‎ ‎(第5题)‎ 相似三角形的性质 ‎6．如图，已知D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与BA相交于点E，EC与AD相交于点F.‎ ‎(1)求证：△ABC∽△FCD；‎ ‎(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．‎ ‎(第6题)‎ ‎1个判定——相似三角形的判定 ‎7．如图，△ACB为等腰直角三角形，点D为斜边AB上一点，连接CD，DE⊥CD，DE＝CD，连接AE，过C作CO⊥AB于O.求证：△ACE∽△OCD.‎ ‎(第7题)‎ ‎8.如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过点C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为点E.设P是上异于点A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.‎ ‎(1)求证：△PAC∽△PDF；‎ ‎(2)若AB＝5，＝，求PD的长．‎ ‎(第8题)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2个应用 测高的应用 ‎9．如图，在离某建筑物CE 4 m处有一棵树AB，在某时刻，1.2 m的竹竿FG垂直地面放置，影子GH长为2 m，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD高为2 m，那么这棵树的高度是多少？‎ ‎(第9题)‎ 测宽的应用 ‎10．如图，一条小河的两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔6 m有一棵树，在河的对岸每隔60 m有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30 m处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度．‎ ‎(第10题)‎ ‎1个作图——作一个图形的位似图形 ‎11．如图，在方格纸中(每个小方格的边长都是1个单位长度)有一点O和△ABC.请以点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的一半(不改变方向)，画出△ABC的位似图形．‎ ‎(第11题)‎ ‎1个技巧 ——证明四条线段成比例的技巧 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎12．如图，已知△ABC，∠BAC的平分线与∠DAC的平分线分别交BC及BC的延长线于点P，Q.‎ ‎(1)求∠PAQ的度数；‎ ‎(2)若点M为PQ的中点，求证：PM2＝CM·BM.‎ ‎(第12题)‎ 答案 ‎(第1题)‎ ‎1．证明：如图，过点C作CM∥AB交DF于点M.‎ ‎∵CM∥AB，∴△CMF∽△BDF.‎ ‎∴＝.‎ 又∵CM∥AD，∴△ADE∽△CME.∴＝.∵D为AB的中点，‎ ‎∴＝.∴＝，即AE·CF＝BF·EC.‎ ‎2．证明：过点D作DG∥BC，交AC于点G，‎ ‎∴△DGF∽△ECF，△ADG∽△ABC.‎ ‎∴＝，＝.‎ ‎∵AD＝CE，∴＝.∴＝，‎ 即AB·DF＝BC·EF.‎ 点拨：过某一点作平行线，构造出“A”型或“X”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题．‎ ‎3．证明：∵四边形ABCD是平行四边形．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴AE∥DC，∠A＝∠C.∴∠CDF＝∠E，‎ ‎∴△DAE∽△FCD，∴＝.‎ ‎4．证明：∵DM⊥BC，∠BAC＝90°，‎ ‎∴∠B＋∠BEM＝90°，∠D＋∠DEA＝90°.‎ ‎∵∠BEM＝∠DEA，∴∠B＝∠D.‎ 又∵M为BC的中点，∠BAC＝90°，∴BM＝AM.‎ ‎∴∠B＝∠BAM.∴∠BAM＝∠D.‎ 又∵∠AME＝∠DMA.∴△AME∽△DMA.‎ ‎∴＝.∴AM2＝MD·ME.‎ ‎(第5题)‎ ‎5．证明：如图，连接PM，PN.‎ ‎∵MN是AP的垂直平分线，‎ ‎∴MA＝MP，NA＝NP.‎ ‎∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.‎ 又∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠B＝∠C＝∠1＋∠3＝60°.‎ ‎∴∠2＋∠4＝60°.‎ ‎∴∠5＋∠6＝120°.‎ 又∵∠6＋∠7＝180°－∠C＝120°.‎ ‎∴∠5＝∠7.∴△BPM∽△CNP.‎ ‎∴＝，即BP·CP＝BM·CN.‎ ‎6．证明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵DE∥BC，∴∠ABC＋∠BDE＝180°，∠ACB＋∠CED＝180°，∴∠CED＝∠BDE.又∵∠EDF＝∠ABE，∴△DEF∽△BDE.‎ ‎(2)由△DEF∽△BDE得＝，∴DE2＝DB·EF.又由△DEF∽△BDE，得∠BED＝∠DFE.∵∠GDE＝∠EDF，∴△GDE∽△EDF.∴＝，∴DE2＝DG·DF，∴DG·DF＝DB·EF.‎ ‎7．证明：∵BG⊥AP，PE⊥AB，‎ ‎∴∠AEP＝∠BED＝∠AGB＝90°.‎ ‎∴∠P＋∠PAB＝90°，∠PAB＋∠ABG＝90°.‎ ‎∴∠P＝∠ABG.∴△AEP∽△DEB.‎ ‎∴＝，即AE·BE＝PE·DE.‎ 又∵CE⊥AB，∴∠CEA＝∠BEC＝90°，∴∠CAB＋∠ACE＝90°.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 又∵∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠CBE＝90°.‎ ‎∴∠ACE＝∠CBE.∴△AEC∽△CEB.‎ ‎∴＝，即CE2＝AE·BE.∴CE2＝DE·PE.‎ ‎8．证明：易得∠BAC＝∠BDF＝90°.‎ ‎∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBF，‎ ‎∴△BDF∽△BAE，得＝.‎ ‎∵∠BAC＝∠BDA＝90°，∠ABC＝∠DBA.‎ ‎∴△ABC∽△DBA，得＝，∴＝.‎ ‎9．证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形．∴∠B＝∠D.‎ ‎∵AM⊥BC，AN⊥CD，∴∠AMB＝∠AND＝90°，‎ ‎∴△AMB∽△AND.‎ ‎(2)由△AMB∽△AND得＝，∠BAM＝∠DAN.‎ 又AD＝BC，∴＝.‎ ‎∵AM⊥BC，AD∥BC，∴∠AMB＝∠MAD＝90°.‎ ‎∴∠B＋∠BAM＝∠MAN＋∠NAD＝90°，‎ ‎∴∠B＝∠MAN.‎ ‎∴△AMN∽△BAC，∴＝.‎ ‎10．证明：∵AD⊥BC，DE⊥AB，∴∠ADB＝∠AED＝90°.‎ 又∵∠BAD＝∠DAE，∴△ADE∽△ABD，得AD2＝AE·AB，同理可得AD2＝AF·AC，∴AE·AB＝AF·AC，∴＝.‎ ‎11．证明：连接PC，如图．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∠ABC＝∠ACB，∴BP＝CP，∴∠1＝∠2，∴∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2，即∠3＝∠4.∵CF∥AB，∴∠3＝∠F，∴∠4＝∠F.又∵∠CPF＝∠CPE，∴△CPF∽△EPC，∴＝，即CP2＝PF·PE.∵BP＝CP，∴BP2＝PE·PF.‎ ‎(第11题)‎ ‎　　　‎ ‎(第12题)‎ ‎12．证明：如图，连接PA，则PA＝PD，∴∠PDA＝∠PAD.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴∠B＋∠BAD＝∠DAC＋∠CAP.‎ 又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.∴∠B＝∠CAP.‎ 又∵∠APC＝∠BPA，∴△PAC∽△PBA，∴＝，‎ 即PA2＝PB·PC，∴PD2＝PB·PC.‎ ‎1．(1)证明：∵ED∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴＝.‎ ‎∵BE平分∠ABC，∴∠DBE＝∠EBC.‎ ‎∵ED∥BC，∴∠DEB＝∠EBC.‎ ‎∴∠DBE＝∠DEB.∴DE＝BD.∴＝，‎ 即AE·BC＝BD·AC.‎ ‎(2)解：设h△ADE表示△ADE中DE边上的高，‎ h△BDE表示△BDE中DE边上的高，‎ h△ABC表示△ABC中BC边上的高．‎ ‎∵S△ADE＝3，S△BDE＝2，∴＝＝.‎ ‎∴＝.‎ ‎∵△ADE∽△ABC，∴＝＝.‎ ‎∵DE＝6，∴BC＝10.‎ ‎2．解：相似．理由如下：因为＝，∠BOE＝∠COD，∠DOE＝∠COB，所以△BOE∽△COD，△DOE∽△COB.所以∠EBO＝∠DCO，∠DEO＝∠CBO.因为∠ADE＝∠DCO＋∠DEO，∠ABC＝∠EBO＋∠CBO.所以∠ADE＝∠ABC.又因为∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC.‎ ‎3．证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，‎ ‎∴∠BAC＝∠ADB＝90°.‎ 又∵∠CBA＝∠ABD(公共角)，‎ ‎∴△ABC∽△DBA.∴＝，∠BAD＝∠C.‎ ‎∵AD⊥BC于点D，E为AC的中点，∴DE＝EC.‎ ‎∴∠BDF＝∠CDE＝∠C.∴∠BDF＝∠BAD.‎ 又∵∠F＝∠F，‎ ‎∴△DBF∽△ADF.∴＝.∴＝.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　(第3题)‎ 点拨：当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似，条件又不具备成比例线段时，可考虑用中间比“搭桥”，称为“等比替换法”，有时还可用“等积替换法”，例如：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：AE·AB＝AF·AC.可由两组“射影图”得AE·AB＝AD2，AF·AC＝AD2，∴AE·AB＝AF·AC.‎ ‎4．证明：(1)∵∠DAB＝∠EAC，∴∠DAE＝∠BAC.‎ 又∵∠ADE＝∠ABC，∴△ADE∽△ABC.‎ ‎(2)∵△ADE∽△ABC，∴＝.‎ ‎∵∠DAB＝∠EAC，∴△ADB∽△AEC.∴＝.‎ ‎1．证明：∵DE∥BC.∴△NEO∽△MBO.∴＝.‎ 同理可得＝.∴＝.∴＝.‎ ‎∵DE∥BC，∴△ANE∽△AMC.∴＝.‎ 同理可得＝，∴＝.∴＝.‎ ‎∴＝.∴MC2＝BM2.∴BM＝MC.‎ ‎(第2题)‎ ‎2．证明：如图，‎ 过C作CG∥AB交DF于G点．‎ ‎∵CG∥AB，∴＝，＝，‎ ‎∵＝，∴＝，‎ ‎∴AD＝BD.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎3．证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∠A＝60°，∠ABD＝∠ACE＝30°，∴＝，＝，∴＝.又∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴DE＝BC.‎ ‎4．证明：如图，延长CE，交AM的延长线于F.∵AB∥CF，∴∠BAM＝∠F，△BDM∽△CEM，△BAM∽△CFM，∴＝，＝，∴＝.又∵BA＝2BD，∴CF＝2CE.又AM平分∠BAC，∴∠BAM＝∠CAM，∴∠CAM＝∠F，∴AC＝CF，∴AC＝2CE.‎ ‎(第4题)‎ ‎　　　‎ ‎(第5题)‎ ‎5．证明：如图，过点C作CO⊥AB于点O.∵DE＝CD，DE⊥CD，‎ ‎∴∠ECD＝∠CED＝45°.∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠B＝45°.∴∠CAB＝∠CED.又∵∠AOC＝∠EDC＝90°，∴△ACO∽△ECD.∴＝.‎ 又∵∠ACE＋∠ECO＝∠OCD＋∠ECO＝45°，∴∠ACE＝∠OCD.∴△ACE∽△OCD.∴∠CAE＝∠COD＝90°.‎ 又∵∠ACB＝90°，∴∠CAE＋∠ACB＝180°.∴AE∥BC.‎ ‎6．解：(1)MN∥AC∥ED.证明如下：∵EF∥BC，∴△AEM∽△ABD，△AMF∽△ADC，∴＝＝.∵E为AB的中点，EF∥BC，∴F为AC的中点．又∵DF∥AB，∴D为BC的中点，∴EM＝MF.∵F为AC的中点，FN∥AE，∴N为EC的中点，从而MN∥AC.又∵D为BC的中点，E为AB的中点，∴ED∥AC，∴MN∥AC∥ED.‎ ‎(2)MN∥AC.证明如下：∵EF∥BC，∴△AEM∽△ABD，△AMF∽△ADC，∴＝＝，∴＝.又∵DF∥AB，∴＝，∴＝，∴＝.又∵∠MEN＝∠FEC，∴△MEN∽△FEC.∴∠EMN＝∠EFC.∴MN∥AC.‎ ‎7．证明：∵AC2＝AB·AD，∴＝.又∵∠A＝∠A，‎ ‎∴△ACD∽△ABC.∴∠ADC＝∠ACB.‎ 又∵BC2＝BA·BD，∴＝.又∵∠B＝∠B，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴△BCD∽△BAC.∴∠BDC＝∠BCA.‎ ‎∴∠ADC＝∠BDC.‎ ‎∵∠BDC＋∠ADC＝180°，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.‎ ‎∴CD⊥AB.‎ ‎8．证明：∵AD＝AB，点E，F把AB三等分，‎ ‎∴设AE＝EF＝FB＝AD＝k，则AB＝CD＝3k.‎ ‎∵CD∥AB，∴∠DCG＝∠FAG，∠CDG＝∠AFG.‎ ‎∴△AFG∽△CDG，∴＝＝.‎ 设FG＝2m，则DG＝3m，∴DF＝FG＋DG＝2m＋3m＝5m.‎ 在Rt△AFD中，DF2＝AD2＋AF2＝5k2，∴DF＝k.‎ ‎∴5m＝k.∴m＝k.∴FG＝k.‎ ‎∴＝＝，＝＝.∴＝.‎ 又∠AFD＝∠GFE，∴△AFD∽△GFE.‎ ‎∴∠EGF＝∠DAF＝90°.∴EG⊥DF.‎ ‎1．解：(1)设直线AD的解析式为y＝kx＋b(k≠0)‎ 将D(0，1)　A代入解析式得：‎ 　解得 ‎∴直线AD的解析式为y＝x＋1.‎ ‎(2)直线AD的解析式为y＝x＋1.令y＝0，得x＝－2.‎ 得B(－2，0)，即OB＝2.‎ 直线AC为y＝－x＋3.‎ 令y＝0，得∴x＝3.‎ 得C(3，0)，即BC＝5‎ 设E ‎①当E1C⊥BC时，如图，∠BOD＝∠BCE1＝90°，∠DBO＝∠E1BC.∴△BOD∽△BCE1.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 此时点C和点E1的横坐标相同．‎ 将x＝3代入y＝x＋1，解得y＝.‎ ‎∴E1.‎ ‎②当CE2⊥AD时，如图，‎ ‎∠BOD＝∠BE2C＝90°，∠DBO＝∠CBE2，‎ ‎∴△BOD∽△BE2C.‎ 过点E2作EF⊥x轴于点F，则∠E2FC＝∠BFE2＝90°.‎ 又∵∠E2BF＋∠BE2F＝90°，‎ ‎∠CE2F＋∠BE2F＝90°.‎ ‎∴∠E2BF＝∠CE2F.‎ ‎∴△E2BF∽△CE2F，则＝.‎ 即E2F2＝CF·BF.＝(3－x)(x＋2)‎ 解得：x1＝2，x2＝－2(舍去)‎ ‎∴E2(2，2)‎ 当∠EBC＝90°时，此情况不存在．‎ 综上所述：E1或E2(2，2)．‎ ‎(第1题)‎ ‎　　　‎ ‎(第2题)‎ ‎2．解：(1)由题意得A(3，0)，B(0，3)，∵抛物线经过A，B，C三点，∴把A(3，0)，B(0，3)，C(1，0)三点的坐标分别代入y＝ax2＋bx＋c，得方程组解得∴抛物线对应的函数解析式为y＝x2－4x＋3.‎ ‎(2)如图，由题意可得△ABO为等腰直角三角形．若△ABO∽△AP1D，则＝，∴DP1＝AD＝4，∴P1(－1，4)；若△ABO∽△ADP2，过点P2作P2M⊥x轴于M，∵△ABO为等腰直角三角形，∴△ADP2是等腰直角三角形，由三线合一可得DM＝AM＝2＝‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 P2M，即点M与点C重合，∴P2(1，2)，∴点P的坐标为(－1，4)或(1，2)．‎ ‎3．解：(1)易得A(－1，0)，B(0，2)，C(1，0)．‎ 设直线BD对应的函数解析式为y＝kx＋m.‎ 把B(0，2)，C(1，0)的坐标分别代入y＝kx＋m，‎ 得解得 ‎∴直线BD对应的函数解析式为y＝－2x＋2.‎ ‎∵抛物线对应的函数解析式为y＝－x2＋bx＋c.‎ ‎∴把B(0，2)，D(3，－4)的坐标分别代入y＝－x2＋bx＋c，‎ 得解得 ‎∴抛物线对应的函数解析式为y＝－x2＋x＋2.‎ ‎(2)存在，①如图①，当△MON∽△BCO时，＝，即＝，∴MN＝2ON.设ON＝a，则M(a，2a)，∴－a2＋a＋2＝2a，解得a1＝－2(不合题意，舍去)，a2＝1，∴M(1，2)；②如图②，当△MON∽△CBO时，＝，即＝，∴MN＝ON.设ON＝n，则M，∴－n2＋n＋2＝，解得n1＝(不合题意，舍去)，n2＝，∴M(，)．∴存在这样的点M(1，2)或.‎ ‎(第3题)‎ ‎4．解：(1)在矩形OABC中，∵点B的坐标为(2，3)，∴BC边的中点D的坐标为(1，3)．∵双曲线y＝经过点D(1，3)，∴3＝，∴k＝3，∴y＝.∵点E在AB上，∴点E的横坐标为2.又∵双曲线y＝经过点E，∴点E的纵坐标为y＝，∴点E的坐标为.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(2)易得BD＝1，BE＝，CB＝2.∵△FBC∽△DEB，∴＝，即＝，∴CF＝，∴OF＝，即点F的坐标为.设直线FB对应的函数解析式为y＝k1x＋b，而直线FB经过B(2，3)，F，∴k1＝，b＝，∴直线FB对应的函数解析式为y＝x＋.‎ ‎1．C ‎2．20‎ ‎3．解：四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似．由已知条件知，∠DAB＝∠D′A′B′，∠B＝∠B′，∠BCD＝∠B′C′D′，∠D＝∠D′，且＝＝＝＝，所以四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似．‎ ‎4．解：如图，过点B作BM⊥x轴于点M，过点B′作B′N⊥x轴于点N，则△CBM∽△CB′N.所以MCNC＝BMB′N＝BCB′C.又由已知条件知NC＝a＋1，B′N＝－b，BCB′C＝12，所以MC(a＋1)＝BM(－b)＝12.所以MC＝(a＋1)，BM＝－.所以MO＝(a＋1)＋1＝.所以点B的坐标为.‎ ‎(第4题)‎ ‎5．解：(1)∵DE∥BC，∴＝，∴＝，∴y＝－x＋6(0≤x≤4)．‎ ‎(2)∵S△BDE＝·2x·y＝·2x·＝－(x－2)2＋6，∴当x＝2时，S△BDE有最大值，最大值为6.‎ ‎6．(1)证明：如图，∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，‎ ‎∴EB＝EC，∴∠B＝∠1.‎ 又∵AD＝AC，∴∠ACD＝∠2，∴△ABC∽△FCD.‎ ‎(2)解：如图，过点A作AM⊥CB于点M.‎ ‎∵D是BC边上的中点，∴BC＝2CD.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由(1)知△ABC∽△FCD，∴＝＝.‎ 又∵S△FCD＝5，∴S△ABC＝20.‎ ‎∵S△ABC＝BC·AM，∴AM＝＝＝4.‎ ‎∵DE⊥BC，AM⊥BC，∴DE∥AM，‎ ‎∴△BDE∽△BMA.∴＝.‎ 由AD＝AC，AM⊥BC，知DM＝CD＝BC＝.‎ ‎∴＝，∴DE＝.‎ 点拨：从复杂的图形中分析线段的特点和联系，找到切入点是解较复杂问题的关键．‎ ‎(第6题)‎ ‎7．证明：∵△ACB为等腰直角三角形，AB为斜边，‎ ‎∴∠CAB＝45°.‎ ‎∵CO⊥AB.∴∠AOC＝90°.‎ 又∵DE⊥CD，DE＝CD，∴∠CED＝45°，∠CDE＝90°.‎ ‎∴∠CAO＝∠CED，∠AOC＝∠EDC.‎ ‎∴△ACO∽△ECD.∴∠ACO＝∠ECD，＝.‎ ‎∴∠ACE＝∠OCD.∴△ACE∽△OCD.‎ ‎8．(1)证明：由四边形APCB内接于圆O，得∠FPC＝∠B.‎ 又∠B＝∠ACE＝90°－∠BCE，∠ACE＝∠APD，‎ 所以∠APD＝∠FPC，所以∠APD＋∠DPC＝∠FPC＋∠DPC，‎ 即∠APC＝∠FPD.‎ 又∠PAC＝∠PDC，‎ 所以△PAC∽△PDF.‎ ‎(2)解：由(1)知△PAC∽△PDF，所以∠PCA＝∠PFD.‎ 又∠PAC＝∠CAF，‎ 所以△PAC∽△CAF，所以△CAF∽△PDF，‎ 所以＝，则PD·AF＝AC·DF.‎ 由AB＝5，AC＝2BC，∠ACB＝90°，知BC＝，AC＝2.‎ 由OE⊥CD，∠ACB＝90°知CB2＝BE·AB，CE＝DE.‎ 所以BE＝＝＝1.‎ 所以AE＝4，CE＝＝＝2，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以DE＝2.‎ 又＝，∠AFD＝∠PCA，所以∠AFD＝∠PCA＝45°.‎ 所以FE＝AE＝4，AF＝4，‎ 所以PD＝＝＝.‎ ‎9．解：(方法一：作延长线)延长AD，与地面交于点M，如图①.‎ ‎(第9题)‎ 由AM∥FH知∠AMB＝∠FHG.‎ 又因为AB⊥BG，FG⊥BG，DC⊥BG，‎ 所以△ABM∽△DCM∽△FGH，所以＝＝.‎ 因为CD＝2 m，FG＝1.2 m，GH＝2 m，‎ 所以＝，解得CM＝ m.‎ 因为BC＝4 m，所以BM＝BC＋CM＝4＋＝(m)．‎ 所以＝，解得AB＝4.4 m.‎ 故这棵树的高度是4.4 m.‎ ‎(方法二：作垂线)过点D作DM⊥AB于点M，如图②.‎ 所以＝.‎ 而DM＝BC＝4 m，AM＝AB－CD＝AB－2(m)，FG＝1.2 m，GH＝2 m，‎ 所以＝，解得AB＝4.4 m.‎ 故这棵树的高度是4.4 m.‎ ‎10．解：如图，过点A作AF⊥DE，垂足为F，并延长交BC于点G.‎ ‎∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.‎ ‎∵AF⊥DE，DE∥BC，∴AG⊥BC，∴＝，∴＝.‎ 解得AG＝75，∴FG＝AG－AF＝75－30＝45，‎ 即河的宽度为45 m.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(第10题)‎ ‎　　‎ ‎(第11题)‎ ‎11．思路导引：本题位似中心为O，先连接CO，因为要把原三角形缩小为原来的一半，可确定C′O＝CO，由其确定出C′的位置，再根据同样的方法确定出另外两个点．‎ 解：画出图形，如图中的△A′B′C′即为所求作的图形．‎ 点拨：抓住位似图形的性质，根据位似中心与三角形对应点的关系及位似比的大小确定所画位似图形的对应点，再画出图形．‎ ‎12．思路导引：(1)由角平分线的定义及∠BAD为平角直接可得．(2)由于线段PM，CM，BM在同一条直线上，所以必须把某条线段转化为另一相等的线段，构造相似三角形，因此可证PM＝AM，从而证明△ACM与△ABM相似即可．‎ ‎(1)解：∵AP平分∠BAC，∴∠PAC＝∠BAC.‎ 又∵AQ平分∠CAD，∴∠CAQ＝∠CAD.‎ ‎∴∠PAC＋∠CAQ＝∠BAC＋∠CAD＝(∠BAC＋∠CAD)．‎ 又∵∠BAC＋∠CAD＝180°，‎ ‎∴∠PAC＋∠CAQ＝90°，即∠PAQ＝90°.‎ ‎(2)证明：由(1)知∠PAQ＝90°，‎ 又∵M是线段PQ的中点，‎ ‎∴PM＝AM，∴∠APM＝∠PAM.‎ ‎∵∠APM＝∠B＋∠BAP，∠PAM＝∠CAM＋∠PAC，‎ ‎∠BAP＝∠PAC，‎ ‎∴∠B＝∠CAM.‎ 又∵∠AMC＝∠BMA，∴△ACM∽△BAM.‎ ‎∴＝，∴AM2＝CM·BM，即PM2＝CM·BM.‎ 点拨：本题运用了转化思想，在证明等积式时，常把它转化成比例式，寻找相似三角形进行求解．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费