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期末测试
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．在△ABC中，∠C＝90°，如果tanA＝，那么sinB＝( )
A. B. C. D.
2．抛物线y＝－(x＋2)2＋3的顶点坐标是( )
A．(－2，3) B．(2，3)
C．(2，－3) D．(－2，－3)
3．如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝122°，则∠AOC的度数为( )
A．122° B．120° C．61° D．58°
4．已知α为锐角，sin(α－20°)＝，则α＝( )
A．20° B．40° C．60° D．80°
5．关于二次函数y＝(x＋2)2的图象，下列说法正确的是( )
A．开口向下 B．最低点是A(2，0)
C．对称轴是直线x＝2 D．对称轴的右侧部分y随x的增大而增大
6．(济宁中考)如图，斜面AC的坡度(CD与AD的比)为1∶2，AC＝3米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连，若AB＝10米，则旗杆BC的高度为( )
A．5米 B．6米 C．8米 D．(3＋)米
7．(绍兴中考)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B＝135°，则的长为( )
A．2π B．Π C. D.
8．(上海中考)如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是( )
A．AD＝BD B ．OD＝CD
C．∠CAD＝∠CBD D．∠OCA＝∠OCB
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9．已知二次函数y＝x2＋bx＋3如图所示，那么函数y＝x2＋(b－1)x＋3的图象可能是( )
10．如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与过A点的⊙O的切线交于点B，且∠APB＝60°，设OP＝x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是( )
二、填空题(每小题4分，共32分)
11．如图，∠BAC位于6×6的方格纸中，则tan∠BAC＝____________.
12．函数y＝x2＋bx－c的图象经过点(1，2)，则b－c的值为____________．
13．如图，小明骑自行车以15千米/小时的速度在公路上向正北方向匀速行进，出发时，在B点他观察到仓库A在他的北偏东30°处，骑行20分钟后到达C点，发现此时这座仓库正好在他的东南方向，则这座仓库到公路的距离为____________千米．(参考数据：≈1.732，结果精确到0.1)
14．(上海中考)如果将抛物线y＝x2＋2x－1向上平移，使它经过点A(0，3)，那么所得新抛物线的表达式是____________．
15．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，AC＝2，BC＝1，那么cos∠ABD的值是____________．
16．如图，点A、B、C在直径为2的⊙O上，∠BAC＝45°，则图中阴影的面积等于____________(结果中保留π
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)．
17．如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，动点O在△ABC的边上从点A出发沿A→C→B→A的路线匀速运动一周，速度为1个单位长度/秒，以O为圆心，为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切时是出发后第____________秒．
18．(菏泽中考)如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1＝x2(x≥0)与y2＝(x≥0)于B，C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则＝____________.
三、解答题(共58分)
19．(8分)已知：如图，⊙O的半径为3，弦AB的长为4.求sinA的值．
20．(8分)已知二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象经过原点，当x＝1时，函数有最小值为－1.
(1)求这个二次函数的表达式，并画出图象；
(2)利用图象填空：这条抛物线的开口向____________，顶点坐标为____________，对称轴是直线____________，当____________时，y≤0.
21．(10分)(大庆中考)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，∠PBC＝∠C.
(1)求证：CB∥PD；
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(2)若∠PBC＝22.5°，⊙O的半径R＝2，求劣弧AC的长度．
22．(10分)(绍兴中考)如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6 m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.
(1)求∠BPQ的度数；
(2)求该电线杆PQ的高度．(结果精确到1 m，参考数据：≈1.7，≈1.4)
23．(10分)如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD＝CB，延长CD交BA的延长线于点E.
(1)求证：CD为⊙O的切线；
(2)求证：∠C＝2∠DBE；
(3)若EA＝AO＝2，求图中阴影部分的面积．(结果保留π)
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24．(12分)(遵义中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(4，－)，且与y轴交于点C(0，2)，与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)．
(1)求抛物线的表达式及A、B两点的坐标；
(2)在(1)中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP＋CP的值最小，若存在，求AP＋CP的最小值；若不存在，请说明理由；
(3)在以AB为直径的⊙M中，CE与⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的表达式．
参考答案
1．B 2.A 3.A 4.D 5.D 6.A 7.B 8.B 9.C 10.D
11. 12.1 13.1.8 14.y＝x2＋2x＋3 15. 16.－ 17.4 18.3－
19．过点O作OC⊥AB，垂足为C，则有AC＝BC.∵AB＝4，∴AC＝2.在Rt△AOC中，OC＝＝＝.∴sinA＝＝.
20．(1)∵当x＝1时，函数有最小值为－1，∴二次函数的表达式为y＝a(x－1)2－1.∵二次函数的图象经过原点，∴(0－1)2·a－1＝0.∴a＝1.∴二次函数的表达式为y＝(x－1)2－1.函数图象略．
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(2)上 (1，－1) x＝1 0≤x≤2
21．(1)证明：连接OC、OD.∵∠PBC＝∠PDC，∠PBC＝∠BCD，∴∠BCD＝∠PDC.∴CB∥PD.
(2)∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴＝.∵∠PBC＝∠BCD＝22.5°，∴∠BOC＝∠BOD＝2∠BCD＝45°.∴∠AOC＝180°－∠BOC＝135°.∴l的长为：＝.
22．(1)∠BPQ＝90°－60°＝30°.
(2)延长PQ交直线AB于点C.设PQ＝x，则QB＝QP＝x，在△BCQ中，BC＝xcos30°＝x，QC＝x.在△ACP中，CA＝CP，所以6＋x＝x＋x.解得x＝2＋6.所以PQ＝2＋6≈9，即该电线杆PQ的高度约为9 m.
23．(1)证明：连接OD.∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°.∵CD＝CB，∴∠CBD＝∠CDB.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB.∴∠ODC＝∠ABC＝90°，即OD⊥CD.∵点D在⊙O上，∴CD为⊙O的切线．
(2)证明：∠DOE＝∠ODB＋∠OBD＝2∠DBE，由(1)得OD⊥EC于点D，∴∠E＋∠C＝∠E＋∠DOE＝90°.∴∠C＝∠DOE＝2∠DBE.
(3)作OF⊥DB于点F，连接AD.由EA＝AO可得AD是Rt△ODE斜边的中线，∴AD＝AO＝OD.∴∠DOA＝60°.∴∠OBD＝30°.又∵OB＝AO＝2，OF⊥BD，∴OF＝1，BF＝.∴BD＝2BF＝2，∠BOD＝180°－∠DOA＝120°.∴S阴影＝S扇形OBD－S△BOD＝－×2×1＝－.
24．(1)由题意，设抛物线的表达式为y＝a(x－4)2－(a≠0)．∵抛物线经过点C(0，2)，∴a(0－4)2－＝2.解得a＝.∴y＝(x－4)2－，即y＝x2－x＋2.当y＝0时，x2－x＋2＝0.解得x1＝2，x2＝6.∴A(2，0)，B(6，0)．
(2)存在，由(1)知，抛物线的对称轴l为x＝4，∵A、B两点关于l对称，连接CB交l于点P，则AP＝BP.∴AP＋CP＝BC的值最小．∵B(6，0)，C(0，2)，∴OB＝6，OC＝2.∴BC＝＝2.∴AP＋CP＝BC＝2.∴AP＋CP的最小值为2.
(3)连接ME.∵CE是⊙O的切线，∴∠CEM＝90°.∴∠COD＝∠DEM＝90°.由题意，得OC＝ME＝2，∠ODC＝∠MDE，∴△COD≌△MED(AAS)．∴OD＝ED，DC＝DM.设OD＝x，则CD＝DM＝OM－OD＝4－x.在Rt△COD中，OD2＋OC2＝CD2.∴x2＋22＝(4－x)2.∴x＝.∴D(，0)．设直线CE的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，∵直线CE过C(0，2)，D(，0)两点，则解得∴直线CE的表达式为y＝－x＋2.
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