福建省厦门市2017届高三第一次（3月）质量检查数学（理）试卷（含答案）.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 厦门市2017届高中毕业班第一次质量检查 数学（理科）试题 2017.03‎ ‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分,考试时间120分钟．‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 已知集合，，则等于 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.已知复数（其中为虚数单位），若为纯虚数，则实数等于 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 的内角，，的对边分别为，，，若，则等于 A. B. C. 或 D. 或 ‎ ‎4. 若实数满足条件，则的最小值为 A. B. C. D. ‎ ‎5.已知平面平面，，直线，直线，且，有以下四个结论：‎ ‎① 若，则 ② 若，则 ‎ ‎③ 和同时成立 ④ 和中至少有一个成立 其中正确的是 A．①③ B． ①④ C． ②③ D． ②④‎ ‎6．已知，点为斜边的中点，，，，则等于 ‎ A. B. C. D.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎7.抛物线的焦点为，点，为抛物线上一点，且不在直线上，则周长的最小值为 A. B. C. D.‎ ‎8.某校高三年级有男生220人，学籍编号1，2，…，220；女生380人，学籍编号221，222，…，600.为了解学生学习的心理状态，按学籍编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行问卷调查（第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为10），然后再从这10位学生中随机抽取3人座谈，则3人中既有男生又有女生的概率是 A． B. C. D.‎ ‎9.二分法是求方程近似解的一种方法，其原理是“一分为二，无限逼近”.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为 A.2 B‎.3 C.4 D. 5‎ ‎10.已知定义在上连续可导的函数满足，且，则 A. 是增函数 B.是减函数 C. 有最大值1 D. 有最小值1‎ ‎11.已知双曲线，过轴上点的直线与双曲线的右支交于两点（在第一象限），直线交双曲线左支于点（为坐标原点），连接.若，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，则该双曲线的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎12．已知，为动直线与和在区间上的左，右两个交点，，在轴上的投影分别为，.当矩形面积取得最大值时，点的横坐标为，则 A． B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．的展开式中，的系数为___________‎ ‎14．化简：____________‎ ‎15．某三棱锥的三视图如图所示，则其外接球的表面积为______‎ ‎16．若实数a，b，c满足，则的最小值是_________‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知数列，满足，，.‎ ‎（Ⅰ）求证：数列为等差数列；‎ ‎（Ⅱ）设，求.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎18．（本小题满分12分）‎ 为了响应厦门市政府“低碳生活，绿色出行”的号召，思明区委文明办率先全市发起“少开一天车，呵护厦门蓝”绿色出行活动，“从今天开始，从我做起，力争每周至少一天不开车，上下班或公务活动带头选择步行、骑车或乘坐公交车，鼓励拼车……”铿锵有力的话语，传递了低碳生活、绿色出行的理念。某机构随机调查了本市500名成年市民某月的骑车次数，统计如下：‎ 人数 次数 年龄 ‎ ‎[0,10)‎ ‎[10,20)‎ ‎[20,30)‎ ‎[30,40)‎ ‎[40,50)‎ ‎[50,60]‎ ‎18岁至30岁 ‎6‎ ‎14‎ ‎20‎ ‎32‎ ‎40‎ ‎48‎ ‎31岁至44岁 ‎4‎ ‎6‎ ‎20‎ ‎28‎ ‎40‎ ‎42‎ ‎45岁至59岁 ‎22‎ ‎18‎ ‎33‎ ‎37‎ ‎19‎ ‎11‎ ‎60岁及以上 ‎15‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎5‎ ‎5‎ 联合国世界卫生组织于2013年确定新的年龄分段：44岁及以下为青年人，45岁至59岁为中年人，60岁及以上为老年人．记本市一个年满18岁的青年人月骑车的平均次数为.以样本估计总体.‎ ‎（Ⅰ）估计的值；‎ ‎（Ⅱ）在本市老年人或中年人中随机访问3位，其中月骑车次数超过的人数记为，求的分布列与数学期望.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 在如图所示的六面体中，面是边长为的正方形，面是直角梯形，，，.‎ ‎（Ⅰ）求证：//平面；‎ ‎（Ⅱ）若二面角为，求直线和平面所成角的正弦值.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的零点个数；‎ ‎（Ⅱ）当时，求证：恒成立.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆，动圆：（圆心为椭圆上异于左右顶点的任意一点），过原点作两条射线与圆相切，分别交椭圆于，两点，且切线长的最小值为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：的面积为定值.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线： （为参数）．以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的极坐标方程与直线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与，在第一象限分别交于，两点，为上的动点，‎ 求面积的最大值．‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 已知函数，若的解集是.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.‎ 厦门市2017届高中毕业班第一次质量检查 数学（理科）试题答案 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1-6 BCDBBD 7-12 CDCDAA ‎12.解析：由题意知，与关于直线对称，设，则，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，，在区间上单调递减，且，‎ ‎，在区间存在唯一零点，即为.‎ 令得：，即.‎ 由不等式得：，解得：，故选A.‎ 命题意图：考查三角函数的图象与性质、导数、零点、不等式等，考查数形结合思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13. 14. 15. 16. ‎ ‎15.解析：由三视图可得三棱锥的直观图如图所示，取的中点，连接，‎ 设为的外心，为三棱锥的外接球的半径，则在线段上，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 因为，即，解得：，‎ 所以，‎ ‎16.解析：（法一）由得：‎ 在坐标系中考察函数与的图象，‎ 所以，的最小值等价于直线与函数，交点横坐标之间距离的最小值.设直线与相切于点，则，解得：，‎ 所以，，故.‎ ‎（法二）由得：‎ ‎，则 ‎，令，则，‎ 当时，；当时，；当时，；‎ 所以，在单调递增，在单调递减，故，‎ 所以，‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．本题以递推数列为背景考查等差数列的判定以及利用基本量的求和运算，（Ⅰ）重点考查利用数列递推形式构造等差或等比数列以及等差数列的判定方法；（Ⅱ）主要考查数列求和应首先探寻通项公式，通过分析通项公式的特征发现求和的方法. 满分12分．‎ ‎（Ⅰ）证明：法一：由，得 3分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 数列是首项为，公差为的等差数列 5分 法二：由得 ‎ 3分 ‎ 4分 数列是首项为，公差为的等差数列 5分 ‎（Ⅱ）解：设 7分 由（Ⅰ）得，数列为公差为的等差数列 即 8分 ‎，‎ 且 是首项，公差为的等差数列 10分 ‎ 12分 ‎18.本小题主要考查对频数分布表的理解与应用，古典概型、随机变量的数学期望等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查必然与或然思想、化归与转化思想．满分12分．‎ 解：（Ⅰ）由已知可得下表 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 人数 次数 年龄 ‎[0,10)‎ ‎[10,20)‎ ‎[20,30)‎ ‎[30,40)‎ ‎[40,50)‎ ‎[50,60]‎ 合计 青年人 ‎10‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎80‎ ‎90‎ ‎300‎ 中年人 ‎22‎ ‎18‎ ‎33‎ ‎37‎ ‎19‎ ‎11‎ ‎140‎ 老年人 ‎15‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎60‎ 本市一个青年人月骑车的平均次数：‎ ‎.‎ ‎ 5分 ‎（Ⅱ）本市老年人或中年人中月骑车时间超过40次的概率为. 7分 ‎，，故. 9分 ‎ 所以的分布列如下：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ 11分 ‎. 12分 ‎19．本题考查立体几何中的线面关系，空间角，空间向量在立体几何中的应用等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、等价转化能力，考查数形结合思想、化归与转化、或然与必然等数学思想．满分12分．‎ 证明：（1）法一：连接相交于点，取的中点为,连接.‎ 是正方形，是的中点，,‎ 又因为,所以且，‎ 所以四边形是平行四边形， 3分 ‎，又因为平面,平面 平面 5分 法二：延长相交于点,连接.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 因为，‎ 是的中点，所以且，‎ 所以四边形是平行四边形， 3分 ‎，又因为平面,平面 平面 5分 ‎（2）是正方形，是直角梯形，，‎ ‎,平面,同理可得平面.‎ 又平面，所以平面平面, ‎ 又因为二面角为，‎ 所以,,,由余弦定理得,‎ 所以,又因为平面，,所以平面，‎ ‎ 7分 法一：以为坐标原点，为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系.则, 8分 所以,设平面的一个法向量为，则即令，则，‎ 所以 11分 设直线和平面所成角为，‎ 则 12分 法二：取的中点为,的中点为，连接.以为坐标原点，为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系.‎ 则 8分 以,‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 设平面的一个法向量为，‎ 则即令，则，‎ 所以 11分 设直线和平面所成角为，则 ‎ 12分 ‎20.本题考查函数单调性、极值、零点的基础知识，考查学生运算求解与推理论证的能力，运用导数工具解决函数与方程、不等式综合问题的能力。考查数形结合，分类与整合，转化与化归的数学思想。‎ 解：（1）法1：由已知 1分 令， 2分 单调递增 ‎，单调递减 ‎ 3分 综上：或时，有1个零点 时，有2个零点 时，有0个零点 5分 法2：， ， 1分 时，单调递增 ‎，，所以，有1个零点 2分 时，，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 单调递增 ‎，单调递减，‎ 时，，0个零点 时，，1个零点 4分 时，，‎ ‎，，所以，此时有2个零点 综上：或时，有1个零点 时，有2个零点 时，有0个零点 5分 ‎（2）证明：‎ 法1：要证 即证 令，‎ ‎ 7分 ‎9分 单调递减 11分 单调递增，‎ 单调递减，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 综上： 12分 法2要证 即证 令， 7分 令，‎ 令 令 9分 单调递增，单调递减 单调递减，‎ 单调递减 11分 单调递增，‎ 单调递减，‎ 综上： 12分 ‎21．本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系，考查推理运算和方程求解能力.运用化归转化手段. 将切线长最短问题转化为椭圆上的动点到定点距离最短问题；考查圆锥曲线中的有关定值问题，从变化中寻找不变量，并通过必要的推理和运算化简求值.考查转化化归思想、分类整合思想.‎ ‎（Ⅰ）解：如图1，因为，所以，‎ P O M N y x 图1‎ 由得：‎ 故点在圆外， ‎ 不妨设与圆相切于T，则有：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 切线长 1分 代入得 ‎ 3分 由已知得：，解得：，‎ 所以椭圆的方程为： 4分 P O M N y x 图2‎ ‎（Ⅱ）解：1°当切线OM或ON斜率不存在即圆P与y轴相切时，易得，代入椭圆方程得：，说明圆P同时也与x轴相切（图2），此时M、N分别为长、短轴一个端点，则的面积为. 5分 ‎2°当切线OM、ON斜率都存在时，设切线方程为：，‎ 由得：，‎ 整理得：（）， 6分 由1°知：，即，此时，方程（）必有两个非零根，‎ 记为,则分别对应直线的斜率，‎ 由韦达定理得：，将代入得： 7分 解法一：（求交点坐标）‎ 由上知：，‎ 设点N位于第一、三象限，点M位于第二、四象限，‎ 若点N位于第一象限，点M位于第二象限，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A B O M N y x M1‎ N1‎ 图3‎ 设OM：与椭圆方程联立可得： ‎ 设ON：与椭圆方程联立可得：‎ ‎ 9分 ‎ 10分 代入坐标有： ‎ ‎ ‎ 同理，当点M、N位于其它象限时，结论也成立 综上，的面积为定值. 12分 解法二：（探寻直线MN方程特征）‎ ‎（接上）设 O M N y x 图4‎ 由于点P不与点A、B重合时，直线的斜率存在，不妨设直线的方程为：，‎ 将与椭圆方程联立可得：，‎ ‎，‎ 由得，‎ ‎ 8分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 代入有：‎ 整理得：； 9分 又 而原点O到直线的距离为 11分 ‎.‎ 所以的面积为定值. 12分 ‎22．本题考查学生对直角坐标方程、参数方程、极坐标方程之间的相互转化，利用极坐标方程求解弦长问题，三角形最值问题，通过直角坐标方程、参数方程、极坐标方程之间的互化考查化归与转化、数形结合的思想. ‎ 解：（Ⅰ）依题意得，曲线的普通方程为，‎ 曲线的极坐标方程为， 3分 ‎ 直线的直角坐标方程为． 5分 ‎（Ⅱ）曲线的直角坐标方程为，由题意设，，‎ ‎ 则，即，得或（舍），‎ ‎ ，则， 7分 ‎ 到的距离为．‎ ‎ 以为底边的的高的最大值为．‎ ‎ 则的面积的最大值为． 10分 ‎23.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 本题考查学生对绝对值不等式的理解与运用，考查学生对绝对值函数的运算求解能力，考查分类与整合、函数与方程思想和数形结合等思想．本题以绝对值函数为背景，设置学生熟悉的绝对值函数化为分段函数以及不等式求解问题． ‎ 解：（Ⅰ）解法一：‎ ‎ 1分 ‎ 作出函数的图象 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………………………………3分 ‎ ‎ 由的解集为 及函数图象得 ‎ 得 …………………………………………5分 解法二：‎ ‎ 1分 ‎① 得 ‎ 得， 2分 ‎②得，不合题意 3分 ‎③ 得 当时，，不符合，舍去 当时， 4分 综上不等式的解集为 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎， 5分 ‎（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得 ‎ ‎ 6分 ‎ 有解 ‎ 即 8分 ‎ ‎ ‎ 9分 ‎ 实数的取值范围 10分 ‎ 解法二：由绝对值不等式几何意义得 6分 ‎ 有解 ‎ 即 8分 ‎ ‎ ‎ 9分 ‎ 实数的取值范围 10分 ‎ ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费