陕西省榆林市2017年高考数学一模试卷（理科）含答案解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 www.ks5u.com 陕西省榆林市2017年高考数学一模试卷（理科）（解析版）‎ 一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．复数在复平面上对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．集合P={x|x2﹣9＜0}，Q={x∈Z|﹣1≤x≤3}，则P∩Q=（　　）‎ A．{x|﹣3＜x≤3} B．{x|﹣1≤x＜3} C．{﹣1，0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2}‎ ‎3．已知cosα=﹣，且α∈（，π），则tan（α+）等于（　　）‎ A．﹣ B．﹣7 C． D．7‎ ‎4．若命题p：对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1＜0，则￢p为（　　）‎ A．不存在x∈R，使得x3﹣x2+1＜0‎ B．存在x∈R，使得x3﹣x2+1＜0‎ C．对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1≥0‎ D．存在x∈R，使得x3﹣x2+1≥0‎ ‎5．在等比数列{an} 中，a1=4，公比为q，前n项和为Sn，若数列{Sn+2}也是等比数列，则q等于（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3‎ ‎6．已知向量=（1，1），2+=（4，2），则向量，的夹角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）的图象关于原点对称的充要条件是（　　）‎ A．φ=2kπ﹣，k∈Z B．φ=kπ﹣，k∈Z C．φ=2kπ﹣，k∈Z D．φ=kπ﹣，k∈Z ‎8．执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．9 B．121 C．130 D．17021‎ ‎9．双曲线的离心率为2，则的最小值为（　　）‎ A． B． C．2 D．1‎ ‎10．5的展开式中，x5y2的系数为（　　）‎ A．﹣90 B．﹣30 C．30 D．90‎ ‎11．已知不等式组表示平面区域D，现在往抛物线y=﹣x2+x+2与x轴围成的封闭区域内随机地抛掷一小颗粒，则该颗粒落到区域D中的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．定义在R上的函数f（x）满足（x﹣1）f′（x）≤0，且y=f（x+1）为偶函数，当|x1﹣1|＜|x2﹣1|时，有（　　）‎ A．f（2﹣x1）≥f（2﹣x2） B．f（2﹣x1）=f（2﹣x2） C．f（2﹣x1）＜f（2﹣x2） D．f（2﹣x1）≤f（2﹣x2）‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎13．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7=　　．‎ ‎14．直线y=x与函数的图象恰有三个公共点，则实数m的取值范围是　　．‎ ‎15．设F为抛物线的焦点，与抛物线相切于点P（﹣4，﹣4）的直线l与x轴的交点为Q，则∠PQF的值是　　．‎ ‎16．如图，在小正方形边长为1的网格中画出了某多面体的三视图，则该多面体的外接球表面积为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分）‎ ‎17．（12分）如图，在△ABC中，已知点D，E分别在边AB，BC上，且AB=3AD，BC=2BE．‎ ‎（Ⅰ）用向量，表示．‎ ‎（Ⅱ）设AB=6，AC=4，A=60°，求线段DE的长．‎ ‎18．（12分）某校为提高学生身体素质，决定对毕业班的学生进行身体素质测试，每个同学共有4次测试机会，若某次测试合格就不用进行后面的测试，已知某同学每次参加测试合格的概率组成一个以为公差的等差数列，若他参加第一次测试就通过的概率不足，恰好参加两次测试通过的概率为．‎ ‎（Ⅰ）求该同学第一次参加测试就能通过的概率；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（Ⅱ）求该同学参加测试的次数的分布列和期望．‎ ‎19．（12分）如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1．‎ ‎（1）证明：EM⊥BF；‎ ‎（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．‎ ‎20．（12分）已知点P（﹣1，）是椭圆E： +=1（a＞b＞0）上一点，F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF1⊥x轴．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）设A，B是椭圆E上两个动点，满足： +=λ（0＜λ＜4，且λ≠2），求直线AB的斜率．‎ ‎（3）在（2）的条件下，当△PAB面积取得最大值时，求λ的值．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣ax+ln（x+1）（a∈R）．‎ ‎（1）当a=2时，求函数f（x）的极值点；‎ ‎（2）若函数f（x）在区间（0，1）上恒有f′（x）＞x，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）已知c1＞0，且cn+1=f′（cn）（n=1，2，…），在（2）的条件下，证明数列{cn}是单调递增数列．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），曲线C2：（φ为参数，实数b＞‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎0）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤）与C1交于O、A两点，与C2交于O、B两点．当α=0时，|OA|=1；当α=时，|OB|=2．‎ ‎（Ⅰ）求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）求2|OA|2+|OA|•|OB|的最大值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．设函数f（x）=|2x+a|+|x﹣|（x∈R，实数a＜0）．‎ ‎（Ⅰ）若f（0）＞，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）求证：f（x）≥．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．复数在复平面上对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出复数在复平面上对应的点的坐标，则答案可求．‎ ‎【解答】解： =，‎ 则复数在复平面上对应的点的坐标为：（，），位于第一象限．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．‎ ‎　‎ ‎2．集合P={x|x2﹣9＜0}，Q={x∈Z|﹣1≤x≤3}，则P∩Q=（　　）‎ A．{x|﹣3＜x≤3} B．{x|﹣1≤x＜3} C．{﹣1，0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2}‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】求出集合P中一元二次不等式的解集确定出集合P，取集合Q中解集的整数解确定出集合Q，然后找出既属于P又属于Q的元素即可确定出两集合的交集．‎ ‎【解答】解：由集合P中的不等式x2﹣9＜0，解得：﹣3＜x＜3，‎ ‎∴集合P={x|﹣3＜x＜3}；‎ 由集合Q中的解集﹣1≤x≤3，取整数为﹣1，0，1，2，3，‎ ‎∴集合Q={﹣1，0，1，2，3}，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 则P∩Q={﹣1，0，1，2}．‎ 故选D ‎【点评】此题属于以不等式解集为平台，考查了交集的元素，是一道基础题，也是高考中常考的题型．‎ ‎　‎ ‎3．已知cosα=﹣，且α∈（，π），则tan（α+）等于（　　）‎ A．﹣ B．﹣7 C． D．7‎ ‎【考点】两角和与差的正切函数；弦切互化．‎ ‎【分析】先根据cosα的值求出tanα的值，再由两角和与差的正切公式确定答案．‎ ‎【解答】解析：由cosα=﹣且α∈（）得tanα=﹣，‎ ‎∴tan（α+）==，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查两角和与差的正切公式．属基础题．‎ ‎　‎ ‎4．若命题p：对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1＜0，则￢p为（　　）‎ A．不存在x∈R，使得x3﹣x2+1＜0‎ B．存在x∈R，使得x3﹣x2+1＜0‎ C．对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1≥0‎ D．存在x∈R，使得x3﹣x2+1≥0‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】利用全称命题的否定是特称命题，去判断．‎ ‎【解答】解：因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，‎ 所以命题的否定￢p为：存在x∈R，使得x3﹣x2+1≥0‎ 故选：D ‎【点评】本题主要考查全称命题的否定，要求掌握全称命题的否定是特称命题．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎5．在等比数列{an} 中，a1=4，公比为q，前n项和为Sn，若数列{Sn+2}也是等比数列，则q等于（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3‎ ‎【考点】等比关系的确定．‎ ‎【分析】由数列{Sn+2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列，即（s2+2）2=（S1+2）（S3+2）‎ 代入等比数列的前n项和公式整理可得（6+4q）2=24（1+q+q2）+12解方程即可求解 ‎【解答】解：由题意可得q≠1‎ 由数列{Sn+2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列 则（s2+2）2=（S1+2）（S3+2）‎ 代入等比数列的前n项和公式整理可得 ‎（6+4q）2=24（1+q+q2）+12‎ 解可得 q=3‎ 故选C．‎ ‎【点评】等比数列得前n项和公式的应用需要注意公式的选择，解题时要注意对公比q=1，q≠1的分类讨论，体现了公式应用的全面性．‎ ‎　‎ ‎6．已知向量=（1，1），2+=（4，2），则向量，的夹角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】数量积表示两个向量的夹角．‎ ‎【分析】利用向量的坐标运算求出；利用向量的数量积公式求出两个向量的数量积；利用向量模的坐标公式求出两个向量的模；利用向量的数量积公式求出两个向量的夹角余弦．‎ ‎【解答】解：∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵‎ ‎∴两个向量的夹角余弦为 故选C ‎【点评】本题考查向量的数量积公式，利用向量的数量积公式求向量的夹角余弦、考查向量模的坐标公式．‎ ‎　‎ ‎7．函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）的图象关于原点对称的充要条件是（　　）‎ A．φ=2kπ﹣，k∈Z B．φ=kπ﹣，k∈Z C．φ=2kπ﹣，k∈Z D．φ=kπ﹣，k∈Z ‎【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．‎ ‎【分析】先利用辅助角公式对函数化简可得，f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）=2sin（2x+φ+），由函数的图象关于原点对称可知函数f（x）为奇函数，由奇函数的性质可得，f（0）=0代入可得sin（φ）=0，从而可求答案．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）=2sin（2x+φ+）的图象关于原点对称 ‎∴函数f（x）为奇函数，由奇函数的性质可得，f（0）=0‎ ‎∴sin（φ）=0‎ ‎∴φ=kπ ‎∴φ=‎ 故选：D ‎【点评】本题主要考查了利用辅助角公式把不同名的三角函数化为y=Asin（x+）的形式，进而研究函数的性质；还考查了奇函数的性质（若奇函数的定义域内有0，则f（0）=0）的应用，灵活应用性质可以简化运算，减少运算量．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎8．执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（　　）‎ A．9 B．121 C．130 D．17021‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，c的值，当c=16900时，不满足条件c＜2016，退出循环，输出a的值为121．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序，可得 a=1，b=2，c=3‎ 满足条件c＜2016，a=2，b=9，c=11‎ 满足条件c＜2016，a=9，b=121，c=130‎ 满足条件c＜2016，a=121，b=16900，c=17021‎ 不满足条件c＜2016，退出循环，输出a的值为121．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考察了程序框图和算法，正确理解循环结构的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎9．双曲线的离心率为2，则的最小值为（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A． B． C．2 D．1‎ ‎【考点】双曲线的简单性质；基本不等式．‎ ‎【分析】根据基本不等式，只要根据双曲线的离心率是2，求出的值即可．‎ ‎【解答】解：由于已知双曲线的离心率是2，故，‎ 解得，所以的最小值是．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的性质及其方程．双曲线的离心率e和渐近线的斜率之间有关系，从这个关系可以得出双曲线的离心率越大，双曲线的开口越大．‎ ‎　‎ ‎10．（x2+3x﹣y）5的展开式中，x5y2的系数为（　　）‎ A．﹣90 B．﹣30 C．30 D．90‎ ‎【考点】二项式系数的性质．‎ ‎【分析】（x2+3x﹣y）5的展开式中通项公式：Tr+1=（﹣y）5﹣r（x2+3x）r，令5﹣r=2，解得r=3．展开（x2+3x）3，进而得出．‎ ‎【解答】解：（x2+3x﹣y）5的展开式中通项公式：Tr+1=（﹣y）5﹣r（x2+3x）r，‎ 令5﹣r=2，解得r=3．‎ ‎∴（x2+3x）3=x6+3（x2）2•3x+3（x2）×（3x）2+（3x）3，‎ ‎∴x5y2的系数=×9=90．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎11．已知不等式组表示平面区域D，现在往抛物线y=﹣x2+x+2与x轴围成的封闭区域内随机地抛掷一小颗粒，则该颗粒落到区域D中的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】根据积分的知识可得先求y=﹣x2+x+2与x轴围成的封闭区域为曲面MEN，的面积，然后根据线性规划的知识作出平面区域D，并求面积，最后代入几何概率的计算公式可求．‎ ‎【解答】解：根据积分的知识可得，y=﹣x2+x+2与x轴围成的封闭区域为曲面MEN，面积 ‎=‎ 等式组表示平面区域D即为△AOB，其面积为 根据几何概率的计算公式可得P=‎ 故选：C ‎【点评】本题主要考查了利用积分求解曲面的面积，还考查了几何概率的计算公式的应用，属于基础试题．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎12．定义在R上的函数f（x）满足（x﹣1）f′（x）≤0，且y=f（x+1）为偶函数，当|x1﹣1|＜|x2﹣1|时，有（　　）‎ A．f（2﹣x1）≥f（2﹣x2） B．f（2﹣x1）=f（2﹣x2） C．f（2﹣x1）＜f（2﹣x2） D．f（2﹣x1）≤f（2﹣x2）‎ ‎【考点】函数的单调性与导数的关系．‎ ‎【分析】①若函数f（x）为常数，可得当|x1﹣1|＜|x2﹣1|时，恒有f（2﹣x1）=f（2﹣x2）．②若f（x）不是常数，可得y=f（x）关于x=1对称．当x1≥1，x2≥1，则由|x1﹣1|＜|x2﹣1|‎ 可得f（x1）＞f（x2）．当x1＜1，x2＜1时，同理可得f（x1）＞f（x2）．综合①②得出结论．‎ ‎【解答】解：①若f（x）=c，则f'（x）=0，此时（x﹣1）f'（x）≤0和y=f（x+1）为偶函数都成立，‎ 此时当|x1﹣1|＜|x2﹣1|时，恒有f（2﹣x1）=f（2﹣x2）．‎ ‎②若f（x）不是常数，因为函数y=f（x+1）为偶函数，所以y=f（x+1）=f（﹣x+1），‎ 即函数y=f（x）关于x=1对称，所以f（2﹣x1）=f（x1），f（2﹣x2）=f（x2）．‎ 当x＞1时，f'（x）≤0，此时函数y=f（x）单调递减，当x＜1时，f'（x）≥0，此时函数y=f（x）单调递增．‎ 若x1≥1，x2≥1，则由|x1﹣1|＜|x2﹣1|，得x1﹣1＜x2﹣1，即1≤x1＜x2，所以f（x1）＞f（x2）．‎ 同理若x1＜1，x2＜1，由|x1﹣1|＜|x2﹣1|，得﹣（x1﹣1）＜﹣（x2﹣1），即x2＜x1＜1，所以f（x1）＞f（x2）．‎ 若x1，x2中一个大于1，一个小于1，不妨设x1＜1，x2≥1，则﹣（x1﹣1）＜x2﹣1，‎ 可得1＜2﹣x1＜x2，所以f（2﹣x1）＞f（x2），即f（x1）＞f（x2）．‎ 综上有f（x1）＞f（x2），即f（2﹣x1）＞f（2﹣x2），‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查函数的导数与函数的单调性的关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7=　49　．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质．‎ ‎【分析】由等差数列的性质求得a1+a7，再用前n项和公式求得．‎ ‎【解答】解：∵a2+a6=a1+a7‎ ‎∴‎ 故答案是49‎ ‎【点评】本题考查等差数列的性质和等差数列前n项和公式．‎ ‎　‎ ‎14．直线y=x与函数的图象恰有三个公共点，则实数m的取值范围是　﹣1≤m＜2　．‎ ‎【考点】函数的零点与方程根的关系．‎ ‎【分析】根据题意，求出直线y=x与射线y=2（x＞m）、抛物线y=x2+4x+2在（﹣∞，m]上的部分的三个交点A、B、C，且三个交点必须都在y=f（x）图象上，由此不难得到实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：根据题意，直线y=x与射线y=2（x＞m）有一个交点A（2，2），‎ 并且与抛物线y=x2+4x+2在（﹣∞，m]上的部分有两个交点B、C 由，联解得B（﹣1，﹣1），C（﹣2，﹣2）‎ ‎∵抛物线y=x2+4x+2在（﹣∞，m]上的部分必须包含B、C两点，‎ 且点A（2，2）一定在射线y=2（x＞m）上，才能使y=f（x）图象与y=x有3个交点 ‎∴实数m的取值范围是﹣1≤m＜2‎ 故答案为：﹣1≤m＜2‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【点评】本题给出分段函数的图象与直线y=x有3个交点，求参数m的取值范围，着重考查了直线与抛物线位置关系和分段函数的图象与性质等知识，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎15．设F为抛物线的焦点，与抛物线相切于点P（﹣4，﹣4）的直线l与x轴的交点为Q，则∠PQF的值是　　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】先求切线方程，从而可得Q的坐标，计算，可得，从而可得结论．‎ ‎【解答】解：由题意，焦点坐标为F（0，﹣1）‎ 先求导函数为： x，则p点处切线斜率是2，‎ ‎∴与抛物线相切于点P（﹣4，﹣4）的直线l的方程为y=2x+4，交x轴于Q（﹣2，0），‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故答案为 ‎【点评】本题以抛物线的标准方程为载体，考查抛物线的性质，解题的关键是求切线方程，利用向量的数量积求解垂直问题．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎16．如图，在小正方形边长为1的网格中画出了某多面体的三视图，则该多面体的外接球表面积为　34π　．‎ ‎【考点】简单空间图形的三视图；球的体积和表面积．‎ ‎【分析】由三视图知，该几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，画出直观图，再建立空间直角坐标系，求出三棱锥外接球的球心与半径，从而求出外接球的表面积．‎ ‎【解答】解：由三视图知，该几何体是三棱锥S﹣ABC，且三棱锥的一个侧面SAC与底面ABC垂直，‎ 其直观图如图所示；‎ 由三视图的数据可得OA=OC=2，OB=OS=4，‎ 建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示；‎ 则A（0，﹣2，0），B（4，0，0），C（0，2，0），S（0，0，4），‎ 则三棱锥外接球的球心I在平面xOz上，设I（x，0，z）；‎ 由得，‎ ‎，‎ 解得x=z=；‎ ‎∴外接球的半径R=|BI|==，‎ ‎∴该三棱锥外接球的表面积S=4πR2=4π×=34π．‎ 故答案为：34π．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【点评】本题考查了由三视图求几何体外接球的表面积，解题的关键是判断几何体的形状及外接球的半径，是综合性题目．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分）‎ ‎17．（12分）（2017•榆林一模）如图，在△ABC中，已知点D，E分别在边AB，BC上，且AB=3AD，BC=2BE．‎ ‎（Ⅰ）用向量，表示．‎ ‎（Ⅱ）设AB=6，AC=4，A=60°，求线段DE的长．‎ ‎【考点】平面向量的基本定理及其意义；平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据平面向量的线性表示与运算法则，用，表示出即可；‎ ‎（Ⅱ）根据平面向量的数量积与模长公式，求出||即可．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，‎ 且AB=3AD，BC=2BE；‎ ‎∴=， ==（﹣），‎ ‎∴=+=+（﹣）=+；‎ ‎（Ⅱ）设AB=6，AC=4，A=60°，‎ 则=+2×ו+‎ ‎=×62+×6×4×cos60°+×42‎ ‎=7，‎ ‎∴||=，‎ 即线段DE的长为．‎ ‎【点评】本题考查了平面向量的线性运算以及数量积运算的应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2017•榆林一模）某校为提高学生身体素质，决定对毕业班的学生进行身体素质测试，每个同学共有4次测试机会，若某次测试合格就不用进行后面的测试，已知某同学每次参加测试合格的概率组成一个以为公差的等差数列，若他参加第一次测试就通过的概率不足，恰好参加两次测试通过的概率为．‎ ‎（Ⅰ）求该同学第一次参加测试就能通过的概率；‎ ‎（Ⅱ）求该同学参加测试的次数的分布列和期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设出该同学第一次测试合格的概率为a，根据题意列方程求出a的值；‎ ‎（Ⅱ）该同学参加测试的次数ξ的可能取值是1、2、3、4，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设该同学四次测试合格的概率依次为：‎ a，a+，a+，a+（a≤），‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 则（1﹣a）（a+）=，即a2﹣a+=0，‎ 解得a=或a=（＞舍去），‎ 所以小李第一次参加测试就合格的概率为；‎ ‎（Ⅱ）因为P（ξ=1）=，P（ξ=2）=×=，‎ P（ξ=3）=××=，‎ P（ξ=4）=1﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=2）﹣P（ξ=3）=，‎ 所以ξ的分布列为：‎ ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 所以ξ的数学期望为Eξ=1×+2×+3×+4×=．‎ ‎【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列和期望以及相互独立事件同时发生的概率计算问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2017•榆林一模）如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1．‎ ‎（1）证明：EM⊥BF；‎ ‎（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．‎ ‎【考点】‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法．‎ ‎【分析】（1）根据线面垂直得到线与线垂直，根据直径所对的圆周角是直角，得到两个三角形是等腰直角三角形，有线面垂直得到结果．‎ ‎（2）做出辅助线，延长EF交AC于G，连BG，过C作CH⊥BG，连接FH．，做出∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角，求出平面角．‎ ‎【解答】解：（1）证明：∵EA⊥平面ABC，BM⊂平面ABC，∴EA⊥BM．‎ 又∵BM⊥AC，EA∩AC=A，∴BM⊥平面ACFE，‎ 而EM⊂平面ACFE，∴BM⊥EM．∵AC是圆O的直径，∴∠ABC=90°．‎ 又∵∠BAC=30°，AC=4，∴，AM=3，CM=1．∵EA⊥平面ABC，FC∥EA，‎ ‎∴FC⊥平面ABC．∴△EAM与△FCM都是等腰直角三角形．‎ ‎∴∠EMA=∠FMC=45°．∴∠EMF=90°，即EM⊥MF（也可由勾股定理证得）．‎ ‎∵MF∩BM=M，∴EM⊥平面MBF．‎ 而BF⊂平面MBF，∴EM⊥BF．‎ ‎（2）延长EF交AC于G，连BG，过C作CH⊥BG，连接FH．由（1）知FC⊥平面ABC，BG⊂平面ABC，∴FC⊥BG．‎ 而FC∩CH=C，∴BG⊥平面FCH．∵FH⊂平面FCH，∴FH⊥BG，∴∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的 二面角的平面角．‎ 在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AC=4，‎ ‎∴，‎ 由，得GC=2．‎ ‎∵，‎ 又∵△GCH∽△GBM，∴，则．‎ ‎∴△FCH是等腰直角三角形，∠FHC=45°，‎ ‎∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，考查应用向量知识解决数学问题的能力，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2017•榆林一模）已知点P（﹣1，）是椭圆E： +=1（a＞b＞0）上一点，F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF1⊥x轴．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）设A，B是椭圆E上两个动点，满足： +=λ（0＜λ＜4，且λ≠2），求直线AB的斜率．‎ ‎（3）在（2）的条件下，当△PAB面积取得最大值时，求λ的值．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由PF1⊥x轴，求出2a=|PF1|+|PF2|=4，由此能求出椭圆E的方程．‎ ‎（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），由+=λ（0＜λ＜4，且λ≠2），得x1+x2=λ﹣2，y1+y2=（2﹣λ），再由3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，由此能求出AB的斜率．‎ ‎（3）设直线AB的方程为y=x+t，与3x2+4y2=12联立得 x2+tx+t2﹣3=0，由此利用根的判别式、弦长公式、点到直线距离公式、三角形面积公式，求出△PAB的面积为S=×|t﹣2|，设f（t）=S2=﹣（t4﹣4t3+16t﹣16）（﹣2＜t＜‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2），求出f′（t）=﹣3（t+1）（t﹣2）2，由f′（t）=0及﹣2＜t＜2得t=﹣1．由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵PF1⊥x轴，∴F1（﹣1，0），c=1，F2（1，0），‎ ‎∴|PF2|==，∴2a=|PF1|+|PF2|=4，∴a=2，∴b2=3，‎ ‎∴椭圆E的方程为： =1．…（3分）‎ ‎（2）证明：设A（x1，y1）、B（x2，y2），‎ 由+=λ（0＜λ＜4，且λ≠2），得（x1+1，y1﹣）+（x2+1，y2﹣）=λ（1，﹣），‎ ‎∴x1+x2=λ﹣2，y1+y2=（2﹣λ）…①…‎ 又，两式相减得3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0…．．②‎ 以①式代入可得AB的斜率k==．…（8分）‎ ‎（3）设直线AB的方程为y=x+t，与3x2+4y2=12联立消去y并整理得 x2+tx+t2﹣3=0，△=3（4﹣t2），‎ ‎|AB|=|x1﹣x2|=×=，‎ 点P到直线AB的距离为d=，‎ ‎△PAB的面积为S=|AB|×d=×|t﹣2|，…（10分）‎ 设f（t）=S2=﹣（t4﹣4t3+16t﹣16）（﹣2＜t＜2），‎ f′（t）=﹣3（t3﹣3t2+4）=﹣3（t+1）（t﹣2）2，由f′（t）=0及﹣2＜t＜2得t=﹣1．‎ 当t∈（﹣2，﹣1）时，f′（t）＞0，‎ 当t∈（﹣1，2）时，f′（t）＜0，f（t）=﹣1时取得最大值，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以S的最大值为．‎ 此时x1+x2=﹣t=1=λ﹣2，λ=3．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率的求法，考查三角形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、直线、导数等知识点的合理运用．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2017•榆林一模）已知函数f（x）=x2﹣ax+ln（x+1）（a∈R）．‎ ‎（1）当a=2时，求函数f（x）的极值点；‎ ‎（2）若函数f（x）在区间（0，1）上恒有f′（x）＞x，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）已知c1＞0，且cn+1=f′（cn）（n=1，2，…），在（2）的条件下，证明数列{cn}是单调递增数列．‎ ‎【考点】数列与函数的综合；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（1）先求出导函数，找到导数为0的根，在检验导数为0的根两侧导数的符号即可得出结论．‎ ‎（2）因f′（x）=2x﹣a+，由f′x）＞x，分参数得到：a＜x+，再利用函数y=x+的最小值即可得出求实数a的取值范围．‎ ‎（3）本题考查的知识点是数学归纳法，要证明当n=1时，c2＞c1成立，再假设n=k时ck+1＞ck，ck＞0成立，进而证明出n=k+1时ck+2＞ck+1，也成立，即可得到对于任意正整数n数列{cn}是单调递增数列．‎ ‎【解答】解：（1）a=2时，fx）=x2﹣2x+ln（x+1），则f′（x）=2x﹣2+=，‎ f′x）=0，x=±，且x＞﹣1，‎ 当x∈（﹣1，﹣）∪（，+∞）时f′x）＞0，当x∈（﹣，）时，f′x）＜0，‎ 所以，函f（x）的极大值点x=﹣，极小值点x=．‎ ‎（2）因f′（x）=2x﹣a+，f′x）＞x，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2x﹣a+＞x，‎ 即a＜x+，‎ y=x+=x+1+﹣1≥1（当且仅x=0时等号成立），‎ ‎∴ymin=1．∴a≤1‎ ‎（3）①当n=1时，c2=f′（x）=2c1﹣a+，‎ 又∵函y=2x+当x＞1时单调递增，c2﹣c1=c1﹣a+=c1+1+﹣（a+1）＞2﹣（a+1）=1﹣a≥0，‎ ‎∴c2＞c1，即n=1时结论成立．‎ ‎②假设n=k时，ck+1＞ck，ck＞0则n=k+1时，‎ ck+1=f′（ck）=2ck﹣a+，‎ ck+2﹣ck+1=ck+1﹣a+=ck+1+1+﹣（a+1）＞2﹣（a+1）=1﹣a≥0，‎ ck+2＞ck+1，即n=k+1时结论成立．由①，②知数{cn}是单调递增数列．‎ ‎【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的极值、数列与函数的综合、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）（2017•榆林一模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），曲线C2：（φ为参数，实数b＞0）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤）与C1交于O、A两点，与C2交于O、B两点．当α=0时，|OA|=1；当α=时，|OB|=2．‎ ‎（Ⅰ）求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）求2|OA|2+|OA|•|OB|的最大值．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（I）由曲线C1：（φ为参数，实数a＞‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎0），利用cos2φ+sin2φ=1即可化为普通方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式即可得出极坐标方程，进而得出a的值．同理可得b的值．‎ ‎（II）由（I）可得C1，C2的方程分别为ρ=cosθ，ρ=2sinθ．可得2|OA|2+|OA|•|OB|=2cos2θ+2sinθcosθ=+1，利用三角函数的单调性与值域即可得出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），‎ 化为普通方程为（x﹣a）2+y2=a2，展开为：x2+y2﹣2ax=0，‎ 其极坐标方程为ρ2=2aρcosθ，即ρ=2acosθ，由题意可得当θ=0时，|OA|=ρ=1，∴a=．‎ 曲线C2：（φ为参数，实数b＞0），‎ 化为普通方程为x2+（y﹣b）2=b2，展开可得极坐标方程为ρ=2bsinθ，‎ 由题意可得当时，|OB|=ρ=2，∴b=1．‎ ‎（Ⅱ）由（I）可得C1，C2的方程分别为ρ=cosθ，ρ=2sinθ．‎ ‎∴2|OA|2+|OA|•|OB|=2cos2θ+2sinθcosθ=sin2θ+cos2θ+1=+1，‎ ‎∵2θ+∈，∴ +1的最大值为+1，‎ 当2θ+=时，θ=时取到最大值．‎ ‎【点评】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．（2017•榆林一模）设函数f（x）=|2x+a|+|x﹣|（x∈R，实数a＜0）．‎ ‎（Ⅰ）若f（0）＞，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）求证：f（x）≥．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法；分段函数的应用．‎ ‎【分析】‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（Ⅰ）去掉绝对值号，解关于a的不等式组，求出a的范围即可；（Ⅱ）通过讨论x的范围，结合基本不等式的性质求出求出f（x）的最小值即可．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：∵a＜0，∴f（0）=|a|+|﹣|=﹣a﹣＞，‎ 即a2+a+1＞0，‎ 解得a＜﹣2或﹣＜a＜0；‎ ‎（Ⅱ）证明：f（x）=|2x+a|+|x﹣|=，‎ 当x≥﹣时，f（x）≥﹣﹣；‎ 当＜x＜﹣时，f（x）＞﹣﹣；‎ 当x≤时，f（x）≥﹣a﹣，‎ ‎∴f（x）min=﹣﹣≥2=，‎ 当且仅当﹣=﹣即a=﹣时取等号，‎ ‎∴f（x）≥．‎ ‎【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查解绝对值不等式问题，是一道中档题．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费