2017年湖南省邵阳市高考数学二模试卷（理科）含答案解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017年湖南省邵阳市高考数学二模试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知集合A={x|y=lg（x2+4x﹣12）}，B={x|﹣3＜x＜4}，则A∩B等于（　　）‎ A．（﹣3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（2，4） D．（﹣2，4）‎ ‎2．复数z=的实部为（　　）‎ A．﹣2 B．﹣1 C．1、 D．0‎ ‎3．假设有两个分类变量X和Y的2×2列联表：‎ ‎ Y X ‎ y1‎ ‎ y2‎ ‎ 总计 ‎ x1‎ ‎ a ‎ 10‎ ‎ a+10‎ ‎ x2‎ ‎ c ‎ 30‎ ‎ c+30‎ ‎ 总计 ‎ 60‎ ‎ 40‎ ‎ 100‎ 对同一样本，以下数据能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为（　　）‎ A．a=45，c=15 B．a=40，c=20 C．a=35，c=25 D．a=30，c=30‎ ‎4．已知函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，则函数f（x）的图象（　　）‎ A．可由函数g（x）=cos2x的图象向左平移个单位而得 B．可由函数g（x）=cos2x的图象向右平移个单位而得 C．可由函数g（x）=cos2x的图象向左平移个单位而得 D．可由函数g（x）=cos2x的图象向右平移个单位而得 ‎5．执行如图的程序框图，若输入k的值为3，则输出S的值为（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．10 B．15 C．18 D．21‎ ‎6．在△ABC中，A=30°，AB=3，AC=2，且+2=0，则•等于（　　）‎ A．18 B．9 C．﹣8 D．﹣6‎ ‎7．若实数x，y满足不等式组且3（x﹣a）+2（y+1）的最大值为5，则a等于（　　）‎ A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1‎ ‎8．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）‎ A．6 B．9 C．12 D．18‎ ‎9．若tancos=sin﹣msin，则实数m的值为（　　）‎ A．2 B． C．2 D．3‎ ‎10．已知f（x）=在区间（0，4）内任取一个为x，则不等式log2‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 x﹣（log4x﹣1）f（log3x+1）≤的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M（x0，2）（x0＞）是抛物线C上一点．圆M与线段MF相交于点A，且被直线x=截得的弦长为|MA|．若=2，则|AF|等于（　　）‎ A． B．1 C．2 D．3‎ ‎12．已知函数f（x）=aex﹣2x﹣2a，且a∈[1，2]，设函数f（x）在区间[0，ln2]上的最小值为m，则m的取值范围是（　　）‎ A．[﹣2，﹣2ln2] B．[﹣2，﹣] C．[﹣2ln2，﹣1] D．[﹣1，﹣]‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．（x+3）（1﹣）5的展开式中常数项为　　．‎ ‎14．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右端点分别为A、B两点，点C（0， b），若线段AC的垂直平分线过点B，则双曲线的离心率为　　．‎ ‎15．我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为．若a2sinC=4sinA，（a+c）2=12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为　　．‎ ‎16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为的正方形，AA1=3，E是AA1的中点，过C1作C1F⊥平面BDE与平面ABB1A1交于点F，则CF与平面ABCD所成角的正切值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分）‎ ‎17．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且6Sn=3n+1+a（n∈N+）‎ ‎（1）求a的值及数列{an}的通项公式；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（2）设bn=（1﹣an）log3（an2•an+1），求的前n项和为Tn．‎ ‎18．某重点中学为了解高一年级学生身体发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位：cm）频数分布表如表1、表2．‎ 表1：男生身高频数分布表 ‎ 身高（cm）‎ ‎[160，165）‎ ‎[165，170）‎ ‎[170，175）‎ ‎[175，180）‎ ‎[180，185）‎ ‎[185，190）‎ ‎ 频数 ‎2 ‎ ‎5 ‎ ‎ 14‎ ‎13 ‎ ‎4 ‎ ‎2 ‎ 表2：女生身高频数分布表 ‎ 身高（cm）‎ ‎[150，155）‎ ‎[155，160）‎ ‎[160，165）‎ ‎[165，170）‎ ‎[170，175）‎ ‎[175，180）‎ ‎ 频数 ‎1 ‎ ‎7 ‎ ‎12 ‎ ‎6 ‎ ‎3 ‎ ‎1 ‎ ‎（1）求该校高一女生的人数；‎ ‎（2）估计该校学生身高在[165，180）的概率；‎ ‎（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设X表示身高在[165，180）学生的人数，求X的分布列及数学期望．‎ ‎19．用如图所示的几何体中，四边形BB1C1C是矩形，BB1⊥平面ABC，A1B1∥AB，AB=2A1B1，E是AC的中点．‎ ‎（1）求证：A1E∥平面BB1C1C；‎ ‎（2）若AC=BC，AB=2BB1，求二面角A﹣BA1﹣E的余弦值．‎ ‎20．已知右焦点为F2（c，0）的椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（1，），且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过点（，0）作直线l与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为M，点A是椭圆C的右顶点，求直线MA的斜率k的取值范围．‎ ‎21．已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，其中a∈R ‎（1）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间；‎ ‎（2）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎[坐标系与参数方程]‎ ‎22．在极坐标系中，已知三点O（0，0），A（2，），B（2，）．‎ ‎（1）求经过O，A，B的圆C1的极坐标方程；‎ ‎（2）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程为（θ是参数），若圆C1与圆C2外切，求实数a的值．‎ ‎　‎ ‎[不等式选讲]‎ ‎23．设函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|．‎ ‎（1）求不等式f（x）＞1解集；‎ ‎（2）若关于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解，求实数m的取值范围．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017年湖南省邵阳市高考数学二模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知集合A={x|y=lg（x2+4x﹣12）}，B={x|﹣3＜x＜4}，则A∩B等于（　　）‎ A．（﹣3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（2，4） D．（﹣2，4）‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】求对数函数的定义域得出集合A，根据交集的定义写出A∩B．‎ ‎【解答】解：集合A={x|y=lg（x2+4x﹣12）}‎ ‎={x|x2+4x﹣12＞0}‎ ‎={x|x＜﹣6或x＞2}，‎ B={x|﹣3＜x＜4}，‎ 则A∩B={x|2＜x＜4}=（2，4）．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．复数z=的实部为（　　）‎ A．﹣2 B．﹣1 C．1、 D．0‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【解答】解：∵z==，‎ ‎∴复数z=的实部为0．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．假设有两个分类变量X和Y的2×2列联表：‎ ‎ Y X ‎ y1‎ ‎ y2‎ ‎ 总计 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ x1‎ ‎ a ‎ 10‎ ‎ a+10‎ ‎ x2‎ ‎ c ‎ 30‎ ‎ c+30‎ ‎ 总计 ‎ 60‎ ‎ 40‎ ‎ 100‎ 对同一样本，以下数据能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为（　　）‎ A．a=45，c=15 B．a=40，c=20 C．a=35，c=25 D．a=30，c=30‎ ‎【考点】独立性检验的应用．‎ ‎【分析】根据题意，a、c相差越大，与相差就越大，‎ 由此得出X与Y有关系的可能性越大．‎ ‎【解答】解：根据2×2列联表与独立性检验的应用问题，‎ 当与相差越大，X与Y有关系的可能性越大；‎ 即a、c相差越大，与相差越大；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．已知函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，则函数f（x）的图象（　　）‎ A．可由函数g（x）=cos2x的图象向左平移个单位而得 B．可由函数g（x）=cos2x的图象向右平移个单位而得 C．可由函数g（x）=cos2x的图象向左平移个单位而得 D．可由函数g（x）=cos2x的图象向右平移个单位而得 ‎【考点】余弦函数的图象．‎ ‎【分析】根据函数f（x）的最小正周期为π，求出解析式，在利用三角函数的平移变换考查也选项即可．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，‎ 即T=，‎ ‎∴ω=2，‎ 则f（x）=cos（2x﹣）的图象可有函数g（x）=cos2x的图象向右平移 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 个单位而得．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．执行如图的程序框图，若输入k的值为3，则输出S的值为（　　）‎ A．10 B．15 C．18 D．21‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当n=5，S=15时，不满足条件S＜kn=15，退出循环，输出S的值为15，即可得解．‎ ‎【解答】解：模拟程序的运行，可得 k=3，n=1，S=1‎ 满足条件S＜kn，执行循环体，n=2，S=3‎ 满足条件S＜kn，执行循环体，n=3，S=6‎ 满足条件S＜kn，执行循环体，n=4，S=10‎ 满足条件S＜kn，执行循环体，n=5，S=15‎ 此时，不满足条件S＜kn=15，退出循环，输出S的值为15．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．在△ABC中，A=30°，AB=3，AC=2，且+2=0，则•等于（　　）‎ A．18 B．9 C．﹣8 D．﹣6‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 首先由已知求出角B的大小，然后根据直角三角形的性质得到CD，再数量积公式计算可得．‎ ‎【解答】解：由题意，如图：因为2×sin30°=3=AB，所以∠C=90°，因为+2=0，则AD=2，BD=1，则BC=，‎ 所以tan∠BCD=，所以∠BCD=30°，所以∠DCA=30°，得到CD=2，‎ 所以•=2×2×cos150°=﹣6．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．若实数x，y满足不等式组且3（x﹣a）+2（y+1）的最大值为5，则a等于（　　）‎ A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，在可行域中找出最优点，然后求解即可．‎ ‎【解答】解：实数x，y满足不等式组，不是的可行域如图：‎ ‎3（x﹣a）+2（y+1）=3x+2y+2﹣3a的最大值为：5，由可行域可知z=3x+2y+2﹣3a，经过A时，z取得最大值，‎ 由，可得A（1，3）可得3+6+2﹣3a=5，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解得a=2．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）‎ A．6 B．9 C．12 D．18‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】根据几何体的三视图知该几何体是长方体和三棱柱的组合体，‎ 结合图中数据求出它的体积即可．‎ ‎【解答】解：根据几何体的三视图知，‎ 该几何体是上部为长方体，下部为三棱柱的组合体，‎ 画出几何体的直观图如图所示，‎ 根据图中数据，计算其体积为 V组合体=V三棱柱+V长方体 ‎=．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．若tancos=sin﹣msin，则实数m的值为（　　）‎ A．2 B． C．2 D．3‎ ‎【考点】三角函数的化简求值．‎ ‎【分析】利用“切化弦”的思想，在结合二倍角即可求解．‎ ‎【解答】解：由tancos=sin﹣msin，‎ 可得：sincos=cossin﹣msincos，‎ ‎⇔sincos（）=cossin（）﹣msincos，‎ ‎⇔sin2=cos2﹣sin，‎ ‎⇔，‎ ‎∴m=‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．已知f（x）=在区间（0，4）内任取一个为x，则不等式log2x﹣（log4x﹣1）f（log3x+1）≤的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】先求出不等式log2x﹣（log4x﹣1）f（log3x+1）≤的解集，再以长度为测度，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，log3x+1≥1且log2x﹣（log4x﹣1）≤，或0＜log3x+1‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎＜1且log2x+2（log4x﹣1）≤，‎ 解得1≤x≤2或＜x＜1，‎ ‎∴原不等式的解集为（，2]．‎ 则所求概率为=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M（x0，2）（x0＞）是抛物线C上一点．圆M与线段MF相交于点A，且被直线x=截得的弦长为|MA|．若=2，则|AF|等于（　　）‎ A． B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】直线与抛物线的位置关系．‎ ‎【分析】由椭圆的性质，分别表示出丨DE丨，丨DM丨，丨ME丨，利用勾股定理求得p和x0关系，与px0=4，联立求得p和x0的值，则丨AF丨=（x0+）．‎ ‎【解答】解：由题意：M（x0，2）在抛物线上，则8=2px0，则px0=4，①‎ 由抛物线的性质可知，丨DM丨=x0﹣，‎ ‎=2，则丨MA丨=2丨AF丨=丨MF丨=（x0+），‎ ‎∵被直线x=截得的弦长为|MA|，则丨DE丨=丨MA丨=（x0+），‎ 由丨MA丨=丨ME丨=r，‎ 在Rt△MDE中，丨DE丨2+丨DM丨2=丨ME丨2，即（x0+）2+（x0﹣）2=（x0+）2，‎ 代入整理得：4x02+p2=20 ②，‎ 由①②，解得：x0=2，p=2，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴丨AF丨=（x0+）=1，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．已知函数f（x）=aex﹣2x﹣2a，且a∈[1，2]，设函数f（x）在区间[0，ln2]上的最小值为m，则m的取值范围是（　　）‎ A．[﹣2，﹣2ln2] B．[﹣2，﹣] C．[﹣2ln2，﹣1] D．[﹣1，﹣]‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】构造函数g（a），根据a的范围，求出f（x）的最大值，设为M（x），求出M（x）的导数，根据函数的单调性求出m的范围即可．‎ ‎【解答】解：构造函数g（a）=（ex﹣2）a﹣2x是关于a的一次函数，‎ ‎∵x∈[0，ln2]，∴ex﹣2＜0，即y=g（a）是减函数，‎ ‎∵a∈[1，2]，∴f（x）max=2（ex﹣2）﹣2x，设M（x）=2（ex﹣2）﹣2x，‎ 则M′（x）=2ex﹣2，∵x∈[0，ln2]，‎ ‎∴M′（x）≥0，则M（x）在[0，ln2]上递增，‎ ‎∴M（x）min=M（0）=2，M（x）max=M（ln2）=﹣2ln2，‎ m的取值范围是[﹣2，﹣2ln2]，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．（x+3）（1﹣）5的展开式中常数项为　43　．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【考点】二项式系数的性质．‎ ‎【分析】（1﹣）5的展开式中通项公式Tk+1==（﹣2）k，令﹣=0，或﹣1，解得k即可得出．‎ ‎【解答】解：（1﹣）5的展开式中通项公式Tk+1==（﹣2）k，‎ 令﹣=0，或﹣1，解得k=0，或2．‎ ‎∴（x+3）（1﹣）5的展开式中常数项=3+=43．‎ 故答案为：43．‎ ‎　‎ ‎14．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右端点分别为A、B两点，点C（0， b），若线段AC的垂直平分线过点B，则双曲线的离心率为　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】运用平面几何的性质可得△ABC为等边三角形，则b=•2a，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：由线段AC的垂直平分线过点B，结合对称性可得△ABC为等边三角形，‎ 则b=•2a，‎ 即b=a，‎ c===a，‎ 则e==，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎15．我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为．若a2sinC=4sinA，（a+c）2=12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为　　．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】由已知利用正弦定理可求ac的值，可求a2+c2﹣b2=4，代入“三斜求积”公式即可计算得解．‎ ‎【解答】解：根据正弦定理：由a2sinC=4sinA，可得：ac=4，‎ 由于（a+c）2=12+b2，可得：a2+c2﹣b2=4，‎ 可得： ==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为的正方形，AA1=3，E是AA1的中点，过C1作C1F⊥平面BDE与平面ABB1A1交于点F，则CF与平面ABCD所成角的正切值为　　．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】连结AC、BD，交于点O，当C1F与EO垂直时，C1F⊥平面BDE，从而F∈AA1，进而∠CAF是CF与平面ABCD所成角，由△C1A1F∽△EAO，求出AC，由此能求出CF与平面ABCD所成角的正切值．‎ ‎【解答】解：连结AC、BD，交于点O，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，AA1⊥底面ABCD，‎ ‎∴BD⊥平面ACC1A1，‎ 则当C1F与EO垂直时，C1F⊥平面BDE，‎ ‎∵F∈平面ABB1A1，∴F∈AA1，‎ ‎∴∠CAF是CF与平面ABCD所成角，‎ 在矩形ACC1A1中，△C1A1F∽△EAO，‎ 则，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵A1C1=2AO=AB=2，AE=，‎ ‎∴A1F=，∴AF=，‎ ‎∴tan∠CAF==．‎ ‎∴CF与平面ABCD所成角的正切值为．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分）‎ ‎17．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且6Sn=3n+1+a（n∈N+）‎ ‎（1）求a的值及数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=（1﹣an）log3（an2•an+1），求的前n项和为Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）等比数列{an}满足6Sn=3n+1+a（n∈N+），n=1时，6a1=9+a；n≥2时，6an=6（Sn﹣Sn﹣1），可得an=3n﹣1，n=1时也成立，于是1×6=9+a，解得a．‎ ‎（2）由（1）代入可得bn=（1+3n）=（3n+1）（3n﹣2），因此=．利用“裂项求和”方法即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）∵等比数列{an}满足6Sn=3n+1+a（n∈N+），‎ n=1时，6a1=9+a；‎ n≥2时，6an=6（Sn﹣Sn﹣1）=3n+1+a﹣（3n+a）=2×3n．‎ ‎∴an=3n﹣1，n=1时也成立，∴1×6=9+a，解得a=﹣3．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴an=3n﹣1．‎ ‎（2）bn=（1﹣an）log3（an2•an+1）=（1+3n）=（3n+1）（3n﹣2），‎ ‎∴=．‎ 的前n项和为Tn=+…+‎ ‎==．‎ ‎　‎ ‎18．某重点中学为了解高一年级学生身体发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位：cm）频数分布表如表1、表2．‎ 表1：男生身高频数分布表 ‎ 身高（cm）‎ ‎[160，165）‎ ‎[165，170）‎ ‎[170，175）‎ ‎[175，180）‎ ‎[180，185）‎ ‎[185，190）‎ ‎ 频数 ‎2 ‎ ‎5 ‎ ‎ 14‎ ‎13 ‎ ‎4 ‎ ‎2 ‎ 表2：女生身高频数分布表 ‎ 身高（cm）‎ ‎[150，155）‎ ‎[155，160）‎ ‎[160，165）‎ ‎[165，170）‎ ‎[170，175）‎ ‎[175，180）‎ ‎ 频数 ‎1 ‎ ‎7 ‎ ‎12 ‎ ‎6 ‎ ‎3 ‎ ‎1 ‎ ‎（1）求该校高一女生的人数；‎ ‎（2）估计该校学生身高在[165，180）的概率；‎ ‎（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设X表示身高在[165，180）学生的人数，求X的分布列及数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】（1）设高一女学生人数为x，由表1和2可得样本中男女生人数分别为40，30，则=，解得x．‎ ‎（2）由表1和2可得样本中男女生人数分别为：5+14+13+6+3+1=42．样本容量为70．可得样本中该校学生身高在[165，180）的概率=．即估计该校学生身高在[165，180）的概率．‎ ‎（3）由题意可得：X的可能取值为0，1，2．由表格可知：女生身高在[‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎165，180）的概率为．男生身高在[165，180）的概率为．即可得出X的分布列与数学期望．‎ ‎【解答】解：（1）设高一女学生人数为x，由表1和2可得样本中男女生人数分别为40，30，‎ 则=，解得x=300．‎ 因此高一女学生人数为300．‎ ‎（2）由表1和2可得样本中男女生人数分别为：5+14+13+6+3+1=42．样本容量为70．‎ ‎∴样本中该校学生身高在[165，180）的概率==．‎ 估计该校学生身高在[165，180）的概率=．（3）由题意可得：X的可能取值为0，1，2．‎ 由表格可知：女生身高在[165，180）的概率为．男生身高在[165，180）的概率为．‎ ‎∴P（X=0）==，P（X=1）=+=，P（X=2）==．‎ ‎∴X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎∴E（X）=0++=．‎ ‎　‎ ‎19．用如图所示的几何体中，四边形BB1C1C是矩形，BB1⊥平面ABC，A1B1∥AB，AB=2A1B1，E是AC的中点．‎ ‎（1）求证：A1E∥平面BB1C1C；‎ ‎（2）若AC=BC，AB=2BB1，求二面角A﹣BA1﹣E的余弦值．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）取AB的中点F，连结EF，A1F．则可通过证明平面A1EF∥平面BB1C1C得出A1E∥平面BB1C1C；‎ ‎（2）连结CF，则CF⊥AB，以F为原点，FC为x轴，FB为y轴，FA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣BA1﹣E的余弦值．‎ ‎【解答】证明：（1）取AB的中点F，连结EF，A1F．‎ ‎∵AB=2A1B1，∴BF=A1B1，‎ 又A1B1∥AB，∴四边形A1FBB1是平行四边形，‎ ‎∴A1F∥BB1，∵E，F分别AC，AB的中点，∴EF∥BC，‎ 又EF⊂平面A1EF，A1F⊂平面A1EF，EF∩A1F=F，BC⊂平面BB1C1C，BB1⊂平面BB1C1C，BC∩BB1=B，‎ ‎∴平面A1EF∥平面BB1C1C．‎ 又A1E⊂平面A1EF，∴A1E∥平面BB1C1C． ‎ 解：（2）连结CF，则CF⊥AB，‎ 以F为原点，FC为x轴，FB为y轴，FA1为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则A（0，﹣1，0），A1（0，0，1），B（0，1，0），C（，0，0），‎ ‎∴E（，﹣，0），=（0，﹣1，1），=（，﹣，0），‎ 设平面A1BE的一个法向量为=（x，y，z），‎ ‎，取y=1，得=（，1，1），‎ 平面ABA1的法向量=（1，0，0），设二面角A﹣BA1﹣E的平面角为θ，‎ ‎，则cosθ=．‎ ‎∴二面角A﹣BA1﹣E的余弦值为，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎20．已知右焦点为F2（c，0）的椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（1，），且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过点（，0）作直线l与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为M，点A是椭圆C的右顶点，求直线MA的斜率k的取值范围．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）由椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（1，），且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点，求出a，b，c，椭圆方程可求；‎ ‎（2）线l过点（，0）且斜率不为零，故可设其方程为x=my+，和椭圆方程联立，把MA的斜率用直线l的斜率表示，由基本不等式求得范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵椭圆C过点（1，），∴+=1，①…‎ ‎∵椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点，∴a=2c，…‎ ‎∴，②…‎ 由①②得a=2，b=，…‎ ‎∴椭圆C的方程为…‎ ‎（2）依题意，直线l过点（，0）且斜率不为零，故可设其方程为x=my+…‎ 联立方程组消去x，并整理得4（3m2+4）y2+12my﹣45=0‎ 设E（x1，y1），F（x2，y2），M（x0，y0），则 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴y1+y2=﹣，‎ ‎∴y0=﹣，x0=，‎ ‎∴k=，‎ ‎①当m=0时，k=0；‎ ‎②当m≠0时，k=，‎ ‎∵|4m+|=4|m|+≥8，∴0＜|k|≤，∴﹣≤k≤且k≠0．‎ 综合①②可知直线MA的斜率k的取值范围是：﹣≤k≤．…‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，其中a∈R ‎（1）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间；‎ ‎（2）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）先求函数h（x）的定义域，求出函数h（x）的导数，从而讨论判断函数的单调性；（2）分类讨论函数的单调性，从而化存在性问题为最值问题，从而解得．‎ ‎【解答】解：（1）函数h（x）=x﹣alnx+的定义域为（0，+∞），‎ h′（x）=1﹣﹣=，‎ ‎①当1+a≤0，即a≤﹣1时，‎ h′（x）＞0，‎ 故h（x）在（0，+∞）上是增函数；‎ ‎②当1+a＞0，即a＞﹣1时，‎ x∈（0，1+a）时，h′（x）＜0；x∈（1+a，+∞）时，h′（x）＞0；‎ 故h（x）在（0，1+a）上是减函数，在（1+a，+∞）上是增函数；‎ ‎（2）由（1）令h（x0）=f（x0）﹣g（x0），x0∈[1，e]，‎ ‎①当a≤﹣1时，‎ 存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化为 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 h（1）=1+1+a＜0，‎ 解得，a＜﹣2；‎ ‎②当﹣1＜a≤0时，‎ 存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化为 h（1）=1+1+a＜0，解得，a＜﹣2；‎ ‎③当0＜a≤e﹣1时，‎ 存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化为 h（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，无解；‎ ‎④当e﹣1＜a时，‎ 存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化为 h（e）=e﹣a+＜0，‎ 解得，a＞；‎ 综上所述，‎ a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．‎ ‎　‎ ‎[坐标系与参数方程]‎ ‎22．在极坐标系中，已知三点O（0，0），A（2，），B（2，）．‎ ‎（1）求经过O，A，B的圆C1的极坐标方程；‎ ‎（2）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程为（θ是参数），若圆C1与圆C2外切，求实数a的值．‎ ‎【考点】圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（1）求出圆C1的普通方程，再将普通方程转化为极坐标方程；‎ ‎（2）将圆C2化成普通方程，根据两圆外切列出方程解出a．‎ ‎【解答】解：（1）将O，A，B三点化成普通坐标为O（0，0），A（0，2），B（2，2）．‎ ‎∴圆C1的圆心为（1，1），半径为，‎ ‎∴圆C1的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 将代入普通方程得ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ=0，‎ ‎∴ρ=2sin（）．‎ ‎（2）∵圆C2的参数方程为（θ是参数），‎ ‎∴圆C2的普通方程为（x+1）2+（y+1）2=a2．∴圆C2的圆心为（﹣1，﹣1），半径为|a|，‎ ‎∵圆C1与圆C2外切，∴2=+|a|，解得a=±．‎ ‎　‎ ‎[不等式选讲]‎ ‎23．设函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|．‎ ‎（1）求不等式f（x）＞1解集；‎ ‎（2）若关于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．‎ ‎【分析】（1）由条件利用绝对值的意义求得不等式f（x）＞1解集．‎ ‎（2）根据题意可得|x+2|﹣|x﹣1|+4≥|1﹣m|有解，即|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值大于或等于|1﹣m|，再利用绝对值的意义求得|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值，从而求得m的范围．‎ ‎【解答】解：（1）函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|表示数轴上的x对应点到﹣2对应点的距离减去它到1对应点的距离，‎ 而0对应点到﹣2对应点的距离减去它到1对应点的距离正好等于1，‎ 故不等式f（x）＞1解集为{x|x＞0}．‎ ‎（2）若关于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解，‎ 即|x+2|﹣|x﹣1|+4≥|1﹣m|有解，故|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值大于或等于|1﹣m|．‎ 利用绝对值的意义可得|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值为3+4=7，‎ ‎∴|1﹣m|≤7，故﹣7≤m﹣1≤7，求得﹣6≤m≤8，‎ m的范围为[﹣6，8]．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017年3月20日 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费