2017年江西省南昌市高考数学一模试卷（文科）含答案解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017年江西省南昌市高考数学一模试卷（文科）‎ 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知全集U=R，集合A={x|x＞2}，B={1，2，3，4}，那么（∁UA）∩B=（　　）‎ A．{3，4} B．{1，2，3} C．{1，2} D．{1，2，3，4}‎ ‎2．若复数z=（a﹣1）+3i（a∈R）在复平面内对应的点在直线y=x+2上，则a的值等于（　　）‎ A．1 B．2 C．5 D．6‎ ‎3．已知α，β为第一象限的两个角，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n=（　　）‎ A．860 B．720 C．1020 D．1040‎ ‎5．若双曲线C：x2﹣=1（b＞0）的离心率为2，则b=（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2A=sinA，bc=2，则△ABC的面积为（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．6 B．2log23+1 C．2log23+3 D．log23+1‎ ‎8．已知函数的周期为π，若f（α）=1，则=（　　）‎ A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2‎ ‎9．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十（意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱）；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有（　　）钱．‎ A．28 B．32 C．56 D．70‎ ‎10．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（　　）‎ A． B． C．16 D．32‎ ‎11．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=lnx﹣x+1，则函数g（x）=f（x）﹣ex（e为自然对数的底数）的零点个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎12．抛物线y2=8x的焦点为F，设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，若x1+x2+4=|，‎ 则∠AFB的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．若，则=　　．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎14．已知单位向量的夹角为，，则在上的投影是　　．‎ ‎15．如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC=2CD=2AD=2，若将直角梯形绕BC边旋转一周，则所得几何体的表面积为　　．‎ ‎16．已知实数x，y满足，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为　　．‎ ‎　‎ 三．解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.‎ ‎17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3+S4=S5．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，求数列{bn}的前2n项和T2n．‎ ‎18．某中学环保社团参照国家环境标准，制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：‎ 空气质量指数 ‎（0，50]‎ ‎（50，100]‎ ‎（100，150]‎ ‎（150，200]‎ ‎（200，250]‎ ‎（250，300]‎ 空气质量等级 ‎1级优 ‎2级良 ‎3级轻度污染 ‎4级中度污染 ‎5级重度污染 ‎6级严重污染 该社团将该校区在2016年连续100天的空气质量指数数据作为样本，绘制了如图的频率分布表，将频率视为概率．估算得全年空气质量等级为2级良的天数为73天（全年以365天计算）．‎ 频数 频率 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 空气质量指数 ‎（0，50]‎ x a ‎（50，100]‎ y b ‎（100，150]‎ ‎25‎ ‎0.25‎ ‎（150，200]‎ ‎20‎ ‎0.2‎ ‎（200，250]‎ ‎15‎ ‎0.15‎ ‎（250，300]‎ ‎10‎ ‎0.1‎ ‎（Ⅰ）求x，y，a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）请在答题卡上将频率分布直方图补全（并用铅笔涂黑矩形区域），并估算这100天空气质量指数监测数据的平均数．‎ ‎19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB=2DC=2，AC∩BD=F．且△PAD与△ABD均为正三角形，E为AD的中点，G为△PAD重心．‎ ‎（Ⅰ）求证：GF∥平面PDC；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥G﹣PCD的体积．‎ ‎20．已知椭圆的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点B（4，0），F2为线段A1B的中点．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若过点B且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M，N两点，已知直线A1M与A2N相交于点G，求证：以点G为圆心，GF2的长为半径的圆总与x轴相切．‎ ‎21．已知函数f（x）=（2x﹣4）ex+a（x+2）2．（a∈R，e为自然对数的底）‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当x≥0时，不等式f（x）≥4a﹣4恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ 请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．在平面直角坐标系xoy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）已知曲线C1与曲线C2交于A、B两点，且|PA|=2|PB|，求实数a的值．‎ ‎　‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|，a∈R．‎ ‎（Ⅰ）若不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当a＜2时，函数f（x）的最小值为3，求实数a的值．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017年江西省南昌市高考数学一模试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知全集U=R，集合A={x|x＞2}，B={1，2，3，4}，那么（∁UA）∩B=（　　）‎ A．{3，4} B．{1，2，3} C．{1，2} D．{1，2，3，4}‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【分析】由题意和补集的运算求出∁UA，由交集的运算求出（∁UA）∩B．‎ ‎【解答】解：因为全集U=R，集合A={x|x＞2}，‎ 所以CUA={x|x≤2}，‎ 又B={1，2，3，4}，则（CUA）∩B={1，2}，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．若复数z=（a﹣1）+3i（a∈R）在复平面内对应的点在直线y=x+2上，则a的值等于（　　）‎ A．1 B．2 C．5 D．6‎ ‎【考点】复数的代数表示法及其几何意义．‎ ‎【分析】求出对应点的坐标，代入直线方程，然后求解a的值．‎ ‎【解答】解：复数z=（a﹣1）+3i（a∈R）在复平面内对应的点在直线y=x+2上，‎ 可得3=a﹣1+2，解得a=2．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．已知α，β为第一象限的两个角，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 根据三件函数的定义和关系式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．‎ ‎【解答】解：∵角α，β的终边在第一象限，‎ ‎∴当α=+2π，β=，满足α＞β，但sinα=sinβ，则sinα＞sinβ不成立，即充分性不成立，‎ 若当α=，β=+2π，满足sinα＞sinβ，但α＞β不成立，即必要性不成立，‎ 故“α＞β”是“sinα＞sinβ”的既不必要也不充分条件，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n=（　　）‎ A．860 B．720 C．1020 D．1040‎ ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【分析】先求得分层抽样的抽取比例，根据样本中高二被抽取的人数为30，求总体．‎ ‎【解答】解：由已知条件抽样比为，从而，解得n=1040，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．若双曲线C：x2﹣=1（b＞0）的离心率为2，则b=（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由a=1，c=，离心率为e===，解得：b=．‎ ‎【解答】解：双曲线C：x2﹣=1（b＞0）焦点在x轴上，a=1，c=，‎ ‎∴离心率为e===，解得：b=，‎ 故选C．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2A=sinA，bc=2，则△ABC的面积为（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【考点】正弦定理；二倍角的余弦．‎ ‎【分析】由已知利用二倍角余弦函数公式可求sinA，利用三角形面积公式即可计算得解．‎ ‎【解答】解：由cos2A=sinA，得：或﹣1（舍去），‎ ‎∴，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（　　）‎ A．6 B．2log23+1 C．2log23+3 D．log23+1‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的S，i的值，即可得出跳出循环时输出S的值．‎ ‎【解答】解：模拟程序的运行，可得：‎ S=3，i=1‎ 满足条件i≤7，执行循环体，S=3+log2，i=2‎ 满足条件i≤7，执行循环体，S=4+log2，i=3‎ ‎…‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 满足条件i≤7，执行循环体，‎ ‎，i=8‎ 此时，不满足条件i≤7，退出循环，输出S=log26=log23+1，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．已知函数的周期为π，若f（α）=1，则=（　　）‎ A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2‎ ‎【考点】正弦函数的图象．‎ ‎【分析】根据函数f（x）的周期求出ω的值，再化简f（α+）并求值．‎ ‎【解答】解：因为函数f（x）=Asin（ωx+φ）的周期为 T==π，∴ω=2，‎ ‎∴f（x）=Asin（2x+φ），‎ 又f（α）=Asin（2α+φ）=1，‎ ‎∴f（α+）=Asin[2（α+）+φ]‎ ‎=Asin（2α+3π+φ）‎ ‎=﹣Asin（2α+φ）‎ ‎=﹣1．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十（意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱）；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有（　　）钱．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．28 B．32 C．56 D．70‎ ‎【考点】函数的值；函数解析式的求解及常用方法．‎ ‎【分析】设甲、乙丙各有x钱，y钱，z钱，列出方程组求得甲有72钱，乙有32钱，丙有4钱．‎ ‎【解答】解：设甲、乙丙各有x钱，y钱，z钱，‎ 则，‎ 解得x=72，y=32，z=4．‎ ‎∴甲有72钱，乙有32钱，丙有4钱．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（　　）‎ A． B． C．16 D．32‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】回归到正方体中，该几何体是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥，即如图中的几何体A﹣BCD，其体积是正方体体积的，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：回归到正方体中，该几何体是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥，即如图中的几何体A﹣BCD，其体积是正方体体积的，等于，‎ 故选A．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎11．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=lnx﹣x+1，则函数g（x）=f（x）﹣ex（e为自然对数的底数）的零点个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】函数奇偶性的性质；函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】确定x=1时函数有极大值为f（1）=0，根据奇函数的对称性，作出其函数图象，根据图象，可得结论．‎ ‎【解答】解：因为当x＞0时，函数f（x）=lnx﹣x+1有，‎ 所以函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，‎ 当x=1时函数有极大值为f（1）=0，‎ 根据奇函数的对称性，作出其函数图象如图所示：‎ 由函数图象可知y=ex和y=f（x）有两个不同交点，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎12．抛物线y2=8x的焦点为F，设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，若x1+x2+4=|，‎ 则∠AFB的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出∠AFB的最大值．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解：因为，|AF|+|BF|=x1+x2+4，所以．‎ 在△AFB中，由余弦定理得： =．‎ 又．‎ 所以，∴∠AFB的最大值为，‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．若，则=　　．‎ ‎【考点】三角函数的化简求值．‎ ‎【分析】由已知利用诱导公式化简所求即可得解．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．已知单位向量的夹角为，，则在上的投影是　　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】根据平面向量投影的定义，利用数量积的运算求出对应的值即可．‎ ‎【解答】解：单位向量的夹角为，，‎ 则在上的投影是：‎ ‎||cos＜，＞==•=（2﹣）•‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎=2﹣•‎ ‎=2﹣1×1×1×cos ‎=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC=2CD=2AD=2，若将直角梯形绕BC边旋转一周，则所得几何体的表面积为　　．‎ ‎【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．‎ ‎【分析】由圆锥及圆柱的几何特征可得，该几何体由两个底面相待的圆锥和圆柱组合而成，其中圆柱和圆锥的高均为1，代入圆柱和圆锥的体积公式，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：由图中数据可得：，S圆柱侧=π×2×1=2π，．‎ 所以几何体的表面积为．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．已知实数x，y满足，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为　9　．‎ ‎【考点】简单线性规划；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 利用数列的关系推出三项和关于x，y的表达式，画出约束条件的可行域，利用线性规划知识求解最值．‎ ‎【解答】解：设构成等差数列的五个数分别为x，a，b，c，y，‎ 因为等差数列的公差，‎ 则 ‎（另解：因为由等差数列的性质有x+y=a+c=2b，‎ 所以．）‎ 则等差数列后三项和为 ‎=‎ ‎=．）．‎ 所以设z=x+3y，实数x，y满足，‎ 作出约束条件所表示的可行域如图所示：‎ 可知当经过点A（3，3）时，‎ 目标函数z=x+3y有最大值12，此时b+c+y有最大值9．‎ 故答案为：9．‎ ‎　‎ 三．解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3+S4=S5．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，求数列{bn}的前2n项和T2n．‎ ‎【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由S3+S4=S5可得：a1+a2+a3=a5，3（1+d）=1+4d，解得d=2，由等差数列的通项公式即可求得{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）．T2n=1﹣3+5﹣7+…+•（2n﹣3）﹣（2n﹣1）=﹣2n．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，‎ 由S3+S4=S5可得：a1+a2+a3=a5，‎ 即3a2=a5，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎∴3（1+d）=1+4d，解得d=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎∴an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，‎ 数列{an}的通项公式an=2n﹣1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：．‎ ‎∴T2n=1﹣3+5﹣7+…+•（2n﹣3）﹣（2n﹣1），‎ ‎=（﹣2）×n，‎ ‎=﹣2n，‎ 数列{bn}的前2n项和T2n=﹣2n．﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎　‎ ‎18．某中学环保社团参照国家环境标准，制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：‎ 空气质量指数 ‎（0，50]‎ ‎（50，100]‎ ‎（100，150]‎ ‎（150，200]‎ ‎（200，250]‎ ‎（250，300]‎ 空气质量等级 ‎1级优 ‎2级良 ‎3级轻度污染 ‎4级中度污染 ‎5级重度污染 ‎6级严重污染 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 该社团将该校区在2016年连续100天的空气质量指数数据作为样本，绘制了如图的频率分布表，将频率视为概率．估算得全年空气质量等级为2级良的天数为73天（全年以365天计算）．‎ 空气质量指数 频数 频率 ‎（0，50]‎ x a ‎（50，100]‎ y b ‎（100，150]‎ ‎25‎ ‎0.25‎ ‎（150，200]‎ ‎20‎ ‎0.2‎ ‎（200，250]‎ ‎15‎ ‎0.15‎ ‎（250，300]‎ ‎10‎ ‎0.1‎ ‎（Ⅰ）求x，y，a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）请在答题卡上将频率分布直方图补全（并用铅笔涂黑矩形区域），并估算这100天空气质量指数监测数据的平均数．‎ ‎【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意得：365b=73，a+b=0.3，由此能求出x，y，a，b的值．‎ ‎（Ⅱ）补全直方图，由频率分布直方图，可估算这100天空气质量指数监测数据的平均数．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意得：365b=73，解得b=0.2，‎ 又a+b=0.3‎ ‎∴a=0.1，∴x=100×0.1=10，y=100×0.2=20﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（Ⅱ）补全直方图如图所示﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由频率分布直方图，可估算这100天空气质量指数监测数据的平均数为：‎ ‎25×0.1+75×0.2+125×0.25+175×0.2+225×0.15+275×0.1=145．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎　‎ ‎19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB=2DC=2，AC∩BD=F．且△PAD与△ABD均为正三角形，E为AD的中点，G为△PAD重心．‎ ‎（Ⅰ）求证：GF∥平面PDC；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥G﹣PCD的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）法一：连AG交PD于H，连接CH．由重心性质推导出GF∥HC，由此能证明GF∥平面PDC．‎ 法二：过G作GN∥AD，交PD于N，过F作FM∥AD，交CD于M，连接MN，推导出GNMF为平行四边形，从而GF∥MN，由此能证明GF∥面PDC．‎ 法三：过G作GK∥PD交AD于K，连接KF，GF，推导出平面GKF∥平面PDC，由此能证明GF∥面PDC．‎ ‎（Ⅱ） 法一：由平面PAD⊥平面ABCD，△PAD与△ABD均为正三角形，E为AD的中点，由，能求出三棱锥G﹣PCD的体积．‎ 法二：由平面PAD⊥平面ABCD，△PAD与△ABD均为正三角形，E为AD的中点，由，能求出三棱锥G﹣PCD的体积．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）证法一：连AG交PD于H，连接CH．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由梯形ABCD，AB∥CD，且AB=2DC，知 又E为AD的中点，且PG：GE=2：1，G为△PAD的重心，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 在△AFC中，，故GF∥HC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 又HC⊆平面PCD，GF⊄平面PCD，∴GF∥平面PDC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 证法二：过G作GN∥AD，交PD于N，过F作FM∥AD，交CD于M，连接MN，‎ ‎∵E为AD的中点，且PG：GE=2：1，‎ G为△PAD的重心， =，∴GN=，‎ 又ABCD为梯形，AB∥CD，∵，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎∴，∴MF=，∴GN=FM，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 又由所作GN∥AD，FM∥AD，得GN∥FM，∴GNMF为平行四边形．‎ ‎∴GF∥MN，∵GF⊄面PCD，MN⊂面PCD，‎ ‎∴GF∥面PDC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 证法三：过G作GK∥PD交AD于K，连接KF，GF，‎ 由△PAD为正三角形，E为AD的中点，且PG：GE=2：1，G为△PAD的重心，‎ 得，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 又由梯形ABCD，AB∥CD，且AD=2DC，知，即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎∴在△ADC中，KF∥CD，所以平面GKF∥平面PDC 又GF⊆平面GKF，∴GF∥面PDC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 解：（Ⅱ） 解法一：由平面PAD⊥平面ABCD，△PAD与△ABD均为正三角形，E为AD的中点 ‎∴PE⊥AD，BE⊥AD，得PE⊥平面ABCD，且PE=3‎ 由（Ⅰ）知GF∥平面PDC，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 又由梯形ABCD，AB∥CD，且AD=2DC=2，知 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 又△ABD为正三角形，得∠CDF=ABD=60°，∴，﹣﹣‎ 得 ‎∴三棱锥G﹣PCD的体积为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 解法二：由平面PAD⊥平面ABCD，△PAD与△ABD均为正三角形，E为AD的中点 ‎∴PE⊥AD，BE⊥AD，得PE⊥平面ABCD，且PE=3‎ 由，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 而又△ABD为正三角形，得∠EDC=120°，得．﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎∴，∴三棱锥G﹣PCD的体积为．﹣﹣﹣﹣‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点B（4，0），F2为线段A1B的中点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（Ⅱ）若过点B且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M，N两点，已知直线A1M与A2N相交于点G，求证：以点G为圆心，GF2的长为半径的圆总与x轴相切．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设点A1（﹣a，0），F2（c，0），推导出a=4﹣2c，由椭圆的离心率，得a=2c，由此能求出椭圆C的方程．‎ ‎（Ⅱ）法一：要证以G点为圆心，GF2的长为半径的圆总与x轴相切．只需证xG=1，联立方程组，得：（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明以点G为圆心，GF2的长为半径的圆总与x轴相切．‎ 法二：要证以G点为圆心，即证xG=1，设M（x1，y1），N（x2，y2），G（x3，y3），x1，x2，x3两两不等，由B，M，N三点共线，得2x1x2﹣5（x1+x2）+8=0．再由A1，M，G三点共线，A2，N，G三点共线，推导出x3=1，由此能证明以点G为圆心，GF2的长为半径的圆总与x轴相切．‎ 法三：设l的方程为y=k（x﹣4），M（x1，y1），N（x2，y2）．由得（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、三点共线，结合已知条件，能证明以点G为圆心，GF2的长为半径的圆总与x轴相切．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设点A1（﹣a，0），F2（c，0），由题意可知：，即a=4﹣2c①‎ 又因为椭圆的离心率，即a=2c②‎ 联立方程①②可得：a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以椭圆C的方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 证明：（Ⅱ）证法一：要证以G点为圆心，GF2的长为半径的圆总与x轴相切．‎ 只需证GF2⊥x轴，即证xG=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组 可得：（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，△＞0．‎ 由韦达定理可得：，（*）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 因为直线，‎ 即证：，即3k（x1﹣4）•（x2﹣2）=﹣k（x2﹣4）•（x1+2）．‎ 即证4x1x2﹣10（x1+x2）+16=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 将（*）代入上式可得．‎ 此式明显成立，原命题得证．‎ 所以以点G为圆心，GF2的长为半径的圆总与x轴相切．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 证法二：要证以G点为圆心，GF2的长为半径的圆总与x轴相切．‎ 只需证GF2⊥x轴，即证xG=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），G（x3，y3），x1，x2，x3两两不等，‎ 因为B，M，N三点共线，所以，‎ 整理得2x1x2﹣5（x1+x2）+8=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 又A1，M，G三点共线，有：①‎ 又A2，N，G三点共线，有：②‎ ‎①与②两式相除得：‎ 即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 将2x1x2﹣5（x1+x2）+8=0即代入得，‎ 解得x3=4（舍去）或x3=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 所以GF2⊥x轴，即以点G为圆心，GF2的长为半径的圆总与x轴相切．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 证法三：由题意l与x轴不垂直，设l的方程为y=k（x﹣4），M（x1，y1），N（x2，y2）．‎ 由得（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，△＞0．‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），G（x3，y3），x1，x2，x3两两不等，‎ 则，，﹣﹣﹣﹣﹣‎ 由A1，M，G三点共线，有：①‎ 由A2，N，G三点共线，有：②，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎①与②两式相除得：．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 解得x3=4（舍去）或x3=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 所以GF2⊥x轴，即以点G为圆心，GF2的长为半径的圆总与x轴相切．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=（2x﹣4）ex+a（x+2）2．（a∈R，e为自然对数的底）‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当x≥0时，不等式f（x）≥4a﹣4恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（0），f′（0），求出切线方程即可；‎ ‎（Ⅱ）通过讨论a的范围，求出函数f（x）的最小值，从而求出a的范围即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，有f（x）=（2x﹣4）ex+（x+2）2，‎ 则f'（x）=（2x﹣2）ex+2x+4⇒f'（0）=﹣2+4=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 又因为f（0）=﹣4+4=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎∴曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y﹣0=2（x﹣0），即y=2x．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（Ⅱ）因为f'（x）=（2x﹣2）ex+2a（x+2），令g（x）=f'（x）=（2x﹣2）ex+2a（x+2）‎ 有g'（x）=2x•ex+2a（x≥0）且函数y=g'（x）在x∈[0，+∞）上单调递增﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 当2a≥0时，有g'（x）≥0，此时函数y=f'（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，则f'（x）≥f'（0）=4a﹣2‎ ‎（ⅰ）若4a﹣2≥0即时，有函数y=f（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，‎ 则f（x）min=f（0）=4a﹣4恒成立；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（ⅱ）若4a﹣2＜0即时，则在x∈[0，+∞）存在f'（x0）=0，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 此时函数y=f（x）在x∈（0，x0）上单调递减，x∈（x0，+∞）上单调递增且f（0）=4a﹣4，‎ 所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 当2a＜0时，有g'（0）=2a＜0，则在x∈[0，+∞）存在g'（x1）=0，‎ 此时x∈（0，x1）上单调递减，x∈（x1，+∞）上单调递增，‎ 所以函数y=f'（x）在x∈[0，+∞）上先减后增．‎ 又f'（0）=﹣2+4a＜0，则函数y=f（x）在x∈[0，+∞）上先减后增且f（0）=4a﹣4．‎ 所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 综上所述，实数a的取值范围为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎　‎ 请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．在平面直角坐标系xoy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）已知曲线C1与曲线C2交于A、B两点，且|PA|=2|PB|，求实数a的值．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用三种方程的转化方法，求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|，|PB|=2|t2|，利用|PA|=2|PB|，分类讨论，求实数a的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）曲线C1参数方程为，∴其普通方程x﹣y﹣a+1=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 由曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0，∴ρ2cos2θ+4ρcosθ﹣ρ2=0‎ ‎∴x2+4x﹣x2﹣y2=0，即曲线C2的直角坐标方程y2=4x．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（Ⅱ）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解得 要有两个不同的交点，则，即a＞0，由韦达定理有 根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|，|PB|=2|t2|，‎ 又由|PA|=2|PB|可得2|t1|=2×2|t2|，即t1=2t2或t1=﹣2t2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎∴当t1=2t2时，有t1+t2=3t2=，t1t2=2t22=，∴a=＞0，符合题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 当t1=﹣2t2时，有t1+t2=﹣t2=，t1t2=﹣2t22=，∴a=＞0，符合题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 综上所述，实数a的值为或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎　‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|，a∈R．‎ ‎（Ⅰ）若不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当a＜2时，函数f（x）的最小值为3，求实数a的值．‎ ‎【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由绝对值的几何意义知，由不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，可得，即可求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当a＜2时，（x）在单调递减，在单调递增，利用函数f（x）的最小值为3，求实数a的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题f（x）≤2﹣|x﹣1|，即为．‎ 而由绝对值的几何意义知，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 由不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，∴，即0≤a≤4．∴‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 实数a的取值范围[0，4]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（Ⅱ）函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|的零点为和1，当a＜2时知，‎ ‎∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 如图可知f（x）在单调递减，在单调递增，‎ ‎∴，得a=﹣4＜2（合题意），即a=﹣4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017年3月15日 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费