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由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 吉林省实验中学2017届高三年级第五次模拟考试 数学（理科）试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：周春堂 审题人：黄海燕 2017年1月17日 第 Ⅰ 卷 (选择题 共60分)‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎（1）若集合，，则 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）若复数，则复数z在复平面内对应的点在 ‎ （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 ‎（3）命题“，”的否定为 ‎ （A）， （B），‎ ‎ （C）， （D），‎ ‎（4）函数的单调递减区间为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（5）已知，则的值为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（6）已知等差数列满足：，，，则 ‎ （A）7 （B）8 （C）9 （D）10‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎3‎ 俯视图 正视图 侧视图 ‎（7）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ‎ （A）36 （B）30‎ ‎ （C）24 （D）20‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（8）已知向量，满足：，则 ‎ （A）3 （B） ‎ ‎ （C） （D）‎ ‎（9）关于函数，有如下命题：‎ ‎①是的图象的一条对称轴；②，；③将的图象向右平移个单位，可得到一个奇函数的图象；④，．‎ 其中真命题的个数为 ‎ （A）1 （B）2 （C）3 （D）4‎ ‎（10）已知椭圆的左右顶点分别为A1，A2，点M为椭圆上不同于A1，A2的一点，若直线M A1与直线M A2的斜率之积等于，则椭圆的离心率为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（11）若正数m，n满足，不等式恒成立，则实数x的取值范围是 ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎（12）已知函数，则关于x的方程的实根个数不可能为 ‎ （A）2 （B）3 （C）4 （D）5‎ 第 Ⅱ 卷 (非选择题 共90分)‎ 本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）～（21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答． ‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（13）已知，则函数的最小值为 ．‎ A B C D E F G A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ ‎（14）如图所示：正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为棱BC，CC1，CD的中点，平面过点B1且与平面EFG平行，则平面被该正方体外接球所截得的截面圆的面积为 ．‎ ‎（15）在平面直角坐标系xOy中，点P是直线上的动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则的取值范围是　　　　．‎ ‎（16）已知数列中，，，对任意，，恒成立，则数列的前n项和 ．‎ 三、解答题：（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知．‎ ‎（Ⅰ）求角C；‎ ‎（Ⅱ）若，，求边长a，b的值．‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 已知数列的前n项和为，，． ‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，，求数列的前n项和．‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 如图，正方形ADMN与矩形ABCD所在平面互相垂直，，点E为线段AB上一点．‎ ‎（Ⅰ）若点E是AB的中点，求证：BM∥平面NDE；‎ ‎（Ⅱ）若二面角的大小为，求出AE的长．‎ E A B C D N M 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（20）（本小题满分12分）‎ 已知椭圆C：的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点M为椭圆上第一象限内一动点，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，求证：四边形ABCD的面积为定值．‎ M A B C D O x y ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若函数与的图象有两个不同的交点，，．‎ ‎ （i）求实数a的取值范围；‎ ‎ （ii）求证：，且．（e为自然对数的底数）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）分别写出曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）已知M，N分别为曲线C1的上、下顶点，点P为曲线C2上任意一点，求的最大值．‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数a的值；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数x，使不等式成立，求实数m的取值范围．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 吉林省实验中学2017届高三年级第五次模拟考试 数学（理科）参考答案 第 Ⅰ 卷 (选择题 共60分)‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D C D A D B B C C A A 第 Ⅱ 卷 (非选择题 共90分)‎ 本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）～（21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答． ‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）‎ ‎（13）； （14）； （15）； （16）．‎ 三、解答题：（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得：， …………2分 ‎ 即，‎ ‎ 即，‎ ‎ 即． …………4分 ‎ 因为，所以． …………5分 ‎ 又因为，所以． …………6分 ‎ （Ⅱ）因为，所以①． …………8分 ‎ 由余弦定理得：，‎ ‎ 因为，，，所以②． …………10分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ 由①，②联立可得：． …………12分 ‎（18）（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）因为①，‎ ‎ 所以当时，②，‎ ‎ ①－②，得：，即：， …………3分 ‎ 又因为且，所以，所以， …………4分 ‎ 即对任意恒成立，‎ ‎ 所以数列为首相为2，公比为2的等比数列． ‎ ‎ 所以 …………5分 ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：， …………7分 ‎ 所以③，‎ ‎ ④， …………9分 ‎ ③－④，得：，‎ ‎ 所以． …………12分 ‎（19）（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）证明：连结AM，设，连结EF． …………2分 ‎ 因为四边形ADMN为正方形，所以F是AM中点．‎ ‎ 又因为E是AB中点，所以EF∥BM． …………4分 ‎ 又因为平面NDE，平面NDE，‎ ‎ 所以BM∥平面NDE． …………5分 ‎ （Ⅱ）因为，平面平面ABCD，交线为AD，平面ADMN，‎ ‎ 所以平面ABCD．又因为，所以以点D为坐标原点，DA，DC，DM所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：…………6分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 则，，． …………7分 设，则，，，‎ 设平面CEM的法向量为，‎ 则，令，得：，，‎ 所以． …………9分 又因为平面DCE的一个法向量为， …………10分 且二面角的大小为，‎ 所以，解得：．‎ 所以，当二面角的大小为时，． …………12分 ‎（20）（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由已知可得：解得：； …………3分 ‎ 所以椭圆C的方程为：． …………4分 ‎ （Ⅱ）因为椭圆C的方程为：，所以，．‎ ‎…………5分 ‎ 设，则，即．‎ ‎ 则直线BM的方程为：，令，得； …………7分 ‎ 同理：直线AM的方程为：，令，得．‎ ‎…………9分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ 所以 ‎ ．‎ ‎ 即四边形ABCD的面积为定值2． …………12分 ‎（21）（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）因为，所以． …………1分 ‎ ①当时，，函数在单调递增； …………2分 ‎ ②当时，令，解得；令，解得．‎ ‎ 所以函数在单调递增，在单调递减． …………4分 ‎ 综上所述：当时，函数在单调递增；‎ ‎ 当时，函数在单调递增，在单调递减．‎ ‎ （Ⅱ）（i）函数与的图象有两个不同的交点，，等价于函数有两个不同的零点x1，x2，．‎ ‎ 由（Ⅰ）可知：当时，函数在单调递增，不可能有两个零点；‎ ‎ 当时，函数在单调递增，在单调递减．‎ ‎ 所以．‎ ‎ 当时，最多有一个零点，所以，解得，‎ ‎…………6分 ‎ 此时，，且，‎ ‎ ，‎ ‎ 令，则，‎ ‎ 所以在上单调递增，所以，即．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ 所以a的取值范围是． …………8分 ‎ （ii）因为，所以，，又在单调递增，且，，所以，即，即． …………10分 ‎ 构造函数，‎ ‎ 则，所以在递减，‎ ‎ 因为，所以．‎ ‎ 又因为，所以，‎ ‎ 由（Ⅰ）得：，即，即． …………12分 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 解：（Ⅰ）曲线C1的普通方程为， …………2分 曲线C2的普通方程为． …………4分 ‎（Ⅱ）由曲线C2：，可得其参数方程为（θ为参数），‎ 所以设点P的坐标为，‎ 由题意可知，．‎ 因此 ‎， …………8分 ‎．‎ 所以当时，有最大值28，‎ 因此的最大值为． …………10分 ‎（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 解：（Ⅰ）由f(x)≤3得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3． …………2分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，‎ 所以解得a＝2． …………5分 ‎（Ⅱ）当a＝2时，f(x)＝|x－2|．‎ 设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|．‎ 由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5（当且仅当－3≤x≤2时等号成立）得，‎ g(x)的最小值为5． …………8分 从而，若存在实数x，使不等式成立，‎ 即g(x)min