安徽省宿州市2017年高考数学一模试卷（理科）含答案解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 安徽省宿州市2017年高考数学一模试卷（理科）（解析版）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合A={x|x2＜1}，B=x|2x＞，则A∩B=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．复数z满足（1+i）z=2﹣3i，则复数z的虚部是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．向量，满足||=1，||=2， •（+）=0，则在方向上的投影为（　　）‎ A． B． C．0 D．‎ ‎4．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b的值分别为84，48，则输出的a的值为（　　）‎ A．8 B．12 C．24 D．36‎ ‎5．函数的图象大致为（　　）‎ A． B． ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 C． D．‎ ‎6．已知不等式组表示的平面区域为D，点集T={（x0，y0）|x0，y0∈Z，（x0，y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点的纵坐标之和为（　　）‎ A．10 B．11 C．15 D．16‎ ‎7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）‎ A．45 B． C． D．60‎ ‎8．将函数的图象向左平移个单位，再向下平移4个单位，得到函数g（x）的图象，则函数f（x）的图象与函数g（x）的图象（　　）‎ A．关于点（﹣2，0）对称 B．关于点（0，﹣2）对称 C．关于直线x=﹣2对称 D．关于直线x=0对称 ‎9．已知的展开式中x与x3的项的系数之比为1：4，则a4+b4的最小值为（　　）‎ A．16 B．12 C．8 D．4‎ ‎10．以下四个命题中，正确命题的个数是（　　）‎ ‎①命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题是真命题；‎ ‎②已知α，β是不同的平面，m，n是不同的直线，m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n；‎ ‎③直线l1：2ax+y+1=0，l2：x+2ay+2=0，l1∥l2的充要条件是；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎④．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎11．在△ABC中，AB=5，AC=12，BC=13，一只小蚂蚁从△ABC的内切圆的圆心处开始随机爬行，当蚂蚁（在三角形内部）与△ABC各边距离不低于1个单位时其行动是安全的，则这只小蚂蚁在△ABC内任意行动时安全的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．函数f（x）在R上的导函数为f'（x），对于任意的实数x，都有f'（x）+2017＜4034x，若f（t+1）＜f（﹣t）+4034t+2017，则实数t的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题已知函数，则=　　．‎ ‎14．在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ABD的面积分别为、、，则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为　　．‎ ‎15．已知点G是△ABC的重心，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且，则角B的大小是　　．‎ ‎16．直线l过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，与抛物线C交于A、B两点，与其准线交于点D，若|AF|=6，，则p=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（12分）数列{an}的前n项和Sn满足，且a1，a2+6，a3成等差数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎18．（12分）如图所示，四边形AMNC为等腰梯形，△‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ABC为直角三角形，平面AMNC与平面ABC垂直，AB=BC，AM=CN，点O、D、E分别是AC、MN、AB的中点．过点E作平行于平面AMNC的截面分别交BD、BC于点F、G，H是FG的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：OB⊥EH；‎ ‎（Ⅱ）若直线BH与平面EFG所成的角的正弦值为，求二面角D﹣AC﹣H的余弦值．‎ ‎19．（12分）某综艺节目为增强娱乐性，要求现场嘉宾与其场外好友连线互动．凡是拒绝表演节目的好友均无连线好友的机会；凡是选择表演节目的好友均需连线未参加过此活动的3个好友参与此活动，以此下去．‎ ‎（Ⅰ）假设每个人选择表演与否是等可能的，且互不影响，则某人选择表演后，其连线的3个好友中不少于2个好友选择表演节目的概率是多少？‎ ‎（Ⅱ）为调查“选择表演者”与其性别是否有关，采取随机抽样得到如表：‎ 选择表演 拒绝表演 合计 男 ‎50‎ ‎10‎ ‎60‎ 女 ‎10‎ ‎10‎ ‎20‎ 合计 ‎60‎ ‎20‎ ‎80‎ ‎①根据表中数据，是否有99%的把握认为“表演节目”与好友的性别有关？‎ ‎②将此样本的频率视为总体的概率，随机调查3名男性好友，设X为3个人中选择表演的人数，求X的分布列和期望．‎ 附：K2=；‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎20．（12分）已知椭圆，焦距为2，离心率e为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过点作圆的切线，切点分别为M、N，直线MN与x轴交于点F，过点F的直线l交椭圆C于A、B两点，点F关于y轴的对称点为G，求△ABG的面积的最大值．‎ ‎21．（12分）设函数．‎ ‎（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若函数f（x）存在极值，对于任意的0＜x1＜x2，存在正实数x0，使得f（x1）﹣f（x2）=f'（x0）•（x1﹣x2），试判断x1+x2与2x0的大小关系并给出证明．‎ ‎　‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线（t为参数，t∈R），曲线（θ为参数，θ∈[0，2π]）．‎ ‎（Ⅰ）以O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，求曲线C2的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若曲线C1与曲线C2相交于点A、B，求|AB|．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．设函数f（x）=|x﹣2|+|x﹣a|，x∈R．‎ ‎（Ⅰ）求证：当a=﹣1时，不等式lnf（x）＞1成立；‎ ‎（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017年安徽省宿州市高考数学一模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合A={x|x2＜1}，B=x|2x＞，则A∩B=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．‎ ‎【解答】解：∵集合A={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，‎ B={x|2x＞}={x|x＞}，‎ ‎∴A∩B={x|}=（，1）．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．‎ ‎　‎ ‎2．复数z满足（1+i）z=2﹣3i，则复数z的虚部是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．‎ ‎【解答】解：（1+i）z=2﹣3i，∴（1﹣i）（1+i）z=（2﹣3i）（1﹣i），∴z=﹣﹣i，‎ 则复数z的虚部是﹣．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎3．向量，满足||=1，||=2， •（+）=0，则在方向上的投影为（　　）‎ A． B． C．0 D．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】根据平面向量数量积的运算公式求出、夹角的余弦值，再根据向量投影的定义写出运算结果．‎ ‎【解答】解：向量，满足||=1，||=2， •（+）=0，‎ ‎∴+•=12+1×2×cosθ=0，θ为、的夹角；‎ ‎∴cosθ=﹣；‎ ‎∴在方向上的投影为||cosθ=1×（﹣）=﹣．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了平面向量数量积和向量投影的定义与应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎4．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b的值分别为84，48，则输出的a的值为（　　）‎ A．8 B．12 C．24 D．36‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由a=84，b=48，满足a＞b，‎ 则a变为84﹣48=36，‎ 由b＞a，则b变为48﹣36=12，‎ 由a＞b，则，a=36﹣12=24，‎ 由a＞b，则，a=24﹣12=12，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由a=b=12，‎ 则输出的a=12．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．函数的图象大致为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；函数的图象；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】求出函数的导数，求出极值点以及函数的极值的符号，判断选项即可．‎ ‎【解答】解：函数，可得f′（x）=2x（），令f′（x）=0，可得x=0或x=，‎ 函数由3个极值点，排除C，D；‎ 当x=时，f（）=2（1﹣ln2）＞0，排除B，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值点的求法，函数的图象的判断，是中档题．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎6．已知不等式组表示的平面区域为D，点集T={（x0，y0）|x0，y0∈Z，（x0，y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点的纵坐标之和为（　　）‎ A．10 B．11 C．15 D．16‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义求出对应的最值点，结合直线的性质进行判断即可．‎ ‎【解答】解：如图，作出不等式组对应的平面区域如图，‎ 则使z=x+y取得最小值的点仅有一个（0，1），‎ 使z=x+y取得最大值的点有无数个，‎ 但属于集合T的只有6个，（0，5），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（5，0），‎ T中的点的纵坐标之和为：1+5+4+3+2+1=16．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用以及直线条数的确定，利用数形结合求出最优解是解决本题的关键．本题非常容易做错，抽象符号容量大，能否解读含义显得非常重要了，属中档题．‎ ‎　‎ ‎7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．45 B． C． D．60‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以边长为3，和4的直角三角形为底面的三棱柱，切去了一个边长为3，和4的直角三角形为底面，高是3的三棱锥，累加各个面的面积可得，几何体的表面积．‎ ‎【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以边长为3，和4的直角三角形为底面的三棱柱，切去了一个边长为3，和4的直角三角形为底面，高是3的三棱锥．（如图）ABC﹣D是切去的三棱锥 可得：矩形ABB′A′的面积为：5×3=15，‎ 梯形ADC′A′的面积为： =，‎ 梯形BDC′B′的面积为：，‎ 底面ABC的面积为：，‎ 三角形ABD是直角三角形：其面积为：，‎ ‎∴该几何体的表面积为：．‎ 故选A 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【点评】本题考查的知识点是由三视图求表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．‎ ‎　‎ ‎8．将函数的图象向左平移个单位，再向下平移4个单位，得到函数g（x）的图象，则函数f（x）的图象与函数g（x）的图象（　　）‎ A．关于点（﹣2，0）对称 B．关于点（0，﹣2）对称 C．关于直线x=﹣2对称 D．关于直线x=0对称 ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】根据三角函数的平移变换求出g（x），通过图象的对称中点坐标可得判断．‎ ‎【解答】解：函数 令（k∈Z），‎ 解得x=‎ ‎∴对称中心坐标是（，0）‎ 函数的图象向左平移个单位，再向下平移4个单位，可得g（x）=3sin（3x+）﹣4‎ 令3x+=kπ（k∈Z），‎ 解得x=‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴对称中心坐标是（，﹣4）‎ 对称中心不相同，故C，D选项不对．‎ 两个函数对称的纵坐标为﹣2，故A不对．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查了三角函数的图象的平移变换后的对称性的判断．利用对称中心或对称轴即可判断．‎ ‎　‎ ‎9．已知的展开式中x与x3的项的系数之比为1：4，则a4+b4的最小值为（　　）‎ A．16 B．12 C．8 D．4‎ ‎【考点】二项式系数的性质．‎ ‎【分析】直接利用的展开式中x与x3的项的系数之比为1：4，得到ab关系，然后利用基本不等式求解最小值即可．‎ ‎【解答】解：∵的展开式中x与x3的项的系数之比为1：4，‎ ‎∴（+）：（4a2+4b2）=1：4，‎ ‎∴|ab|=2，‎ ‎∴a4+b4≥2|a2b2|=8．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查二项式定理的应用，基本不等式的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎10．以下四个命题中，正确命题的个数是（　　）‎ ‎①命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题是真命题；‎ ‎②已知α，β是不同的平面，m，n是不同的直线，m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n；‎ ‎③直线l1：2ax+y+1=0，l2：x+2ay+2=0，l1∥l2的充要条件是；‎ ‎④．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】①，命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，其的逆否命题与原命题同真假；‎ ‎②，已知α，β是不同的平面，m，n是不同的直线，m∥α，n∥β，α⊥β，则m、n不一定垂直；‎ ‎③，当l1∥l2时a=±；‎ ‎④，由微积分的基本定义可判定；‎ ‎【解答】解：对于①，命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，其的逆否命题与原命题同真假，故正确；‎ 对于②，已知α，β是不同的平面，m，n是不同的直线，m∥α，n∥β，α⊥β，则m、n不一定垂直，故错；‎ 对于③，当l1∥l2时a=±，故错；‎ 对于④，由微积分的基本定义知．正确；‎ 故选：B ‎【点评】本题考查了命题真假的判定，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎11．在△ABC中，AB=5，AC=12，BC=13，一只小蚂蚁从△ABC的内切圆的圆心处开始随机爬行，当蚂蚁（在三角形内部）与△ABC各边距离不低于1个单位时其行动是安全的，则这只小蚂蚁在△ABC内任意行动时安全的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】由题意，与△ABC各边距离等于1个单位，组成的图形△A′B′C′与△ABC相似，内切圆半径为1，求出△A′B′C′与△ABC的面积比为1：4，即可求出这只小蚂蚁在△ABC内任意行动时安全的概率．‎ ‎【解答】解：由题意，与△ABC各边距离等于1个单位，组成的图形△A′B′C′与△ABC相似，内切圆半径为1，‎ 设△ABC内切圆的半径为r，则，∴r=2，‎ ‎∴△A′B′C′与△ABC的相似比为1：2，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴△A′B′C′与△ABC的面积比为1：4，‎ ‎∴这只小蚂蚁在△ABC内任意行动时安全的概率是，‎ 故选A ‎【点评】本题考查几何概型，考查面积为测度，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．函数f（x）在R上的导函数为f'（x），对于任意的实数x，都有f'（x）+2017＜4034x，若f（t+1）＜f（﹣t）+4034t+2017，则实数t的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】构造函数g（x）=f（x）﹣2017x2+2017x，根据函数的单调性得到g（t+1）＜g（﹣t），得到关于t的不等式，求出t的范围即可．‎ ‎【解答】解：设g（x）=f（x）﹣2017x2+2017x，‎ 则g′（x）=f′（x）﹣4034x+2017＜0，‎ 故g（x）在R递减，‎ 而g（t+1）﹣g（﹣t）=f（t+1）﹣f（﹣t）﹣4034t﹣2017＜0，‎ 即g（t+1）＜g（﹣t），‎ 故t+1＞﹣t，解得：t＞﹣，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（2017•宿州一模）已知函数，则=　1　．‎ ‎【考点】函数的值．‎ ‎【分析】由函数的解析式、特殊角的三角函数值先求出的值，再求出的值．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解：由题意知，，‎ 则===1，‎ 所以f（1）==1，即=1，‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】本题考查分段函数的函数值，对于多层函数值应从内到外依次求值，注意自变量的范围，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ABD的面积分别为、、，则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为　8π　．‎ ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】利用三棱锥侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，求出长方体的三度，从而求出对角线长，即可求解外接球的体积．‎ ‎【解答】解：三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，‎ 设长方体的三度为a，b，c，则由题意得：ab=4，ac=4，bc=4，‎ 解得：a=2，b=2，c=2，‎ 所以球的直径为： =2‎ 所以球的半径为，‎ 所以三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为=8π 故答案为：8π．‎ ‎【点评】本题考查几何体的外接球的体积，三棱锥转化为长方体，两者的外接球是同一个，以及长方体的对角线就是球的直径是解题的关键所在．‎ ‎　‎ ‎15．已知点G是△ABC的重心，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且，则角B的大小是　　．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【考点】平面向量的基本定理及其意义．‎ ‎【分析】点G是△ABC的重心，可得：，由题意，可得a=5，b=7，c=8，根据余弦定理可得角B的大小．‎ ‎【解答】解：由题意：点G是△ABC的重心，可得：，‎ ‎∵，‎ ‎∴可得a=5，b=7，c=8，‎ 由余弦定理可得：cosB=，‎ ‎∵0＜B＜π，‎ ‎∴B=．‎ 故答案为 ‎【点评】本题考查重心的性质，是基础题，解题时要认真审题．‎ ‎　‎ ‎16．直线l过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，与抛物线C交于A、B两点，与其准线交于点D，若|AF|=6，，则p=　3　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】过A，B，F向准线作垂线，利用抛物线的定义得出直线AB的斜率，计算|AD|可得F为AD的中点，利用中位线定理得出p的值．‎ ‎【解答】解：过A，B，F作准线的垂线，垂足分别为A′，B′，F′，‎ 则|AA′|=|AF|=6，|BB′|=|BF|，|FF′|=p．‎ ‎∵，∴|DB|=2|BF|=2|BB′|，‎ ‎∴直线l的斜率为，‎ ‎∴|AD|=2|AA′|=12，∴F是AD的中点．‎ ‎∴|FF′|=|AA′|=3，即p=3．‎ 故答案为：3．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【点评】本题考查了抛物线的定义与性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（12分）（2017•宿州一模）数列{an}的前n项和Sn满足，且a1，a2+6，a3成等差数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由，再写一式，两式相减，可得an=an﹣an﹣1，即an=3an﹣1．由a1，a2+6，a3成等差数列，得2（a2+6）=a1+a3，解得a1=3，即可求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=，确定通项，利用裂项法求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由，再写一式，两式相减，可得an=an﹣an﹣1，即an=3an﹣1．‎ 由a1，a2+6，a3成等差数列，得2（a2+6）=a1+a3，解得a1=3．‎ 故数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以an=3n．‎ ‎（Ⅱ）an+1=3n+1，Sn=，则Sn+1=．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 bn==（﹣），‎ 所以数列{bn}的前n项和Tn= [（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（﹣）．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：利用递推关系式求数列的通项公式，利用裂项相消法求数列的和．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2017•宿州一模）如图所示，四边形AMNC为等腰梯形，△ABC为直角三角形，平面AMNC与平面ABC垂直，AB=BC，AM=CN，点O、D、E分别是AC、MN、AB的中点．过点E作平行于平面AMNC的截面分别交BD、BC于点F、G，H是FG的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：OB⊥EH；‎ ‎（Ⅱ）若直线BH与平面EFG所成的角的正弦值为，求二面角D﹣AC﹣H的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意知等腰梯形AMNC与直角△ABC所成二面角的平面角为∠BOC，则∠BOC=． 得OB⊥平面AMNC．又平面AMNC∥平面EFG，则OB⊥平面EFG即可．‎ ‎（Ⅱ）以O为原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．‎ 设OA=a，OB=b，则O（0，0，0），A（a，0，0），B（0，a，0），D（0，0，b），C（﹣a，0，0）．利用向量法求解．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解：（Ⅰ）证明：因为点O、D分别是等腰梯形AMNC两底AC、MN的中点，所以OD⊥OC．又AB=BC，‎ 则OB⊥AC．于是等腰梯形AMNC与直角△ABC所成二面角的平面角为∠BOC，则∠BOC=．即OB⊥OD，得OB⊥平面AMNC．‎ 又平面AMNC∥平面EFG，则OB⊥平面EFG．‎ 因为EG⊂平面EFG，所以OB⊥EH．‎ ‎（Ⅱ）以O为原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴 的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．‎ 设OA=a，OB=b，则O（0，0，0），A（a，0，0），B（0，a，0），D（0，0，b），C（﹣a，0，0）．‎ 所以E（，F（0，），G（﹣，H（﹣），有，平面EFG的一个法向量为．‎ 设直线BH与平面EFG所成的角为α，则sinα=|cos＜|=，得a=b．‎ 设平面HAC的法向量为，由，取y=1，得，‎ 所以cos＜＞=，‎ 因为二面角D﹣AC﹣H为锐二面角，所以二面角D﹣AC﹣H的余弦值为．‎ ‎【点评】‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 本题考查了空间线线、线面位置关系，即向量法求空间角，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2017•宿州一模）某综艺节目为增强娱乐性，要求现场嘉宾与其场外好友连线互动．凡是拒绝表演节目的好友均无连线好友的机会；凡是选择表演节目的好友均需连线未参加过此活动的3个好友参与此活动，以此下去．‎ ‎（Ⅰ）假设每个人选择表演与否是等可能的，且互不影响，则某人选择表演后，其连线的3个好友中不少于2个好友选择表演节目的概率是多少？‎ ‎（Ⅱ）为调查“选择表演者”与其性别是否有关，采取随机抽样得到如表：‎ 选择表演 拒绝表演 合计 男 ‎50‎ ‎10‎ ‎60‎ 女 ‎10‎ ‎10‎ ‎20‎ 合计 ‎60‎ ‎20‎ ‎80‎ ‎①根据表中数据，是否有99%的把握认为“表演节目”与好友的性别有关？‎ ‎②将此样本的频率视为总体的概率，随机调查3名男性好友，设X为3个人中选择表演的人数，求X的分布列和期望．‎ 附：K2=；‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎【考点】独立性检验的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用列举法，确定基本事件的个数，即可求出概率；‎ ‎（Ⅱ）①根据2×2列联表，得到K2=≈8.9＞6.635，即可得出结论；‎ ‎②由题意，每名男性选择表演的概率为，则X～B（3，），可得X的分布列和期望．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）这3位好友选择表演分别记为A，B，C，则，，分别表示这3位好友拒绝表演．这3位好友参与该活动的可能结果为{A，B，C}，{，B，C}，{A，，C}，{A，B， }，{，，C}，{A，， }，{，B，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ }，{，， }共有8种．其中3位好友不少于3位好友选择表演的可能结果有4种．根据古典概型公式，所求概率为P==；‎ ‎（Ⅱ）①根据2×2列联表，得到K2=≈8.9＞6.635，所以有99%的把握认为“表演节目”与好友的性别有关．‎ ‎②由题意，每名男性选择表演的概率为，则X～B（3，），‎ 所以随机变量X的概率分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 故随机变量X的期望为EX=3×=．‎ ‎【点评】本题考查概率的计算，考查X的分布列和期望，考查独立性检验知识的运用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2017•宿州一模）已知椭圆，焦距为2，离心率e为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过点作圆的切线，切点分别为M、N，直线MN与x轴交于点F，过点F的直线l交椭圆C于A、B两点，点F关于y轴的对称点为G，求△ABG的面积的最大值．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由椭圆的焦距为2，离心率e为．求出a，b，由此能求出椭圆的标准方程．‎ ‎（Ⅱ）由题意，得O、M、P、n四点共圆，该圆的方程为（x﹣）2+（y﹣）2=，圆O的方程为x2+y2=，直线MN的方程为x+2y﹣1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则|GF||y1﹣y2|=|y1﹣y2|，从而S△ABG最大，|y1﹣y2|‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 就最大．可设直线l的方程为x=my+1，由，得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，能求出△ABG的面积的最大值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆，焦距为2，离心率e为．‎ ‎∴由题意，2c=2，解得c=1，‎ 由e=，解得a=2．∴b=．‎ ‎∴椭圆的标准方程为=1．‎ ‎（Ⅱ）由题意，得O、M、P、n四点共圆，‎ 该圆的方程为（x﹣）2+（y﹣）2=，‎ 又圆O的方程为x2+y2=，‎ ‎∴直线MN的方程为x+2y﹣1=0，令y=0，得x=1，‎ 即点F的坐标为（1，0），则点F关于y轴的对称点为G（﹣1，0）．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则|GF||y1﹣y2|=|y1﹣y2|，‎ ‎∴S△ABG最大，|y1﹣y2|就最大．‎ 由题意知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，‎ 由，得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，‎ ‎∴，．‎ 又∵直线l与椭圆C交于不同的两点，‎ ‎∴△＞0，即（6m）2+36（3m2+4）＞0，m∈R，‎ 则S△GAB=|GF||y1﹣y2|=|y1﹣y2|==，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 令t=，则t≥1，S△GAB===．‎ 令f（t）=t+，则函数f（t）在[，+∞）上单调递增，即当t≥1时，f（t）在[1，+∞）上单调递增，‎ ‎∴f（t）≥f（1）=，∴S△GAB≤3．‎ 故△ABG的面积的最大值为3．‎ ‎【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、弦长公式等知识点的合理运用．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2017•宿州一模）设函数．‎ ‎（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若函数f（x）存在极值，对于任意的0＜x1＜x2，存在正实数x0，使得f（x1）﹣f（x2）=f'（x0）•（x1﹣x2），试判断x1+x2与2x0的大小关系并给出证明．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；‎ ‎（Ⅱ）分别计算f′（x0）和f′（），作差得到f′（x0）﹣f′（）=，设t=，则t＞1，得到关于t的函数，根据函数的单调性判断即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），‎ f′（x）=﹣ax+（4﹣a）=﹣，‎ 当a≤0时，则f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．‎ 当a＞0时，则由f′（x）=0得，x=，x=﹣1（舍去）；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0；‎ 所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减；‎ 综上所述，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．‎ 当a＞0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＞0时，f（x）存在极值．‎ f（x1）﹣f（x2）=4（lnx1﹣lnx2）﹣a（x1+x2）（x1﹣x2）+（4﹣a）（x1﹣x2），‎ 由题设得f′（x0）==﹣a（x1+x2）+（4﹣a），‎ 又f′（）=﹣a•+4﹣a，‎ 所以f′（x0）﹣f′（）=，‎ 设t=，则t＞1，则=lnt﹣（t＞1），‎ 令g（t）=lnt﹣（t＞1），则g′（t）=＞0，‎ 所以g（t）在（1，+∞）上单调递增，‎ 所以g（t）＞g（1）=0，故＞0，‎ 又因为x2﹣x1＞0，因此f′（x0）﹣f′（）＞0，即f′（）＜f′（x0），‎ 又由f′（x）﹣ax+（4﹣a）知f′（x）在（0，+∞）上单调递减，‎ 所以＞x0，即x1+x2＞2x0．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查计算能力，是一道综合题．‎ ‎　‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）（2017•宿州一模）在直角坐标系xOy中，曲线（t为参数，t∈R），曲线（θ为参数，θ∈[0，2π]）．‎ ‎（Ⅰ）以O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，求曲线C2的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若曲线C1与曲线C2相交于点A、B，求|AB|．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）消去参数后得到其普通方程，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得曲线C2的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）法一：利用弦长公式直接求解，利用参数的几何意义求解．法二、运用直线的参数方程求解．‎ ‎【解答】解（Ⅰ）由消去参数后得到其普通方程为x2﹣4x+y2=0，‎ 把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得ρ=4cosθ．‎ ‎∴曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ．‎ ‎（Ⅱ）由消去参数后得到其普通方程为x+y﹣3=0，‎ 由曲线C2可知：以（2，0）为圆心，以2为半径的圆．‎ 那么：圆心到直线C1的距离为，‎ ‎∴弦长．‎ 解法2：把代入x2﹣4x+y2=0得8t2﹣12t+1=0，‎ 则有：，，‎ 则，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 根据直线方程的参数几何意义知．‎ ‎【点评】本题考查了直角坐标方程与极坐标、参数方程之间的转换，考查了参数方程的几何意义．属于中档题．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．（2017•宿州一模）设函数f（x）=|x﹣2|+|x﹣a|，x∈R．‎ ‎（Ⅰ）求证：当a=﹣1时，不等式lnf（x）＞1成立；‎ ‎（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，得到f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，从而证出结论即可；‎ ‎（Ⅱ）求出f（x）的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）证明：当a=﹣1时，‎ ‎，‎ 故f（x）的最小值为3，‎ 则lnf（x）的最小值为ln3＞lne=1，‎ 所以lnf（x）＞1成立．‎ ‎（Ⅱ）由绝对值不等式可得：‎ f（x）=|x﹣2|+|x﹣a|≥|（x﹣2）﹣（x﹣a）|=|a﹣2|，‎ 再由不等式f（x）≥a在R上恒成立，‎ 可得|a﹣2|≥a，解得a≤1，‎ 故a的最大值为1．‎ ‎【点评】本题考查了求分段函数的最值问题，考查绝对值的性质，是一道中档题．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费