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第24章解直角三角形 检测题
（时间：90分钟 满分：120 分）
班级： 姓名： 得分：
一、选择题(每小题3分，共30分)
1. 在△ABC中，∠C=90°，cosA=，则tanB的值为（ ）
A. B. C. D.
2. 在△ABC中，若，则∠C的度数为( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
3. 如图，△ABC中，AB=AC=8，BC=6，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（ ）
A.10 B.11 C.12 D.13
第3题图 第4题图 第5题图
4. 如图，已知OA=6，∠AOB=30°，则经过点A的反比例函数的关系式为（ ）
A.y= B.y= C.y= D.y=
5. 某资料中曾记载了一种计算地球与月球之间的距离的方法：如图，假设地球的半径约为3950英里，赤道上一点D在AB上，∠ACB为直角，可以测量∠A的度数，则AB的长为( )
A．英里 B．英里 C．英里 D．英里
6. 如图，一艘船向东航行，上午8时到达B处，看到有一灯塔在它的北偏东60°，距离为72海里的A处；上午10时到达C处，看到灯塔在它的正北方向．则这艘船航行的速度为( )(≈1.73，精确到1海里/时)
A.30海里/时 B.31海里/时 C.32海里/时 D.33海里/时
第6题图 第7题图 第8题图
7. 如图，△ABC中，cosB=，sinC=，AC=5，则△ABC的面积是（ ）
A． B．12 C．14 D．21
8. 如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（ ）
A.200米 B.200米 C.220米 D.100(+1)米
9. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA=．则下列关系式中不成立的是（ ）
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A.tanA·cotA=1 B.sinA=tanA·cosA
C.cosA=cotA·sinA D.tan2A+cot2A=1
第9题图 第10题图
10. 小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ）
A.(6+)米 B.12米 C.(4-2)米 D.10米
二、填空题(每小题4分，共32分)
11. 计算：=_______.
12. 在正方形网格中，△ABC的位置如图9所示，则cos∠B的值为______.
图9
13. 如图，已知一商场自动扶梯的长为10米，该自动扶梯到达的高度h为6米，自动扶梯与地面所成的角为，则tan的值等于________.
第13题图 第14题图 第15题图
14. 如图11，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度AC为3米，引桥的坡角∠ABC为15°，则引桥的水平距离BC的长是 米.
15. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tanα的值为______.
16. 如图，在一块三角形空地上种草皮绿化环境．已知AB=20米，AC=30米，∠A=150°，草皮的售价为a元/米2，则购买草皮至少需要______元.
第16题图 第18题图
17. 已知坐标平面上的机器人接受指令“[a，A]”（a≥0，0°＜A＜180°）后的行动结果为：在原地顺时针旋转A后，再向面对方向沿直线行走a．若机器人的位置在原点，面对方向为y轴的负半轴，则它完成一次指令[2，60°]后，所在位置的坐标为_________.
18. 要求tan30°的值，可构造如图14所示的直角三角形进行计算，作Rt△ABC，使∠C=90°，斜边AB=2，直角边AC=1，那么BC=，∠ABC=30°，所以tan30°===.在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，就可求出tan15°的值，请简要写出你添加的辅助线，并写出的tan15°的值.
答： .
三、解答题(共58分)
19.(10分)已知α是锐角，且sin(α+15°)=.计算的值.
20.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝．点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°
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求△ABC的周长（结果保留根号）
第20题图
21.(12分)在一次数学活动课上，数学老师带领同学们去测量一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点 C，测得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行20米到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：，）
第21题图
22.(12分)某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB长22m，坡角∠BAD=68°，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．
(1)求改造前坡顶与地面的距离BE的长(精确到0.1m)；
(2)为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC削进到F点处，则BF至少是多少m？(精确到0.1m)(参考数据：sin68°=0.9272，cos68°=0.3746，tan68°=2.4751，sin50°=0.766O，cos50°=0.6428，tan50°=1.1918)
第22题图
23.(14分)某海滨浴场的沿岸可以看作直线，如图所示，1号救生员在岸边的A点看到海中的B点有人求救，便立即向前跑300米到离Ｂ点最近的Ｄ点，再跳入海中游到Ｂ点救助；若每位救生员在岸上跑步的速度都是6米／秒，在水中游泳的速度都是2米／秒，∠BAD=45°．
(1)请问1号救生员的做法是否合理？
(2)若2号救生员从A跑到Ｃ，再跳入海中游到Ｂ点救助，且∠BCD=65°，请问谁先到达点Ｂ？(所有数据精确到0.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2，≈1.4).
第23题图
参考答案]
一、1.B 2.D 3.B 4.B 5.A 6.B 7.A 8.D 9.D 10.A
二、11.1 12. 13. 14.11.2 15. 16.150a 17.(-，-1)
18.延长CB到D，使BD=AB，连结AD，则∠D=15°，得tan15°==2-.
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三、19. 解：由sin(α+15°)=，得α+15°=60°，所以∠α=45°.
所以原式==
20. 解：因为∠C＝90°，∠ADC＝60°，所以CD=ACtan30°==1.
所以AD=.
所以BD＝2AD=4.
所以AB=.
所以△ABC的周长= AB+AC+BC=5++.
21. 解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD=x米．
在Rt△BCD中，∠CBD=45°，所以BD=CD=x米．
在Rt△ACD中，∠DAC=31°，AD=AB+BD=(20+x)米，CD=x米．
因为，所以．所以x=30．
答：这条河的宽度为30米．
22. 解：(1)如图，过点B作BE⊥AD，E为垂足，
则BE=AB·sin68°=22sin68°=20.40≈20.4（m）．
(2)过点F作FG⊥AD，G为垂足，连接FA，则FG=BE．
因为AG==17.12，AE=AB·cos68°=22cos68°=8.24，所以BF=GE=AG-AE=8.88≈8.9（m）.
即BF至少是8.9m．
23. 解：(1)因为救助应在最短时间内完成，所以从直观性来看，如果救生员直接从点Ａ入水，由于水中速度比岸上跑步慢，此做法显然是不合理的；而跑到点Ｄ入水，虽然充分利用岸上速度快的优点，但要多跑路程，花费时间多，因此1号救生员的做法不合理；
(2)从收到求救信号后，1号救生员和2号救生员到达求救者身边需要的时间分别设为秒和秒.
在Rt△BCD中，∠D=90°，BD=AD=300米，
则CD=≈150米，BC=≈333.3米.
所以AC=150米，=300÷6＋300÷2=200（秒），=150÷6＋333.3÷2≈191.7（秒）.
因为200＞191.7，所以2号救生员先到达点B．
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