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湘教版8年级下册数学2.4三角形的中位线同步练习
一、选择题(本大题共8小题)
1. 如图，DE是△ABC的中位线，则△ABC与△ADE的周长的比是 ( )
A．1:2 B．2:1 C．1:3 D．3:1
2. 如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．1+
3. 如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F，则下列结论正确的是（ ）
A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜BD D．EF＞DE
4. 一个三角形的周长是36 cm，则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是 ( )
A．6 cm B．12 cm C．18 cm D．36 cm
5. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（ ）
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A．7 B．8 C．9 D．10
6. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
7. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为（ ）
A．4 B．8 C．2 D．4
8. 在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D、E、F分别为AB、BC、AC中点，连接DF、FE，则四边形DBEF的周长是（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
二、填空题(本大题共6小题)
9. 如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，则DE= ．
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10. 如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB，选取可以直达A、B两点的点O处，再分别取OA、OB的中点M、N，量得MN=20m，则池塘的宽度AB为 m．
11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD=5cm，则EF= cm．
12. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN= ．
13. 如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB＝6，BC＝10，MN＝1.5，则△ABC的周长是 ．
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14. 如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB=6cm，AC=8cm，则四边形ADEF的周长等于 cm．
三、计算题(本大题共4小题)
15. 如图，已知△ABC中，D为AB的中点．
（1）请用尺规作图法作边AC的中点E，并连结DE（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，若DE=4，求BC的长．
16. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）求证：∠DHF=∠DEF．
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17. 如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F．
（1）求证：AE=AF；
（2）求证：BE=（AB+AC）．
18. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．
（1）求证：BM=MN；
（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．
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参考答案：
一、选择题(本大题共8小题)
1. B
分析：根据三角形中位线定理解答即可。
解：已知DE是△ABC的中位线，所以D，E分别是AB和AC的中点，根据中位线定理可知△ADE的每一条边都是△ABC的对应边的一半，那么周长也应该是△ABC的一半。故选B．
2. A
分析：由“30度角所对的直角边等于斜边的一半”求得AB=2BC=2．然后根据三角形中位线定理求得DE=AB．
解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC=2．
又∵点D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE是△ACB的中位线，
∴DE=AB=1．
故选：A．
3.B
分析：首先根据三角形的中位线定理得出AE=EC，然后根据CF∥BD得出∠ADE=∠F，继而根据AAS证得△ADE≌△CFE，最后根据全等三角形的性质即可推出EF=DE．
解：∵DE是△ABC的中位线，
∴E为AC中点，
∴AE=EC，
∵CF∥BD，
∴∠ADE=∠F，
在△ADE和△CFE中，
∵，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴DE=FE．
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故选B．
4. 解: 如图，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴DE= BC，DF= AC，EF= AB，
∵原三角形的周长为36，
则新三角形的周长为=18．
故答案为：18．
5. B
分析：根据三角形中位线定理求出DE，得到DF∥BM，再证明EC=EF=AC，由此即可解决问题．
解：在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，
∴AC===10，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DF∥BM，DE=BC=3，
∴∠EFC=∠FCM，
∵∠FCE=∠FCM，
∴∠EFC=∠ECF，
∴EC=EF=AC=5，
∴DF=DE+EF=3+5=8．
故选B．
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6. D
分析：在Rt△ACB中，根据勾股定理求得BC边的长度，然后由三角形中位线定理知DE=BC．
解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，
∴BC=6．
又∵DE垂直平分AC交AB于点E，
∴DE是△ACB的中位线，
∴DE=BC=3．
故选：D．
7.D
分析：先利用直角三角形斜边中线性质求出AB，再在RT△ABF中，利用30角所对的直角边等于斜边的一半，求出AF即可解决问题．
解：在RT△ABF中，∵∠AFB=90°，AD=DB，DF=4，
∴AB=2DF=8，
∵AD=DB，AE=EC，
∴DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABF=30°，
∴AF=AB=4，
∴BF===4．
故选D．
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8. B
分析：先根据三角形中位线性质得DF=BC=2，DF∥BC，EF=AB=，EF∥AB，则可判断四边形DBEF为平行四边形，然后计算平行四边形的周长即可．
解：∵D、E、F分别为AB、BC、AC中点，
∴DF=BC=2，DF∥BC，EF=AB=，EF∥AB，
∴四边形DBEF为平行四边形，
∴四边形DBEF的周长=2（DF+EF）=2×（2+）=7．
故选B．
二、填空题(本大题共6小题)
9. 分析：根据三角形的中位线定理得到DE=BC，即可得到答案．
解：∵D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，
∴DE=BC=4．故答案为：4．
10. 分析：根据题意知MN是△ABO的中位线，所以由三角形中位线定理来求AB的长度即可．
解：∵点M、N是OA、OB的中点，
∴MN是△ABO的中位线，
∴AB=AMN．
又∵MN=20m，
∴AB=40m．
故答案是：40．
11. 分析：已知CD是Rt△ABC斜边AB的中线，那么AB=2CD；EF是△ABC的中位线，则EF应等于AB的一半．
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解：∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，
∴CD=AB，
又∵EF是△ABC的中位线，
∴AB=2CD=2×5=10cm，
∴EF=×10=5cm．故答案为：5
12. 分析：连接CM，根据三角形中位线定理得到NM=CB，MN∥BC，证明四边形DCMN是平行四边形，得到DN=CM，根据直角三角形的性质得到CM=AB=3，等量代换即可．
解：连接CM，
∵M、N分别是AB、AC的中点，
∴NM=CB，MN∥BC，又CD=BD，
∴MN=CD，又MN∥BC，
∴四边形DCMN是平行四边形，
∴DN=CM，
∵∠ACB=90°，M是AB的中点，
∴CM=AB=3，
∴DN=3，
故答案为：3．
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13. 分析：延长线段BN交AC于E，从而构造出全等三角形，（△ABN≌△AEN），进而证明MN是中位线，从而求出CE的长．
解：延长线段BN交AC于E．
∵AN平分∠BAC，
∴∠BAN=∠EAN，AN=AN，∠ANB=∠ANE=90°，
∴△ABN≌△AEN，
∴AE=AB=6，BN=NE，
又∵M是△ABC的边BC的中点，
∴CE=2MN=2×1.5=3，
∴△ABC的周长是AB+BC+AC=6+10+6+3=25。
14.分析：首先证明四边形ADEF是平行四边形，根据三角形中位线定理求出DE、EF即可解决问题．
解：∵BD=AD，BE=EC，
∴DE=AC=4cm，DE∥AC，
∵CF=FA，CE=BE，
∴EF=AB=3cm，EF∥AB，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF的周长=2（DE+EF）=14cm．
故答案为14．
三、计算题(本大题共4小题)
15. 分析：（1）作线段AC的垂直平分线即可．
（2）根据三角形中位线定理即可解决．
解：（1）作线段AC的垂直平分线MN交AC于E，点E就是所求的点．
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（2）∵AD=DB，AE=EC，
∴DE∥BC，DE=BC，
∵DE=4，
∴BC=8．
16.分析：（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥AB，DE∥AC，再根据平行四边形的定义证明即可；
（2）根据平行四边形的对角相等可得∠DEF=∠BAC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DH=AD，FH=AF，再根据等边对等角可得∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，然后求出∠DHF=∠BAC，等量代换即可得到∠DHF=∠DEF．
证明：（1）∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴DE、EF都是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，DE∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形；
（2）∵四边形ADEF是平行四边形，
∴∠DEF=∠BAC，
∵D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，
∴DH=AD，FH=AF，
∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，
∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，
∠DHA+∠FHA=∠DHF，
∴∠DHF=∠BAC，
∴∠DHF=∠DEF．
17.分析：（1）欲证明AE=AF，只要证明∠AEF=∠AFE即可．
（2）作CG∥EM，交BA的延长线于G，先证明AC=AG，再证明BE=EG即可解决问题．
证明：（1）∵DA平分∠BAC，
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∴∠BAD=∠CAD，
∵AD∥EM，
∴∠BAD=∠AEF，∠CAD=∠AFE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF．
（2）作CG∥EM，交BA的延长线于G．
∵EF∥CG，
∴∠G=∠AEF，∠ACG=∠AFE，
∵∠AEF=∠AFE，
∴∠G=∠ACG，
∴AG=AC，
∵BM=CM．EM∥CG，
∴BE=EG，
∴BE=BG=（BA+AG）=（AB+AC）．
18. 分析：（1）根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，由此即可证明．
（2）首先证明∠BMN=90°，根据BN2=BM2+MN2即可解决问题．
解：（1）证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，
∴MN∥AD，MN=AD，
在RT△ABC中，∵M是AC中点，
∴BM=AC，
∵AC=AD，
∴MN=BM．
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（2）解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC=30°，
由（1）可知，BM=AC=AM=MC，
∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，
∵MN∥AD，
∴∠NMC=∠DAC=30°，
∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，
∴BN2=BM2+MN2，
由（1）可知MN=BM=AC=1，
∴BN=
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