2017年河南省焦作市高考数学二模试卷（理科）含答案解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 www.ks5u.com ‎2017年河南省焦作市高考数学二模试卷（理科）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设全集U=N*，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（　　）‎ A．{2} B．{4，6} C．{1，3，5} D．{2，4，6}‎ ‎2．已知i是虚数单位，复数z满足（i﹣1）z=i，则z的虚部是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．若，则cos（π﹣2α）=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．在区间上任选两个数x和y，则y＜sinx的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．将函数图象上的点向右平移m（m＞0）个单位长度得到点P'，若P'位于函数y=cos2x的图象上，则（　　）‎ A．，m的最小值为 B．，m的最小值为 C．，m的最小值为 D．，m的最小值为 ‎6．执行如图所示的程序框图，若输入m=4，t=3，则输出y=（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．183 B．62 C．61 D．184‎ ‎7．在的展开式中，所有项的二项式系数之和为4096，则其常数项为（　　）‎ A．﹣110 B．﹣220 C．220 D．110‎ ‎8．已知M是抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点，F是抛物线C的焦点，若|MF|=p，K是抛物线C的准线与x轴的交点，则∠MKF=（　　）‎ A．45° B．30° C．15° D．60°‎ ‎9．函数f（x）=|x|+（其中a∈R）的图象不可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知P为矩形ABCD所在平面内一点，AB=4，AD=3，，，则 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎=（　　）‎ A．﹣5 B．﹣5或0 C．0 D．5‎ ‎11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎12．已知函数f（x）=（2x2﹣x﹣1）ex，则方程（t∈R）的根的个数为（　　）‎ A．3 B．2 C．5 D．4‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐进线与直线x﹣y+3=0平行，则此双曲线的离心率为　　．‎ ‎14．若实数x，y满足则的取值范围是　　．‎ ‎15．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1丈=10尺，1斛=1.62立方尺，圆周率π=3），则该圆柱形容器能放米　　斛．‎ ‎16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞b，a＞c．△ABC的外接圆半径为1，，若边BC上一点D满足BD=2DC，且∠BAD=90°，则△ABC的面积为　　．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an=2Sn+1（n∈N*）．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若bn=（2n﹣1）•an，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎18．某市为了制定合理的节电方案，供电局对居民用电进行了调查，通过抽样，获得了某年200户居民每户的月均用电量（单位：度），将数据按照[0，100），[100，200），[200，300），[300，400），[400，500），[500，600），[600，700），[700，800），[800，900]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（Ⅰ）求直方图中m的值并估计居民月均用电量的中位数；‎ ‎（Ⅱ）从样本里月均用电量不低于700度的用户中随机抽取4户，用X表示月均用电量不低于800度的用户数，求随机变量X的分布列及数学期望．‎ ‎19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，侧面ABB1A1是边长为2的正方形，点E，F分别在线段AA1、A1B1上，且AE=，A1F=，CE⊥EF．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面ABB1A1⊥平面ABC；‎ ‎（Ⅱ）若CA⊥CB，求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎20．已知圆O：x2+y2=1过椭圆C：（a＞b＞0）的短轴端点，P，Q分别是圆O与椭圆C上任意两点，且线段PQ长度的最大值为3．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点（0，t）作圆O的一条切线交椭圆C于M，N两点，求△OMN的面积的最大值．‎ ‎21．已知函数f（x）=2x+ax2+bcosx在点处的切线方程为．‎ ‎（Ⅰ）求a，b的值，并讨论f（x）在上的增减性；‎ ‎（Ⅱ）若f（x1）=f（x2），且0＜x1＜x2＜π，求证：．‎ ‎（参考公式：）‎ ‎　‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ．‎ ‎（Ⅰ）判断直线l与圆C的交点个数；‎ ‎（Ⅱ）若圆C与直线l交于A，B两点，求线段AB的长度．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣2|+m（m∈R）．‎ ‎（Ⅰ）若m=1，求不等式f（x）≥0的解集；‎ ‎（Ⅱ）若方程f（x）=x有三个实根，求实数m的取值范围．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017年河南省焦作市高考数学二模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设全集U=N*，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（　　）‎ A．{2} B．{4，6} C．{1，3，5} D．{2，4，6}‎ ‎【考点】Venn图表达集合的关系及运算．‎ ‎【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（CUA）∩B，根据集合的运算求解即可．‎ ‎【解答】解：由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（CUA）∩B，‎ ‎∴（CUA）∩B={4，6}．‎ 故选B ‎　‎ ‎2．已知i是虚数单位，复数z满足（i﹣1）z=i，则z的虚部是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【解答】解：∵（i﹣1）z=i，‎ ‎∴，‎ ‎∴z的虚部是﹣．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎3．若，则cos（π﹣2α）=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】三角函数的化简求值．‎ ‎【分析】利用诱导公式和二面角公式化简即可．‎ ‎【解答】解：由，可得：sinα=．‎ ‎∵cos（π﹣2α）=﹣cos2α=﹣（1﹣2sin2α）=2sin2α﹣1=．‎ 故选D ‎　‎ ‎4．在区间上任选两个数x和y，则y＜sinx的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】该题涉及两个变量，故是与面积有关的几何概型，分别表示出满足条件的面积和整个区域的面积，最后利用概率公式解之即可．‎ ‎【解答】解：在区间上任选两个数x和y，区域的面积为，‎ 满足y＜sinx的区域的面积为=（﹣cosx）=1，‎ ‎∴所求概率为．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．将函数图象上的点向右平移m（m＞0）个单位长度得到点P'，若P'位于函数y=cos2x的图象上，则（　　）‎ A．，m的最小值为 B．，m的最小值为 C．，m的最小值为 D．，m的最小值为 ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】由题意利用y=Asin（ωx+‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 φ）的图象变换规律，诱导公式，可得t=cos（2•+）=cos=﹣，且t=cos2（+m）=﹣sin2m，求得sin2m=，可得m的最小值．‎ ‎【解答】解：将函数图象上的点向右平移m（m＞0）个单位长度得到点P'，‎ 若点P'位于函数y=cos2x的图象上，‎ ‎∴t=cos（2•+）=cos=﹣，且t=cos2（+m）=﹣sin2m，‎ ‎∴sin2m=，∴2m的最小值为，m的最小值为，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．执行如图所示的程序框图，若输入m=4，t=3，则输出y=（　　）‎ A．183 B．62 C．61 D．184‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量y的值，模拟程序的运行，不难得到输出结果．‎ ‎【解答】解：模拟程序的运行，可得 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 m=4，t=3，y=1，i=3‎ 满足条件i≥0，执行循环体，y=6，i=2‎ 满足条件i≥0，执行循环体，y=20，i=1‎ 满足条件i≥0，执行循环体，y=61，i=0‎ 满足条件i≥0，执行循环体，y=183，i=﹣1‎ 不满足条件i≥0，退出循环，输出y的值为183．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．在的展开式中，所有项的二项式系数之和为4096，则其常数项为（　　）‎ A．﹣110 B．﹣220 C．220 D．110‎ ‎【考点】二项式系数的性质．‎ ‎【分析】根据二项式展开式中所有项的二项式系数之和为2n求出n，再根据展开式的通项公式求出常数项的值．‎ ‎【解答】解：在的展开式中，所有项的二项式系数之和为 ‎2n=4096，‎ 则n=12；‎ 所以的展开式中，‎ 通项公式为Tr+1=••=（﹣1）r••，‎ 令4﹣r=0，‎ 解得r=3，‎ 所以其常数项为（﹣1）3•=﹣220．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．已知M是抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点，F是抛物线C的焦点，若|MF|=p，K是抛物线C的准线与x轴的交点，则∠MKF=（　　）‎ A．45° B．30° C．15° D．60°‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】设点M（，p），K（﹣，0），则直线KM的斜率k=1，即可求得∠MKF=45°．‎ ‎【解答】解：由题意，|MF|=p，则设点M（，p），‎ ‎∵K（﹣，0），‎ ‎∴kKM=1，‎ ‎∴∠MKF=45°，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．函数f（x）=|x|+（其中a∈R）的图象不可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】通过a的取值，判断对应的函数的图象，即可推出结果．‎ ‎【解答】解：当a=0时，函数f（x）=|x|+=|x|，函数的图象可以是B．‎ 当a=1时，函数f（x）=|x|+=|x|+，函数的图象可以类似A；‎ 当a=﹣1时，函数f（x）=|x|+=|x|﹣，x＞0时，|x|﹣=0只有一个实数根x=1，函数的图象可以是D；‎ 所以函数的图象不可能是C．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎10．已知P为矩形ABCD所在平面内一点，AB=4，AD=3，，，则=（　　）‎ A．﹣5 B．﹣5或0 C．0 D．5‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】根据矩形的性质和勾股定理可判断⊥，继而可得⊥，问题得以解决．‎ ‎【解答】解：P为矩形ABCD所在平面内一点，AB=4，AD=3，‎ ‎∴AC=5，‎ ‎∵，，‎ ‎∴PA2+PC2=AC2，‎ ‎∴PA⊥，‎ ‎∴⊥，‎ ‎∴=0，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】根据三视图知几何体是三棱锥为棱长为2的正方体一部分，画出直观图，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．‎ ‎【解答】解：根据三视图知几何体是：‎ 三棱锥P﹣ABC为长方体一部分，长、宽、高分别为2、2、1，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 直观图如图所示：A、C分别是正方体的棱长的中点，‎ 所以几何体的体积V==‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎12．已知函数f（x）=（2x2﹣x﹣1）ex，则方程（t∈R）的根的个数为（　　）‎ A．3 B．2 C．5 D．4‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】作出函数f（x）的大致图象，分析关于f（x）这一整体的二次方程根的情况，依据根的情况分类讨论．‎ ‎【解答】解：∵f′（x）=（2x﹣1）（x+2）ex，‎ 且f（﹣2）=，f（）=﹣，‎ f（x）的大致图象如图，‎ 令t=f（x），‎ 设方程的两根为m1，m2，‎ 则m1m2=﹣=f（﹣2）f（），‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 若m1=，m2=﹣，有三根；‎ 若0＜m1＜有三根，此时m2＜﹣无根，也有三根，‎ 当m1＞有1根，此时﹣＜m2＜0有两根，也有三根，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐进线与直线x﹣y+3=0平行，则此双曲线的离心率为　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据题意，由双曲线的标准方程分析可得其渐近线方程为y=±x，结合题意分析可得=1，又由双曲线的几何性质可得c==c，由双曲线的离心率计算公式计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：，‎ 其焦点在x轴上，则其渐近线方程为y=±x，‎ 又由其一条渐进线与直线x﹣y+3=0平行，则有=1，‎ c==a，‎ 则该双曲线的离心率e==；‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．若实数x，y满足则的取值范围是　[，4]　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，再由=‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 的几何意义，即可行域内的动点与定点P（，0）连线的斜率求解．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域，‎ B（0，2），‎ 联立，解得A（1，2），‎ ‎=，其几何意义为可行域内的动点与定点P（，0）连线的斜率．‎ ‎∵，．‎ ‎∴的取值范围是[，4]．‎ 故答案为：[，4]．‎ ‎　‎ ‎15．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1丈=10尺，1斛=1.62立方尺，圆周率π=3），则该圆柱形容器能放米　2700　斛．‎ ‎【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．‎ ‎【分析】由底面圆周长五丈四尺求出圆柱底面半径，根据圆柱的体积公式计算出对应的体积，除以1.62得答案．‎ ‎【解答】解：设圆柱的底面半径为r，则2πr=54，r=9，‎ 故米堆的体积为π×92×18=4374立方尺，‎ ‎∵1斛米的体积约为1.62立方尺，‎ ‎∴4374÷1.62≈2700斛，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故答案为2700．‎ ‎　‎ ‎16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞b，a＞c．△ABC的外接圆半径为1，，若边BC上一点D满足BD=2DC，且∠BAD=90°，则△ABC的面积为　　．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由已知及正弦定理可求sinA=，进而可求A，∠CAD，BD，CD，由正弦定理可得b=sin∠2=sin∠1==c，可求sinB=，c=1，即可利用三角形面积公式计算得解．‎ ‎【解答】解：∵△ABC的外接圆半径R为1，，‎ ‎∴由正弦定理，‎ 可得：sinA=，‎ ‎∵边BC上一点D满足BD=2DC，‎ 且∠BAD=90°，‎ ‎∴A=120°，∠CAD=30°，‎ BD=a=，CD=a=，‎ ‎∴如图，由正弦定理可得：，可得：b=sin∠2=sin∠1==c，‎ ‎∴△BAC是等腰三角形，底角是30°，‎ ‎∴sinB=，可得：c=1，‎ ‎∴S△ABC==．‎ 故答案为：．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an=2Sn+1（n∈N*）．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若bn=（2n﹣1）•an，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）当n=1时，a1=2S1+1=2a1+1，解得a1．当n≥2时，an=2Sn+1，an﹣1=2Sn﹣1+1，两式相减得an﹣an﹣1=2an，利用等比数列的通项公式即可得出．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，对n分类讨论：当n为偶数时，bn﹣1+bn=2，可得Tn；当n为奇数时，n+1为偶数，Tn=Tn+1﹣bn+1．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=2S1+1=2a1+1，解得a1=﹣1．‎ 当n≥2时，an=2Sn+1，an﹣1=2Sn﹣1+1，两式相减得an﹣an﹣1=2an，化简得an=﹣an﹣1，‎ 所以数列{an}是首项为﹣1，公比为﹣1的等比数列，‎ 可得．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，‎ 当n为偶数时，bn﹣1+bn=2，；‎ 当n为奇数时，n+1为偶数，Tn=Tn+1﹣bn+1=（n+1）﹣（2n+1）=﹣n．‎ 所以数列{bn}的前n项和．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎18．某市为了制定合理的节电方案，供电局对居民用电进行了调查，通过抽样，获得了某年200户居民每户的月均用电量（单位：度），将数据按照[0，100），[100，200），[200，300），[300，400），[400，500），[500，600），[600，700），[700，800），[800，900]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（Ⅰ）求直方图中m的值并估计居民月均用电量的中位数；‎ ‎（Ⅱ）从样本里月均用电量不低于700度的用户中随机抽取4户，用X表示月均用电量不低于800度的用户数，求随机变量X的分布列及数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用小矩形的面积之和为1求解，‎ ‎（Ⅱ）200户居民月均用电量在[700，800）度的户数是8，月均用电量在[800，900]度的户数是4．‎ 故随机变量X的取值为0，1，2，3，4，求出相应的概率即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）1﹣100×（0.0004+0.0008+0.0021+0.0025+0.0006+0.0004+0.0002）=2m×100，‎ ‎∴m=0.0015．‎ 设中位数是x度，前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5，‎ 而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48＜0.5，‎ 所以400＜x＜500，，‎ 故x=408，即居民月均用电量的中位数为408度．‎ ‎（Ⅱ）200户居民月均用电量在[700，800）度的户数是8，月均用电量在[800，900]度的户数是4．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故随机变量X的取值为0，1，2，3，4，且，，，，，‎ 所以随机变量X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 故．‎ ‎　‎ ‎19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，侧面ABB1A1是边长为2的正方形，点E，F分别在线段AA1、A1B1上，且AE=，A1F=，CE⊥EF．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面ABB1A1⊥平面ABC；‎ ‎（Ⅱ）若CA⊥CB，求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（I）取AB的中点D，连结CD，DF，DE．计算DE，EF，DF，利用勾股定理的逆定理得出DE⊥EF，由三线合一得CD⊥AB，故而CD⊥平面ABB1A1，从而平面ABB1A1⊥平面ABC；‎ ‎（II）以C为原点建立空间直角坐标系，求出和平面CEF的法向量，则直线AC1与平面CEF所成角的正弦值等于|cos＜＞|．‎ ‎【解答】证明：（I）取AB的中点D，连结CD，DF，DE．‎ ‎∵AC=BC，D是AB的中点，∴CD⊥AB．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵侧面ABB1A1是边长为2的正方形，AE=，A1F=．‎ ‎∴A1E=，EF==，DE==，‎ DF==，‎ ‎∴EF2+DE2=DF2，∴DE⊥EF，‎ 又CE⊥EF，CE∩DE=E，CE⊂平面CDE，DE⊂平面CDE，‎ ‎∴EF⊥平面CDE，又CD⊂平面CDE，‎ ‎∴CD⊥EF，‎ 又CD⊥AB，AB⊂平面ABB1A1，EF⊂平面ABB1A1，AB，EF为相交直线，‎ ‎∴CD⊥平面ABB1A1，又CD⊂ABC，‎ ‎∴平面ABB1A1⊥平面ABC．‎ ‎（II）∵平面ABB1A1⊥平面ABC，‎ ‎∴三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC．‎ ‎∵CA⊥CB，AB=2，∴AC=BC=．‎ 以C为原点，以CA，CB，CC1为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：‎ 则A（，0，0），C（0，0，0），C1（0，0，2），E（，0，），F（，，2）．‎ ‎∴=（﹣，0，2），=（，0，），=（，，2）．‎ 设平面CEF的法向量为=（x，y，z），则，‎ ‎∴，令z=4，得=（﹣，﹣9，4）．‎ ‎∴=10，||=6，||=．‎ ‎∴cos＜＞==．‎ ‎∴直线AC1与平面CEF所成角的正弦值为．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎20．已知圆O：x2+y2=1过椭圆C：（a＞b＞0）的短轴端点，P，Q分别是圆O与椭圆C上任意两点，且线段PQ长度的最大值为3．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点（0，t）作圆O的一条切线交椭圆C于M，N两点，求△OMN的面积的最大值．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由圆O过椭圆C的短轴端点b=1，线段PQ长度的最大值为3，a+1=3，a=2，即可求得椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线MN的方程，由点到直线的距离公式，求得k2=t2﹣1，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式求得丨MN丨，利用三角形的面积公式及基本不等式的性质，即可求得△OMN的面积的最大值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵圆O过椭圆C的短轴端点，∴b=1，‎ 又∵线段PQ长度的最大值为3，‎ ‎∴a+1=3，即a=2，‎ ‎∴椭圆C的标准方程为．‎ ‎（Ⅱ）由题意可设切线MN的方程为y=kx+t，即kx﹣y+t=0，则，得k2=t2﹣1．①‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 联立得方程组，消去y整理得（k2+4）x2+2ktx+t2﹣4=0．‎ 其中△=（2kt）2﹣4（k2+4）（t2﹣4）=﹣16t2+16k2+64=48＞0，‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，‎ 则．②‎ 将①代入②得，∴，‎ 而，等号成立当且仅当，即．‎ 综上可知：（S△OMN）max=1．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=2x+ax2+bcosx在点处的切线方程为．‎ ‎（Ⅰ）求a，b的值，并讨论f（x）在上的增减性；‎ ‎（Ⅱ）若f（x1）=f（x2），且0＜x1＜x2＜π，求证：．‎ ‎（参考公式：）‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求导数，利用函数f（x）=2x+ax2+bcosx在点处的切线方程为，建立方程，求a，b的值，利用导数的正负讨论f（x）在上的增减性；‎ ‎（Ⅱ）令，得，得 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，证明sinx0＞0，故f'（x0）＜0，即可得出结论．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：由题意知f'（x）=2+2ax﹣bsinx，∴解得 故，．‎ 当时，f'（x）为减函数，且，‎ ‎∴f'（x）＞0，f（x）为增函数．‎ ‎（Ⅱ）证明：由f（x1）=f（x2），得，‎ 所以，‎ 两边同除以x1﹣x2，得，‎ 所以，‎ 令，得，‎ 得．‎ 因为，‎ 所以，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 因为，‎ 又，易知，所以，‎ 又x0∈（0，π），所以sinx0＞0，故f'（x0）＜0，得．‎ ‎　‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ．‎ ‎（Ⅰ）判断直线l与圆C的交点个数；‎ ‎（Ⅱ）若圆C与直线l交于A，B两点，求线段AB的长度．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）直线l的参数方程消去参数t，能求出直线l的普通方程，圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ，由ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，能求出圆C的直角坐标方程，由此得到圆心（0，1）在直线l上，从而能求出直线l与圆C的交点个数．‎ ‎（Ⅱ）由AB为圆C的直径，能求出|AB|的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数）．‎ ‎∴消去参数t得直线l的普通方程为，‎ ‎∵圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，‎ ‎∴由ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，得圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0．‎ ‎∵圆心（0，1）在直线l上，‎ ‎∴直线l与圆C的交点个数为2．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆心（0，1）在直线l上，‎ ‎∴AB为圆C的直径，‎ ‎∵圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0．‎ ‎∴圆C的半径r==1，∴圆C的直径为2，∴|AB|=2．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣2|+m（m∈R）．‎ ‎（Ⅰ）若m=1，求不等式f（x）≥0的解集；‎ ‎（Ⅱ）若方程f（x）=x有三个实根，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）分x≤﹣2，﹣2＜x＜2，x≥2三种情况求解；‎ ‎（Ⅱ）由方程f（x）=x可变形为m=x+|x﹣2|﹣|x+2|．令作出图象如图所示．根据图象求解．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵m=1时，f（x）=|x+2|﹣|x﹣2|+1．‎ ‎∴当x≤﹣2时，f（x）=﹣3，不可能非负；‎ 当﹣2＜x＜2时，f（x）=2x+1，由f（x）≥0可解得，于是；‎ 当x≥2时，f（x）=5＞0恒成立．‎ 所以不等式f（x）≥0的解集为．‎ ‎（Ⅱ）由方程f（x）=x可变形为m=x+|x﹣2|﹣|x+2|．‎ 令 作出图象如图所示．‎ 于是由题意可得﹣2＜m＜2．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017年3月23日 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费